Trichterauslegung - Lehrstuhl Mechanische Verfahrenstechnik

Trennung der Variablen:
Integration für H = 0 sei p v = p v,0 :
− H
ln
⋅ ln
pv
( ρ ⋅ g⋅
H − p ) H
63 b 63 v
=
pv,0
( ρ ⋅ g⋅
H − p ) − ln( ρ ⋅ g⋅
H − p )
b
63
⎛
b
g H
ln⎜
ρ ⋅ ⋅
⎝ ρb⋅
g⋅
H
63
63
v
− p
− p
v
v,0
b
⎞
⎟
= −
⎠
H
H
63
63
und
v,0
H
H
dp
⋅
dy
= ρ ⋅ g⋅
−
v
63 b
H63
pv
pv
H
dpv
63⋅
∫ =
ρ ⋅ ⋅ −
∫ dy
p b
g H63
p
v,0
v 0
= −
H
H
63
ρb⋅
g⋅
H
ρ ⋅ g⋅
H
b
63
63
− p
− p
v
v,0
⎛ = exp
⎜ −
⎝
H
H
63
⎟ ⎞
⎠
111
⎡ ⎛ H ⎞⎤
⎛ H ⎞
p ⎢
⎜
⎟⎥
+ ⋅
⎜ −
⎟
v = ρ
b ⋅ g ⋅ H63
⋅ 1 − exp − pv,0
exp
( 4.100)
⎣ ⎝ H63
⎠⎦
⎝ H63
⎠
Für p v,0 = 0 folgt nun die sog. JANSSEN-Gleichung 5 :
⎡ ⎛ H ⎤
⎢
⎟ ⎞
p
v = ρ
b ⋅ g ⋅ H63
⋅ 1 − exp
⎜ − ⎥
( 4.101)
⎣ ⎝ H63
⎠⎦
p v
p v∞
ρ
b
⋅g
⋅ H
Bild 4.10: Vertikaldruckverlauf p v
über der Behälterhöhe H
0,63 . p v∞
Es ist pv
∞
( H → ∞) = ρb
⋅ g ⋅ H63
H 63
H
und für H = H 63 ist
1−
exp( −1)
= 1−
0,37
p H = H = 0,63⋅
ρ
v
(
63
)
b
⋅ g ⋅ H63
z.B. für einen zylindrischen Schaft gilt:
A
U
2
π ⋅ D D
= =
( 4.102)
4 ⋅ π ⋅ D 4
ρb
⋅ g ⋅ D ⎡ ⎛
H ⎞⎤
pv =
⋅ ⎢1
− exp⎜−
4 ⋅ λF
⋅ tanϕw
⋅ ⎟
4 ⋅ λ ⋅ tanϕ
⎥
(4.103)
F w ⎣ ⎝
D ⎠⎦
• für Silos ist p v ∼ D, → man baut einen schlanken Schaft mit geringem
Durchmesser aber großer Höhe,
• für Flüssigkeitstanks ist p v ∼ H, da = ρ⋅g
⋅ H , → man baut gedrungene
Tanks mit geringer Höhe aber großem Durchmesser.
p v
4.2.1.2 Kompressibles Pulver und isostatischer Druck σ iso (H)
Für einen Schlankheitsgrad des Siloschaftes von H/D < 1,5 entspricht der
Vertikaldruck p v ≈ σ iso näherungsweise dem isostatischen Druck (beachte jedoch
p h = λ . p v ). Der isostatische Druck nimmt wegen des vernachlässigbaren
5 Janssen, H.A., Versuche über Getreidedrücke in Silozellen, Z. VDI 39 (1895) 1045-1049
Schüttec_4 VO Partikelmechanik und Schüttguttechnik, Trichterauslegung Prof. Dr. Jürgen Tomas, 04.06.2013