Trichterauslegung - Lehrstuhl Mechanische Verfahrenstechnik

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t ∫ ⎛ tanh ⎜ ⎝ t t t = 0 76 ⎞ ⎟ dt = t ⎠ 76 ⎢ ⎢ ⎡ ⎛ ⋅ ln cosh ⎜ ⎣ ⎝ t t 76 ⎟ ⎞ ⎠ − ln cosh ( 0) ⎤ ⎥ ⎥⎦ 147 t ∫ ⎛ t ⎞ ⎞ ⎜ ⎛ t tanh ⎜ ⎟ dt = t76 ⋅ ln cosh ⎟ (4.253) ⎝ t ⎠ ⎝ ⎠ t = 0 76 t76 Damit ergibt sich die Weg-Zeit-Funktion des Ausfließens kohäsiver Schüttgüter aus einem konvergenten Trichter im turbulenten Durchströmungsbereich: ⎛ t ⎞ h (t) = vst ⋅ t76 ⋅ ln cosh ⎜ ⎟ , (4.254) ⎝ t76 ⎠ wobei mit der Gl.(4.234) gilt: v st 2 vst ⋅ t76 = (4.255) g ⋅ ( 1− b / b) min Mit dieser Weg-Zeit-Funktion lassen sich folgende charakteristische Höhen oder vertikale Positionen der Schüttgutbrücke während des beschleunigten oder beginnenden Ausfließens ermitteln: h(t 76 2 0,433⋅ vst ) = vst ⋅ t76 ⋅ ln cosh( 1) = 0,433⋅ vst ⋅ t76 = (4.256) g ⋅ ( 1− b / b) min t t = 2 ⋅ , d.h. 96 t 76 = 3⋅ , d.h. 99 t 76 h(t h(t 96 99 2 1,33⋅ vst ) = 1,33⋅ vst ⋅ t76 = (4.257) g ⋅ ( 1− b / b) 2 2,31⋅ vst ) = 2,31⋅ vst ⋅ t76 = (4.258) g ⋅ min ( 1− b / b) min 4.6.2.4.4 Berechnung der Auslaufzeit t d = f(h) Wenn eine Trichterfüllhöhe h(t d ) = h* gegeben ist, kann die zugehörige Auslaufzeit t d durch Umstellung der Weg-Zeit-Funktion, Gl.(4.254), die zugehörige Umkehrfunktion berechnet werden: ⎛ t ⎞ h (t) = vst ⋅ t76 ⋅ ln cosh ⎜ ⎟ (4.254) ⎝ t76 ⎠ ⎛ h ⎞ ⎛ t ⎞ exp ⎜ ⎟ = cosh⎜ ⎟ (4.259) ⎝ vst ⋅ t76 ⎠ ⎝ t76 ⎠ Die cosh-Funktion lässt sich durch exp-Funktionen ausdrücken 22 : exp(x) + exp( −x) 1 ⎡ 1 ⎤ y = cosh(x) = = ⎢exp(x) + 2 2 ⎥ (4.260) ⎣ exp(x) ⎦ 1 ⎡ 1 ⎤ 1 ⎡ exp(x) ⋅ exp(x) + 1⎤ ⎢exp(x) + ⎥ = 2 ⎢ ⎥ ⎣ exp(x) ⎦ 2 ⎣ exp(x) ⎦ 22 Bronstein, I.E. und R.A. Semendjajev, Taschenbuch der Mathematik, S. 88 und 91, 7. Aufl., Verlag Harri Deutsch, Frankfurt a.M. 2008. Schüttec_4 VO Partikelmechanik und Schüttguttechnik, <strong>Trichterauslegung</strong> Prof. Dr. Jürgen Tomas, 04.06.2013
1 exp(2x) + 1 y = cosh(x) = ⋅ 2 exp(x) Damit folgt aus der Gl.(4.254): ( t / t ) + exp( −t / t ) ⎡exp( 2t / t ) h(t d ) ⎡exp d 76 d 76 ⎤ d 76 + = ln ⎢ ⎥ = ln⎢ vst ⋅ t 76 ⎣ 2 ⎦ ⎣ 2 ⋅ exp(t d / t 76) ⎛ h(t ) ⎞ d exp( 2t d / t 76 ) + 1 exp ⎜ v t ⎟ = ⎝ st ⋅ 76 ⎠ 2 ⋅ exp(t d / t 76) ⎛ h(t ) ⎞ d 2 ⋅ exp ⎜ exp(t d / t 76) = exp( 2t d / t 76 ) + 1 vst t ⎟ ⋅ ⎝ ⋅ 76 ⎠ exp t / Damit folgt eine quadratische Gleichung bezüglich ( ) d t 76 1⎤ ⎥ ⎦ 148 ⎛ h(t ) ⎞ d exp( 2t d / t 76 ) − 2 ⋅ exp ⎜ exp(t d / t 76) + 1 = 0 vst t ⎟ ⋅ (4.261) ⎝ ⋅ 76 ⎠ mit ihrer Lösung: exp h(t ) ⎞ ⎛ 2 ⋅ h(t ) vst t 76 vst t ⎟ ⎞ ⎜ ⎛ = ⎟ ⎜ (4.262) ⎝ ⋅ ⎠ ⎝ ⋅ 76 ⎠ d d ( t / t ) exp ⎟ + exp⎜ −1 d 76 Diese Formulierung wird noch umgewandelt und vereinfacht: ⎡ ⎞ ⎤ ( ) ⎢ ⎢⎢ ⎜ ⎛ 2 ⋅ h(t d ) exp ⎟ −1 ⎛ h(t ⎞ ⎝ ⋅ d ) ⎠ ⋅ vst t 76 exp t ⎜ ⎟ d / t 76 = exp 1+ ⎝ vst ⋅ t 76 ⎠ ⎛ ⎞ ⎢ 2 ⋅ h(t d ) exp ⎢ ⎜ ⎟ ⎥ ⎥⎥⎥⎥ ⎣ ⎝ vst ⋅ t 76 ⎠ ⎦ ⎛ h(t ⎞ ( ) ⎥ ⎥ ⎤ ⎢ ⎢ ⎡ ⎛ ⎞ d ) ⋅ ⋅ 2 h(t d ) exp t = ⎜ ⎟ + − ⎜− ⎟ d / t 76 exp 1 1 exp ⎝ vst ⋅ t 76 ⎠ ⎣ ⎝ vst ⋅ t 76 ⎠⎦ ⎪ ⎧ ⎛ h(t ⎞ ⎡ ⎛ ⎞⎤ ⎫ d ) ⋅ ⎪ ⎨ ⋅ 2 h(t d ) t ⎜ ⎟ ⎢ + − ⎜− ⎟ d = t 76 ⋅ ln exp 1 1 exp ⎥⎬ ⎪⎩ ⎝ vst ⋅ t 76 ⎠ ⎢ ⎣ ⎝ vst ⋅ t 76 ⎠⎥ ⎦⎪⎭ h(t ⎡ ⎤ ⎢ ⎟ ⎥ ⎢ ⎞ ⎜ ⎛ d ) 2 ⋅ h(t d ) t d = t 76 ⋅ + t 76 ⋅ ln 1+ 1− exp − vst ⋅ t 76 ⎣ ⎝ vst ⋅ t 76 ⎠⎥ ⎦ Daraus ergibt sich eine vergleichsweise übersichtliche Umkehrfunktion der Auslaufzeit t d = f(h*): * ⎡ * h ⎛ 2 ⋅ h ⎞⎤ t ⎢ ⎜ ⎟ d = + t 76 ⋅ ln 1+ 1− exp − ⎥ (4.263) vst ⎢ ⎣ ⎝ vst ⋅ t 76 ⎠⎥ ⎦ Für große Füllhöhen (-mengen) h*, schnelle Kinetik (kleine charakteristische Auslaufzeit) t 76 und geringe stationäre Auslaufgeschwindigkeit v st kann der letzte Term in der Gl.(4.263) vernachlässigt werden. D.h. es gilt unter der Bedingung * h v ⋅ t st 76 > 2, (4.264) Schüttec_4 VO Partikelmechanik und Schüttguttechnik, <strong>Trichterauslegung</strong> Prof. Dr. Jürgen Tomas, 04.06.2013
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4 Fließgerechte Auslegung eines Si
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( m + 1) ⋅ σ ⋅sin2( θ + ϕ )
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