Trichterauslegung - Lehrstuhl Mechanische Verfahrenstechnik

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Für den einfachen Fall des stationären Fließens dv/dt = 0 läßt sich die obige
Differentialgleichung einfach auflösen:
⎞
⎜ ⎛ b
min,st
g ⋅ b ⋅ 1 −
⎟
⎝ b
v
⎠
st
(b) =
( 4.218)
⎡ 3⋅
b ⋅ρ ⋅
⎤
f
Eu
B
(vst
)
2 ⋅ (m+
1) ⋅ tan θ ⋅ ⎢1
+
2
⎥
⎣ 8⋅
d
ST⋅
ε ⋅ ρs⋅
(m+
1) ⋅ tan θ⎦
Für das stationäre Fließen sollte nun statt b min die etwas kleinere minimale
Öffnungsweite des stationäres Ausfließen b min,st gemäß Gl. ( 4.72) eingesetzt
werden. Man erkennt unmittelbar, daß bei einer ausgeführten Öffnungsweite
von exakt b = b min,st sich Brückenbildung ergeben würde - zumindest mit einer
50%igen Wahrscheinlichkeit. Die Auslaufgeschwindigkeit ist folglich v st = 0.
Die Reduzierung der stationären Auslaufgeschwindigkeit mit zunehmender
Druckdifferenz dp/(dh . B ρ . b u 2 ) lässt sich anhand des Durchströmungsterms mit
der EULER-Zahl Eu B (v st ) als Widerstand ebenfalls abschätzen. Wollte man
eine mögliche Sogwirkung eines äußeren Unterdruckes unterhalb des Ausflusses
berücksichtigen, wäre statt des (+dp) ein (-dp) Vorzeichen zu schreiben.
Diese inhomogene, nichtlineare Differentialgleichung erster Ordnung, Gl.(
4.217), lässt sich wegen der komplizierten nichtlineare Abhängigkeit von den
Durchströmungsbedingungen der Partikelschichten Eu B = Re(v(t)) nur numerisch
lösen, z.B. mit der RUNGE-KUTTA-Methode:
4.6.2.3 Numerische Lösung mit der RUNGE-KUTTA-Methode
Gleichung ( 4.217) wird unter Verwendung von Gl.( 4.241) umgeschrieben
dv
2(m+
1) ⋅ tan θ
( ) [ ] ⎞
⎜
⎛ ⋅ + ⋅
2 b
= = −
+ ⋅ − min
f (v,t)
1 cEu
v (t) g 1 ⎟ ( 4.219)
dt
b ⋅ 1−k
b⋅
d / b
⎝ b ⎠
mit dem Parameter c Eu , EULER-Zahl und REYNOLDS-Zahl:
3⋅
ρf
⋅ Eu
B(Re)
⋅ b ⋅ ( 1−
k
b⋅
d / b)
cEu =
( 4.220)
2
8⋅
d ⋅ε ⋅ ρ ⋅ (m+
1) ⋅ tan θ
ST
s
Eu
B
2
3
3
24
⎧
1 1 1
⎫
⎪
⎡ − ε ⎛ − ε ⎞ ⎤
⎪ 4
= ⋅ ⎨1
+ 0,692⋅
⎢
+ ⋅⎜
⎟ ⎥
3
3 ⎬ + ⋅
Re
⎢0,95
− 1− ε 2
0,95 1
Re
⎪⎩ ⎣
⎝ − − ε ⎠ ⎥
⎦⎪⎭
⎧
1,5
3
3
⎪ ⎛ 1− ε ⎞ ⎪
⎫ ⎛ 1− ε ⎞ 0,891
⋅ ⎨1
+ 0,12⋅⎜
⎟ + 0,4 + ⎜
⎟
⋅
3 ⎬
3
0,1
0,95 1
0,95 1
⎝ − − ε ⎠ Re
⎪⎩ ⎝ − − ε ⎠ ⎪⎭
( 4.221)
Re
v(t) ⋅ d ST
⋅ ρf
= ( 4.222)
ε ⋅ η
f
Für festzulegende Startwerte t 0 , v 0 , Endwerte t max , sowie der Anzahl der Funktionswerte
n und einer sich selbststeuernden Schrittweite (0 < α < 1
Schrittweitenfaktor, gewöhnlich α ≈ 0,9)
h= t / n
( 4.223)
max
Schüttec_4 VO Partikelmechanik und Schüttguttechnik, Trichterauslegung Prof. Dr. Jürgen Tomas, 04.06.2013