Trichterauslegung - Lehrstuhl Mechanische Verfahrenstechnik

'
'
σ
c
= a1⋅σ1⋅ff
+ σc,0
bzw. σ
c
− a1⋅σ1⋅ff
= σc,
0
101
und für
σ = ist σ
c
− a1⋅σ
c⋅ff
= σc,
0
'
c
σ 1
Es folgt die kritische Druckfestigkeit am Schnittpunkt beider Funktionen
σc,0
σ
c,krit
=
( 4.57)
− a ⋅ ff
1
1
und die kritische Hauptspannung mit der Gl.( 4.56):
'
σc,0
⋅ ff
σ
1,krit
= σ1
⋅ ff = σc,krit
⋅ ff =
( 4.58)
1−
a ⋅ ff
1
Mit Gl. ( 4.15) folgt die minimale Trichteröffnungsweite zur Vermeidung
von Brückenbildung bei beginnendem Fließen - nach stationärem
Fließen als vorherige Verfestigung infolge des radialen Spannungsfeldes
b
min
(m + 1) ⋅ σc,0⋅
sin2( θ+ϕw
)
= (4.59)
ρ ⋅g
⋅ (1 − a ⋅ ff )
b,krit
1
oder mit den Fließkennwerten des stationären und beginnenden Fließens
(Reibungswinkel ϕ st , ϕ i , isostatische Zugfestigkeit σ 0 ) ausgedrückt,
b
min
+ 1) ⋅ sin 2( ϕW
+ θ) ⋅ ( 1+
sin ϕi
) ⋅ sin ϕst
⋅ σ0
[ 1−
sin ϕ ⋅ sin ϕ − ( sin ϕ − sin ϕ ) ⋅ ( 2 ⋅ ff −1)
]
2 ⋅ (m
= ( 4.60)
ρ ⋅ g ⋅
b,krit
st
und für das beginnende Fließen nach einer Zeitverfestigung:
b
min,t
i
(m + 1) ⋅ σct,0⋅
sin 2( θ + ϕw
)
= ( 4.61)
ρ ⋅ g⋅
(1 − a ⋅ ff )
b,krit
1t
als Grundlage einer grafische und der partiell analytischen Berechnung.
• Unter Einbeziehung der analytischen Näherung der Funktion H(θ)
⎛ Θ ⎞
H ( θ) = ( m + 1) ⋅⎜1+
0,25⋅
⎟ ( 4.16)
⎝ 40°
⎠
gemäß JENIKE lässt sich mit der Gl. ( 4.17) auch schreiben:
b
b
min
min,t
H( θ)
⋅ σc,0
= ( 4.62)
ρ ⋅g
⋅ (1 − a ⋅ ff )
b,krit
1
H( θ)
⋅ σct,0
= ( 4.63)
ρ ⋅g
⋅ (1 − a ⋅ ff )
b,krit
1
• Diese beiden Auslegungsbeziehungen liefern etwas höhere Rechenwerte
als die Gln. (4.59) und ( 4.61) davor.
• Der Schnittpunkt der Druck- und Festigkeitskennlinie liefert auch die
kritische Verfestigungsspannung σ 1,krit , siehe Gln. ( 4.58) bzw. ( 4.82)
und Bild 4.6:
ρ
⋅ g ⋅ b
⋅ ff
b,krit min krit
σ
1,krit
=
( 4.64)
( m + 1) ⋅ sin 2( θ + ϕw
)
st
i
Schüttec_4 VO Partikelmechanik und Schüttguttechnik, Trichterauslegung Prof. Dr. Jürgen Tomas, 04.06.2013