Trichterauslegung - Lehrstuhl Mechanische Verfahrenstechnik

laufgeschwindigkeit. Wie wir später sehen werden, entspricht der Wurzelterm
einem reziproken Zeitparameter t 76,lam Gl.(4.300).
Damit ergibt sich die stationäre Auslaufgeschwindigkeit eines feinen Pulvers
bei laminarer Durchströmung der kohäsiven Brücke:
∗
b ⎡ 1 9 ⋅ η⋅ B( ε)
⎤
v
st,lam
=
⋅ ⎢ −
2 ⎥ bzw. ( 4.288)
2(m+
1)tan θ ⎣ t76,lam
( ρs
− ρf
) ⋅ dST⋅
ε⎦
∗
b ⎡ 1 g ⋅ B( ε)
⎤
v
st,lam
=
⋅ ⎢ − ⎥
( 4.289)
2(m+
1)tan θ
⎣t
76,lam
2 ⋅ vs,St⋅
ε
⎦
Zur Lösung der Differentialgleichung (4.286) werden die Variablen getrennt
dv ⎛ bmin
dpa
/ dH ⎞ 18 ⋅ η⋅ B( ε)
2(m+
1)tan θ 2
= g 1
v
v
2
dt
⎜ − −
⋅ −
⋅
b
bg
⎟ −
∗
∗
⎝ ρ ⎠ ( ρs
− ρf
) ⋅ dST⋅
ε b
und mit der Rand- bzw. Anfangsbedingung, für t = 0 ist v = 0, integriert:
v
∫ =∫
⎛ b
g
⎜1
−
⎝ b
dp ⎞
a
/ dH
−
⎟ −
ρbg
⎠
dv
18⋅
η⋅ B( ε)
2(m+
1)tan θ
v −
⋅ v
2
∗
⋅ d ⋅ ε b
0 min
2
∗
( ρs
− ρf
)
ST
t
0
dt
4.290)
Für eine bequeme analytische Lösung ist etwas rechnerischer Aufwand notwendig.
Bezüglich der obigen Integralgleichung 4.290) sollen zwei Lösungsvarianten
vorgestellt werden:
155
Lösungsvariante 1:
Die linke Seite entspricht einem Grundintegral, siehe BRONSTEIN 24 , dessen
Lösung die Umkehrfunktion (Area Tangens hyperbolicus) Artanh(x) der
tanh(x)-Funktion - entsprechend der bekannten Lösung ( 4.233) für die turbulente
Durchströmung der kohäsiven Brücke - enthält:
dx 2
⎛ 2ax + b ⎞
2
∫ = − ⋅ Ar tanh
wenn 4ac − b 0
ax
2 bx c
2
⎜
2
⎟
b − 4ac b 4ac
< ( 4.291)
+ +
⎝ − ⎠
Die Parameter a, b, c ergeben sich durch Koeffizientenvergleich:
2(m+
1)tan θ
a = −
( 4.292)
∗
b
18 ⋅ η⋅ B( ε)
b −
( 4.293)
c
=
2
s f ST
( ρ − ρ ) ⋅ d ⋅ ε
⎛ b
⎞
min
dpa
/ dH
g
⎜1−
−
⎟
( 4.294)
⎝ b ρbg
⎠
=
∗
Da beide Summanden negativ sind, ist die obige Bedingung 4ac − b
2 < 0 erfüllt:
24 Bronstein, I.E. und R.A. Semendjajev, Taschenbuch der Mathematik, B.G. Teubner Verlagsgesellschaft,
Leipzig 1968; neu: S. 1077, 7. Aufl., Verlag Harri Deutsch, Frankfurt a.M.
2008.
Schüttec_4 VO Partikelmechanik und Schüttguttechnik, Trichterauslegung Prof. Dr. Jürgen Tomas, 04.06.2013