Trichterauslegung - Lehrstuhl Mechanische Verfahrenstechnik

Liefert große λ → daher zur Bemessung von Stahlbetonwänden geeignet
(siehe dazu die Baustatik)
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4.2.1.5 Ringspannungen im stabilen Schacht
Aus den Spannungsfeldgleichungen des rotationssymmetrischen Spannungszustandes
Gl.(3.5) Schüttec_3.doc - Spannungsfeld_x und Gl.(3.6) Schüttec_3.doc
- Spannungsfeld_y folgt analog der Vorgehensweise von Gl.(3.221)
Schüttec_3.doc - Spannungsfeld_Lösung eine nichtlineare Differentialgleichung
erster Ordnung für die Verteilung der Ringspannung in der stabilen
(stehenden) Schachtwand n x (ψ) mit der dimensionslosen Koordinatentransformation
jenseits (außerhalb) des Schachtdurchmessers b S (JENIKE 1961,
MOLERUS 1985) 6, 7 :
2
⎛ x ⎞
n
x
= ⎜ ≥1
bS
/ 2
⎟
( 4.123)
⎝ ⎠
1
( 1−sinϕi
) −sinϕi⋅
cos2ψ+
⋅ ( 1+
sinϕi
)
dψ
nx
sin2ψ
=
⋅
( 4.124)
dnx
4⋅
( cos2ψ−sinϕi
) nx−1
Mit der Randbedingung
ψ ( n x
= 1) = 0 , ( 4.125)
dψ
... sin 2ψ
... 0
die aber wegen (nx
= 1) = ⋅ = ⋅ singulär ist. Für den stabilen
dnx
... nx−1
... 0
Schacht mit seiner Druckfestigkeit σ c kann auch folgende Grenzwertbetrachtung
angestellt werden:
ρ
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
b⋅
g⋅
bS
1 sin2ψ
dψ
0<
= ⋅ lim⎜
⎟ = lim⎜
⎟
( 4.126)
4⋅
σ
n →1
⎝ − n →1
c
2 x nx
1
x
⎠ ⎝ dnx
⎠
und der nun formell in der Funktion G(ϕ i ) kurz gefaßt werden soll:
G
⎛ dψ
⎞
⎝ dnx
⎠
( ϕ ) = 4 ⋅ lim⎜
⎟
i
n →1
x
( 4.127)
Für die Gln.( 4.124) und ( 4.127) lassen sich nun folgende Gültigkeitsbereiche
abgrenzen, siehe Bild F 4.22:
1
1) 0≤ sinϕi ≤ , d.h. 0 ≤ ϕi
≤ 19, 5°
3
Jede Lösung führt zu begrenzten plastischen Feldern.
6 Jenike, A. W., Gravity flow of bulk solids, p. 148ff, Eng. Exp. Station Bull. No. 108, Univ.
Utah, 1961
7 Molerus, O., Schüttgutmechanik - Grundlagen und Anwendungen in der Verfahrenstechnik,
S. 215ff, Springer Verlag, Berlin 1985
Schüttec_4 VO Partikelmechanik und Schüttguttechnik, Trichterauslegung Prof. Dr. Jürgen Tomas, 04.06.2013