Trichterauslegung - Lehrstuhl Mechanische Verfahrenstechnik

σ1
ff = =
'
σ
1
( 1+
m) ⋅ sin 2( φ + θ) ⋅ s( θ *)
w
1+
sin ϕ
⋅
2 ⋅ sin θ
als dimensionslose Formulierung von JENIKE numerisch gelöst,
*
s θ * = f θ , ϕ , ϕ .
dabei ist ( ) ( )
e
w
e
( 4.19)
95
4.1.3.1 Differentialgleichungen zur Berechnung des Fließfaktors
→ Aufstellung von 2 gekoppelten, gewöhnlichen nichtlinearen Differentialgleichungen
1. Ordnung für die unbekannten Funktionen s(θ * ) und ψ(θ * ), siehe
auch MOLERUS S.148 (1985)
ds
dθ
*
*
s⋅
sin 2ψ+
sin( θ + 2ψ)
+ m⋅
s⋅
sin ϕe⋅
=
cos2ψ−sin
ϕ
*
[ cot θ ⋅(1+
cos2ψ−sin 2ψ)
]
( 4.20)
mit dem Winkel ψ zwischen der Radialspannung σ r (bzw. Fahrstrahl r) und
der größten Hauptspannung σ 1 siehe Bild 4.1 und Bild 4.4:
[
dψ
=−1−
m⋅
s⋅
sin ϕe⋅
(1+
sin ϕ
*
dθ
+ cos θ
*
−sin
ϕ ⋅ cos( θ
e
*
e
+ 2ψ)
+ s⋅
cos
] ⋅
e
*
) ⋅ (cot θ ⋅ sin 2ψ+
cos 2ψ−1)
+
2
ϕ
e
1
2s⋅
sin ϕ ⋅ (cos 2ψ−sin
ϕ
sowie der Randbedingung für das Abgleiten an der Wand,
*
[ ψ(
θ )]
[ 2ψ(
θ )]
e
e
)
( 4.21)
sinϕe⋅
sin 2
tan ϕ
w= −
( 4.22)
*
1−
sinϕ
⋅ cos
e
die natürlich durch den Wandreibungswinkel beeinflusst wird.
→ Für vorgewählte ϕ e läßt sich das Gleichungssystem numerisch integrieren.
Die Lösungsgrenzen, d.h. Bedingung ob an der Wand Fließen oder nicht
eintritt, ergibt die Massenfluß- und Kernflußgrenzen, siehe Gln.( 4.48) und
(4.50) und Bilder F 4.6, F 4.7
→ Die zugehörigen symmetrischen Trichterformen sind in den Bildern F 4.8
und F 4.9 dargestellt
→ Verfestigungsfunktion σ c = f(σ 1 ) mit der Auflagerspannung σ ’ 1 F 4.10
→ entsprechend Gl. ( 4.19) ist also der Fließfaktor der Brückenbildung nach
JENIKE (1964)
( θ,
ϕ ϕ )
ff = f
( 4.23)
e ,
w
→ ein vereinfachtes Diagramm ff = f(ϕ e ) Bild F 4.11
→ komplette Fließfaktoren, s. alte Umdrucke bzw. JENIKE Bull. 123 (1964)
4.1.3.2 Analytische Berechnung des Fließfaktors
Analytische Näherung des Fließfaktors nach JENIKE
Schüttec_4 VO Partikelmechanik und Schüttguttechnik, Trichterauslegung Prof. Dr. Jürgen Tomas, 04.06.2013