Trichterauslegung - Lehrstuhl Mechanische Verfahrenstechnik

dx
dt = (4.157)
v
dv ⎡
⎛ F ⎞⎤
A
v ⋅ = g ⋅ ⎢sin
α − tan ϕW ⋅cosα⋅
⎜1+
⎟⎥
( 4.158)
dx ⎣
⎝ cosα⋅
mbg
⎠⎦
und zwischen 0 bis v sowie von 0 bis x integriert:
v
⎡
⎛ F ⎞⎤
A
∫ v ⋅dv
= g ⋅ ⎢sin
α − tan ϕW
⋅cosα⋅
⎜1+
⎟⎥
⋅
⎣
⎝ cosα⋅
m
0
bg
⎠⎦
2
v ⎡
= g ⋅ ⎢sin
α − tan ϕ
2 ⎣
Es ist also wiederum:
W
⎛ F ⎤
A
cos 1
⎥ ⋅ x
cos mbg
⎟ ⎞
⋅ α⋅
⎜ +
⎝ α⋅ ⎠⎦
x
∫
0
dx
127
v =
⎡
⎛ F ⎞⎤
A
2⋅g
⋅ x ⋅ ⎢sin
α − tan ϕW ⋅cosα⋅⎜
1+
⎟
⎥
( 4.156)
⎣
⎝ cosα⋅
mbg
⎠⎦
4.5.1.2 Gleitbedingung auf der Wand
Für die Gleitgeschwindigkeit v in Abhängigkeit von der Höhe h folgt gemäß
h
Bild 4.12 mit sin α =
x
v =
h ⎡
2⋅g
⋅ ⋅ ⎢sin
α − tan ϕ
sin α ⎣
W
⎛ FA
⋅cosα⋅⎜
1+
⎝ cosα⋅
m
b
⎞⎤
⎟
⎥
g ⎠⎦
v =
⎡ tan ϕ
2⋅g
⋅ h ⋅ ⎢1
−
⎣ tan α
W
⎛ FA
⋅
⎜1+
⎝ cosα⋅
m
b
⎞⎤
⎟⎥
g ⎠⎦
( 4.159)
F A = 0: Für ein kohäsionsloses, freifließendes rieselfähiges Schüttgut muss also
der Neigungswinkel der Schurren α > φ w werden, damit Fließen oder Gleiten
einsetzt und die Abgleitgeschwindigkeit v > 0 wird!
tan ϕ ⎛ F ⎞
F A > 0: W A
1
1
tan
⎜
cos mbg
⎟ < FA
tan α
⋅ +
, < −1
α ⎝ α⋅ ⎠ cosα⋅
mbg
tan ϕW
Mit einem Additionstheorem der Winkelfunktionen ist:
FA
sin α sin α⋅cosϕW
cosα⋅sin
ϕW
sin α − ϕ
< − cosα =
−
=
m g tan ϕ
sin ϕ sin ϕ sin ϕ
b
sin
W
F
A
( − ϕW
) > ⋅sin
ϕW
α mbg
, A
⎜
⎟ W
W
⎝ mbg
⎠
W
α − ϕ
W
⎛ F
> arcsin ⎜
⋅sin
ϕ
( )
Gleiten tritt mit merkbarer Geschwindigkeit v > 0 nur dann ein, wenn der
Schurrenneigungswinkel groß genug ist 15 :
α > ϕ
W
⎛ F ⎞
A
+ arcsin ⎜ ⋅sin
ϕW
⎟
( 4.160)
⎝ mbg
⎠
⎞
W
W
Schüttec_4 VO Partikelmechanik und Schüttguttechnik, Trichterauslegung Prof. Dr. Jürgen Tomas, 04.06.2013