Trichterauslegung - Lehrstuhl Mechanische Verfahrenstechnik

wird die Funktionskette Auslauftrichter und Austraggerät. Dies stimmt auch
sehr gut mit den praktischen Erfahrungen überein.
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4.6.2.4.3 Das Weg-Zeit-Gesetz
Um das Weg-Zeit-Gesetz h = f(t) zu erhalten, siehe Bild 4.15, muss die Zeitfunktion
der instationären Auslaufgeschwindigkeit, Gl.( 4.233), erneut integriert
werden:
dh(t) ⎛ t ⎞
v (t) = = vst
⋅ tanh
⎜
⎟ , (4.251)
dt
⎝ t76
⎠
Zur Vereinfachung wird vorausgesetzt, dass nur der Bereich der Auslauföffnung
betrachtet wird. Deshalb können die beiden Parameter stationäre Auslaufgeschwindigkeit
v st , Gl.( 4.242), und der Zeitparamer t 76 , Gl.( 4.243), als
mittlere Größen aufgefasst werden, die weitestgehend unabhängig von der
Höhenänderung während der Beschleunigungsphase sind (für die Trichterhöhe
gilt gemäß Bild 4.15:
h = b /(2 ⋅ tan θ)
bzw. ( 4.79)
b = 2 ⋅ h ⋅ tan θ
( 4.189) )
Somit folgt die Integralgleichung mit der Anfangsbedingung h(t = 0) = 0:
h(t)
∫
h=
0
t
⎛ t ⎞
dh = h(t) = v ⋅ ∫
⎜
⎟
st
tanh dt
(4.252)
t=
0 ⎝ t
76 ⎠
Das rechte Integral wird mit Hilfe folgender Substitutionen analytisch gelöst:
∫
∫
x = t / t 76
abgeleitet: dt / t76
⎛ t ⎞
tanh ⎜
⎟ dt = t76
⋅∫
tanh( x)
dx = t76
⋅
⎝ t76
⎠
sinh
cosh
( x)
( x)
dx
dx = d.h.: dt = t dx
∫
sinh
cosh
( x)
( x)
f
entspricht dem Integralkern 21 f’(x)/f(x), also: ∫ ′ (x)
dx .
f (x)
Die Substitution u = cosh( x)
ergibt abgeleitet:
( x) ⋅ dx
du = sinh d.h.:
Das unbestimmte Integral wird umgeformt zu:
∫
( x)
dx
du
dx =
sinh( x)
⎛ t ⎞ sinh du du
tanh ⎜ dt t
t t ln u
t
⎟ =
76
⋅∫
⋅ =
76
⋅
76
76
u sinh( x)
∫ = ⋅
⎝ ⎠
u
Das rückwärtige Einsetzen liefert:
t
∫
⎛
tanh
⎜
⎝
t
t
⎞
⎟ dt = t
⎠
⋅ ln cosh(x)
76
u=
1 76
t 0 76
t
=
76
u
= t
ln cosh⎜ ⎛
⋅
⎝
t
⎞
⎟
⎠
t
76 ⋅
t = 0
21 Leupolt, W. u.a., Analysis, S. 254 und 256, Fachbuchverlag Leipzig 1968.
Schüttec_4 VO Partikelmechanik und Schüttguttechnik, Trichterauslegung Prof. Dr. Jürgen Tomas, 04.06.2013