Trichterauslegung - Lehrstuhl Mechanische Verfahrenstechnik

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' ' σ c = a1⋅σ1⋅ff + σc,0 bzw. σ c − a1⋅σ1⋅ff = σc, 0 101 und für σ = ist σ c − a1⋅σ c⋅ff = σc, 0 ' c σ 1 Es folgt die kritische Druckfestigkeit am Schnittpunkt beider Funktionen σc,0 σ c,krit = ( 4.57) − a ⋅ ff 1 1 und die kritische Hauptspannung mit der Gl.( 4.56): ' σc,0 ⋅ ff σ 1,krit = σ1 ⋅ ff = σc,krit ⋅ ff = ( 4.58) 1− a ⋅ ff 1 Mit Gl. ( 4.15) folgt die minimale Trichteröffnungsweite zur Vermeidung von Brückenbildung bei beginnendem Fließen - nach stationärem Fließen als vorherige Verfestigung infolge des radialen Spannungsfeldes b min (m + 1) ⋅ σc,0⋅ sin2( θ+ϕw ) = (4.59) ρ ⋅g ⋅ (1 − a ⋅ ff ) b,krit 1 oder mit den Fließkennwerten des stationären und beginnenden Fließens (Reibungswinkel ϕ st , ϕ i , isostatische Zugfestigkeit σ 0 ) ausgedrückt, b min + 1) ⋅ sin 2( ϕW + θ) ⋅ ( 1+ sin ϕi ) ⋅ sin ϕst ⋅ σ0 [ 1− sin ϕ ⋅ sin ϕ − ( sin ϕ − sin ϕ ) ⋅ ( 2 ⋅ ff −1) ] 2 ⋅ (m = ( 4.60) ρ ⋅ g ⋅ b,krit st und für das beginnende Fließen nach einer Zeitverfestigung: b min,t i (m + 1) ⋅ σct,0⋅ sin 2( θ + ϕw ) = ( 4.61) ρ ⋅ g⋅ (1 − a ⋅ ff ) b,krit 1t als Grundlage einer grafische und der partiell analytischen Berechnung. • Unter Einbeziehung der analytischen Näherung der Funktion H(θ) ⎛ Θ ⎞ H ( θ) = ( m + 1) ⋅⎜1+ 0,25⋅ ⎟ ( 4.16) ⎝ 40° ⎠ gemäß JENIKE lässt sich mit der Gl. ( 4.17) auch schreiben: b b min min,t H( θ) ⋅ σc,0 = ( 4.62) ρ ⋅g ⋅ (1 − a ⋅ ff ) b,krit 1 H( θ) ⋅ σct,0 = ( 4.63) ρ ⋅g ⋅ (1 − a ⋅ ff ) b,krit 1 • Diese beiden Auslegungsbeziehungen liefern etwas höhere Rechenwerte als die Gln. (4.59) und ( 4.61) davor. • Der Schnittpunkt der Druck- und Festigkeitskennlinie liefert auch die kritische Verfestigungsspannung σ 1,krit , siehe Gln. ( 4.58) bzw. ( 4.82) und Bild 4.6: ρ ⋅ g ⋅ b ⋅ ff b,krit min krit σ 1,krit = ( 4.64) ( m + 1) ⋅ sin 2( θ + ϕw ) st i Schüttec_4 VO Partikelmechanik und Schüttguttechnik, <strong>Trichterauslegung</strong> Prof. Dr. Jürgen Tomas, 04.06.2013
102 • Für diesen Wert müssen die zugehörigen Fließkennwerte ϕ e (σ 1 ), ϕ w (σ 1 ), ρ b (σ 1 ), ff(ϕ e (σ 1 ), ϕ w (σ 1 )) herausgesucht werden, Bilder F 4.13 und F 4.14! Da dieser Schnittpunkt bei Beginn der Dimensionierungsrechnung noch nicht bekannt ist, sind ein oder zwei Iterationen notwendig. • Die ausgeführte Öffnungsweite zur Vermeidung von Brückenbildung muß b ≥ b sein ! min Gelingt dies nicht, muss an dieser kritischen Stelle eine Austragshilfe bzw. ein Zwangsaustrag eingesetzt werden, siehe Schüttec_6.doc! 4.1.4.3 Analytische Auslegung für beginnendes Fließen mit ρ b,krit • Für die Beschreibung der Druckabhängigkeit der Schüttgutdichte in der Dimensionierungsgleichung (4.59) wird die folgende Kompressionsfunktion ρ b (σ M,st ) benutzt, siehe Schüttec_3.doc - Rhob_SigmaMst: n ⎛ σM,st b b,0 1 ⎟ ⎞ ρ =ρ ⋅ ⎜ + ( 4.65) ⎝ σ0 ⎠ Mit der Beziehung ( 4.66 des stationären Fließortes wird sie auf eine Kompressionsfunktion ρ b (σ 1 ) umgerechnet: ( σ + σ ) + st 1 = σ R,st + σ M,st = sin ϕst ⋅ M,st 0 σ M, σ ( 4.66) σ M,st ⋅ ( 1+ sin ϕ ) = σ − σ ⋅ sin ϕst st 1 0 Eingesetzt in die Kompressionsfunktion Gl. ( 4.65) folgt: ρ ρ b b =ρ = ρ b,0 b,0 ⎛ ⋅ ⎜ ⎝ n 1 σ1 − σ0 ⋅ sin ϕ ⎞ ⎛ st σ0 ⋅ ( 1+ sin ϕst ) + σ1 − σ0 ⋅ sin ϕst b,0 0 ( 1 sin st ) 0 ( 1 sin st ) ⎟ ⎞ + ⎟ = ρ ⋅ ⎜ σ ⋅ + ϕ σ ⋅ + ϕ ⎠ ⎛ σ ⋅ ⎜ ⎝ 0 + σ 0 ⋅ sin ϕ σ ⋅ 0 st ⎠ − σ 0 ⋅ sin ϕ Mit dieser Kompressionsfunktion ρ b (σ 1 ) ρ ρ b,krit b,0 ⎛ 1 = ⎜ ⎝1+ sin ϕ st ⎞ ⎟ ⎠ n ⎝ ( 1+ sin ϕ ) ⎟ ⎜ ( 1+ sin ϕ ) ⎛ σ ⋅ ⎜1+ ⎝ σ st 1,krit 0 ⎞ ⎟ ⎠ n st n + σ ⎞ 1 ⎟ ⎠ ⎛ = ⎜ ⎝ σ 0 + σ1 ⋅ σ und der Gleichung (4.59) für die minimale Trichteröffnungsweite b min st 0 ⎞ ⎟ ⎠ n (4.67) (m + 1) ⋅ σc,0⋅ sin2( θ+ϕw ) = (4.59) ρ ⋅g ⋅ (1 − a ⋅ ff ) b,krit 1 folgt eine analytische Beziehung zur Berechnung der minimalen Trichteröffnungsweite: b min (m + 1) ⋅ σc,0⋅ sin2( θ+ϕw ) ⋅ = ⎛ σ ρb,0 ⋅ g ⋅ (1 − a1⋅ ff ) ⋅ ⎜1+ ⎝ σ ( 1+ sin ϕ ) 1,krit 0 n st n ⎟ ⎞ ⎠ n Schüttec_4 VO Partikelmechanik und Schüttguttechnik, <strong>Trichterauslegung</strong> Prof. Dr. Jürgen Tomas, 04.06.2013
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Seite 7 und 8: 96 ⇒ Die analytisch vereinfachten
Seite 9 und 10: 1 ⎡ β = ⋅ ⎢φ 2 ⎣ w ⎛ si
Seite 11: 100 Hier wird kein Sicherheitswert
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Seite 25 und 26: p 1+ σ ⎛ p ⎜1+ ⎝ σ ⎛ ⎜1
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Seite 53 und 54: 142 in Gl. ( 4.195): 2 dv(t) ⎛ bm
Seite 55 und 56: d d ( t) = A ⋅ v ⋅ tanh( t / t
Seite 57 und 58: wird die Funktionskette Auslauftric
Seite 59 und 60: 1 exp(2x) + 1 y = cosh(x) = ⋅ 2 e
Seite 61 und 62: 150 Damit dürfte für die Durchstr
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152 ist der Druckverlust weitestgeh
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2 ( ρs−ρf ) ⋅d ⋅ g vs ,St =
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8(m+ 1)tan θ ⎛ b − ⋅ g 1 b
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⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 2 2 ( ) ⎜ t 2 2
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2a ⋅ = 2a ⋅ 2 b + b − 4ac 2 (
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Um das Weg-Zeit-Gesetz h = f(t) zu
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c / b' ⋅t76,lam c / b' ⋅t = ⎛
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166 4.6.3 Plausibilitätsprüfung u
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168 In diese einfache Differentialg
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170 und mit dem charakteristischen
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172 instationären Anteils bei Mess
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Schüttec_4 VO Partikelmechanik und
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180 Λ r , Λ ax radialer und axial
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182 g) Austragschurre mit Klauenheb
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