Trichterauslegung - Lehrstuhl Mechanische Verfahrenstechnik

( 2x)
( 2x)
exp −1
y = = tanh( x) mit −1
< y < 1
(4.232)
exp + 1
Schließlich erhält man die folgenden Geschwindigkeits-Zeit-Gesetze für das
beginnendes Ausfließen eines kohäsiven Schüttgutes aus einem konvergenten
Trichter:
⎡2
⋅ g ⎛ b ⎞ ⎤
⎢ ⋅ ⎜ −
min
v(t)
= vst ⋅ tanh 1 ⎟ ⋅ t⎥
oder
⎣ vst
⎝ b ⎠ ⎦
v
exp(2t / t76)
−1
=
st
76
= vst⋅
, ( 4.233)
exp(2t / t ) + 1
( t) v ⋅ tanh( t / t )
Mit der stationären Auslaufgeschwindigkeit Gl.( 4.229):
76
⎞
⎜
⎛ b ⋅ ⋅ − min
b g 1 ⎟
⎝ b
v =
⎠
( 4.229)
st
⎡ b dp 1 ⎤
2 ⋅ (m+
1) ⋅ tan θ ⋅ ⎢1
+
⋅ ⋅
2 ⎥
⎣ 2 ⋅ (m+
1) ⋅ tan θ dhB
ρb
⋅ u ⎦
Die tanh-Funktion ist typisch für diesen Schwerkraft-getriebenen Auslaufprozess.
Sie enthält einen kennzeichnenden Kinematikparameter bzw. eine charakteristischen
Auslaufzeit t 76 :
t
76
vst
=
⎜
⎛ b
g 1 −
⎝ b
min
1
=
⎞
⎟ ⎜
⎛ b
g 1 −
⎠ ⎝ b
min
⎞
⎟
⎠
⎞
⎜
⎛ b ⋅ ⋅ − min
b g 1 ⎟
⎝ b ⎠
⎡ b
2(m+
1) tan θ ⋅ ⎢1
+
⋅
⎣ 2(m+
1) tan θ
dp
dh
B
1
⋅
ρ u
b
2
⎤
⎥
⎦
(4.234)
b
t =
(4.235)
76
⎛ b ⎞ ⎡
⎤
⋅ + ⋅ θ⋅ ⋅ ⎜ −
min
b dp 1
2 (m 1) tan g 1 ⎟ ⋅ ⎢1
+
⋅ ⋅
2 ⎥
⎝ b ⎠ ⎣ 2 ⋅(m+
1) ⋅ tan θ dh
B
ρb
⋅ u ⎦
Der Index 76 der charakteristischen Auslaufzeit wurde gewählt, weil für t = t 76
die Funktion
v(t
( 1) = 0,76 ⋅
st
= t
(4.236)
76)
= vst
⋅ tanh v
ergibt. Die stationäre Auslaufgeschwindigkeit wird für
v(t
v(t
( 2) = 0,964 ⋅
st
( 3) = 0,995 ⋅
st
96
2 ⋅ t
76)
= vst
⋅ tanh v
99
3⋅
t
76)
= vst
⋅ tanh v
= (4.237)
= (4.238)
mit weniger als 4%-iger bzw. 0,5%-iger Abweichung erreicht.
d
d
Der aus dem konvergenten Trichter ausfließende momentane Volumenstrom
V und Massestrom m sind mit der Gl.( 4.233) für die Auslaufgeschwindigkeit
(A d Querschnittsfläche des Trichterauslaufes, ρ b,d = f(σ 1,krit ) Schüttgutdichte
am Auslauf):
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19 Bronstein, I.E. und R.A. Semendjajev, Taschenbuch der Mathematik, B.G. Teubner Verlagsgesellschaft,
Leipzig 1968; neu: S. 88, 7. Aufl., Verlag Harri Deutsch, Frankfurt a.M. 2008.
Schüttec_4 VO Partikelmechanik und Schüttguttechnik, Trichterauslegung Prof. Dr. Jürgen Tomas, 04.06.2013