Trichterauslegung - Lehrstuhl Mechanische Verfahrenstechnik

1 exp(2x) + 1
y = cosh(x) = ⋅
2 exp(x)
Damit folgt aus der Gl.(4.254):
( t / t ) + exp( −t
/ t ) ⎡exp( 2t / t )
h(t
d
) ⎡exp
d 76
d 76 ⎤
d 76
+
= ln
⎢
⎥
= ln⎢
vst
⋅ t
76 ⎣
2
⎦ ⎣ 2 ⋅ exp(t
d
/ t
76)
⎛ h(t ) ⎞
d
exp( 2t
d
/ t
76
) + 1
exp
⎜
v t
⎟ =
⎝ st
⋅
76 ⎠ 2 ⋅ exp(t
d
/ t
76)
⎛ h(t ) ⎞
d
2 ⋅ exp
⎜ exp(t
d
/ t
76)
= exp( 2t
d
/ t
76
) + 1
vst
t
⎟ ⋅
⎝ ⋅
76 ⎠
exp t /
Damit folgt eine quadratische Gleichung bezüglich ( )
d
t 76
1⎤
⎥
⎦
148
⎛ h(t ) ⎞
d
exp( 2t
d
/ t
76
) − 2 ⋅ exp
⎜ exp(t
d
/ t
76)
+ 1 = 0
vst
t
⎟ ⋅
(4.261)
⎝ ⋅
76 ⎠
mit ihrer Lösung:
exp
h(t ) ⎞ ⎛ 2 ⋅ h(t )
vst
t
76
vst
t ⎟ ⎞
⎜ ⎛
= ⎟ ⎜
(4.262)
⎝ ⋅ ⎠ ⎝ ⋅
76 ⎠
d
d
( t / t ) exp ⎟ + exp⎜
−1
d
76
Diese Formulierung wird noch umgewandelt und vereinfacht:
⎡
⎞ ⎤
( )
⎢ ⎢⎢ ⎜ ⎛ 2 ⋅ h(t
d
)
exp
⎟ −1
⎛ h(t ⎞ ⎝ ⋅
d
)
⎠
⋅ vst
t
76
exp t
⎜ ⎟
d
/ t
76
= exp 1+
⎝ vst
⋅ t
76 ⎠
⎛ ⎞
⎢
2 ⋅ h(t
d
)
exp
⎢
⎜
⎟
⎥ ⎥⎥⎥⎥ ⎣ ⎝ vst
⋅ t
76 ⎠ ⎦
⎛ h(t ⎞
( )
⎥ ⎥ ⎤
⎢ ⎢ ⎡ ⎛ ⎞
d
)
⋅
⋅
2 h(t
d
)
exp t =
⎜ ⎟ + −
⎜−
⎟
d
/ t
76
exp 1 1 exp
⎝ vst
⋅ t
76 ⎠ ⎣ ⎝ vst
⋅ t
76 ⎠⎦
⎪
⎧ ⎛ h(t ⎞ ⎡ ⎛ ⎞⎤
⎫
d
)
⋅ ⎪
⎨
⋅
2 h(t
d
)
t
⎜ ⎟ ⎢ + −
⎜−
⎟
d
= t
76
⋅ ln exp 1 1 exp
⎥⎬
⎪⎩ ⎝ vst
⋅ t
76 ⎠ ⎢
⎣ ⎝ vst
⋅ t
76 ⎠⎥
⎦⎪⎭
h(t ⎡
⎤
⎢
⎟
⎥
⎢
⎞
⎜ ⎛
d
)
2 ⋅ h(t
d
)
t
d
= t
76
⋅ + t
76
⋅ ln 1+
1−
exp −
vst
⋅ t
76
⎣ ⎝ vst
⋅ t
76 ⎠⎥
⎦
Daraus ergibt sich eine vergleichsweise übersichtliche Umkehrfunktion der
Auslaufzeit t d = f(h*):
* ⎡
*
h
⎛ 2 ⋅ h ⎞⎤
t ⎢
⎜
⎟
d
= + t
76
⋅ ln 1+
1−
exp − ⎥
(4.263)
vst
⎢
⎣ ⎝ vst
⋅ t
76 ⎠⎥
⎦
Für große Füllhöhen (-mengen) h*, schnelle Kinetik (kleine charakteristische
Auslaufzeit) t 76 und geringe stationäre Auslaufgeschwindigkeit v st kann der
letzte Term in der Gl.(4.263) vernachlässigt werden. D.h. es gilt unter der Bedingung
*
h
v ⋅ t
st
76
> 2, (4.264)
Schüttec_4 VO Partikelmechanik und Schüttguttechnik, Trichterauslegung Prof. Dr. Jürgen Tomas, 04.06.2013