Trichterauslegung - Lehrstuhl Mechanische Verfahrenstechnik

p
1+
σ
⎛ p
⎜1+
⎝ σ
⎛
⎜1
⎝
⎛ p
=
⎜1+
⎝ σ
⎞
⎟
⎠
n
ρ
⋅ g ⋅ H
⎡ ⎛ H
⎢1
− exp
⎜ −
⎣ ⎝ H
⎞⎤
⎟
⎠⎦
v v b,0 63
⎟
n
⎥ +
0
0 σ0
⋅ ( 1+
sinϕst
)
⎟
63
v
0
⎞
⎟
⎠
1−n
ρ
=
σ ⋅
0
b,0
⋅ g ⋅ H
63
( 1+
sin ϕ )
st
n
⎡ ⎛
⎢1
− exp
⎜ −
⎣ ⎝
H
H
63
1
⎞⎤
⎛ p
⎟⎥
+
⎜1+
⎠⎦
⎝ σ
1
−n
1−n
p ⎞
v ⎪⎧
ρb,0
⋅ g ⋅ H ⎡
63 ⎛ H ⎞⎤
⎛ p ⎞
v ⎪⎫
+ ⎟ = ⎨
1 exp
1
n ⎢ −
⎥ + ⎬
0 0
( 1 sin
st
)
⎜ −
H
⎟
⎜ +
⎟ (4.112)
σ σ ⋅ + ϕ
63
σ0
⎠
⎪⎩
⎣
⎝
Die Höhenabhängigkeit des Fülldruckes p v (H) ist somit für ein kompressibles
Pulver:
p
v
⎪⎧
ρ
= σ0
⎨
⎪⎩
σ0
⋅
b,0
⋅ g ⋅ H
63
( 1 + sinϕ
)
st
n
⎡ ⎛
⎢1
− exp
⎜ −
⎣ ⎝
H
H
63
⎠⎦
⎝
⎞⎤
⎛ p
⎟⎥
+
⎜1
+
⎠⎦
⎝ σ
v
0
⎞
⎟
⎠
−n
⎠
v
0
⎪⎫
⎬
⎪⎭
⎞
⎟
⎠
−n
⎪⎭
1
1−n
− σ
0
(4.113)
Gl.(4.113) läßt sich wegen p v,i+1 = f(p v,i ) nur iterativ lösen. Praktisch ist in Silos
p v >> σ 0 und deshalb ist der rechte Term ( 1 p /
−
+ ) n
v
σ klein gegenüber dem
linken Term in der [..]-Klammer, so dass man die Höhenabhängigkeit des Fülldruckes
p v = f(H) auch analytisch berechnen kann:
p
1
1−n
⎪⎧
ρb,0
⋅ g ⋅ H ⎡
63 ⎛ H ⎞⎤⎪⎫
v
≈ σ0
⋅ ⎨ 1 exp
n ⎢ −
⎥
0
( 1 sin
st
)
⎜ − ⎬
H
⎟
(4.114)
σ ⋅ + ϕ
63 ⎦
⎪⎩
Der Horizontaldruck ist dann wegen p h = λ . p v :
⎣
⎝
⎠
⎪⎭
0
114
p
h
1
1−n
⎪⎧
ρb,0
⋅ g ⋅ H ⎡
63 ⎛ H ⎞⎤⎪⎫
≈ λ0
⋅ σ0
⋅ ⎨
1 exp
n ⎢ − − ⎥⎬
0
( 1 sin
st
)
H
⎟
(4.115)
σ ⋅ + ϕ
63
⎪⎩
⎣
⎜ ⎜ ⎝
⎠⎦⎪⎭
Für ρ b = f(H) setzt man Gl.(4.112) in die Kompressionsfunktion Gl.(4.67) ein
n
−n
⎛ p ⎞
v ⎪⎧
ρb,0
⋅ g ⋅ H ⎡
63 ⎛ H ⎤ p ⎞
v ⎪⎫
1 ⎨
1 exp
1
n
⎬
0
0
( 1 sin
st
)
H ⎜ ⎛
⎢ ⎟ ⎞
⎜ +
⎟ =
−
⎜ − ⎥ + +
⎟
⎝ σ ⎠ ⎪⎩
σ ⋅ + ϕ ⎣ ⎝ 63 ⎠⎦
⎝ σ0
⎠ ⎪⎭
und es folgt mit p v (ρ b , H), Gl. (4.103), die Höhenabhängigkeit der Schüttgutdichte
eines kompressiblen Pulvers in einem Siloschaft als Iterationsgleichung
ρ b,i+1 = f(H, ρ b,i ):
ρ
ρ
⎧
n
⎛
b
1 ⎞ ⎪ ρb,0
⋅ g ⋅ H ⎡
63 ⎛ H ⎞⎤
⎛ pv(
ρb,
H)
=
⎜ ⎨
1 exp
1
n
b,0
1 sin
⎟
⎢ − ⎥ +
st 0( 1 sin
st
)
⎜ −
H
⎟
⎜ +
+ ϕ σ + ϕ
63 ⎦ σ0
⎝
⎠
⎪⎩
Die Plausibilität wird wiederum für H = 0 überprüft und es folgt
ρ
⎣
⎝
⎠
⎝
n
1−n
⎞
⎟
⎠
(4.116)
b,0
ρ
b(H
= 0) =
(4.117)
( 1+
sinϕ
) n
st
siehe auch Gl. (4.67) für p v = σ 1 = 0.
−n
⎪
⎫
⎬
⎪⎭
n
1−n
Schüttec_4 VO Partikelmechanik und Schüttguttechnik, Trichterauslegung Prof. Dr. Jürgen Tomas, 04.06.2013