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141 4.6.2.4 Näherungslösungen für die turbulente Durchströmung 4.6.2.4.1 Das Geschwindigkeits-Zeit-Gesetz Eine analytische Näherungslösung der Auslaufgeschwindigkeit kann man für die turbulente Durchströmung nur gewinnen, wenn man während der Beschleunigungsphase, d.h. beim Durchlaufen des laminaren und des Übergangsbereiches der Bettdurchströmung voraussetzt, dass der Druckverlustterm dp/(dh . B ρ . b u 2 ) abschnittsweise konstant sei. Das entspricht einem konstanten Widerstandsbeiwert c W bei der Partikelumströmung, siehe dazu auch ../VO_- MVT_Neu/MVT_e_4neu.doc#Widerstandsbeiwert_kaskas bzw. ..\VO_MVT_- Neu\MVT_e_4neu.pdf. Folglich soll unter der vereinfachenden Annahme einer zumindest abschnittsweisen Konstanz der Eulerzahl Eu B ≈ const. ≠ f(v(t)) die Differentialgleichung ( 4.195) analytisch gelöst werden, um sich über die wesentlichen Zusammenhänge der Auslaufkinetik Klarheit zu verschaffen: dv 2 ⋅ (m+ 1) ⋅ tan θ ⎡ b dp 1 ⎤ ⎞ ⎢ ⋅ ⋅ ⎥ ⎜ ⎛ ⋅ 2 b ⋅ + = ⋅ − min + 1 v g 1 2 ⎟ dt b ⎣ 2 ⋅ (m+ 1) ⋅ tan θ dhB ρb ⋅ u ⎦ ⎝ b ⎠ ( 4.195) Zunächst wird als wesentlicher Prozessparameter und kennzeichnender Stoffwert (Stoffeigenschaftsfunktion), svw. Eigenwert der Differentialgleichung, die stationäre Auslaufgeschwindigkeit v st berechnet: ⎛ dv ⎞ 2 ⋅ (m+ 1) ⋅ tan θ ⎡ b dp 1 ⎤ ⎞ ⋅ ⎢ + ⋅ ⋅ ⎥ ⎜ ⎛ ⋅ 2 b ⎟ + = ⋅ − min ⎜ = 0 1 v g 1 2 st ⎟ ⎝ dt ⎠ b ⎣ 2 ⋅ (m+ 1) ⋅ tan θ dhB ρb ⋅ u ⎦ ⎝ b ⎠ ⎞ ⎜ ⎛ b ⋅ − min g 1 ⎟ 2 ⎝ b v ⎠ st = 2 ⋅ (m+ 1) ⋅ tan θ ⎡ b dp 1 ⎤ ⋅ ⎢1 + ⋅ ⋅ 2 b ⎥ ⎣ 2 ⋅ (m+ 1) ⋅ tan θ dhB ρb ⋅ u ⎦ Im Vergleich zur Gl.( 4.218) ergibt sich die stationäre Auslaufgeschwindigkeit in einer etwas veränderten Schreibweise: ⎛ b ⎞ ⋅ ⋅ ⎜ − min b g 1 ⎟ ⎝ b v = ⎠ ( 4.229) st ⎡ b dp 1 ⎤ 2 ⋅ (m+ 1) ⋅ tan θ ⋅ ⎢1 + ⋅ ⋅ 2 ⎥ ⎣ 2 ⋅ (m+ 1) ⋅ tan θ dhB ρb ⋅ u ⎦ Zur Lösung mittels Trennung der Variablen wird die Differentialgleichung ( 4.195) zweckmäßig umgeformt: dv(t) ⎛ bmin ⎞ 2 ⋅ (m+ 1) ⋅ tan θ ⎡ b dp 1 ⎤ = 2 g ⋅ ⎜1 − ⎟ − ⋅ 1 v 2 dt b b ⎢ + ⋅ ⋅ 2 (m 1) tan dhB b u ⎥ ⋅ ⎝ ⎠ ⎣ ⋅ + ⋅ θ ρ ⋅ ⎦ Einsetzen von Gl.( 4.229) 2 ⋅ (m+ 1) ⋅ tan θ ⎡ b dp 1 ⎤ 1 − bmin / b ⋅ 1 g 2 2 b ⎢ + ⋅ ⋅ = ⋅ 2 (m 1) tan dhB b u ⎥ ⎣ ⋅ + ⋅ θ ρ ⋅ ⎦ vst Schüttec_4 VO Partikelmechanik und Schüttguttechnik, <strong>Trichterauslegung</strong> Prof. Dr. Jürgen Tomas, 04.06.2013
142 in Gl. ( 4.195): 2 dv(t) ⎛ bmin ⎞ ⎛ bmin ⎞ v = g ⋅ ⎜1 − ⎟ − g ⋅ ⎜1 − ⎟ ⋅ 2 und ausklammern: dt ⎝ b ⎠ ⎝ b ⎠ v liefert eine deutlich übersichtlichere Differentialgleichung dv(t) dt ⎛ b g ⋅ ⎜1 − ⎝ b ⎞ ⎛ v ⎟ ⋅ ⎜1 − ⎠ ⎝ v 2 = min 2 st ⎞ ⎟ ⎠ st ( 4.230) Die Integration dieser nichtlinearen Differentialgleichung liefert nach Trennung der Variablen mit der Anfangsbedingung v(t = 0) = 0 für Werte v(t) ≤ v st v ∫ v = 0 dv v − v 2 st 2 g = 2 v st ⎜ ⎛ b ⋅ 1 − ⎝ b min ⎞ ⎟ ⋅ ⎠ t ∫ t = 0 dt auf der linken Seite der Integralgleichung die folgende Lösung 18 : (4.231) v v dv 1 ⎛ v ⎞ ⎡ ⎛ ⎞ ⎛ st + v 1 vs + v vst ∫ = ⋅ ln ⎜ ⎟ = ⋅ ⎢ln ⎜ ⎟ − ln ⎜ 2 2 v − ⋅ ⎝ − ⎠ ⋅ ⎣ ⎝ − v = 0 st v 2 vst vst v 2 v 0 st vs v ⎠ ⎝ vst Die rechte Seite der Integralgleichung (4.331) ergibt: g 2 v st ⎛ b ⋅ ⎜1 − ⎝ b min ⎟ ⎠ ⎞ ⋅ t ∫ t = 0 g dt = 2 v st ⎛ b ⋅ ⎜1 − ⎝ b min ⎞ ⎟ ⋅ ⎠ Beide Integrale ergeben zusammen: 1 ⎛ vs + v ⎞ g ⎛ bmin ⎞ ⋅ ln 1 t 2 2 v ⎜ = ⋅ ⎜ − ⎟ ⋅ st vs v ⎟ ⋅ ⎝ − ⎠ vst ⎝ b ⎠ Auflösen nach v: ⎛ vst + v ⎞ 2 ⋅ g ⎛ b ln ⎜ = ⋅ ⎜1 − vst v ⎟ ⎝ − ⎠ vst ⎝ b v v v st st st min + v ⎡2 ⋅ g = ⎢ ⎜ ⎛ b exp ⋅ 1 − − v ⎣ v ⎝ b st min ⎞ ⎟ ⋅ t ⎠ ⎞ ⎤ ⎟ ⋅ t⎥ ⎠ ⎦ ⎡ + v = st ⎢ ⎜ ⎟ ⋅ t ⎣ vst ⎝ b ⎠ 2 ⋅ g ⎛ b ⎞ ⎤ ( − ) ⋅ ⋅ 1 − min v v exp ⎥ ⎦ ⎡2 ⋅ g ⎛ b v + v ⋅ exp⎢ ⋅ ⎜1 − ⎣ vst ⎝ b min ⎞ ⎟ ⋅ ⎠ ⎤ t⎥ = v ⎦ st t ⎡2 ⋅ g b ⋅ exp⎢ ⎜ ⎛ ⋅ 1 − ⎣ v ⎝ b st min ⎞ ⎤ ⎟ ⋅ t⎥ − v ⎠ ⎦ ⎧ ⎡2 ⋅ g ⎛ b ⎞ ⎤⎫ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨⎧ ⎡ ⋅ ⎛ ⎞ ⎤ ⎨ ⎢ ⋅ ⎜ − min 2 g b ⎟ ⋅ ⎥⎬ = ⋅ ⎢ ⋅ ⎜ − min v ⋅ 1+ exp 1 t vst exp 1 ⎟ ⋅ t⎥ −1 ⎩ ⎣ vst ⎝ b ⎠ ⎦ ⎭ ⎣ vst ⎝ b ⎠ ⎦ ⎭ Das ergibt die Zeitabhängigkeit der instationären Auslaufgeschwindigkeit: ⎡2 ⋅ g ⎛ bmin ⎞ ⎤ exp⎢ ⋅ ⎜1 − ⎟ ⋅ t 1 v b ⎥ − st v(t) v ⎣ ⎝ ⎠ = st ⋅ ⎦ ⎡2 ⋅ g ⎛ b ⎤ min ⎞ exp⎢ ⋅ ⎜1 − ⎟ ⋅ t + 1 vst b ⎥ ⎣ ⎝ ⎠ ⎦ Dies lässt sich mit der tanh-Funktion 19 deutlich vereinfachen: ⎞⎤ ⎟⎥ ⎠⎦ st 18 Siehe Ruge, P., Mathematik, S. A 47, in Czichos, H., Hütte, Springer Berlin 1991. Schüttec_4 VO Partikelmechanik und Schüttguttechnik, <strong>Trichterauslegung</strong> Prof. Dr. Jürgen Tomas, 04.06.2013
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