Trichterauslegung - Lehrstuhl Mechanische Verfahrenstechnik

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⎡
⎛ F ⎞⎤
A
x
= g ⋅ ⎢sin
α − tan ϕW
⋅cosα⋅
⎜1+
⎟⎥
( 4.152)
⎣
⎝ cosα⋅
mbg
⎠⎦
Das Geschwindigkeits-Zeit-Gesetz folgt aus der ersten Integration mit der
Anfangsbedingung v = 0 für t = 0:
v
∫
0
⎡
d x = v = g ⋅ ⎢sin
α − tan ϕ
⎣
W
⎛ FA
⋅cosα⋅
⎜1+
⎝ cosα⋅
m
b
⎞⎤
⎟⎥
⋅
g ⎠⎦
⎡
⎛ F ⎞⎤
A
v = g ⋅ ⎢sin
α − tan ϕW
⋅cosα⋅
⎜1+
⎟⎥
⋅ t
⎣
cos mbg
( 4.153)
⎝ α⋅ ⎠⎦
Die erneute Integration liefert das Weg-Zeit-Gesetz:
x
∫
0
⎡
dx = g ⋅ ⎢sin
α − tan ϕ
⎣
W
⎛ FA
⋅cosα⋅
⎜1+
⎝ cosα⋅
m
b
⎞⎤
⎟⎥
⋅
g ⎠⎦
t
∫
0
t
∫
0
t dt
2
⎡
⎛ F ⎞⎤
A
t
x = g ⋅ ⎢sin
α − tan ϕW
⋅cosα⋅
⎜1+
⎥ ⋅
⎣
cos mbg
⎟
( 4.154)
⎝ α⋅ ⎠ ⎦ 2
Umstellen nach t liefert die Zeit-Weg-Funktion
2
2⋅
x
t =
⎡
⎛ F ⎞⎤
A
g ⋅ ⎢sin
α − tan ϕW
⋅cosα⋅
⎜1+
⎟⎥
⎣
⎝ cosα⋅
mbg
⎠⎦
t =
⎡
g ⋅ ⎢sin
α − tan ϕ
⎣
W
2⋅
x
⎛ FA
⋅cosα⋅
⎜1+
⎝ cosα⋅
m
b
⎞⎤
⎟⎥
g ⎠⎦
dt
( 4.155)
und Einsetzen in das Geschwindigkeits-Zeit-Gesetz, Gl.( 4.153), liefert das
Geschwindigkeits-Weg-Gesetz:
⎡
v = g⎢sin
α − tan ϕ
⎣
W
⎛ F ⎞⎤
A
cosα
⎜1+
⎟⎥ ⋅
⎝ cosα⋅
mbg
⎠⎦
⎡
g⎢sin
α − tan ϕ
⎣
W
2⋅
x
⎛ F ⎞⎤
A
cosα
⎜1+
⎟⎥
⎝ cosα⋅
mbg
⎠⎦
v =
⎡
⎤
2
⎛ F ⎞
A
2⋅
x ⋅g
⋅ ⎢sin
α − tan ϕW
⋅cosα⋅
⎜1+
⎟⎥
⎣
⎝ cosα⋅
mbg
⎠⎦
⎡
⎛ F ⎞⎤
A
g ⋅ ⎢sin
α − tan ϕW
⋅cosα⋅
⎜1+
⎟⎥
⎣
⎝ cosα⋅
mbg
⎠⎦
2
v =
⎡
⎛ F ⎞⎤
A
2⋅g
⋅ x ⋅ ⎢sin
α − tan ϕW ⋅cosα⋅
⎜1+
⎟⎥
( 4.156)
⎣
⎝ cosα⋅
mbg
⎠⎦
Deutlich bequemer und kürzer: Dieses Geschwindigkeits-Weg-Gesetz (
4.156) erhält man auch direkt aus dem Bewegungsgesetz ( 4.152), wenn man
das Zeitinkrement dt durch das Weginkrement dx ersetzt 15
Schüttec_4 VO Partikelmechanik und Schüttguttechnik, Trichterauslegung Prof. Dr. Jürgen Tomas, 04.06.2013