Trichterauslegung - Lehrstuhl Mechanische Verfahrenstechnik
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−n<br />
0<br />
Zur Gewinnung einer analytischen Näherung ist mit ( 1+<br />
p / σ ) → 0<br />
ρ<br />
ρ<br />
ρ<br />
ρ<br />
b<br />
b,0<br />
b<br />
b,0<br />
⎛ 1<br />
=<br />
⎜<br />
⎝1+<br />
sin ϕ<br />
st<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
n<br />
n<br />
⎪⎧<br />
ρ<br />
⋅ ⎨<br />
⎪⎩ σ0<br />
⋅<br />
b,0<br />
⋅ g ⋅ H<br />
63<br />
( 1+<br />
sin ϕ )<br />
2<br />
n<br />
1−n<br />
⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎪⎧<br />
ρ<br />
=<br />
⎜<br />
⋅ ⎨<br />
1 sin<br />
⎟<br />
⎜<br />
st<br />
1 sin<br />
⎟<br />
⎝ + ϕ ⎠ ⎝ + ϕst<br />
⎠ ⎪⎩<br />
2<br />
n n<br />
Mit den Exponenten: + n =<br />
1 − n<br />
st<br />
n<br />
⎡ ⎛<br />
⎢1<br />
− exp<br />
⎜ −<br />
⎣ ⎝<br />
b,0<br />
H<br />
H<br />
63<br />
v<br />
⎞⎤⎪⎫<br />
⎟⎥⎬<br />
⎠⎦⎪⎭<br />
n<br />
1−n<br />
:<br />
n<br />
1−n<br />
⋅ g ⋅ H ⎡<br />
63 ⎛ H ⎞⎤⎪⎫<br />
⎢1<br />
− exp<br />
⎜ − ⎥⎬<br />
0 ⎣ H<br />
⎟<br />
σ<br />
⎝ 63 ⎠⎦⎪⎭<br />
2<br />
2<br />
+ n ⋅ (1 − n) n + n − n n<br />
=<br />
=<br />
1 − n 1 − n 1 − n<br />
Die Höhenabhängigkeit der Schüttgutdichte ρ b = f(H) ist für H/D > 1,5:<br />
ρ<br />
ρ<br />
b<br />
b,0<br />
⎪⎧<br />
ρ<br />
≈ ⎨<br />
⎪⎩<br />
σ0<br />
⋅<br />
b,0<br />
⋅ g ⋅ H<br />
63<br />
( 1+<br />
sin ϕ )<br />
st<br />
⎡ ⎛<br />
⎢1<br />
− exp<br />
⎜ −<br />
⎣ ⎝<br />
H<br />
H<br />
63<br />
2<br />
⎞⎤⎪⎫<br />
⎟⎥⎬<br />
⎠⎦⎪⎭<br />
n<br />
1−n<br />
(4.118)<br />
Die Schüttgutdichte nimmt für ein kompressibles Pulver deutlich mit der Füllhöhe<br />
zu. Abweichend von Gl.(4.117) ist durch die Vereinfachung ρ b (H=0) = 0.<br />
115<br />
4.2.1.4 Berechnung des Horizontaldruckverhältnisses λ<br />
(1) Das Horizontaldruckverhältnis λ kennzeichnet die Druckanisotropie eines<br />
Schüttgutes gegenüber dem isostatischen Druckverhalten eines Fluides mit<br />
p v = p h und λ = 1, siehe Bild F 4.21, da gilt:<br />
ph 0 < = λ < 1<br />
( 4.119)<br />
p<br />
v<br />
(2) Voraussetzung p v = σ 1 und p h = σ 2 sind Hauptspannungen, d.h. nur in der<br />
Achse des Schaftes erfüllt!<br />
σR<br />
σ1<br />
− σ2<br />
Es ist sin ϕ<br />
e<br />
= =<br />
( 4.8)<br />
σM<br />
σ1<br />
+ σ2<br />
σ<br />
1<br />
sin ϕe<br />
− σ1<br />
= −σ2<br />
− σ2<br />
⋅ sin ϕe<br />
σ<br />
1<br />
⋅ ( 1−<br />
sin ϕe<br />
) = σ2<br />
⋅ ( 1+<br />
sin ϕe<br />
)<br />
im aktiven Spannungszustand p v ≈ σ 1 bzw. p h ≈ σ 2 , siehe Bild F 4.21<br />
σ2<br />
1−<br />
sin ϕe<br />
ph<br />
= λ = ≈<br />
( 4.120)<br />
σ 1+<br />
sin ϕ p<br />
1<br />
e<br />
v<br />
(3) allgemeiner Fall der Berücksichtigung der Wandreibung → für den aktiven<br />
Spannungszustand<br />
1−<br />
sin<br />
ϕ<br />
− ∆<br />
2<br />
2<br />
2<br />
( 1- sin ϕ ) ⋅ ( sin ϕ − sin ϕ )<br />
2<br />
w<br />
λ =<br />
wenn ∆ =<br />
2<br />
1+<br />
sin ϕw<br />
+ ∆<br />
w<br />
e<br />
w ( 4.121)<br />
Liefert kleine λ und großes p v → daher Verwendung von gewöhnlich λ (3) für<br />
Berechnung von Trichterlasten, Drücke auf Austragsgeräte usw.<br />
(4) Um einen großen Horizontaldruck p h (aktiv) zu erhalten, Bild F 4.21, Verwendung<br />
eines empirischen sog. Ruhedruckbeiwertes<br />
λ = ,2 ⋅ (1 − sin )<br />
( 4.122)<br />
0<br />
1 ϕe<br />
Schüttec_4 VO Partikelmechanik und Schüttguttechnik, <strong>Trichterauslegung</strong> Prof. Dr. Jürgen Tomas, 04.06.2013
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