Trichterauslegung - Lehrstuhl Mechanische Verfahrenstechnik
Trichterauslegung - Lehrstuhl Mechanische Verfahrenstechnik
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157<br />
Umstellen nach v:<br />
2 ⎛ t ⎞<br />
⎛ t ⎞<br />
− 2av ⋅ f = f ⋅ tanh⎜<br />
⋅ f ⎟ − ( 2av + b) ⋅ b ⋅ tanh⎜<br />
⋅ f ⎟<br />
⎝ 2 ⎠<br />
⎝ 2 ⎠<br />
⎛ t ⎞<br />
2 ⎛ t ⎞ 2 ⎛ t ⎞<br />
2av ⋅ b ⋅ tanh⎜<br />
⋅ f ⎟ − 2av ⋅ f = f ⋅ tanh⎜<br />
⋅ f ⎟ − b ⋅ tanh⎜ ⋅ f ⎟<br />
⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠<br />
⎡ ⎛ t ⎞ ⎤ 2 ⎛ t ⎞ 2 ⎛ t ⎞<br />
v ⋅ ⎢2a<br />
⋅ b ⋅ tanh⎜<br />
⋅ f ⎟ − 2a ⋅ f ⎥ = f ⋅ tanh⎜<br />
⋅ f ⎟ − b ⋅ tanh⎜<br />
⋅ f ⎟<br />
⎣ ⎝ 2 ⎠ ⎦ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠<br />
⎡ ⎛ t ⎞ ⎤ 2 2 ⎛ t ⎞<br />
v ⋅ 2a ⋅ ⎢b<br />
⋅ tanh⎜<br />
⋅ f ⎟ − f ⎥ = ( f − b ) ⋅ tanh⎜<br />
⋅ f ⎟<br />
⎣ ⎝ 2 ⎠ ⎦<br />
⎝ 2 ⎠<br />
2 2<br />
( f − b )<br />
⎛ t ⎞<br />
⋅ tanh⎜<br />
⋅ f ⎟<br />
⎝ 2<br />
v =<br />
⎠<br />
⎡ ⎛ t ⎞ ⎤<br />
2a ⋅ ⎢b<br />
⋅ tanh⎜<br />
⋅ f ⎟ − f ⎥<br />
⎣ ⎝ 2 ⎠ ⎦<br />
Jetzt müssen die Koeffizienten a, b, c<br />
( 4.298)<br />
2(m+<br />
1)tan θ<br />
a = −<br />
( 4.292)<br />
∗<br />
b<br />
18 ⋅ η⋅ B( ε)<br />
b −<br />
( 4.293)<br />
c<br />
=<br />
2<br />
s f ST<br />
( ρ − ρ ) ⋅ d ⋅ ε<br />
⎛ b<br />
⎞<br />
min<br />
dpa<br />
/ dH<br />
g<br />
⎜1−<br />
−<br />
⎟<br />
( 4.294)<br />
⎝ b ρbg<br />
⎠<br />
=<br />
∗<br />
ersetzt werden. Zweckmäßig fängt man mit dem Parameter f an:<br />
f = b<br />
2 − 4ac<br />
( 4.296)<br />
f<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
18 ⋅ η⋅ B( ε)<br />
⎞<br />
⎟<br />
2<br />
2(m+<br />
1)tan θ ⎛ b<br />
+ 4 ⋅<br />
⋅ g<br />
⎜1<br />
−<br />
min<br />
=<br />
∗<br />
dp<br />
−<br />
/ dH ⎞<br />
( ) ⎟ 2<br />
∗<br />
ρs<br />
− ρf<br />
⋅ dST⋅<br />
ε ⎠ b ⎝ b ρbg<br />
⎠<br />
a<br />
(4.299)<br />
Daraus folgt der Kinematik- oder Zeitparameter der tanh-Funktion t 76,lam ,<br />
siehe auch Gl.(4.235), hier jedoch für die laminare Durchströmung:<br />
2<br />
2<br />
t76,lam<br />
= =<br />
f<br />
2<br />
⎛ 18⋅η⋅<br />
B( ε)<br />
⎞ 2(m+<br />
1)tan θ ⎛ b<br />
⎞<br />
min<br />
dpa<br />
/ dH<br />
⎜<br />
⎟ + 4⋅<br />
⋅g<br />
⎜1−<br />
−<br />
2<br />
∗<br />
∗<br />
⎝ ρs<br />
− ρf<br />
⋅dST⋅ε<br />
⎠ b ⎝ b ρbg<br />
( ) ⎟ ⎟ ⎠<br />
1<br />
t76 ,lam<br />
=<br />
(4.300)<br />
2<br />
⎛ 9 ⋅ η⋅ B( ε)<br />
⎞ 2g(m+<br />
1)tan θ ⎛ b<br />
( ) ⎟ ⎞<br />
min<br />
dpa<br />
/ dH<br />
⎜<br />
⎟ +<br />
⋅<br />
⎜1<br />
− −<br />
2<br />
∗<br />
∗<br />
⎝ ρs<br />
− ρf<br />
⋅ dST⋅<br />
ε ⎠ b ⎝ b ρbg<br />
⎠<br />
Bzw. mit der Gl.(4.284) lässt sich auch schreiben:<br />
1<br />
t<br />
76 ,lam<br />
=<br />
(4.301)<br />
2<br />
⎛ ⎞<br />
⎛<br />
⎞<br />
⎜<br />
g ⋅ B( ε)<br />
⎟<br />
2g(m+<br />
1)tan θ bmin<br />
dpa<br />
/ dH<br />
+<br />
⋅<br />
⎜ − −<br />
⎟<br />
1<br />
∗<br />
∗<br />
⎝ 2 ⋅ vs,St⋅<br />
ε ⎠ b ⎝ b ρbg<br />
⎠<br />
Die Auslaufgeschwindigkeit v(t) ergibt sich aus folgenden Umrechnungen:<br />
Schüttec_4 VO Partikelmechanik und Schüttguttechnik, <strong>Trichterauslegung</strong> Prof. Dr. Jürgen Tomas, 04.06.2013