Trichterauslegung - Lehrstuhl Mechanische Verfahrenstechnik

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157 Umstellen nach v: 2 ⎛ t ⎞ ⎛ t ⎞ − 2av ⋅ f = f ⋅ tanh⎜ ⋅ f ⎟ − ( 2av + b) ⋅ b ⋅ tanh⎜ ⋅ f ⎟ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎛ t ⎞ 2 ⎛ t ⎞ 2 ⎛ t ⎞ 2av ⋅ b ⋅ tanh⎜ ⋅ f ⎟ − 2av ⋅ f = f ⋅ tanh⎜ ⋅ f ⎟ − b ⋅ tanh⎜ ⋅ f ⎟ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎡ ⎛ t ⎞ ⎤ 2 ⎛ t ⎞ 2 ⎛ t ⎞ v ⋅ ⎢2a ⋅ b ⋅ tanh⎜ ⋅ f ⎟ − 2a ⋅ f ⎥ = f ⋅ tanh⎜ ⋅ f ⎟ − b ⋅ tanh⎜ ⋅ f ⎟ ⎣ ⎝ 2 ⎠ ⎦ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎡ ⎛ t ⎞ ⎤ 2 2 ⎛ t ⎞ v ⋅ 2a ⋅ ⎢b ⋅ tanh⎜ ⋅ f ⎟ − f ⎥ = ( f − b ) ⋅ tanh⎜ ⋅ f ⎟ ⎣ ⎝ 2 ⎠ ⎦ ⎝ 2 ⎠ 2 2 ( f − b ) ⎛ t ⎞ ⋅ tanh⎜ ⋅ f ⎟ ⎝ 2 v = ⎠ ⎡ ⎛ t ⎞ ⎤ 2a ⋅ ⎢b ⋅ tanh⎜ ⋅ f ⎟ − f ⎥ ⎣ ⎝ 2 ⎠ ⎦ Jetzt müssen die Koeffizienten a, b, c ( 4.298) 2(m+ 1)tan θ a = − ( 4.292) ∗ b 18 ⋅ η⋅ B( ε) b − ( 4.293) c = 2 s f ST ( ρ − ρ ) ⋅ d ⋅ ε ⎛ b ⎞ min dpa / dH g ⎜1− − ⎟ ( 4.294) ⎝ b ρbg ⎠ = ∗ ersetzt werden. Zweckmäßig fängt man mit dem Parameter f an: f = b 2 − 4ac ( 4.296) f ⎛ ⎜ ⎝ 18 ⋅ η⋅ B( ε) ⎞ ⎟ 2 2(m+ 1)tan θ ⎛ b + 4 ⋅ ⋅ g ⎜1 − min = ∗ dp − / dH ⎞ ( ) ⎟ 2 ∗ ρs − ρf ⋅ dST⋅ ε ⎠ b ⎝ b ρbg ⎠ a (4.299) Daraus folgt der Kinematik- oder Zeitparameter der tanh-Funktion t 76,lam , siehe auch Gl.(4.235), hier jedoch für die laminare Durchströmung: 2 2 t76,lam = = f 2 ⎛ 18⋅η⋅ B( ε) ⎞ 2(m+ 1)tan θ ⎛ b ⎞ min dpa / dH ⎜ ⎟ + 4⋅ ⋅g ⎜1− − 2 ∗ ∗ ⎝ ρs − ρf ⋅dST⋅ε ⎠ b ⎝ b ρbg ( ) ⎟ ⎟ ⎠ 1 t76 ,lam = (4.300) 2 ⎛ 9 ⋅ η⋅ B( ε) ⎞ 2g(m+ 1)tan θ ⎛ b ( ) ⎟ ⎞ min dpa / dH ⎜ ⎟ + ⋅ ⎜1 − − 2 ∗ ∗ ⎝ ρs − ρf ⋅ dST⋅ ε ⎠ b ⎝ b ρbg ⎠ Bzw. mit der Gl.(4.284) lässt sich auch schreiben: 1 t 76 ,lam = (4.301) 2 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ g ⋅ B( ε) ⎟ 2g(m+ 1)tan θ bmin dpa / dH + ⋅ ⎜ − − ⎟ 1 ∗ ∗ ⎝ 2 ⋅ vs,St⋅ ε ⎠ b ⎝ b ρbg ⎠ Die Auslaufgeschwindigkeit v(t) ergibt sich aus folgenden Umrechnungen: Schüttec_4 VO Partikelmechanik und Schüttguttechnik, <strong>Trichterauslegung</strong> Prof. Dr. Jürgen Tomas, 04.06.2013
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 2 2 ( ) ⎜ t 2 2 ⎟ ( ) ⎜ t f − b ⋅ tanh ⎟ b − 4ac − b ⋅ tanh ⎝ t 76,lam ⎠ = ⎝ t 76,lam v = ⎠ ⎡ ⎛ ⎞ ⎤ ⎡ ⎛ ⎞ ⎤ ⋅ ⎢ ⋅ ⎜ t ⎟ − ⎥ ⋅ ⎢ ⋅ ⎜ t ⎟ 2 2a b tanh f 2a b tanh − ⎥ ⎢⎣ ⎝ t 76,lam ⎠ ⎥⎦ ⎢⎣ ⎝ t 76,lam ⎠ t 76,lam ⎥⎦ ⎛ t ⎞ ⎛ t ⎞ − 4ac ⋅ tanh⎜ ⎟ 2c tanh⎜ ⎟ t − ⋅ 76,lam t 76,lam v = ⎝ ⎠ = ⎝ ⎠ ⎡ ⎛ t 2 ⎤ ⎛ t ⎞ 2 2a ⎢b tanh ⎥ b ⋅ tanh⎜ ⎟ − t ⎟ ⎞ ⋅ ⋅ ⎜ − t 76,lam t ⎢ 76,lam ⎥ ⎝ 76,lam ⎠ t ⎣ ⎝ ⎠ ⎦ 76,lam ⎛ t ⎞ ⎛ bmin dpa / dH ⎞ ⎛ t ⎞ − 2c ⋅ tanh⎜ ⎟ 2g 1 tanh⎜ ⎟ t − ⎜ − − 76,lam b bg ⎟ ⋅ ∗ t ⎝ ρ ⎠ 76,lam v = ⎝ ⎠ = ⎝ ⎠ ⎛ t ⎞ 2 18 ⋅ η⋅ B( ε) ⎛ t ⎞ 2 b ⋅ tanh⎜ ⎟ − ⋅ tanh⎜ ⎟ − 2 t − 76,lam t76,lam ( ρs − ρf ) ⋅ d ST⋅ ε t ⎝ ⎠ ⎝ 76,lam ⎠ t76, lam Schließlich erhält man mittels der recht aufwändigen analytischen Lösung der Differentialgleichung (4.286) folgendes Geschwindigkeits-Zeit-Gesetz für das beginnendes Ausfließen eines feinen kohäsiven Pulvers aus einem konvergenten Trichter bei laminarer Durchströmung: 158 v(t) = ⎛ bmin dpa / dH ⎞ ⎛ g⋅ ⎜1− − tanh b bg ⎟ ⋅ ⎜ ∗ ⎝ ρ ⎠ ⎝ t 9 ⋅ η⋅ B( ε) ⎛ ⋅ tanh⎜ t ⎞ ⎟ + ⎝ ⎠ t ⎞ ⎟ ⎠ 1 76,lam 2 ( ρs − ρf ) ⋅dST⋅ ε ⎜ t ⎟ 76,lam t76, lam bzw. ( 4.302) ⎛ bmin dpa / dH ⎞ ⎛ t g⋅⎜1 tanh⎜ − − b bg ⎟ ⋅ ∗ ⎝ ρ ⎠ t v(t) = ⎝ g ⋅ B( ε) ⎛ t ⎞ 1 ⋅ tanh⎜ ⎟ + 2 ⋅ v s,St⋅ ε t ⎝ 76,lam ⎠ t 76,lam 76,lam ⎞ ⎟ ⎠ ( 4.303) Die Porositätsfunktion B(ε), Gl.( 4.278), stammt von der modifizierten EULER-Zahl (svw. Widerstandsbeiwert) und ergibt sich für die homogene laminare Durchströmung der kohäsiven Brücke als Festbett: 2 ⎡ 3 ⎛ 3 1− ε 1 1− ε ⎞ ⎥ ⎥ ⎤ B ( ε) = 1+ 0,692⋅ ⎢ + ⋅ ⎜ ⎟ 3 ⎢ − − ε 3 ( 4.304) 0,95 1 2 ⎣ ⎝ 0,95 − 1− ε ⎠ ⎦ Zur Vollständigkeit wird hier nochmals die stationäre Auslaufgeschwindigkeit eines feinen Pulvers bei homogener laminarer Durchströmung der kohäsiven Brücke angegeben, siehe Gl.( 4.289): ∗ b ⎡ 1 g ⋅ B( ε) ⎤ v st,lam = ⋅ ⎢ − ⎥ ( 4.289) 2(m+ 1)tan θ ⎣t 76,lam 2 ⋅ vs,St⋅ ε ⎦ Durch Umstellen der Gl. ( 4.289) folgt ebenfalls der Zeitparameter t 76,lam : 2(m+ 1)tan θ 1 g ⋅ B( ε) ⋅ v = − ∗ st,lam b t 2 ⋅ v ⋅ ε 76,lam s,St Schüttec_4 VO Partikelmechanik und Schüttguttechnik, <strong>Trichterauslegung</strong> Prof. Dr. Jürgen Tomas, 04.06.2013
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4 Fließgerechte Auslegung eines Si
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( m + 1) ⋅ σ ⋅sin2( θ + ϕ )
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96 ⇒ Die analytisch vereinfachten
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1 ⎡ β = ⋅ ⎢φ 2 ⎣ w ⎛ si
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100 Hier wird kein Sicherheitswert
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102 • Für diesen Wert müssen di
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104 die größte Hauptspannung in d
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Seite 75 und 76: c / b' ⋅t76,lam c / b' ⋅t = ⎛
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