Trichterauslegung - Lehrstuhl Mechanische Verfahrenstechnik

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dx dt = (4.157) v dv ⎡ ⎛ F ⎞⎤ A v ⋅ = g ⋅ ⎢sin α − tan ϕW ⋅cosα⋅ ⎜1+ ⎟⎥ ( 4.158) dx ⎣ ⎝ cosα⋅ mbg ⎠⎦ und zwischen 0 bis v sowie von 0 bis x integriert: v ⎡ ⎛ F ⎞⎤ A ∫ v ⋅dv = g ⋅ ⎢sin α − tan ϕW ⋅cosα⋅ ⎜1+ ⎟⎥ ⋅ ⎣ ⎝ cosα⋅ m 0 bg ⎠⎦ 2 v ⎡ = g ⋅ ⎢sin α − tan ϕ 2 ⎣ Es ist also wiederum: W ⎛ F ⎤ A cos 1 ⎥ ⋅ x cos mbg ⎟ ⎞ ⋅ α⋅ ⎜ + ⎝ α⋅ ⎠⎦ x ∫ 0 dx 127 v = ⎡ ⎛ F ⎞⎤ A 2⋅g ⋅ x ⋅ ⎢sin α − tan ϕW ⋅cosα⋅⎜ 1+ ⎟ ⎥ ( 4.156) ⎣ ⎝ cosα⋅ mbg ⎠⎦ 4.5.1.2 Gleitbedingung auf der Wand Für die Gleitgeschwindigkeit v in Abhängigkeit von der Höhe h folgt gemäß h Bild 4.12 mit sin α = x v = h ⎡ 2⋅g ⋅ ⋅ ⎢sin α − tan ϕ sin α ⎣ W ⎛ FA ⋅cosα⋅⎜ 1+ ⎝ cosα⋅ m b ⎞⎤ ⎟ ⎥ g ⎠⎦ v = ⎡ tan ϕ 2⋅g ⋅ h ⋅ ⎢1 − ⎣ tan α W ⎛ FA ⋅ ⎜1+ ⎝ cosα⋅ m b ⎞⎤ ⎟⎥ g ⎠⎦ ( 4.159) F A = 0: Für ein kohäsionsloses, freifließendes rieselfähiges Schüttgut muss also der Neigungswinkel der Schurren α > φ w werden, damit Fließen oder Gleiten einsetzt und die Abgleitgeschwindigkeit v > 0 wird! tan ϕ ⎛ F ⎞ F A > 0: W A 1 1 tan ⎜ cos mbg ⎟ < FA tan α ⋅ + , < −1 α ⎝ α⋅ ⎠ cosα⋅ mbg tan ϕW Mit einem Additionstheorem der Winkelfunktionen ist: FA sin α sin α⋅cosϕW cosα⋅sin ϕW sin α − ϕ < − cosα = − = m g tan ϕ sin ϕ sin ϕ sin ϕ b sin W F A ( − ϕW ) > ⋅sin ϕW α mbg , A ⎜ ⎟ W W ⎝ mbg ⎠ W α − ϕ W ⎛ F > arcsin ⎜ ⋅sin ϕ ( ) Gleiten tritt mit merkbarer Geschwindigkeit v > 0 nur dann ein, wenn der Schurrenneigungswinkel groß genug ist 15 : α > ϕ W ⎛ F ⎞ A + arcsin ⎜ ⋅sin ϕW ⎟ ( 4.160) ⎝ mbg ⎠ ⎞ W W Schüttec_4 VO Partikelmechanik und Schüttguttechnik, <strong>Trichterauslegung</strong> Prof. Dr. Jürgen Tomas, 04.06.2013
128 Diese Bedingung gilt für die notwendige Restentleerung des Silos bei vergleichsweise flach geneigten Trichterwänden θ KF = 90° - α im Kernflußregime, siehe Bild 4.13. Außerdem geht die allgemeine Gl.( 4.160) für F A = 0 in die vorstehende Bedingung α > ϕ über. W 4.5.2 Gleitbedingung und Geschwindigkeit auf einer Böschung → Siehe „Füllen und Entleeren eines Bechers mit freifließendem Schüttgut“ Bild F 4.24 4.5.2.1 Geschwindigkeitsgesetze Beim stationären Abgleiten eines kohäsiven Schüttgutes auf einer geneigten Böschung mit innerer Reibung gehen, wie bei einer rauen Wand 15 , (1) der Schurrenneigungswinkel α → φ B in den Böschungswinkel, (2) der kinematische Wandreibungswinkel φ w → φ st in den stationären (inneren) Reibungswinkel und (3) die Wandhaftung F A → F H0,b in die Haftkraft unverfestigter Partikelkontakte des kohäsiven Schüttgut-Blockelementes über, siehe Gl.. Analog zur Gl.( 4.152) ergibt sich die Bewegungsgleichung des kohäsiven Schüttgut-Blockelementes auf der geneigten Böschung: ⎡ ⎛ F ⎤ H0,b ⎞ x = g ⋅ ⎢sin ϕB − tan ϕst ⋅cosϕB ⋅⎜ 1+ ⎟⎥ ( 4.161) ⎣ ⎝ cosϕB ⋅ mbg ⎠⎦ Das Geschwindigkeits-Weg/Höhe-Gesetz ( 4.156) erhält man aus dem Bewegungsgesetz ( 4.161), siehe Gl.( 4.159): v = ⎡ tan ϕ 2⋅g ⋅ h ⋅ ⎢1 − ⎣ tan ϕ st B ⎜ ⎛ F ⋅ 1+ ⎝ cosϕ H0,b B ⋅ m b ⎤ ⎟ ⎞ ⎥ g ⎠⎦ ( 4.162) Das Geschwindigkeits-Zeit-Gesetz folgt aus der ersten Integration mit der Anfangsbedingung v = 0 für t = 0, siehe auch Gl.( 4.153): ⎡ ⎛ FH0,b ⎞⎤ v = g ⋅ ⎢sin ϕB − tan ϕst ⋅cosϕB ⋅ ⎜1+ ⎥ ⋅ t ⎣ cos B mbg ⎟ ( 4.163) ⎝ ϕ ⋅ ⎠⎦ Die erneute Integration liefert das Weg-Zeit-Gesetz: 2 ⎡ ⎛ FH0,b ⎞⎤ t x = g ⋅ ⎢sin ϕB − tan ϕst ⋅cosϕB ⋅ ⎜1+ ⎥ ⋅ ⎣ cos B mbg ⎟ ( 4.164) ⎝ ϕ ⋅ ⎠⎦ 2 Umstellen nach t liefert die Zeit-Weg-Funktion t = ⎡ g ⋅ ⎢sin ϕ ⎣ B − tan ϕ st 2⋅ x ⋅cosϕ B ⎛ F ⋅ ⎜1+ ⎝ cosϕ H0,b B ⋅ m b ⎞⎤ ⎟⎥ g ⎠⎦ ( 4.165) Schüttec_4 VO Partikelmechanik und Schüttguttechnik, <strong>Trichterauslegung</strong> Prof. Dr. Jürgen Tomas, 04.06.2013
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Seite 13 und 14: 102 • Für diesen Wert müssen di
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Seite 63 und 64: 152 ist der Druckverlust weitestgeh
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