Trichterauslegung - Lehrstuhl Mechanische Verfahrenstechnik

G
⎛ dψ
⎞
⎜ dn ⎟ =
⎝ x ⎠
( ϕ ) = 4⋅
lim⎜
⎟ 0
i
n →1
x
117
( 4.128)
Es sind keine stabilen Schächte möglich!
1 1
2) ≤ sinϕ i
≤ , d.h. 19,5° ≤ϕi
≤30°
3 2
Mit der Transformation ζ = 1/n x , wobei für 1 ≤ n x < ∞ der Wertebereich 0
≤ ζ ≤ 1 wird, sowie mit den zusätzlichen Startbedingungen
cos
1−sinϕ
i
ψ
1=
und ( 4.129)
2sinϕi
dψ
1+
sinϕi
2
lim = − ⋅ 3sin ϕ
i+
2sinϕi−1
( 4.130)
ζ 0
2
dζ
2cos ϕ
ψ →
→ψ1
i
läßt sich die transformierte Differentialgleichung
dψ
( 1−sinϕi ) −sinϕi⋅
cos2ψ+ζ⋅
( 1+
sinϕi
)
=
⋅ sin2ψ
( 4.131)
dζ
4ζ(
ζ−1)
⋅ cos2ψ−sinϕ
( )
numerisch lösen.
1
3) sin 1
2
≤ ϕ < , d.h. 30° ≤ϕ < 90°
i i
Mit den adäquaten Startbedingungen
i
ζ = ⋅sin
ϕ 1
und ( 4.132)
2
2
i−
lim
ζ →ζ2
π ϕi
ψ→ −
4 2
dψ
=
dζ
8 ⋅
cos ϕ
( )
i
( 2 sin 1) ( 1 sin ) sin sin 2
⋅ ϕ 8 sin 4
i−
ϕi+
⋅ ϕi−
⋅ ϕ − ⋅ − ϕ
i
i
( 4.133)
läßt sich die transformierte Differentialgleichung ( 4.131) ebenfalls numerisch
lösen.
Diese Lösungen sind in der Funktion G(ϕ i ) zusammengefasst und im Bild F
4.22 aufgetragen worden.
4.2.1.6 Analytische Näherung der Funktion G(ϕ i )
Wie beim Fließfaktor ff siehe Gln.( 4.24) bis ( 4.28), lässt sich die Funktion
G(ϕ i ) vereinfacht auch analytisch annähern (innerer Reibungswinkel ϕ i in grd):
Für ϕ i < 19,5°: G(ϕ i ) = 1 ( 4.134)
Für ϕ i ≥ 19,5°: G(
ϕ ) ≈ 0,143⋅
ϕ − 2
( 4.135)
i
i
4.2.2 Maximaler Trichterneigungswinkel und Spannungsspitze
Siehe auch Bild F 4.17:
• Der Trichterneigungswinkel zur Horizontalen α
KF
= 90° − θKF
> ϕw
muss
größer sein als der Rutschwinkel bzw. kinematische Wandreibungswinkel.
Diese Fließbedingung soll sicherstellen, dass sich kein Rückstand auf der
Schüttec_4 VO Partikelmechanik und Schüttguttechnik, Trichterauslegung Prof. Dr. Jürgen Tomas, 04.06.2013