Trichterauslegung - Lehrstuhl Mechanische Verfahrenstechnik
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112<br />
Wandreibungswiderstandes p w →0 bei diesem Belastungsfall linear mit der<br />
Füllhöhe H zu:<br />
iso<br />
b<br />
( σ ) ⋅ g ⋅ H<br />
σ = ρ<br />
(4.104)<br />
iso<br />
In diese Gl.(4.104) wird die Kompressionsfunktion ρ b = f(σ iso ) mit dem isostatischen<br />
Druck, Gl.(4.105), siehe Schüttec_3.doc#Rhob_Sigmaiso, eingesetzt:<br />
ρ<br />
ρ<br />
b i<br />
1<br />
b,0<br />
⎛ sin ϕ ⎞<br />
=<br />
⎜<br />
sin<br />
st<br />
sin<br />
⎟<br />
⎝ ϕ + ϕi<br />
⎠<br />
n<br />
⎛<br />
⋅<br />
⎜<br />
⎝<br />
σ<br />
+<br />
σ<br />
iso<br />
0<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
n<br />
(4.105)<br />
σ<br />
= ρ<br />
⎛<br />
⋅⎜<br />
⎝<br />
sin ϕ<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
n<br />
⎜ ⎛ σ<br />
⋅ 1+<br />
⎝<br />
i<br />
iso<br />
iso b,0 ⎜<br />
:<br />
sin ϕst<br />
+ sin ϕ ⎟ ⎟<br />
i<br />
σ0<br />
n<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
n<br />
⋅g<br />
⋅ H<br />
σ ρb,0<br />
⎛<br />
iso<br />
sin ϕ ⎞ ⎛<br />
i<br />
σ ⎞<br />
iso<br />
= ⋅<br />
⎜<br />
1 ⋅g<br />
⋅ H + 1<br />
0 0<br />
sin<br />
st<br />
sin<br />
⎟ ⋅<br />
⎜ +<br />
⎟<br />
σ σ ⎝ ϕ + ϕi<br />
⎠ ⎝ σ0<br />
⎠<br />
σ<br />
ρ<br />
⎛<br />
⎜<br />
sin ϕ<br />
⎞<br />
⎟<br />
n<br />
⎛<br />
⎜<br />
1 iso b,0<br />
i<br />
iso<br />
iso<br />
+ = ⋅<br />
⋅ 1 g H 1 : 1<br />
0 0<br />
sin<br />
st<br />
sin ⎜ + ⋅ ⋅ + ⎜ +<br />
σ σ ⎜<br />
⎟ ⎟<br />
⎟ ⎝ ϕ + ϕi<br />
⎠ ⎝ σ0<br />
⎠<br />
⎝ σ0<br />
⎠<br />
1−n<br />
n<br />
−n<br />
⎛ σ<br />
⎜1+<br />
⎝ σ<br />
1<br />
iso b,0<br />
i<br />
g H 1<br />
0<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
ρ<br />
=<br />
σ<br />
0<br />
⎛ sin ϕ<br />
sin<br />
st<br />
sin ⎟ ⎞<br />
⋅<br />
⎜<br />
⎝ ϕ + ϕi<br />
⎠<br />
⋅<br />
σ<br />
n<br />
⋅<br />
⎞<br />
⎟<br />
n<br />
⎛<br />
+<br />
⎜<br />
⎝<br />
σ<br />
+<br />
σ<br />
1<br />
n<br />
−n<br />
1−n<br />
σ ⎡ρ<br />
iso b,0 ⎛ 1 ⎞ ⎛ σ ⎞ ⎤<br />
iso<br />
+ = ⋅⎜<br />
⎟ ⋅g<br />
⋅ H + ⎜1+<br />
⎟<br />
(4.106)<br />
σ<br />
0<br />
⎢<br />
⎣⎢<br />
σ<br />
0<br />
⎜<br />
⎝1+<br />
sin ϕ<br />
st<br />
/ sin ϕ ⎟<br />
i ⎠<br />
Die Höhenabhängigkeit des isostatischen Druckes σ iso (H) ist damit für ein<br />
kompressibles Pulver:<br />
σ<br />
⎡<br />
= σ ⋅<br />
⎣<br />
ρ<br />
⋅g<br />
⋅ H<br />
⎛<br />
+ ⎜<br />
⎝<br />
b,0<br />
iso 0<br />
⎢<br />
1<br />
n<br />
⎢σ0<br />
⋅( 1+<br />
sin ϕst<br />
/ sin ϕi<br />
)<br />
⎜<br />
σ<br />
+<br />
σ<br />
iso<br />
0<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
−n<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎥⎦<br />
σ<br />
0<br />
1<br />
1−n<br />
iso<br />
0<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎟ ⎞<br />
⎠<br />
− σ<br />
⎥<br />
⎥⎦<br />
0<br />
σ<br />
0<br />
⎛<br />
⎜<br />
σ<br />
⎞<br />
n<br />
(4.107)<br />
Gl.(4.107) läßt sich wegen σ iso,i+1 = f(σ iso,i ) nur iterativ lösen.<br />
Häufig ist σ iso > σ 0 und deshalb ist der Term ( 1 −<br />
+ σ σ ) n<br />
klein gegenüber<br />
dem linken Term in der [..]-Klammer, so dass man vereinfachend die Höhenabhängigkeit<br />
des isostatischen Druckes σ iso = f(H) auch analytisch berechnen<br />
kann:<br />
1<br />
⎡ ρ<br />
1 n<br />
b,0<br />
⋅g<br />
⋅ H ⎤ −<br />
σ<br />
iso<br />
≈ σ0<br />
⋅ ⎢<br />
n ⎥ (4.108)<br />
σ0<br />
⋅( 1+<br />
sin ϕst<br />
/ sin ϕi<br />
) ⎦<br />
⎣<br />
iso /<br />
0<br />
Für ρ b = f(H) setzt man Gl.(4.106) in die Kompressionsfunktion Gl.(4.105) ein<br />
⎛ σ<br />
⎜1<br />
+<br />
⎝ σ<br />
n<br />
iso b,0<br />
= ⋅<br />
⋅ g ⋅ H + 1<br />
0<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎡ρ<br />
⎢<br />
⎢ σ<br />
⎣<br />
0<br />
⎛ 1 ⎞<br />
⎜<br />
1 sin<br />
st<br />
/sin<br />
⎟<br />
⎝ + ϕ ϕi<br />
⎠<br />
n<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
σ<br />
+<br />
σ<br />
und mit der Gl.(4.104) erhält man für ein kompressibles Pulver die Höhenabhängigkeit<br />
der Schüttgutdichte in einem Schüttguthaufen oder Halde als<br />
Iterationsgleichung ρ b,i+1 = f(H, ρ b,i ):<br />
iso<br />
0<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
−n<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎥⎦<br />
n<br />
1−n<br />
Schüttec_4 VO Partikelmechanik und Schüttguttechnik, <strong>Trichterauslegung</strong> Prof. Dr. Jürgen Tomas, 04.06.2013
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