Trichterauslegung - Lehrstuhl Mechanische Verfahrenstechnik

ρ
⋅ g ⋅ b ⋅ ff
b,krit
σ
1
=
( 4.82)
( m + 1) ⋅sin 2( θ + ϕW
)
107
ρ
σ
ρ
b,krit
1
b,0
σ
1+
σ
⎛ 1
=
⎜
⎝1+
sin ϕ
⎛ σ
=
⎜1+
⎝ σ
1
0
⎞
⎟
⎠
n
⎛ σ
=
⎜1+
⎝ σ
st
⎞
⎟
⎠
n
⎛ σ
⋅
⎜1+
⎝ σ
ρ
b,0
1,krit
0
⎞
⎟
⎠
n
( m + 1) ⋅ ( 1+
sin ϕ ) sin 2( θ + ϕ )
n
st
n
⋅ g ⋅ b ⋅ ff
⋅ g ⋅ b ⋅ ff
1 1
b,0
+
0
⎛ σ
⎜1+
⎝ σ
⎛
⎜1
⎝
1−n
0
⎞
⎟
⎠
ρ
n
( m + 1) ⋅ ( 1+
sin ϕ ) ⋅ σ ⋅ sin 2( θ + ϕ )
1 b,0
=
+ 1
0
⎞
⎟
⎠
ρ
n
( m + 1) ⋅ ( 1+
sin ϕ ) ⋅ σ ⋅ sin 2( θ + ϕ )
st
st
⋅ g ⋅ b ⋅ ff
n
( m + 1) ⋅ ( 1+
sinϕ
) ⋅ σ ⋅ sin2( θ + ϕ )
0
0
W
W
W
⎛
⎜
⎝
1
σ
+
σ
0
1
0
⎞
⎟
⎠
(4.67)
1
−n
1−n
σ ⎞
1 ⎪⎧
ρb,0
⋅ g ⋅ b ⋅ ff
⎛ σ ⎞
1 ⎪⎫
+ ⎟ =
+ ⎜1+
⎟ (4.84)
σ
0
⎟
⎠
⎨
⎪⎩
Also ist σ 1 = f(b) für ein kompressibles Pulver:
σ
⎪⎧
= σ
⎪⎩
ρ
b,0
1 0 ⎨
1
n
( m + 1) ⋅ ( 1+
sinϕst
) ⋅ σ0
⋅sin2( θ + ϕW
)
⎜
st
⋅ g ⋅ b ⋅ ff
0
W
⎛
+ ⎜
⎝
⎜
⎝
σ
+
σ
1
0
⎞
⎟
⎠
σ
−n
⎟
⎠
⎪⎫
⎬
⎪⎭
1
1−n
−n
⎬
⎪⎭
− σ
0
(4.85)
( ) ( ) ( ) ( )
1 0
st 0
2
Gl.(4.85) läßt sich wegen σ 1,i+1 = f(σ 1,i ) nur iterativ lösen. Für σ 1 > σ 0 und da
1
ρb,0
⋅ g ⋅ b ⋅ ff
<
ist, kann σ
n
n
1 = f(b) ana-
1+ σ / σ m + 1 ⋅ 1+
sinϕ
⋅ σ ⋅sin
θ + ϕ
lytisch berechnet werden:
1
⎧
ρ
1 n
b,0
⋅ g ⋅ b ⋅ ff
⎫ −
σ
1
≈ σ0
⎨
n
⎬
(4.86)
( m + 1) ⋅ ( 1+
sinϕst
) ⋅ σ0
⋅ sin2( θ + ϕW
)
⎩
⎭
W
• Für ρ b = f(b) setzt man Gl.(4.84) in die Kompressionsfunktion Gl.(4.67) ein
⎛ σ ⎞
⎜1+
⎟
⎝ σ0
⎠
n
⎪⎧
⎨
⎪⎩
ρ
⋅ g ⋅ b ⋅ ff
1 b,0
=
+ 1
n
( m + 1) ⋅ ( 1+
sinϕ
) ⋅ σ ⋅ sin2( θ + ϕ )
st
0
W
⎛
⎜
⎝
σ
+
σ
und es folgt mit der Gl.( 4.82) die Ortsabhängigkeit der Schüttgutdichte
eines kompressiblen Pulvers im Auslauftrichter als Iterationsgleichung
ρ b,i+1 = f(b, ρ b,i ):
ρ
ρ
n
⎛
b
1 ⎞ ⎪ ρb,0
⋅ g ⋅ b ⋅ff
⎛ σ1(
ρb,
b)
b,0
=
⎜
⎝1+
sin ϕ
st
⎧
⎟ ⎨
⎠ ⎪⎩
n
( m + 1)( 1+
sin ϕ ) σ sin 2( θ + ϕ )
st
0
W
1
0
⎞
⎟
⎠
−n
+
⎜1+
⎝
(4.87)
Die Plausibilität wird für b = 0 überprüft, siehe Gl.(4.67) für σ 1 = 0, es folgt:
ρ
b,0
ρ
b(b
= 0) =
(4.88)
( 1+
sinϕ
) n
st
−n
Zur Gewinnung einer analytischen Näherung ist mit ( 1+ σ1 / σ0
) → 0
⎪⎫
⎬
⎪⎭
n
1−n
σ
0
:
⎞
⎟
⎠
−n
⎪ ⎬
⎫
⎪⎭
n
1−n
Schüttec_4 VO Partikelmechanik und Schüttguttechnik, Trichterauslegung Prof. Dr. Jürgen Tomas, 04.06.2013