Trichterauslegung - Lehrstuhl Mechanische Verfahrenstechnik

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18 ⋅ η⋅ B( ε) b − ( 4.293) c = 2 s f ST ( ρ − ρ ) ⋅ d ⋅ ε ⎛ b ⎞ min dpa / dH g ⎜1− − ⎟ ( 4.294) ⎝ b ρbg ⎠ = ∗ ersetzt werden. Man fängt wiederum mit dem Parameter f an. Der charakteristische Kinematik- oder Zeitparameter der tanh-Funktion t 76,lam ergibt sich für die laminare Durchströmung: 2 1 t76,lam = = f 2 ⎛ 9⋅η⋅ B( ε) ⎞ 2(m+ 1)tan θ ⎛ b ⎜ ⎟ + ⋅g ⎜1− 2 ∗ ⎝ ρs − ρf ⋅dST⋅ε ⎠ b ⎝ b dp − / dH ⎞ ( ) ⎟ ∗ ρbg ⎠ Dieser Kinematikparameter t 76,lam der tanh-Funktion ist wiederum identisch mit der Gl. (4.300) der Lösungsvariante 1: 1 t76 ,lam = (4.300) 2 ⎛ 9 ⋅ η⋅ B( ε) ⎞ 2g(m+ 1)tan θ ⎛ b ( ) ⎟ ⎞ min dpa / dH ⎜ ⎟ + ⋅ ⎜1− − 2 ∗ ∗ ⎝ ρs − ρf ⋅ dST⋅ ε ⎠ b ⎝ b ρbg ⎠ Das ergibt wiederum ein der Gl.( 4.302), siehe auch Variante 1, identisches Geschwindigkeits-Zeit-Gesetz der Auslaufgeschwindigkeit - q.e.d. min a 161 v(t) = ⎛ bmin dpa / dH ⎞ ⎛ g⋅ ⎜1− − tanh b bg ⎟ ⋅ ⎜ ∗ ⎝ ρ ⎠ ⎝ t 9 ⋅ η⋅ B( ε) ⎛ ⋅ tanh⎜ t ⎞ ⎟ + ⎝ ⎠ t ⎞ ⎟ ⎠ 1 76,lam 2 ( ρs − ρf ) ⋅dST⋅ ε ⎜ t ⎟ 76,lam t76, lam Charakteristische Auslaufgeschwindigkeiten sind wiederum: ⎛ bmin dpa / dH ⎞ 0,76 ⋅ g⋅ ⎜1− − b bg ⎟ ∗ v(t t 76,lam) ⎝ ρ = = ⎠ 6,84 ⋅ η ⋅ B( ε) 1 + 2 ρ − ρ ⋅ d ⋅ ε t v(t = 2 ⋅ t v(t = 3⋅ t 76,lam 76,lam ( s f ) ST 76, lam bmin dpa / dH 0,964 g 1 b bg ⎟ ⎞ ⎜ ⎛ ⋅ ⋅ − − ∗ ) ⎝ ρ = ⎠ 8,676 ⋅ η ⋅ B( ε) 1 + 2 ( ρs − ρf ) ⋅ dST⋅ ε t 76, lam ⎛ bmin dpa / dH ⎞ 0,995 ⋅ g⋅ ⎜1− − b bg ⎟ ∗ ) ⎝ ρ = ⎠ 8,955 ⋅ η ⋅ B( ε) 1 + 2 ( ρs − ρf ) ⋅ dST⋅ ε t 76, lam ( 4.302) (4.308) (4.309) (4.310) 4.6.2.5.3 Das Weg-Zeit-Gesetz Schüttec_4 VO Partikelmechanik und Schüttguttechnik, Trichterauslegung Prof. Dr. Jürgen Tomas, 04.06.2013
Um das Weg-Zeit-Gesetz h = f(t) zu erhalten muss die obige Zeitfunktion der instationären Auslaufgeschwindigkeit v(t) für laminare Durchströmung, Gl.( 4.302), erneut integriert werden v(t) = dh(t) dt = ⎛ bmin dpa / dH ⎞ ⎛ g⋅ ⎜1 − − tanh b bg ⎟ ⋅ ⎜ ∗ ⎝ ρ ⎠ ⎝ t 9 ⋅ η⋅ B( ε) ⎛ ⋅ tanh⎜ t ⎞ ⎟ + ⎝ ⎠ 76,lam 2 ( ρs − ρf ) ⋅ dST⋅ ε ⎜ t ⎟ 76,lam t76, lam und zwar mit der Anfangsbedingung h(t = 0) = 0: h(t) ∫ h= 0 t ⎞ ⎟ ⎠ , (4.311) 1 ⎛ b ⎞ ⎛ ⎞ min dpa / dH ∗ ⋅ t g⋅ ⎜1− − ⎟ tanh⎜ ⎟ t ⎝ b ρbg ⎠ ⎝ t76,lam dh = h(t) = ⎠ ∫ dt (4.312) ⎛ ⎞ t = 0 9 ⋅ η⋅ B( ε) t 1 ⋅ tanh⎜ ⎟ + 2 ( ρ − ρ ) ⋅ ⋅ ε s f dST ⎝ t76,lam ⎠ t76,lam Das rechte Integral wird mit den Parametern c, siehe Gl.( 4.294), und b’, siehe auch Gl.( 4.293), umgeschrieben 9 ⋅ η ⋅ B( ε) ⋅ (1−ε ) ' = = −b / 2 (4.313) ρ ⋅ d ⋅ ε b 2 b ST t tanh( t / t 76,lam ) ( t / t ) c h (t) = ⋅ ∫ dt (4.314) b' 1 t= 0tanh 76,lam + t b' 76,lam Die Lösung dieser schwierigen Integralgleichung auf analytischem Wege erscheint ziemlich problematisch. Man könnte es numerisch integrieren. 162 Variante 1: Um jedoch eine überschaubare analytische Lösung der obigen Integralgleichung (4.314) zu erhalten, kann man zunächst folgende Vereinfachung vornehmen, und zwar wird zur Abschätzung angenommen 29 , dass t 1 >> tanh( t / t 76,lam ) sei. (4.315) b' 76,lam Damit folgt: t c tanh t / t h (t) ≈ ⋅ b' ∫ 1 t= 0 t b' ( ) 76,lam 76,lam dt = c ⋅ t 76,lam ⋅ t ∫ t= 0 tanh ( t / t ) 76,lam Unter Nutzung der bequemen und übersichtlichen Lösung des Integrals für turbulente Umströmung Gl.(4.254) t ∫ ⎛ t ⎞ tanh (4.254) ( t / t ) = ⋅ ⎜ ⎟ 76 dt t 76 ln cosh ⎝ t ⎠ t= 0 76 ergibt sich mit den Gln. ( 4.294) und (4.300): dt 29 ein Verfahrenstechniker darf das – ein Mathematiker natürlich nicht. Schüttec_4 VO Partikelmechanik und Schüttguttechnik, Trichterauslegung Prof. Dr. Jürgen Tomas, 04.06.2013
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4 Fließgerechte Auslegung eines Si
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( m + 1) ⋅ σ ⋅sin2( θ + ϕ )
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96 ⇒ Die analytisch vereinfachten
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1 ⎡ β = ⋅ ⎢φ 2 ⎣ w ⎛ si
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100 Hier wird kein Sicherheitswert
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102 • Für diesen Wert müssen di
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104 die größte Hauptspannung in d
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L − l tan θ Wand1 = und 2 ⋅ H
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108 ρ ρ ρ ρ b b,0 b b,0 ⎛ 1
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Seite 45 und 46: Die vertikale Beschleunigung a der
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Seite 59 und 60: 1 exp(2x) + 1 y = cosh(x) = ⋅ 2 e
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Seite 63 und 64: 152 ist der Druckverlust weitestgeh
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Seite 71: 2a ⋅ = 2a ⋅ 2 b + b − 4ac 2 (
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