Trichterauslegung - Lehrstuhl Mechanische Verfahrenstechnik

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ρ ρ b b,0 ⎛ sinϕ ⎞ i = ⎜ sin st sin ⎟ ⎝ ϕ + ϕi ⎠ n ⎡ρ ⋅ ⎢ ⎢ σ ⎣ b,0 0 ⎛ sinϕi ⋅ ⎜ ⎝ sinϕst + sinϕ i n ⎞ ⎛ ρb ⎟ g ⋅ H + ⎜1+ ⎠ ⎝ ⋅ g ⋅ H ⎞ ⎟ σ0 ⎠ (4.109) Die Plausibilität wird für H = 0 überprüft und es folgt n ⎛ sinϕ ⎞ i ρ b( H = 0) = ⎜ ⋅ρb,0 sin st sin ⎟ (4.110) ⎝ ϕ + ϕi ⎠ siehe auch Gl.(4.105) für σ iso = 0. Zur Gewinnung einer analytischen Näherung ist mit ( 1+ ρ ⋅ g ⋅ H / σ ) → 0 b −n −n 0 ⎤ ⎥ ⎥⎦ n 1−n 113 : ρ ρ b b,0 ⎛ sinϕ ⎞ i ≈ ⎜ sin st sin ⎟ ⎝ ϕ + ϕi ⎠ n ⎡ρ ⋅ ⎢ ⎢ σ ⎣ b,0 0 ⎛ sinϕ ⎞ i ⋅ ⎜ sin st sin ⎟ ⎝ ϕ + ϕi ⎠ n ⎤ ⋅ g ⋅ H⎥ ⎥⎦ n 1−n ρ ρ b b,0 n ⎛ sinϕ ⎞ i sin ⎞ i sin st sin ⎜ ⎛ ϕ ≈ ⎜ ⎟ ⋅ i sin st sin ⎟ ⎝ ϕ + ϕ ⎠ ⎝ ϕ + ϕi ⎠ 2 n n Mit den Exponenten: + n = 1 − n 2 n 1−n 2 ⎡ρb,0 ⎤ ⋅ ⎢ ⋅ g ⋅ H⎥ ⎣ σ0 ⎦ + n ⋅ (1 − n) n = 1 − n n 1−n 2 + n − n 1 − n 2 n = 1 − n Die Höhenabhängigkeit der Schüttgutdichte ρ b = f(H) ist für H/D < 1,5: ρ ρ b b,0 Wegen ⎛ sinϕi ≈ ⎜ ⎝ sinϕst + sinϕ b n 1 n H − i ρ ⋅ b,0 ⋅ g ⋅ H ⎞ ⎟ σ0 ⎠ n 1−n (4.111) ρ ∝ nimmt die Schüttgutdichte für ein kompressibles Pulver deutlich mit der Schütthöhe zu. Abweichend von Gl.(4.110) ist durch die Vereinfachung ρ b (H=0) = 0. 4.2.1.3 Kompressibles Pulver und Vertikaldruck p v (H) im Schaft Für die Berechnung der höhen- und dichteabhängigen Verfestigungsspannung wird der Vertikaldruck p v bzw. die größte Hauptspannung σ 1 bei Füllen ausgewählt, denn beim aktiven Spannungsfeld gilt zumindest in der Hauptachse des vertikalen Schaftes p v = σ 1 . Dazu müssen die Gl.(4.103) und die Kompressionsfunktion Gl.(4.67) miteinander kombiniert werden: ⎡ ⎛ H ⎞⎤ p v = ρ b ⋅ g ⋅ H63 ⋅ ⎢1 − exp ⎜ − ⎟⎥ (4.103) ⎣ ⎝ H63 ⎠⎦ n n ρb,krit ⎛ 1 ⎞ ⎛ σ1,krit ⎞ = ⎜ 1 b,0 1 sin ⎟ ⋅ ⎜ + ⎟ (4.67) ρ ⎝ + ϕst ⎠ ⎝ σ0 ⎠ Nach Einsetzen von Gl.(4.67) in Gl.(4.103) gilt mit p v ≈ σ 1 : n ⎛ p ⎞ ρ ⎡ ⎤ b,0 ⋅ g ⋅ H ⎢ ⎥ ( ) ⎟ ⎞ ⎜ ⎛ v 63 H p v = ⎜1+ ⎟ 1 n − exp − ⎝ σ0 ⎠ 1+ sinϕst ⎣ ⎝ H63 ⎠ ⎦ Schüttec_4 VO Partikelmechanik und Schüttguttechnik, <strong>Trichterauslegung</strong> Prof. Dr. Jürgen Tomas, 04.06.2013
p 1+ σ ⎛ p ⎜1+ ⎝ σ ⎛ ⎜1 ⎝ ⎛ p = ⎜1+ ⎝ σ ⎞ ⎟ ⎠ n ρ ⋅ g ⋅ H ⎡ ⎛ H ⎢1 − exp ⎜ − ⎣ ⎝ H ⎞⎤ ⎟ ⎠⎦ v v b,0 63 ⎟ n ⎥ + 0 0 σ0 ⋅ ( 1+ sinϕst ) ⎟ 63 v 0 ⎞ ⎟ ⎠ 1−n ρ = σ ⋅ 0 b,0 ⋅ g ⋅ H 63 ( 1+ sin ϕ ) st n ⎡ ⎛ ⎢1 − exp ⎜ − ⎣ ⎝ H H 63 1 ⎞⎤ ⎛ p ⎟⎥ + ⎜1+ ⎠⎦ ⎝ σ 1 −n 1−n p ⎞ v ⎪⎧ ρb,0 ⋅ g ⋅ H ⎡ 63 ⎛ H ⎞⎤ ⎛ p ⎞ v ⎪⎫ + ⎟ = ⎨ 1 exp 1 n ⎢ − ⎥ + ⎬ 0 0 ( 1 sin st ) ⎜ − H ⎟ ⎜ + ⎟ (4.112) σ σ ⋅ + ϕ 63 σ0 ⎠ ⎪⎩ ⎣ ⎝ Die Höhenabhängigkeit des Fülldruckes p v (H) ist somit für ein kompressibles Pulver: p v ⎪⎧ ρ = σ0 ⎨ ⎪⎩ σ0 ⋅ b,0 ⋅ g ⋅ H 63 ( 1 + sinϕ ) st n ⎡ ⎛ ⎢1 − exp ⎜ − ⎣ ⎝ H H 63 ⎠⎦ ⎝ ⎞⎤ ⎛ p ⎟⎥ + ⎜1 + ⎠⎦ ⎝ σ v 0 ⎞ ⎟ ⎠ −n ⎠ v 0 ⎪⎫ ⎬ ⎪⎭ ⎞ ⎟ ⎠ −n ⎪⎭ 1 1−n − σ 0 (4.113) Gl.(4.113) läßt sich wegen p v,i+1 = f(p v,i ) nur iterativ lösen. Praktisch ist in Silos p v >> σ 0 und deshalb ist der rechte Term ( 1 p / − + ) n v σ klein gegenüber dem linken Term in der [..]-Klammer, so dass man die Höhenabhängigkeit des Fülldruckes p v = f(H) auch analytisch berechnen kann: p 1 1−n ⎪⎧ ρb,0 ⋅ g ⋅ H ⎡ 63 ⎛ H ⎞⎤⎪⎫ v ≈ σ0 ⋅ ⎨ 1 exp n ⎢ − ⎥ 0 ( 1 sin st ) ⎜ − ⎬ H ⎟ (4.114) σ ⋅ + ϕ 63 ⎦ ⎪⎩ Der Horizontaldruck ist dann wegen p h = λ . p v : ⎣ ⎝ ⎠ ⎪⎭ 0 114 p h 1 1−n ⎪⎧ ρb,0 ⋅ g ⋅ H ⎡ 63 ⎛ H ⎞⎤⎪⎫ ≈ λ0 ⋅ σ0 ⋅ ⎨ 1 exp n ⎢ − − ⎥⎬ 0 ( 1 sin st ) H ⎟ (4.115) σ ⋅ + ϕ 63 ⎪⎩ ⎣ ⎜ ⎜ ⎝ ⎠⎦⎪⎭ Für ρ b = f(H) setzt man Gl.(4.112) in die Kompressionsfunktion Gl.(4.67) ein n −n ⎛ p ⎞ v ⎪⎧ ρb,0 ⋅ g ⋅ H ⎡ 63 ⎛ H ⎤ p ⎞ v ⎪⎫ 1 ⎨ 1 exp 1 n ⎬ 0 0 ( 1 sin st ) H ⎜ ⎛ ⎢ ⎟ ⎞ ⎜ + ⎟ = − ⎜ − ⎥ + + ⎟ ⎝ σ ⎠ ⎪⎩ σ ⋅ + ϕ ⎣ ⎝ 63 ⎠⎦ ⎝ σ0 ⎠ ⎪⎭ und es folgt mit p v (ρ b , H), Gl. (4.103), die Höhenabhängigkeit der Schüttgutdichte eines kompressiblen Pulvers in einem Siloschaft als Iterationsgleichung ρ b,i+1 = f(H, ρ b,i ): ρ ρ ⎧ n ⎛ b 1 ⎞ ⎪ ρb,0 ⋅ g ⋅ H ⎡ 63 ⎛ H ⎞⎤ ⎛ pv( ρb, H) = ⎜ ⎨ 1 exp 1 n b,0 1 sin ⎟ ⎢ − ⎥ + st 0( 1 sin st ) ⎜ − H ⎟ ⎜ + + ϕ σ + ϕ 63 ⎦ σ0 ⎝ ⎠ ⎪⎩ Die Plausibilität wird wiederum für H = 0 überprüft und es folgt ρ ⎣ ⎝ ⎠ ⎝ n 1−n ⎞ ⎟ ⎠ (4.116) b,0 ρ b(H = 0) = (4.117) ( 1+ sinϕ ) n st siehe auch Gl. (4.67) für p v = σ 1 = 0. −n ⎪ ⎫ ⎬ ⎪⎭ n 1−n Schüttec_4 VO Partikelmechanik und Schüttguttechnik, <strong>Trichterauslegung</strong> Prof. Dr. Jürgen Tomas, 04.06.2013
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Seite 11 und 12: 100 Hier wird kein Sicherheitswert
Seite 13 und 14: 102 • Für diesen Wert müssen di
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Seite 45 und 46: Die vertikale Beschleunigung a der
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Seite 57 und 58: wird die Funktionskette Auslauftric
Seite 59 und 60: 1 exp(2x) + 1 y = cosh(x) = ⋅ 2 e
Seite 61 und 62: 150 Damit dürfte für die Durchstr
Seite 63 und 64: 152 ist der Druckverlust weitestgeh
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Seite 67 und 68: 8(m+ 1)tan θ ⎛ b − ⋅ g 1 b
Seite 69 und 70: ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 2 2 ( ) ⎜ t 2 2
Seite 71 und 72: 2a ⋅ = 2a ⋅ 2 b + b − 4ac 2 (
Seite 73 und 74: Um das Weg-Zeit-Gesetz h = f(t) zu
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c / b' ⋅t76,lam c / b' ⋅t = ⎛
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166 4.6.3 Plausibilitätsprüfung u
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168 In diese einfache Differentialg
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170 und mit dem charakteristischen
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172 instationären Anteils bei Mess
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Schüttec_4 VO Partikelmechanik und
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180 Λ r , Λ ax radialer und axial
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182 g) Austragschurre mit Klauenheb
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