Trichterauslegung - Lehrstuhl Mechanische Verfahrenstechnik
Trichterauslegung - Lehrstuhl Mechanische Verfahrenstechnik
Trichterauslegung - Lehrstuhl Mechanische Verfahrenstechnik
Erfolgreiche ePaper selbst erstellen
Machen Sie aus Ihren PDF Publikationen ein blätterbares Flipbook mit unserer einzigartigen Google optimierten e-Paper Software.
90<br />
4 Fließgerechte Auslegung eines Silos bzw. Bunkers 92<br />
4.1 Vermeidung der Brückenbildung in einem Massenflussbunker 92<br />
4.1.1 Radiales Spannungsfeld 92<br />
4.1.2 Allgemeines Kräftegleichgewicht an einer Schüttgutbrücke 93<br />
4.1.3 Auflagerspannung einer Brücke σ 1 ’ und Fließfaktor ff 94<br />
4.1.3.1 Differentialgleichungen zur Berechnung des Fließfaktors95<br />
4.1.3.2 Analytische Berechnung des Fließfaktors 95<br />
4.1.4 Vermeidung der Brückenbildung beim Massenflusstrichter 99<br />
4.1.4.1 Maximaler Trichterneigungswinkel für Massenfluß 99<br />
4.1.4.2 Grafische Auslegungsmethode für beginnendes Fließen 100<br />
4.1.4.3 Analytische Auslegung für beginnendes Fließen mit ρ b,krit 102<br />
4.1.4.4 Analytische Auslegung für stationäres Fließen 103<br />
4.1.4.5 Analytische Auslegung für stationäres Fließen mit ρ b,krit 104<br />
4.1.5 Geometrische Auslegung des Trichters 105<br />
4.1.6 Ermittlung der größten Hauptspannung σ 1 (b) am Auslauf 106<br />
4.1.7 Kompressibles Pulver und Hauptspannung σ 1 (b) am Auslauf106<br />
4.1.8 Auslegung der Geometrie eines Bunkertrichters 108<br />
4.1.9 Berechnungsbeispiel für Kalzitpulver: 109<br />
4.2 Vermeidung der Schachtbildung in einem Kernflußbunker 110<br />
4.2.1 Berechnung des Vertikaldruckes im Schaft 110<br />
4.2.1.1 JANSSEN-Gleichung des Fülldruckes im Schaft 110<br />
4.2.1.2 Kompressibles Pulver und isostatischer Druck σ iso (H) 111<br />
4.2.1.3 Kompressibles Pulver und Vertikaldruck p v (H) im Schaft113<br />
4.2.1.4 Berechnung des Horizontaldruckverhältnisses λ 115<br />
4.2.1.5 Ringspannungen im stabilen Schacht 116<br />
4.2.1.6 Analytische Näherung der Funktion G(ϕ i ) 117<br />
4.2.2 Maximaler Trichterneigungswinkel und Spannungsspitze 117<br />
4.2.3 Minimale Öffnungsweite zur Vermeidung eines Schachtes 118<br />
4.2.3.1 Mit maximaler Verfestigungsspannung 118<br />
4.2.3.2 Anisotropie zwischen Verfestigung und Fließen 119<br />
4.2.3.3 Auslegung mittels Fließfaktor ff d nach JENIKE 120<br />
4.3 Berechnung des minimalen Schaftdurchmessers 122<br />
4.4 Beispiel einer Trichter- u. Schaftauslegung für Kalksteinmehl 124<br />
4.5 Kinematik eines Schüttgutelementes auf einer geneigten Wand 125<br />
4.5.1 Gleitbedingung und Geschwindigkeit auf einer Schurre 125<br />
4.5.1.1 Geschwindigkeitsgesetze 125<br />
4.5.1.2 Gleitbedingung auf der Wand 127<br />
4.5.2 Gleitbedingung und Geschwindigkeit auf einer Böschung 128<br />
4.5.2.1 Geschwindigkeitsgesetze 128<br />
4.5.2.2 Gleitbedingung auf einer Schüttgutböschung 129<br />
Schüttec_4 VO Partikelmechanik und Schüttguttechnik, <strong>Trichterauslegung</strong> Prof. Dr. Jürgen Tomas, 04.06.2013
91<br />
4.5.3 Freier Fall eines Schüttgutelementes 129<br />
4.6 Berechnung des Trichterauslaufmassenstromes 131<br />
4.6.1 Vergleich bisheriger Modelle 131<br />
4.6.1.1 Stationäres Ausfließen einer Flüssigkeit 131<br />
4.6.1.2 Stationäres Ausfließen eines Schüttgutes 132<br />
4.6.2 Allgemeines Prozessmodell einer gleichmäßig beschleunigten<br />
kohäsiven Schüttgutbrücke 133<br />
4.6.2.1 Modellbildung 133<br />
4.6.2.1.1 Kräftegleichgewicht an einer gleichmäßig beschleunigten<br />
Brücke 133<br />
4.6.2.1.2 Druckverlust während der homogenen Durchströmung135<br />
4.6.2.1.3 Durchströmungsbedingungen 137<br />
4.6.2.2 Differentialgleichung des Ausfließens 138<br />
4.6.2.3 Numerische Lösung mit der RUNGE-KUTTA-Methode139<br />
4.6.2.4 Näherungslösungen für die turbulente Durchströmung 141<br />
4.6.2.4.1 Das Geschwindigkeits-Zeit-Gesetz 141<br />
4.6.2.4.2 Mit Wandkollisionen und EULER-Zahl 144<br />
4.6.2.4.3 Das Weg-Zeit-Gesetz 146<br />
4.6.2.4.4 Berechnung der Auslaufzeit t d = f(h) 147<br />
4.6.2.4.5 Das Geschwindigkeits-Weg-Gesetz 149<br />
4.6.2.5 Analytische Lösungen für die laminare Durchströmung 149<br />
4.6.2.5.1 Differentialgleichung des Ausfließens 150<br />
4.6.2.5.2 Das Geschwindigkeits-Zeit-Gesetz 154<br />
4.6.2.5.3 Das Weg-Zeit-Gesetz 161<br />
4.6.3 Plausibilitätsprüfung und Spezialfälle 166<br />
4.6.4 Auslaufzeit aus einem Trichter und Verweilzeit 167<br />
4.6.5 Experimentelle Überprüfung der Trichterauslaufmodelle 175<br />
4.6.6 Einfluß der kohäsiven Fließeigenschaften 175<br />
4.7 Zusammenfassung wesentlicher Dimensionierungsgleichungen 176<br />
4.8 Wärmetransportprobleme in Silos 177<br />
4.8.1 praktische Probleme 177<br />
4.8.2 Wärmeübergang zwischen Wand und ruhendem Schüttgut 177<br />
4.8.3 Modellierung des Wärmeüberganges zwischen Wand und<br />
Schüttgut 178<br />
4.8.3.1 Partikel-Partikel-Wärmeübergang in ruhender Schüttung179<br />
4.8.3.2 instationärer Partikel-Partikel-Wärmeübergang in ruhender<br />
Schüttung 179<br />
4.9 Befüllung und Füllstandsmessung 180<br />
4.10 Bunkerverschlüsse 181<br />
4.11 Normsilos 182<br />
Schüttec_4 VO Partikelmechanik und Schüttguttechnik, <strong>Trichterauslegung</strong> Prof. Dr. Jürgen Tomas, 04.06.2013
4 Fließgerechte Auslegung eines Silos bzw. Bunkers<br />
92<br />
Gliederung siehe auch Bild F 4.1:<br />
4.1 Vermeidung der Brückenbildung in einem Massenflussbunker<br />
- Gemäß eines „natürlichen“ Fließprofils beim Schwerkraftfluss eines kohäsiven<br />
Schüttgutes stellt sich je nach der Behälterform das reale Fließprofil ein,<br />
- Wenn die Trichterform dem „natürlichen“ Fließprofil des Schüttgutes entspricht,<br />
stellt sich Massenfluss ein, ansonsten wird Kernfluss erzeugt.<br />
- siehe dazu noch einmal die Fließprofile für Kern- und Massenfluss und die<br />
damit verbundenen Fließprobleme der Schacht- und Brückenbildung, siehe<br />
Bilder F 4.2 und F 4.3:<br />
- Daher hier nur Spannungen in Auslaufnähe betrachtet, unabhängig von Bedingungen<br />
am oberen Schüttgutniveau im Schaft<br />
4.1.1 Radiales Spannungsfeld<br />
σ r<br />
r<br />
ψ<br />
θ *<br />
θ<br />
σ 1<br />
Bild 4.1: radiale Spannungsfeld<br />
→ Einführung des folgenden „radialen“ Spannungsansatzes<br />
• Zylinder- oder Polarkoordinaten r, θ *<br />
• in der Trichterspitze alle Spannungen = 0<br />
Eine mittlere Spannung sei mit σ<br />
M<br />
∼ r (Kreismittelpunkt)<br />
auf einem Fahrstrahl beginnend von der<br />
Kegelspitze gegeben:<br />
* *<br />
( r, θ ) ⋅s( r θ )<br />
*<br />
( r, θ )<br />
M<br />
= r ⋅g<br />
⋅ρb<br />
,<br />
σ ( 4.1)<br />
ρb<br />
≠ f<br />
Es sei<br />
( 4.2)<br />
s ≠ f ( r)<br />
→ Das ist voraussetzungsgemäß das sog. radiale Spannungsfeld, Bild 4.1.<br />
Man liest eine einfache Gleichung für das Stoffgesetz des stationären Fließens<br />
beschrieben mittels des effektiven Fließortes ab, Bild 4.2:<br />
τ rθ<br />
ϕ e σ θ<br />
ϕ e<br />
effektiver Fließort<br />
σ R<br />
2ψ<br />
σ M σ 1<br />
σ r<br />
Bild 4.2: Effektiver Fließort<br />
σ ( 4.3)<br />
σ<br />
R<br />
= sin ϕe<br />
⋅ σM<br />
1<br />
= σ<br />
= σ<br />
M<br />
M<br />
+ σ<br />
+ σ<br />
R<br />
M<br />
⋅ sin ϕ<br />
( 1+<br />
ϕ )<br />
1<br />
= σM⋅<br />
sin<br />
e<br />
e<br />
( 4.4)<br />
σ ( 4.5)<br />
M<br />
b<br />
*<br />
( θ )<br />
σ = r ⋅ g ⋅ρ ⋅s<br />
( 4.6)<br />
Für die gegenüber σ 1 kleinere Radialspannung σ r gilt entsprechend:<br />
Schüttec_4 VO Partikelmechanik und Schüttguttechnik, <strong>Trichterauslegung</strong> Prof. Dr. Jürgen Tomas, 04.06.2013
σr =σ<br />
M+σR⋅<br />
cos2ψ<br />
( 4.7)<br />
und mit sin ϕ =σ σ<br />
( 4.8)<br />
e R<br />
/<br />
M<br />
läßt sich σ R eliminieren σ =σ ⋅ ( + sinϕ<br />
⋅ cos2ψ)<br />
*<br />
( 1+<br />
sin ϕ ) ⋅ ( θ )<br />
1<br />
= r ⋅ g ⋅ρb<br />
e<br />
s<br />
r<br />
M<br />
1<br />
e<br />
σ ( 4.9)<br />
93<br />
4.1.2 Allgemeines Kräftegleichgewicht an einer Schüttgutbrücke<br />
Folgende Kräfte greifen an einer inkrementellen Brücke an, siehe Bild F 4.4:<br />
dF<br />
dF<br />
dF<br />
dF<br />
G<br />
V<br />
T<br />
F<br />
= ρ<br />
b<br />
= σ′ ⋅ cosδ ⋅sinδ ⋅ U<br />
1<br />
= a ⋅ρ<br />
=<br />
dp<br />
dh<br />
⋅ g ⋅ A<br />
B<br />
b<br />
⋅ A<br />
⋅ A<br />
B<br />
B<br />
B<br />
⋅ dh<br />
⋅ dh<br />
⋅ dh<br />
B<br />
B<br />
B<br />
B<br />
⋅ dh<br />
B<br />
keilf.Tr.:<br />
kon.Tr.:<br />
al lg.:<br />
A<br />
U<br />
B<br />
B<br />
A<br />
U<br />
B<br />
B<br />
A<br />
U<br />
b ⋅l<br />
= =<br />
2 ⋅l<br />
B<br />
B<br />
2<br />
b ⋅ π<br />
= =<br />
4 ⋅ π ⋅ b<br />
=<br />
2<br />
b<br />
b<br />
2<br />
( m + 1)<br />
b<br />
4<br />
( 4.10)<br />
Beim Schlitzauslauf → vertikale, möglichst glatte Stirnseiten tragen nicht (!),<br />
so dass das Kräftegleichgewicht ∑ F ↓= 0 = dF G<br />
− dFV<br />
ergibt:<br />
ρ ⋅ g ⋅ b ⋅ dh ⋅ l = σ′ ⋅sinδ ⋅ dh ⋅ cosδ<br />
⋅ 2l<br />
( 4.11)<br />
b<br />
b<br />
1<br />
b<br />
σ´1<br />
δ<br />
dh B<br />
Bild 4.3: Auflagerspannung σ 1 ’ der inkrementell kleinen<br />
Dicke dh B . Die Querspannung ist σ 2 ’ = 0.<br />
Diese Auflagerspannung σ 1 ’ an der Trichterwand entspricht einer wirksamen<br />
größten Hauptspannung in der Oberfläche einer kohäsiven Schüttgutbrücke:<br />
ρb<br />
⋅ g ⋅ b<br />
σ′<br />
1<br />
=<br />
( 4.12)<br />
sin 2δ<br />
Wegen dieser freien Schüttgutoberfläche der Brücke ist die wirksame Querspannung<br />
σ 2 ’ = 0, d.h., es handelt sich um einen einaxialen Spannungszustand.<br />
Das obige Kräftegleichgewicht liefert:<br />
∑dF ↓= 0 und damit 0 = dFG<br />
− dFV<br />
− dFT<br />
− dFF<br />
sin 2δ<br />
U<br />
B<br />
dp<br />
0 = ρb<br />
⋅ g ⋅ A<br />
B<br />
⋅ dh<br />
B<br />
− σ′<br />
1<br />
⋅ ⋅ ⋅ A<br />
B<br />
⋅ dh<br />
B<br />
− a ⋅ ρb<br />
⋅ A<br />
B<br />
⋅ dh<br />
B<br />
− ⋅ A<br />
B<br />
⋅ dh<br />
2 A<br />
B<br />
dh<br />
B<br />
m + 1 dp<br />
0 = ρb<br />
⋅ g − σ′<br />
1<br />
⋅ sin 2δ ⋅ − a ⋅ ρb<br />
−<br />
b dh<br />
B<br />
'<br />
( m + 1)<br />
⋅ σ<br />
⎛<br />
⎞<br />
1<br />
⋅ sin 2δ<br />
a 1 dp<br />
= b ⋅<br />
⎜1−<br />
− ⋅<br />
⎟<br />
( 4.13)<br />
ρb<br />
⋅ g ⎝ g ρb<br />
⋅ g dh<br />
B ⎠<br />
Für das erwünschte Versagen oder Fließen einer instabilen Brücke muss die<br />
Auflagerspannung größer oder gleich der einaxialen Druckfestigkeit σ 1 ’ ≥ σ c<br />
'<br />
sein, d.h. σ = , und es folgt allgemeingültig für δ = ϕ w + θ:<br />
1<br />
σc,<br />
krit<br />
B<br />
Schüttec_4 VO Partikelmechanik und Schüttguttechnik, <strong>Trichterauslegung</strong> Prof. Dr. Jürgen Tomas, 04.06.2013
( m + 1) ⋅ σ ⋅sin2( θ + ϕ )<br />
c,krit<br />
w<br />
b<br />
min<br />
=<br />
( 4.14)<br />
⎛ a 1 dp ⎞<br />
ρb<br />
⋅ g ⋅<br />
⎜1<br />
− − ⋅<br />
⎟<br />
⎝ g ρb<br />
⋅ g dhB<br />
⎠<br />
94<br />
Gewöhnlich wird der quasistationäre Fall a = dv/dt = 0 ohne Fluidgegendruck<br />
dp = 0 betrachtet und es folgt die Dimensionierungsgleichung für die<br />
Trichteröffnungsweite, siehe Bild F 4.5:<br />
b<br />
min<br />
( m + 1) ⋅ σ ⋅sin 2( θ + ϕ )<br />
c,krit<br />
w<br />
= ( 4.15)<br />
ρ ⋅ g<br />
b,krit<br />
m = 0 keilförmiger Trichter<br />
m = 1 konischer Trichter, siehe F 3.1 Schüttec_3.doc - Volumenelement<br />
Oft wird die Trichterform auch mit der nach JENIKE grafisch angegebenen<br />
Funktion H(θ) berücksichtigt, die hier analytisch angenähert wurde:<br />
⎛ Θ ⎞<br />
H ( θ) = ( m + 1) ⋅⎜1+<br />
0,25⋅<br />
⎟ ( 4.16)<br />
⎝ 40°<br />
⎠<br />
b<br />
min<br />
( θ)<br />
H ⋅ σc,krit<br />
= ( 4.17)<br />
ρ ⋅ g<br />
b,krit<br />
4.1.3 Auflagerspannung einer Brücke σ 1 ’ und Fließfaktor ff<br />
Wenn b oder d = 2 ⋅ r ⋅sin<br />
θ in Gl.( 4.15) eingesetzt wird, erhält man die Auflagerspannung<br />
σ 1 ’ oder, in anderen Worten, die wirksame (oder effektive) größte<br />
Hauptspannung an der Trichterwand (deshalb der ’-Strich):<br />
' 2 ⋅ r ⋅ ρb<br />
⋅ g ⋅ sin θ<br />
σ1 =<br />
( 4.18)<br />
1+<br />
m ⋅ sin 2<br />
( ) δ<br />
Bild 4.4: Höhenverlauf der Druckfestigkeit σ c einer freien Schüttgutoberfläche<br />
1 1<br />
=<br />
'<br />
→ in der Trichterspitze sei σ = σ 0 vorausgesetzt, d.h. größte Hauptspannung<br />
u. wirksame größte Hauptspannung an der Wand sind gleich,<br />
→ wegen des linearen Verlaufs des radialen Spannungsfeldes gilt dann<br />
( δ = θ + ϕ w<br />
) und b = 2 ⋅ r ⋅sinθ<br />
σ1 r ⋅ g ⋅ b ⋅ ( 1+<br />
sin ϕe<br />
) ⋅ s( θ *) ⋅ ( 1+<br />
m)<br />
⋅ sin 2δ<br />
= const = ff =<br />
bzw.<br />
'<br />
σ<br />
2 ⋅ r ⋅ g ⋅ b ⋅ sin θ<br />
1<br />
Schüttec_4 VO Partikelmechanik und Schüttguttechnik, <strong>Trichterauslegung</strong> Prof. Dr. Jürgen Tomas, 04.06.2013
σ1<br />
ff = =<br />
'<br />
σ<br />
1<br />
( 1+<br />
m) ⋅ sin 2( φ + θ) ⋅ s( θ *)<br />
w<br />
1+<br />
sin ϕ<br />
⋅<br />
2 ⋅ sin θ<br />
als dimensionslose Formulierung von JENIKE numerisch gelöst,<br />
*<br />
s θ * = f θ , ϕ , ϕ .<br />
dabei ist ( ) ( )<br />
e<br />
w<br />
e<br />
( 4.19)<br />
95<br />
4.1.3.1 Differentialgleichungen zur Berechnung des Fließfaktors<br />
→ Aufstellung von 2 gekoppelten, gewöhnlichen nichtlinearen Differentialgleichungen<br />
1. Ordnung für die unbekannten Funktionen s(θ * ) und ψ(θ * ), siehe<br />
auch MOLERUS S.148 (1985)<br />
ds<br />
dθ<br />
*<br />
*<br />
s⋅<br />
sin 2ψ+<br />
sin( θ + 2ψ)<br />
+ m⋅<br />
s⋅<br />
sin ϕe⋅<br />
=<br />
cos2ψ−sin<br />
ϕ<br />
*<br />
[ cot θ ⋅(1+<br />
cos2ψ−sin 2ψ)<br />
]<br />
( 4.20)<br />
mit dem Winkel ψ zwischen der Radialspannung σ r (bzw. Fahrstrahl r) und<br />
der größten Hauptspannung σ 1 siehe Bild 4.1 und Bild 4.4:<br />
[<br />
dψ<br />
=−1−<br />
m⋅<br />
s⋅<br />
sin ϕe⋅<br />
(1+<br />
sin ϕ<br />
*<br />
dθ<br />
+ cos θ<br />
*<br />
−sin<br />
ϕ ⋅ cos( θ<br />
e<br />
*<br />
e<br />
+ 2ψ)<br />
+ s⋅<br />
cos<br />
] ⋅<br />
e<br />
*<br />
) ⋅ (cot θ ⋅ sin 2ψ+<br />
cos 2ψ−1)<br />
+<br />
2<br />
ϕ<br />
e<br />
1<br />
2s⋅<br />
sin ϕ ⋅ (cos 2ψ−sin<br />
ϕ<br />
sowie der Randbedingung für das Abgleiten an der Wand,<br />
*<br />
[ ψ(<br />
θ )]<br />
[ 2ψ(<br />
θ )]<br />
e<br />
e<br />
)<br />
( 4.21)<br />
sinϕe⋅<br />
sin 2<br />
tan ϕ<br />
w= −<br />
( 4.22)<br />
*<br />
1−<br />
sinϕ<br />
⋅ cos<br />
e<br />
die natürlich durch den Wandreibungswinkel beeinflusst wird.<br />
→ Für vorgewählte ϕ e läßt sich das Gleichungssystem numerisch integrieren.<br />
Die Lösungsgrenzen, d.h. Bedingung ob an der Wand Fließen oder nicht<br />
eintritt, ergibt die Massenfluß- und Kernflußgrenzen, siehe Gln.( 4.48) und<br />
(4.50) und Bilder F 4.6, F 4.7<br />
→ Die zugehörigen symmetrischen Trichterformen sind in den Bildern F 4.8<br />
und F 4.9 dargestellt<br />
→ Verfestigungsfunktion σ c = f(σ 1 ) mit der Auflagerspannung σ ’ 1 F 4.10<br />
→ entsprechend Gl. ( 4.19) ist also der Fließfaktor der Brückenbildung nach<br />
JENIKE (1964)<br />
( θ,<br />
ϕ ϕ )<br />
ff = f<br />
( 4.23)<br />
e ,<br />
w<br />
→ ein vereinfachtes Diagramm ff = f(ϕ e ) Bild F 4.11<br />
→ komplette Fließfaktoren, s. alte Umdrucke bzw. JENIKE Bull. 123 (1964)<br />
4.1.3.2 Analytische Berechnung des Fließfaktors<br />
Analytische Näherung des Fließfaktors nach JENIKE<br />
Schüttec_4 VO Partikelmechanik und Schüttguttechnik, <strong>Trichterauslegung</strong> Prof. Dr. Jürgen Tomas, 04.06.2013
96<br />
⇒ Die analytisch vereinfachten Lösungen für das Differentialgleichungssystem<br />
Gl.( 4.19) und Bild F 4.11 lauten für den Fließfaktor nach JENIKE (effektiver<br />
Reibungswinkel ϕ e in grd):<br />
Konischer Trichter:<br />
für ϕ e < 38°: ff<br />
für ϕ e ≥ 38°: ff<br />
= ⋅ ϕ<br />
( 4.24)<br />
kon<br />
65, 443<br />
kon<br />
6, 462 ⋅<br />
Keilförmiger Trichter:<br />
für ϕ e < 42°: ff<br />
für ϕ e ≥ 42°: ff<br />
−1,0298<br />
e<br />
= ϕ<br />
( 4.25)<br />
keil<br />
65, 443<br />
keil<br />
9, 185 ⋅<br />
−0,396<br />
e<br />
= ⋅ ϕ<br />
( 4.26)<br />
−1,0298<br />
e<br />
= ϕ<br />
( 4.27)<br />
−0,5078<br />
e<br />
für ϕ e > 79°: ff keil = 1 ( 4.28)<br />
Verhältnis der größten Hauptspannung zur Wandnormalspannung<br />
⇒ Darüber hinaus soll hier nun in Analogie zum Fließfaktor ff = σ 1 /σ 1 ’ methodisch<br />
vereinfacht das Verhältnis der größten Hauptspannung σ 1 in<br />
Wandnähe zur - mit Spannungsmeßzellen - messbaren Wandnormalspannung<br />
σ w (= Wandnormaldruck p n nach Abschnitt 5.2 Schüttec_5.doc) hergeleitet<br />
werden, Bild 4.5:<br />
τ<br />
EFO<br />
τ w<br />
ϕ e<br />
WFO<br />
σ 1<br />
β<br />
θ<br />
σ r<br />
σ R<br />
2β σ<br />
σ M σ w σ 1<br />
ϕ w<br />
β<br />
Wandfließort<br />
σ w<br />
τ w<br />
effektiver<br />
Fließort<br />
Bild 4.5: Spannungsverhältnisse an der Trichterwand<br />
τw = σR⋅<br />
sin2β<br />
( 4.29)<br />
σw = σM+σR⋅<br />
cos2β<br />
( 4.30)<br />
Mit der Gleichung des effektiven Fließortes<br />
σ = σ ⋅sinϕ<br />
eingesetzt folgt ( 4.31)<br />
R<br />
M<br />
e<br />
τ w<br />
= σ M<br />
⋅sinϕ<br />
e<br />
⋅sin<br />
2β<br />
(4.32)<br />
( + sinϕ<br />
⋅ cos β)<br />
σw = σM⋅<br />
1<br />
e<br />
2<br />
(4.33)<br />
Zur Eliminierung der Mittelpunktspannungen werden beide Gln.(4.32) und<br />
(4.33) geteilt. Bei voll mobilisierter Wandreibung gilt:<br />
τw sin ϕe⋅<br />
sin 2β<br />
≤ tan ϕw<br />
=<br />
für Gleichheit folgt (4.34)<br />
σw<br />
1+<br />
sin ϕe⋅<br />
cos 2β<br />
sinϕ ⋅sin 2β = tanϕ<br />
+ tanϕ<br />
⋅sinϕ<br />
⋅ cos2β<br />
e<br />
w<br />
w<br />
e<br />
ϕ e<br />
Schüttec_4 VO Partikelmechanik und Schüttguttechnik, <strong>Trichterauslegung</strong> Prof. Dr. Jürgen Tomas, 04.06.2013
97<br />
Diese Gleichung wird nun in eine für die Anwendung der Additionstheoreme<br />
der Winkelfunktionen günstige Schreibweise umgeformt:<br />
tanϕw<br />
sin 2 − tanϕw⋅<br />
cos2β =<br />
⋅ cosϕ<br />
sinϕ<br />
β<br />
w<br />
sin 2β<br />
⋅ cosϕ<br />
sin<br />
( 2 −ϕ )<br />
w<br />
− cos2β⋅<br />
sinϕ<br />
sinϕ<br />
w<br />
β<br />
w<br />
=<br />
bzw.<br />
sinϕe<br />
1 ⎡<br />
β = ⋅ ⎢ϕ<br />
2 ⎣<br />
w<br />
⎛ sin ϕ<br />
+ arcsin<br />
⎜<br />
⎝ sin ϕ<br />
w<br />
e<br />
w<br />
e<br />
sinϕ<br />
=<br />
sinϕ<br />
w<br />
e<br />
⎤<br />
⎟ ⎞<br />
⎥<br />
(4.35)<br />
⎠⎦<br />
Dieser Gleitwinkel β entspricht auch dem Winkel zwischen der Wandnormalspannung<br />
σ w und der größten Hauptspannung σ 1 in Wandnähe. Deshalb<br />
folgt auch aus den Gln.( 4.29) und ( 4.31):<br />
τw<br />
σ1−σ2<br />
σ ⎛<br />
1<br />
1−sin<br />
ϕ ⎞<br />
e<br />
σ1⋅sin<br />
ϕe<br />
= = 1 =<br />
sin 2 2 2<br />
⎜ −<br />
1 sin<br />
⎟<br />
β<br />
⎝ + ϕe<br />
⎠ 1+<br />
sin ϕe<br />
Kombiniert man Gl.(4.36) mit der Wandreibungsgrenze<br />
τ<br />
(4.36)<br />
w<br />
= tan ϕw<br />
⋅σw<br />
und Gl.(4.35) folgt das interessierende Verhältnis der unbekannten größten<br />
Hauptspannung σ 1 zur messbaren Wandnormalspannung σ w im Trichter<br />
τ w<br />
σ1⋅sin<br />
ϕe<br />
τ<br />
=<br />
( )<br />
w<br />
1+<br />
sin ϕe<br />
σw<br />
( 1+<br />
sin ϕe<br />
) ⋅ tan ϕ<br />
σ1<br />
=<br />
σ1<br />
=<br />
sin 2β<br />
1+<br />
sin ϕ<br />
sin ϕ ⋅sin 2β<br />
sin ϕ ⋅sin 2β<br />
σ<br />
σ<br />
1<br />
w<br />
e<br />
( 1+<br />
sin ϕ )<br />
=<br />
⎡<br />
sin ϕe⋅sin⎢ϕ<br />
⎣<br />
w<br />
e<br />
⋅ tan ϕ<br />
w<br />
⎛ sin ϕ<br />
+ arcsin<br />
⎜<br />
⎝ sin ϕ<br />
w<br />
e<br />
e<br />
( 4.37)<br />
⎞⎤<br />
⎟⎥<br />
⎠⎦<br />
als eine vergleichsweise einfache und überschaubare Beziehung. Diese ist<br />
analog zum Fließfaktor ff der Brückenbildung innerhalb des Trichters als<br />
Verhältnis der größten Hauptspannung zur wirksamen größten Hauptspannung<br />
im Auflager einer Brücke ff = σ 1<br />
/ σ1'<br />
definiert, z.B.<br />
Tabelle 4.1: Gleitwinkel β und Spannungsverhältnis σ 1 /σ w an der Wand<br />
Wandreibungswinkel ϕ w 20° 25°<br />
effektiver Reibungswinkel ϕ e 40° 45° 50° 40° 45° 50°<br />
Gleitwinkel β 26° 25° 23° 33° 31° 29°<br />
Spannungsverhältnis σ 1 /σ w 1,18 1,17 1,16 1,30 1,28 1,26<br />
e<br />
w<br />
Fließfaktor nach WALKER<br />
⇒ Davon ausgehend soll nun eine analytische Abschätzung des Fließfaktors<br />
nach WALKER (1968) angegeben werden:<br />
• Mit dem Gleitwinkel β zwischen der Schubspannungsebene an der Wand<br />
und der Wirkungsebene der größten Hauptspannung σ 1 , gemäß Gl. (4.35)<br />
Schüttec_4 VO Partikelmechanik und Schüttguttechnik, <strong>Trichterauslegung</strong> Prof. Dr. Jürgen Tomas, 04.06.2013
1 ⎡<br />
β = ⋅ ⎢φ<br />
2 ⎣<br />
w<br />
⎛ sin φ<br />
+ arcsin<br />
⎜<br />
⎝ sin φ<br />
w<br />
e<br />
98<br />
⎞⎤<br />
⎟⎥<br />
(4.35)<br />
⎠⎦<br />
• und den Hilfsgrößen B und D, wobei letztere sich als Verteilungsfaktor des<br />
Vertikaldruckes über den Trichterquerschnitt interpretieren läßt D ≈ 1<br />
( β+θ)<br />
( β+θ)<br />
sinϕe ⋅sin2<br />
B =<br />
( 4.38)<br />
1−<br />
sinϕ<br />
⋅ cos2<br />
e<br />
( β+θ)<br />
( ϕ +θ)<br />
1+<br />
sinϕe sin2<br />
w<br />
ff =<br />
⋅<br />
( 4.39)<br />
1−<br />
sinϕ<br />
⋅ cos2 2⋅<br />
B⋅<br />
D−tan<br />
θ<br />
e<br />
• nur sinnvoll im Zusammenhang mit den Meßergebnissen von Ringscherzellen<br />
für konische Trichter anwendbar, ⇒ gewöhnlich werden zu große ff-<br />
Werte berechnet.<br />
Fließfaktor nach ARNOLD, MCLEAN, ROBERTS und ENSTAD<br />
⇒ Deshalb sollen hier - statt der Gl.( 4.39) - zusätzlich die allgemeingültig<br />
formulierten, analytischen Berechnungen des Fließfaktors der Brückenbildung<br />
nach ARNOLD, MCLEAN 1 , ROBERTS 2 und ENSTAD 3 angegeben<br />
werden, die an die JENIKE-Werte angepasst wurden, Bild F 4.12:<br />
• mittlere Vertikalspannung am Auslauf für das Entleeren σ v<br />
m<br />
( tan θ+ tan φ )<br />
⎛ 4 ⎞ 1 ⎡2σ<br />
⎤<br />
w⋅<br />
w<br />
1<br />
σv = ρb⋅<br />
g⋅<br />
b⋅<br />
⎜ ⎟ ⋅ ⋅ ⎢<br />
−<br />
θ<br />
⎥ ( 4.40)<br />
⎝ 3 ⎠ 4tan ⎣ ρb⋅<br />
g⋅<br />
b m+<br />
1⎦<br />
• die Wandnormalspannung σ w<br />
( 1+<br />
sinφe⋅<br />
cos2β)<br />
2( X−1) ⋅sinθ<br />
Y⋅<br />
σw = ρb⋅<br />
g⋅<br />
b⋅<br />
( 4.41)<br />
mit der Höhenkoordinate y bzw. b = y⋅<br />
2tan<br />
θ sowie wiederum mit dem<br />
Gleitwinkel β und den Hilfsgrößen X > 1 und Y > X<br />
1 ⎡ ⎛ sinφ<br />
⎞⎤<br />
w<br />
β = ⋅ ⎢φw+<br />
arcsin<br />
⎜<br />
⎟⎥<br />
(4.35)<br />
2 ⎣ ⎝ sinφe<br />
⎠⎦<br />
Es sollte β < 180°/ π ≈ 57,3° sein.<br />
( 2β+θ)<br />
m<br />
2 ⋅ sinφe<br />
⎡sin<br />
⎤<br />
X = ⋅<br />
⎢<br />
+ 1<br />
1−<br />
sinφ<br />
⎣ sinθ<br />
⎥<br />
⎦<br />
e<br />
( β+θ)<br />
1−m<br />
2 m<br />
( 1−sin<br />
φ ) ⋅sin<br />
( β+θ)<br />
( 4.42)<br />
m<br />
m ⎡π⋅<br />
⎤<br />
1+<br />
m<br />
2 ⋅[ 1−<br />
cos( β+θ)<br />
] ⋅<br />
⎢ ⎥<br />
⋅sin<br />
θ + sinβ⋅sin<br />
( β+θ)<br />
⎣ 180°<br />
Y<br />
⎦<br />
( 4.43)<br />
=<br />
+<br />
e<br />
1 Arnold, P.C. and A.G. Mclean, An analytical solution for the stress function at the wall of<br />
converging channel, Powder Technol. 13 (1976) 255<br />
2 Arnold, P.C., McLean, A.G., Roberts, A.W., Bulk Solids: Storage, Flow and Handling,<br />
TUNRA Bulk Solids Handling Research Associates, p. 4.15 ff, Univ. Newcastle, 1980<br />
3 Enstad, G., On the theory of arching in mass-flow hoppers, Chem. Engng. Sci. 30 (1975)<br />
1273<br />
Schüttec_4 VO Partikelmechanik und Schüttguttechnik, <strong>Trichterauslegung</strong> Prof. Dr. Jürgen Tomas, 04.06.2013
99<br />
Dabei muss Y > X sein.<br />
• die größte Hauptspannung am Auslauf σ 1 folgt entsprechend σ w<br />
Y⋅<br />
( 1 + sin φe<br />
)<br />
( X −1) ⋅sin<br />
θ ⋅ F( θ)<br />
σ<br />
1<br />
= ρb⋅<br />
g⋅<br />
b ⋅<br />
( 4.44)<br />
2⋅<br />
• sowie damit der Fließfaktor ff nach ARNOLD u.a. (für X > 1)<br />
Y⋅<br />
( 1+<br />
sinφe<br />
)<br />
( X −1) ⋅sinθ ⋅ F( θ)<br />
'<br />
σ1<br />
ff = = ( m+<br />
1)<br />
⋅<br />
( 4.45)<br />
σ 2 ⋅<br />
mit<br />
1<br />
m<br />
1−m<br />
⎛ 130°<br />
⎞ ⎛ 200°<br />
⎞<br />
F( θ ) = ⎜ ⎟ ⋅ ⎜ ⎟<br />
( 4.46)<br />
⎝130° + θ ⎠ ⎝ 200° + θ ⎠<br />
somit ist auch die Funktion H(θ) nach Gl.( 4.16):<br />
m<br />
m + 1 ⎛130° + θ ⎞ ⎛ 200° + θ ⎞<br />
H( θ ) = = ( m + 1)<br />
⋅⎜<br />
⎟ ⋅⎜<br />
⎟<br />
( 4.47)<br />
F( θ)<br />
⎝ 130°<br />
⎠ ⎝ 200°<br />
⎠<br />
1−m<br />
4.1.4 Vermeidung der Brückenbildung beim Massenflusstrichter<br />
4.1.4.1 Maximaler Trichterneigungswinkel für Massenfluß<br />
Die Randbedingungen zur Lösung der Gleichungen des radialen Spannungsfeldes<br />
entsprechen den Bedingung, ob an der Wand Fließen bzw. Abgleiten oder<br />
nicht eintritt, ergibt die Massen- und Kernflußgrenzen 8 , siehe dazu die Diagramme<br />
F 4.6 und F 4.7.<br />
Zur Gewährleistung von Massenfluss muss der Trichterwerkstoff glatt sein<br />
und steil genug gestaltet werden. Die praktisch immer noch häufig anzutreffenden<br />
60°-Trichter (30° zur Vertikalen) reichen dazu gewöhnlich nicht aus. Diese<br />
Diagramme lassen sich auch analytisch ausdrücken, und zwar gilt für den maximalen<br />
Neigungswinkel des Silotrichters zur Vertikalen 4 des<br />
• konischen Trichters und des<br />
θ<br />
kon<br />
≤<br />
1 ⎡<br />
⎛1−<br />
sin ϕe<br />
⎢180° − arccos<br />
⎜<br />
2 ⎣<br />
⎝ 2 ⋅sin<br />
ϕe<br />
⎞<br />
⎟ − ϕ<br />
⎠<br />
w<br />
⎛ sin ϕ<br />
− arcsin<br />
⎜<br />
⎝ sin ϕ<br />
W<br />
e<br />
⎞⎤<br />
⎟⎥<br />
⎠⎦<br />
( 4.48)<br />
θ = θ − (2°<br />
bis 3 )<br />
( 4.49)<br />
kon ,prak kon<br />
°<br />
Zur Sicherheit wählt man die Grenzen zwischen Massen- und Kernfluß etwa<br />
2° bis 3° niedriger. Wegen zu hoher Bauhöhen sind allerdings bisher Neigungswinkel<br />
unterhalb von θ = 15° praktisch nicht realisiert worden!<br />
• keilförmigen Trichters für ϕ W < ϕ e - 3° und θ ≤ 60°:<br />
θ<br />
keil<br />
⎡ 1 ⎛ 50° − ϕ ⎡<br />
ϕ<br />
⎤<br />
e ⎞⎤<br />
⎢<br />
⎟⎥ ⋅<br />
W<br />
≤ 60 .5° + arctan⎜<br />
⎢1<br />
−<br />
(4.50)<br />
⎣ 15.7°<br />
⎝ 7.73°<br />
⎠⎦<br />
⎣ 42.3° + 0.131°⋅exp<br />
( 0.06⋅ϕ<br />
) ⎥ e ⎦<br />
4 Ter Borg, L., Einfluß des Wandmaterials auf das Auslaufverhalten von Schüttgütern aus Silos,<br />
Chem.-Ing.-Techn. 58 (1986) 588 - 590<br />
Schüttec_4 VO Partikelmechanik und Schüttguttechnik, <strong>Trichterauslegung</strong> Prof. Dr. Jürgen Tomas, 04.06.2013
100<br />
Hier wird kein Sicherheitswert abgezogen.<br />
4.1.4.2 Grafische Auslegungsmethode für beginnendes Fließen<br />
Aus der Gl.( 4.15) folgt für die kritischen Druckspannungen am Schnittpunkt<br />
'<br />
σ<br />
c<br />
= σ 1<br />
, bei dem eine Brücke zerstört wird, Bild 4.6, Bilder F 4.13 und F 4.14:<br />
Brücken- σ<br />
Bild 4.6: Kriterium für die Brückenbildung<br />
eines kohäsiven<br />
1 ’ keine Brücken<br />
σ c bildung<br />
σ 1 ’ > σ c<br />
σ 1 ’<br />
σ<br />
Schüttgutes, siehe Bild F 4.10,<br />
c<br />
'<br />
σ<br />
c<br />
> σ 1<br />
Brückenbildung und<br />
σ c,krit<br />
σ<br />
'<br />
c > σ 1 ’<br />
σ < keine Brückenbildung!<br />
c<br />
σ 1<br />
• minimale Öffnungsweite zur Vermeidung von Brücken:<br />
( m + 1) ⋅ σc,krit<br />
⋅ sin 2( θ + ϕw<br />
)<br />
bmin<br />
= ( 4.15)<br />
ρ ⋅ g<br />
b,krit<br />
m = 0 keilförmiger Trichter<br />
m = 1 konischer Trichter, siehe F 4.8<br />
• Mindestschlitzlänge für den keilförmigen Trichter<br />
lmin = 3⋅<br />
b min<br />
(4.51) Keiltrichter mit senkrechten Stirnwänden<br />
l = 6 ⋅ (4.52) Keiltrichter mit schrägen Stirnwänden, s. F 4.9<br />
min<br />
b min<br />
• Die Materialeigenschaftsfunktionen können als linearen Funktionen, siehe<br />
Bilder F 4.13 und F 4.14, Schüttec_3.doc - sigma_c_sigma_1 und<br />
Schüttec_3.doc - sigma_ct_sigma_1. durch Regression der Meßergebnisse<br />
gewonnen werden. Die Geraden sind folgenden Typs:<br />
σ<br />
c<br />
= a1⋅<br />
σ1<br />
+ σc,0<br />
( 4.53)<br />
c<br />
2 ⋅ ( sin ϕst<br />
− sin ϕi<br />
)<br />
( 1+<br />
sin ϕ ) ⋅ ( 1−<br />
sin ϕ )<br />
st<br />
i<br />
1<br />
2 ⋅ sin ϕst<br />
⋅ ( 1+<br />
sin ϕi<br />
)<br />
⋅ σ0<br />
( 1+<br />
sin ϕ ) ⋅ ( 1−<br />
sin ϕ )<br />
σ =<br />
⋅ σ +<br />
( 4.54)<br />
σ ( 4.55)<br />
ct<br />
= a1,t⋅<br />
σ1<br />
+ σct,0<br />
σ 1,krit<br />
σ 1<br />
a 1 , a 1t Anstiege der Eigenschaftsfunktionen<br />
σ c,0 , σ ct,0 Ordinatenabschnitte der Druckfestigkeitsfunktion für σ 1 = 0<br />
st<br />
i<br />
• Mit dem Fließfaktor ff gemäß Gl.( 4.19) bzw. mit der effektiven (wirksamen)<br />
größten Hauptspannung an der Wand σ 1 ’, die einer Auflagerspannung<br />
der kohäsiven Schüttgutbrücke entspricht:<br />
'<br />
σ = / ff<br />
( 4.56)<br />
1<br />
σ1<br />
und der Verfestigungsfunktion Gl. ( 4.53)<br />
σ<br />
c<br />
= a1⋅σ1<br />
+ σc,0<br />
( 4.53)<br />
ist am Schnittpunkt der Verfestigungsfunktion σ c (σ 1 ) mit der Auflagerspannung<br />
Gl.( 4.56):<br />
Schüttec_4 VO Partikelmechanik und Schüttguttechnik, <strong>Trichterauslegung</strong> Prof. Dr. Jürgen Tomas, 04.06.2013
'<br />
'<br />
σ<br />
c<br />
= a1⋅σ1⋅ff<br />
+ σc,0<br />
bzw. σ<br />
c<br />
− a1⋅σ1⋅ff<br />
= σc,<br />
0<br />
101<br />
und für<br />
σ = ist σ<br />
c<br />
− a1⋅σ<br />
c⋅ff<br />
= σc,<br />
0<br />
'<br />
c<br />
σ 1<br />
Es folgt die kritische Druckfestigkeit am Schnittpunkt beider Funktionen<br />
σc,0<br />
σ<br />
c,krit<br />
=<br />
( 4.57)<br />
− a ⋅ ff<br />
1<br />
1<br />
und die kritische Hauptspannung mit der Gl.( 4.56):<br />
'<br />
σc,0<br />
⋅ ff<br />
σ<br />
1,krit<br />
= σ1<br />
⋅ ff = σc,krit<br />
⋅ ff =<br />
( 4.58)<br />
1−<br />
a ⋅ ff<br />
1<br />
Mit Gl. ( 4.15) folgt die minimale Trichteröffnungsweite zur Vermeidung<br />
von Brückenbildung bei beginnendem Fließen - nach stationärem<br />
Fließen als vorherige Verfestigung infolge des radialen Spannungsfeldes<br />
b<br />
min<br />
(m + 1) ⋅ σc,0⋅<br />
sin2( θ+ϕw<br />
)<br />
= (4.59)<br />
ρ ⋅g<br />
⋅ (1 − a ⋅ ff )<br />
b,krit<br />
1<br />
oder mit den Fließkennwerten des stationären und beginnenden Fließens<br />
(Reibungswinkel ϕ st , ϕ i , isostatische Zugfestigkeit σ 0 ) ausgedrückt,<br />
b<br />
min<br />
+ 1) ⋅ sin 2( ϕW<br />
+ θ) ⋅ ( 1+<br />
sin ϕi<br />
) ⋅ sin ϕst<br />
⋅ σ0<br />
[ 1−<br />
sin ϕ ⋅ sin ϕ − ( sin ϕ − sin ϕ ) ⋅ ( 2 ⋅ ff −1)<br />
]<br />
2 ⋅ (m<br />
= ( 4.60)<br />
ρ ⋅ g ⋅<br />
b,krit<br />
st<br />
und für das beginnende Fließen nach einer Zeitverfestigung:<br />
b<br />
min,t<br />
i<br />
(m + 1) ⋅ σct,0⋅<br />
sin 2( θ + ϕw<br />
)<br />
= ( 4.61)<br />
ρ ⋅ g⋅<br />
(1 − a ⋅ ff )<br />
b,krit<br />
1t<br />
als Grundlage einer grafische und der partiell analytischen Berechnung.<br />
• Unter Einbeziehung der analytischen Näherung der Funktion H(θ)<br />
⎛ Θ ⎞<br />
H ( θ) = ( m + 1) ⋅⎜1+<br />
0,25⋅<br />
⎟ ( 4.16)<br />
⎝ 40°<br />
⎠<br />
gemäß JENIKE lässt sich mit der Gl. ( 4.17) auch schreiben:<br />
b<br />
b<br />
min<br />
min,t<br />
H( θ)<br />
⋅ σc,0<br />
= ( 4.62)<br />
ρ ⋅g<br />
⋅ (1 − a ⋅ ff )<br />
b,krit<br />
1<br />
H( θ)<br />
⋅ σct,0<br />
= ( 4.63)<br />
ρ ⋅g<br />
⋅ (1 − a ⋅ ff )<br />
b,krit<br />
1<br />
• Diese beiden Auslegungsbeziehungen liefern etwas höhere Rechenwerte<br />
als die Gln. (4.59) und ( 4.61) davor.<br />
• Der Schnittpunkt der Druck- und Festigkeitskennlinie liefert auch die<br />
kritische Verfestigungsspannung σ 1,krit , siehe Gln. ( 4.58) bzw. ( 4.82)<br />
und Bild 4.6:<br />
ρ<br />
⋅ g ⋅ b<br />
⋅ ff<br />
b,krit min krit<br />
σ<br />
1,krit<br />
=<br />
( 4.64)<br />
( m + 1) ⋅ sin 2( θ + ϕw<br />
)<br />
st<br />
i<br />
Schüttec_4 VO Partikelmechanik und Schüttguttechnik, <strong>Trichterauslegung</strong> Prof. Dr. Jürgen Tomas, 04.06.2013
102<br />
• Für diesen Wert müssen die zugehörigen Fließkennwerte ϕ e (σ 1 ),<br />
ϕ w (σ 1 ), ρ b (σ 1 ), ff(ϕ e (σ 1 ), ϕ w (σ 1 )) herausgesucht werden, Bilder F 4.13<br />
und F 4.14! Da dieser Schnittpunkt bei Beginn der Dimensionierungsrechnung<br />
noch nicht bekannt ist, sind ein oder zwei Iterationen notwendig.<br />
• Die ausgeführte Öffnungsweite zur Vermeidung von Brückenbildung<br />
muß b ≥ b sein !<br />
min<br />
Gelingt dies nicht, muss an dieser kritischen Stelle eine Austragshilfe bzw.<br />
ein Zwangsaustrag eingesetzt werden, siehe Schüttec_6.doc!<br />
4.1.4.3 Analytische Auslegung für beginnendes Fließen mit ρ b,krit<br />
• Für die Beschreibung der Druckabhängigkeit der Schüttgutdichte in der Dimensionierungsgleichung<br />
(4.59) wird die folgende Kompressionsfunktion<br />
ρ b (σ M,st ) benutzt, siehe Schüttec_3.doc - Rhob_SigmaMst:<br />
n<br />
⎛ σM,st<br />
b b,0<br />
1 ⎟ ⎞<br />
ρ =ρ ⋅<br />
⎜ +<br />
( 4.65)<br />
⎝ σ0<br />
⎠<br />
Mit der Beziehung ( 4.66 des stationären Fließortes wird sie auf eine Kompressionsfunktion<br />
ρ b (σ 1 ) umgerechnet:<br />
( σ + σ ) +<br />
st<br />
1<br />
= σ<br />
R,st<br />
+ σ<br />
M,st<br />
= sin ϕst<br />
⋅<br />
M,st 0<br />
σ<br />
M,<br />
σ ( 4.66)<br />
σ<br />
M,st<br />
⋅<br />
( 1+<br />
sin ϕ ) = σ − σ ⋅ sin ϕst<br />
st<br />
1<br />
0<br />
Eingesetzt in die Kompressionsfunktion Gl. ( 4.65) folgt:<br />
ρ<br />
ρ<br />
b<br />
b<br />
=ρ<br />
= ρ<br />
b,0<br />
b,0<br />
⎛<br />
⋅<br />
⎜<br />
⎝<br />
n<br />
1 σ1<br />
− σ0<br />
⋅ sin ϕ ⎞ ⎛<br />
st<br />
σ0<br />
⋅ ( 1+<br />
sin ϕst<br />
) + σ1<br />
− σ0<br />
⋅ sin ϕst<br />
b,0<br />
0<br />
( 1 sin<br />
st<br />
)<br />
0<br />
( 1 sin<br />
st<br />
) ⎟ ⎞<br />
+<br />
⎟ = ρ ⋅<br />
⎜<br />
σ ⋅ + ϕ<br />
σ ⋅ + ϕ ⎠<br />
⎛ σ<br />
⋅<br />
⎜<br />
⎝<br />
0<br />
+ σ<br />
0<br />
⋅ sin ϕ<br />
σ ⋅<br />
0<br />
st<br />
⎠<br />
− σ<br />
0<br />
⋅ sin ϕ<br />
Mit dieser Kompressionsfunktion ρ b (σ 1 )<br />
ρ<br />
ρ<br />
b,krit<br />
b,0<br />
⎛ 1<br />
=<br />
⎜<br />
⎝1+<br />
sin ϕ<br />
st<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
n<br />
⎝<br />
( 1+<br />
sin ϕ ) ⎟ ⎜ ( 1+<br />
sin ϕ )<br />
⎛ σ<br />
⋅<br />
⎜1+<br />
⎝ σ<br />
st<br />
1,krit<br />
0<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
n<br />
st<br />
n<br />
+ σ ⎞<br />
1<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎛<br />
= ⎜<br />
⎝<br />
σ<br />
0<br />
+ σ1<br />
⋅ σ<br />
und der Gleichung (4.59) für die minimale Trichteröffnungsweite<br />
b<br />
min<br />
st<br />
0<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
n<br />
(4.67)<br />
(m + 1) ⋅ σc,0⋅<br />
sin2( θ+ϕw<br />
)<br />
= (4.59)<br />
ρ ⋅g<br />
⋅ (1 − a ⋅ ff )<br />
b,krit<br />
1<br />
folgt eine analytische Beziehung zur Berechnung der minimalen Trichteröffnungsweite:<br />
b<br />
min<br />
(m + 1) ⋅ σc,0⋅<br />
sin2( θ+ϕw<br />
) ⋅<br />
=<br />
⎛ σ<br />
ρb,0<br />
⋅ g ⋅ (1 − a1⋅<br />
ff ) ⋅<br />
⎜1+<br />
⎝ σ<br />
( 1+<br />
sin ϕ )<br />
1,krit<br />
0<br />
n<br />
st<br />
n<br />
⎟ ⎞<br />
⎠<br />
n<br />
Schüttec_4 VO Partikelmechanik und Schüttguttechnik, <strong>Trichterauslegung</strong> Prof. Dr. Jürgen Tomas, 04.06.2013
103<br />
Einsetzen der kritischen Hauptspannung Gl. ( 4.58)<br />
'<br />
σc,0<br />
⋅ ff<br />
σ<br />
1,krit<br />
= σ1<br />
⋅ ff = σc,krit<br />
⋅ ff =<br />
( 4.58)<br />
1−<br />
a ⋅ ff<br />
b<br />
b<br />
b<br />
min<br />
min<br />
min<br />
(m + 1) ⋅ σc,0⋅<br />
sin2( θ+ϕ<br />
=<br />
⎛<br />
ρb,0<br />
⋅ g ⋅ (1 − a1⋅<br />
ff ) ⋅<br />
⎜1+<br />
⎝<br />
=<br />
=<br />
ρ<br />
ρ<br />
b,0<br />
b,0<br />
(m + 1) ⋅ σ<br />
c,0<br />
⋅ sin2(<br />
⎛<br />
⋅ g ⋅ (1 − a1⋅<br />
ff ) ⋅<br />
⎜<br />
⎝<br />
(m + 1) ⋅ σ<br />
c,0<br />
⋅ sin2(<br />
(1 − a1⋅<br />
ff ) ⎛<br />
⋅ g ⋅ ⋅<br />
n<br />
( 1 a1<br />
ff )<br />
⎜<br />
− ⋅ ⎝<br />
w<br />
1<br />
) ⋅<br />
( 1+<br />
sin ϕ )<br />
σ<br />
c,0<br />
⋅ ff<br />
( 1−<br />
a1⋅ff<br />
) ⋅ σ ⎟<br />
0 ⎠<br />
n<br />
θ+ϕw<br />
) ⋅ ( 1+<br />
sin ϕst<br />
)<br />
( 1−<br />
a1⋅ff<br />
) ⋅ σ0<br />
+ σc,0<br />
⋅<br />
( 1−<br />
a1⋅ff<br />
) ⋅ σ0<br />
n<br />
θ+ϕw<br />
) ⋅ ( 1+<br />
sin ϕst<br />
)<br />
( 1−<br />
a ⋅ff<br />
) ⋅ σ + σ ⋅<br />
1<br />
σ<br />
0<br />
0<br />
st<br />
n<br />
⎞<br />
⎟<br />
n<br />
c,0<br />
ff ⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
n<br />
ff ⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
Die minimale Trichteröffnungsweite zur Vermeidung von Brückenbildung<br />
bei beginnendem Fließen ist nun:<br />
b<br />
min<br />
=<br />
ρ<br />
(m + 1) ⋅ σ<br />
b,0<br />
c,0<br />
⋅ g ⋅ (1 − a ⋅ ff )<br />
1<br />
⋅ sin2( θ+ϕ<br />
1−n<br />
w<br />
) ⋅<br />
( 1+<br />
sin ϕ )<br />
c,0<br />
ff ⎞<br />
⎜ ⎛ σ ⋅<br />
⋅ 1−<br />
a1⋅ff<br />
+<br />
⎟<br />
⎝<br />
σ0<br />
⎠<br />
st<br />
n<br />
n<br />
n<br />
( 4.68)<br />
Unter Einbeziehung der analytischen Näherung der Funktion H(θ)<br />
⎛ Θ ⎞<br />
H ( θ) = ( m + 1) ⋅⎜1+<br />
0,25⋅<br />
⎟ ( 4.16)<br />
⎝ 40°<br />
⎠<br />
gemäß JENIKE lässt sich wiederum mit der Gl. ( 4.17) schreiben:<br />
b<br />
min<br />
=<br />
ρ<br />
b,0<br />
H( θ)<br />
⋅ σ<br />
⋅ g ⋅ (1 − a ⋅ ff )<br />
1<br />
c,0<br />
⋅<br />
1−n<br />
( 1+<br />
sin ϕ )<br />
st<br />
⎛ σc,0<br />
⋅ ff ⎞<br />
⋅<br />
⎜1−<br />
a1⋅ff<br />
+<br />
⎟<br />
⎝<br />
σ0<br />
⎠<br />
n<br />
n<br />
( 4.69)<br />
4.1.4.4 Analytische Auslegung für stationäres Fließen<br />
• Im Falle des stationären Fließens sind die größte Hauptspannung und die<br />
einaxiale Druckfestigkeit gleich σ 1 = σ c,st und man erhält die Druckfestigkeit<br />
aus dem kohäsiven stationären Fließort, siehe auch Schüttec_3.doc - sigma_c_Druckfestigkeit_stationä_Fließen:<br />
2 ⋅ sin ϕ<br />
st<br />
σ<br />
1<br />
= σc,st<br />
= ⋅ σ0<br />
( 4.70)<br />
1−<br />
sin ϕst<br />
Bzw. mit der Gl.( 4.53) ist auch:<br />
σc,0<br />
σ<br />
c,krit<br />
= σc,st<br />
=<br />
( 4.71)<br />
1− a<br />
1<br />
• Vergleicht man diese Gl.( 4.71) mit der Gl.( 4.57) folgt, dass der Fließfaktor<br />
ff = 1 beim stationären Ausfließen beträgt!<br />
• Es wird nun angenommen, dass sich eine gleichmäßige Spannungsverteilung<br />
über dem Querschnitt einer stationär fließenden Brücke einstellt, d.h.,<br />
Schüttec_4 VO Partikelmechanik und Schüttguttechnik, <strong>Trichterauslegung</strong> Prof. Dr. Jürgen Tomas, 04.06.2013
104<br />
die größte Hauptspannung in der Brücke entspricht auch der wirksamen<br />
Hauptspannung an der Trichterwand σ 1 = σ 1 ’.<br />
• Für die minimale Öffnungsweite zur Vermeidung von Brücken während<br />
des stationären Ausfließens ist damit,<br />
b<br />
min,st<br />
(m + 1) ⋅ σc,0⋅<br />
sin2( θ+ϕw<br />
)<br />
= ( 4.72)<br />
ρ ⋅ g ⋅ (1 − a )<br />
b,krit<br />
oder mit der Gl.( 4.70):<br />
b<br />
min,st<br />
1<br />
2 ⋅ (m + 1) ⋅ sin ϕst<br />
⋅σ<br />
0⋅sin2(<br />
θ+ϕw<br />
)<br />
= ( 4.73)<br />
ρ ⋅g ⋅(1<br />
− sin ϕ )<br />
b,krit<br />
st<br />
Diese minimale Öffnungsweite b min,st fällt etwas kleiner aus als das b min für<br />
das beginnende Ausfließen. D.h. während des ständigen Ausfließens würde<br />
auch eine etwas kleinere Trichteröffnungsweite ausreichen, um die Brückenbildung<br />
zu vermeiden. Das dürfte die bekannte Überdimensionierung<br />
mit der JENIKE-Methode erklären.<br />
• Damit entfallen die Iterationen zur Ermittlung der Fließkennwerte ϕ e (σ 1 ),<br />
ϕ w (σ 1 ) und des Fließfaktors ff(ϕ e (σ 1 ), ϕ w (σ 1 )).<br />
4.1.4.5 Analytische Auslegung für stationäres Fließen mit ρ b,krit<br />
• Die Schüttgutdichte ρ b (σ 1 ) beim stationären Ausfließen (etwas geringer als<br />
beim beginnenden Fließen) muß für σ M,st = σ c,st /2 gefunden werden:<br />
n<br />
⎛ σc,st<br />
b b,st b,0<br />
1<br />
2 ⎟ ⎞<br />
ρ = ρ =ρ ⋅<br />
⎜ +<br />
( 4.74)<br />
⎝ ⋅ σ0<br />
⎠<br />
mit der Gl.( 4.70) folgt einfach:<br />
2 ⋅ sin ϕ<br />
st<br />
σ<br />
1<br />
= σc,st<br />
= ⋅ σ0<br />
( 4.70)<br />
1−<br />
sin ϕst<br />
n<br />
n<br />
n<br />
ρ<br />
b,st<br />
b,st<br />
=ρ<br />
b,0<br />
b,0<br />
⎛<br />
⋅<br />
⎜<br />
⎝<br />
sin ϕ<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎛1−<br />
sin ϕ<br />
⎜<br />
⎝<br />
+ sin ϕ<br />
1 st<br />
st<br />
st<br />
+<br />
= ρb,0<br />
⋅<br />
= ρb,0<br />
⋅<br />
1−<br />
sin ϕ ⎟ ⎜<br />
st<br />
1−<br />
sin ϕ ⎟ ⎜<br />
st<br />
1−<br />
sin ϕ ⎟ st ⎠<br />
−<br />
( 1−<br />
sin ϕ ) n<br />
ρ = ρ ⋅<br />
( 4.75)<br />
st<br />
• Zur Übung und Überprüfung der Gleichheit der Verwendung der Kompressionsfunktion<br />
ρ b (σ 1 ) Gl.(4.67):<br />
ρ<br />
ρ<br />
b,krit<br />
b,0<br />
⎛ 1<br />
=<br />
⎜<br />
⎝1+<br />
sin ϕ<br />
Für σ c,st = σ 1 ist<br />
ρ<br />
ρ<br />
ρ<br />
ρ<br />
b,krit<br />
b,0<br />
b,krit<br />
b,0<br />
⎛ 1<br />
=<br />
⎜<br />
⎝1+<br />
sin ϕ<br />
⎛ 1<br />
=<br />
⎜<br />
⎝1+<br />
sin ϕ<br />
st<br />
st<br />
st<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
n<br />
n<br />
n<br />
⎛ σ<br />
⋅<br />
⎜1+<br />
⎝ σ<br />
⎛ σ<br />
⋅<br />
⎜1+<br />
⎝ σ<br />
1,krit<br />
0<br />
0<br />
c,st<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎞ ⎛1−<br />
sin ϕst<br />
+ 2 ⋅sin<br />
ϕ<br />
⎟<br />
⎜<br />
⎠ ⎝ 1−<br />
sin ϕst<br />
n<br />
n<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
, (4.67)<br />
⎛ 1<br />
=<br />
⎜<br />
⎝1+<br />
sin ϕ<br />
st<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
n<br />
st<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
n<br />
⎛ 1<br />
=<br />
⎜<br />
⎝1+<br />
sin ϕ<br />
1<br />
⎛ 2 ⋅sin<br />
ϕ<br />
⋅<br />
⎜1+<br />
⎝ 1−<br />
sin ϕ<br />
st<br />
n<br />
st<br />
st<br />
⎞<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
n<br />
⎞ ⎛1+<br />
sin ϕ<br />
⎟<br />
⎜<br />
⎠ ⎝1−<br />
sin ϕ<br />
st<br />
st<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
n<br />
Schüttec_4 VO Partikelmechanik und Schüttguttechnik, <strong>Trichterauslegung</strong> Prof. Dr. Jürgen Tomas, 04.06.2013
105<br />
Das gleicht wieder der Beziehung ( 4.75):<br />
−<br />
ρ = ρ ⋅ 1−<br />
sin ϕ q.e.d! ( 4.75)<br />
b,krit<br />
b,0<br />
( ) n<br />
st<br />
• Setzt man Gl. ( 4.75) in Gl. ( 4.72) ein, ist die minimale Öffnungsweite zur<br />
Vermeidung von Brücken während des stationären Ausfließens:<br />
b<br />
min,st<br />
( 1−<br />
sin ϕ )<br />
(m + 1) ⋅ σc,0⋅sin2(<br />
θ+ϕw<br />
) ⋅<br />
st<br />
= ( 4.76)<br />
ρ ⋅ g ⋅ (1 − a )<br />
b,0<br />
Bzw. mit der Gl. ( 4.73) folgt:<br />
b<br />
2 ⋅ (m + 1) ⋅ sin ϕ<br />
1<br />
⋅ σ ⋅ sin2( θ+ϕ<br />
st 0<br />
w<br />
min,st<br />
=<br />
1−n<br />
( 4.77)<br />
ρb,0⋅<br />
g ⋅ (1 − sin ϕst<br />
)<br />
Unter Einbeziehung der analytischen Näherung der Funktion H(θ)<br />
⎛ Θ ⎞<br />
H ( θ) = ( m + 1) ⋅⎜1+<br />
0,25⋅<br />
⎟ ( 4.16)<br />
⎝ 40°<br />
⎠<br />
gemäß JENIKE lässt sich wiederum mit der Gl. ( 4.17) schreiben:<br />
b<br />
min,st<br />
( 1−<br />
sin ϕ )<br />
H( θ)<br />
⋅ σc,0⋅<br />
st<br />
= ( 4.78)<br />
ρ ⋅ g ⋅ (1 − a )<br />
b,0<br />
1<br />
n<br />
)<br />
n<br />
4.1.5 Geometrische Auslegung des Trichters<br />
b/2<br />
D/2<br />
θ<br />
H Tr<br />
Berechnung der Trichterhöhe<br />
D − b<br />
tan θ =<br />
2 ⋅<br />
H Tr<br />
D − b<br />
H Tr<br />
=<br />
( 4.79)<br />
2 ⋅ tan θ<br />
Bild 4.7 und F 4.8: Höhe eines Pyramidenstumpf-Trichters<br />
H Tr<br />
Kehle<br />
θ<br />
H Tr<br />
Diagonale<br />
L<br />
l<br />
Kehlneigung bei Rechtecktrichtern<br />
Bild 4.8: Kehlneigung θ<br />
Kehle<br />
≤ θ( max )!!!<br />
2<br />
2<br />
2 ⎛ L − l ⎞ ⎛ B − b ⎞<br />
Diagonale(unten)<br />
= ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟<br />
⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠<br />
Bild 4.9: Wandneigungen, siehe<br />
F 4.9<br />
b<br />
• θ<br />
B<br />
Schüttec_4 VO Partikelmechanik und Schüttguttechnik, <strong>Trichterauslegung</strong> Prof. Dr. Jürgen Tomas, 04.06.2013
L − l<br />
tan θ<br />
Wand1<br />
= und<br />
2 ⋅ H<br />
H<br />
Tr<br />
=<br />
Tr<br />
2<br />
( L − l) + ( B − b)<br />
2 tan θ<br />
2<br />
tan θ<br />
Wand2<br />
B − b<br />
=<br />
2 tan θ<br />
Wand2<br />
B − b<br />
=<br />
2 ⋅ H<br />
Tr<br />
106<br />
B − b<br />
tan θ = tan θ<br />
( 4.80)<br />
Wand2<br />
( L − l) 2<br />
+ ( B − b) 2<br />
Für eine Pyramide mit quadratischer Grundfläche<br />
d.h. B = L und b = l folgt:<br />
⎛ 1 ⎞<br />
θWand = arctan⎜<br />
tan θ⎟<br />
( 4.81)<br />
⎝ 2 ⎠<br />
4.1.6 Ermittlung der größten Hauptspannung σ 1 (b) am Auslauf<br />
Das =ˆ dem maximalen Druck, wobei die Richtung infolge ständiger Umorientierung<br />
hier nicht die Rolle spielen soll,<br />
→ grafisch ablesen aus σ c (σ 1 ) -Diagramm ⇒ siehe σ 1,krit Gl.( 4.64)<br />
'<br />
→ analytisch wie folgt: σ<br />
1<br />
= ff ⋅ σ1<br />
= ff ⋅ σc,<br />
krit<br />
→ Einsetzen der Dimensionierungsgleichung ( 4.15) und für den ausgeführten<br />
Auslauf der Breite b ist:<br />
ρb,krit<br />
⋅ g ⋅ b ⋅ ff<br />
σ<br />
1<br />
=<br />
( 4.82)<br />
m + 1 ⋅sin2<br />
θ + ϕ<br />
( ) ( )<br />
W<br />
• für Abschätzungen insbesondere bei kohäsionslosen Schüttgütern ist ff ≈ 1,3<br />
ausreichend bemessen,<br />
• Mittelpunktsspannung σ M,st am Auslauf:<br />
σ<br />
ρ ⋅ ⋅ ⋅<br />
1<br />
− sinϕ<br />
⋅ σ<br />
b,krit<br />
g ff b<br />
st 0<br />
σM,st<br />
=<br />
≈<br />
1 + sinϕ<br />
m + 1 ⋅ 1 + sinϕ<br />
⋅ sin 2 ϕ<br />
st<br />
( ) ( ) ( + θ)<br />
st<br />
W<br />
( 4.83)<br />
• maximal möglicher Vertikaldruck beim Fließen p v,max ≈ σ 1 und<br />
• (minimaler) Horizontaldruck ph,min≈ σ2=λ<br />
E⋅<br />
σ1<br />
mit dem Horizontaldruckverhältnis<br />
für Entleeren (glatte Wand ϕ w ≈ 0) λ<br />
1−sinϕe<br />
E≈<br />
, siehe 4.2.1<br />
1+<br />
sinϕ<br />
e<br />
4.1.7 Kompressibles Pulver und Hauptspannung σ 1 (b) am Auslauf<br />
• Für die Berechnung der dichte- und ortsabhängigen Verfestigungsspannung<br />
wird die größte Hauptspannung σ 1 beim Ausfließen aus dem Trichter<br />
ausgewählt, die beim passiven Spannungsfeld im Wesentlichen auf die<br />
Wand gerichtet ist. Dazu müssen die Gl.( 4.82) und die Kompressionsfunktion<br />
Gl.(4.67) geschickt miteinander kombiniert werden:<br />
Schüttec_4 VO Partikelmechanik und Schüttguttechnik, <strong>Trichterauslegung</strong> Prof. Dr. Jürgen Tomas, 04.06.2013
ρ<br />
⋅ g ⋅ b ⋅ ff<br />
b,krit<br />
σ<br />
1<br />
=<br />
( 4.82)<br />
( m + 1) ⋅sin 2( θ + ϕW<br />
)<br />
107<br />
ρ<br />
σ<br />
ρ<br />
b,krit<br />
1<br />
b,0<br />
σ<br />
1+<br />
σ<br />
⎛ 1<br />
=<br />
⎜<br />
⎝1+<br />
sin ϕ<br />
⎛ σ<br />
=<br />
⎜1+<br />
⎝ σ<br />
1<br />
0<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
n<br />
⎛ σ<br />
=<br />
⎜1+<br />
⎝ σ<br />
st<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
n<br />
⎛ σ<br />
⋅<br />
⎜1+<br />
⎝ σ<br />
ρ<br />
b,0<br />
1,krit<br />
0<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
n<br />
( m + 1) ⋅ ( 1+<br />
sin ϕ ) sin 2( θ + ϕ )<br />
n<br />
st<br />
n<br />
⋅ g ⋅ b ⋅ ff<br />
⋅ g ⋅ b ⋅ ff<br />
1 1<br />
b,0<br />
+<br />
0<br />
⎛ σ<br />
⎜1+<br />
⎝ σ<br />
⎛<br />
⎜1<br />
⎝<br />
1−n<br />
0<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
ρ<br />
n<br />
( m + 1) ⋅ ( 1+<br />
sin ϕ ) ⋅ σ ⋅ sin 2( θ + ϕ )<br />
1 b,0<br />
=<br />
+ 1<br />
0<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
ρ<br />
n<br />
( m + 1) ⋅ ( 1+<br />
sin ϕ ) ⋅ σ ⋅ sin 2( θ + ϕ )<br />
st<br />
st<br />
⋅ g ⋅ b ⋅ ff<br />
n<br />
( m + 1) ⋅ ( 1+<br />
sinϕ<br />
) ⋅ σ ⋅ sin2( θ + ϕ )<br />
0<br />
0<br />
W<br />
W<br />
W<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
1<br />
σ<br />
+<br />
σ<br />
0<br />
1<br />
0<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
(4.67)<br />
1<br />
−n<br />
1−n<br />
σ ⎞<br />
1 ⎪⎧<br />
ρb,0<br />
⋅ g ⋅ b ⋅ ff<br />
⎛ σ ⎞<br />
1 ⎪⎫<br />
+ ⎟ =<br />
+ ⎜1+<br />
⎟ (4.84)<br />
σ<br />
0<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎨<br />
⎪⎩<br />
Also ist σ 1 = f(b) für ein kompressibles Pulver:<br />
σ<br />
⎪⎧<br />
= σ<br />
⎪⎩<br />
ρ<br />
b,0<br />
1 0 ⎨<br />
1<br />
n<br />
( m + 1) ⋅ ( 1+<br />
sinϕst<br />
) ⋅ σ0<br />
⋅sin2( θ + ϕW<br />
)<br />
⎜<br />
st<br />
⋅ g ⋅ b ⋅ ff<br />
0<br />
W<br />
⎛<br />
+ ⎜<br />
⎝<br />
⎜<br />
⎝<br />
σ<br />
+<br />
σ<br />
1<br />
0<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
σ<br />
−n<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎪⎫<br />
⎬<br />
⎪⎭<br />
1<br />
1−n<br />
−n<br />
⎬<br />
⎪⎭<br />
− σ<br />
0<br />
(4.85)<br />
( ) ( ) ( ) ( )<br />
1 0<br />
st 0<br />
2<br />
Gl.(4.85) läßt sich wegen σ 1,i+1 = f(σ 1,i ) nur iterativ lösen. Für σ 1 > σ 0 und da<br />
1<br />
ρb,0<br />
⋅ g ⋅ b ⋅ ff<br />
<<br />
ist, kann σ<br />
n<br />
n<br />
1 = f(b) ana-<br />
1+ σ / σ m + 1 ⋅ 1+<br />
sinϕ<br />
⋅ σ ⋅sin<br />
θ + ϕ<br />
lytisch berechnet werden:<br />
1<br />
⎧<br />
ρ<br />
1 n<br />
b,0<br />
⋅ g ⋅ b ⋅ ff<br />
⎫ −<br />
σ<br />
1<br />
≈ σ0<br />
⎨<br />
n<br />
⎬<br />
(4.86)<br />
( m + 1) ⋅ ( 1+<br />
sinϕst<br />
) ⋅ σ0<br />
⋅ sin2( θ + ϕW<br />
)<br />
⎩<br />
⎭<br />
W<br />
• Für ρ b = f(b) setzt man Gl.(4.84) in die Kompressionsfunktion Gl.(4.67) ein<br />
⎛ σ ⎞<br />
⎜1+<br />
⎟<br />
⎝ σ0<br />
⎠<br />
n<br />
⎪⎧<br />
⎨<br />
⎪⎩<br />
ρ<br />
⋅ g ⋅ b ⋅ ff<br />
1 b,0<br />
=<br />
+ 1<br />
n<br />
( m + 1) ⋅ ( 1+<br />
sinϕ<br />
) ⋅ σ ⋅ sin2( θ + ϕ )<br />
st<br />
0<br />
W<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
σ<br />
+<br />
σ<br />
und es folgt mit der Gl.( 4.82) die Ortsabhängigkeit der Schüttgutdichte<br />
eines kompressiblen Pulvers im Auslauftrichter als Iterationsgleichung<br />
ρ b,i+1 = f(b, ρ b,i ):<br />
ρ<br />
ρ<br />
n<br />
⎛<br />
b<br />
1 ⎞ ⎪ ρb,0<br />
⋅ g ⋅ b ⋅ff<br />
⎛ σ1(<br />
ρb,<br />
b)<br />
b,0<br />
=<br />
⎜<br />
⎝1+<br />
sin ϕ<br />
st<br />
⎧<br />
⎟ ⎨<br />
⎠ ⎪⎩<br />
n<br />
( m + 1)( 1+<br />
sin ϕ ) σ sin 2( θ + ϕ )<br />
st<br />
0<br />
W<br />
1<br />
0<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
−n<br />
+<br />
⎜1+<br />
⎝<br />
(4.87)<br />
Die Plausibilität wird für b = 0 überprüft, siehe Gl.(4.67) für σ 1 = 0, es folgt:<br />
ρ<br />
b,0<br />
ρ<br />
b(b<br />
= 0) =<br />
(4.88)<br />
( 1+<br />
sinϕ<br />
) n<br />
st<br />
−n<br />
Zur Gewinnung einer analytischen Näherung ist mit ( 1+ σ1 / σ0<br />
) → 0<br />
⎪⎫<br />
⎬<br />
⎪⎭<br />
n<br />
1−n<br />
σ<br />
0<br />
:<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
−n<br />
⎪ ⎬<br />
⎫<br />
⎪⎭<br />
n<br />
1−n<br />
Schüttec_4 VO Partikelmechanik und Schüttguttechnik, <strong>Trichterauslegung</strong> Prof. Dr. Jürgen Tomas, 04.06.2013
108<br />
ρ<br />
ρ<br />
ρ<br />
ρ<br />
b<br />
b,0<br />
b<br />
b,0<br />
⎛ 1<br />
≈<br />
⎜<br />
⎝1+<br />
sin ϕ<br />
⎛ 1<br />
≈<br />
⎜<br />
⎝1+<br />
sin ϕ<br />
st<br />
st<br />
n<br />
⎞ ⎪<br />
⎧⎛<br />
1<br />
⎟ ⎨<br />
⎜<br />
⎠ 1 sin ⎪⎩ ⎝ + ϕ<br />
n<br />
⎞ ⎛ 1<br />
⎟<br />
⎜<br />
⎠ ⎝1+<br />
sin ϕ<br />
st<br />
st<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
n<br />
2<br />
n<br />
1−n<br />
ρ<br />
b,0<br />
⋅ g ⋅ b ⋅ff<br />
( m + 1) ⋅ σ ⋅sin 2( θ + ϕ )<br />
⎧<br />
⎨<br />
⎩<br />
ρ<br />
0<br />
b,0<br />
⋅ g ⋅ b ⋅ff<br />
W<br />
⎪<br />
⎫<br />
⎬<br />
⎪⎭<br />
( m + 1) ⋅ σ ⋅sin 2( θ + ϕ )<br />
0<br />
W<br />
n<br />
1−n<br />
⎫<br />
⎬<br />
⎭<br />
n<br />
1−n<br />
Mit den Exponenten:<br />
2<br />
n n<br />
+ n =<br />
1 − n<br />
2<br />
+ n ⋅ (1 − n) n<br />
=<br />
1 − n<br />
2<br />
+ n − n<br />
1 − n<br />
2<br />
n<br />
=<br />
1 − n<br />
Die Ortsabhängigkeit der Schüttgutdichte ρ b = f(b) ist am Trichterauslauf:<br />
ρ<br />
ρ<br />
b<br />
b,0<br />
⎡<br />
≈ ⎢<br />
⎣<br />
Wegen<br />
ρ<br />
b,0<br />
⋅ g ⋅ b ⋅ff<br />
( m + 1) ⋅ ( 1+<br />
sin ϕ ) ⋅ σ ⋅sin 2( θ + ϕ )<br />
b<br />
n<br />
1 n<br />
b −<br />
st<br />
0<br />
W<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎦<br />
n<br />
1−n<br />
(4.89)<br />
ρ ∝ nimmt die Schüttgutdichte für ein kompressibles Pulver<br />
deutlich mit der Auslaufbreite zu. Abweichend von Gl.(4.88) ist ρ b (b=0)=0.<br />
4.1.8 Auslegung der Geometrie eines Bunkertrichters<br />
1. Massenfluß (Vermeidung einer stabilen Brückenbildung)<br />
'<br />
• Vorauswahl von ϕ e in der Nähe des erwarteten σ σ ) = σ ( σ ) - Schnittpunktes<br />
für ff ≈ 1, d.h. etwa<br />
σ<br />
ρ<br />
⋅ g ⋅ b<br />
b,krit<br />
1,krit<br />
≈ ≈<br />
( m + 1)<br />
c( 1 1 1<br />
3...5 kPa<br />
⇒ liefert minimale Öffnungsweite einer möglichen Trichtereinschnürung<br />
b min,st während des stationären Fließens, siehe Bild F 4.13,<br />
• Maximale Trichterneigungswinkel θ = f(Wandreibungswinkel ϕ w , effektiver<br />
Reibungswinkel ϕ e ), F 4.6 und F 4.7<br />
• kohäsionsloses Schüttgut, Bild F 4.5:<br />
quadratisch: b = 5 ⋅ d ⋅ k<br />
(4.90)<br />
kreisförmig:<br />
b<br />
min<br />
min<br />
o<br />
= 5 ⋅ d ⋅ 1,08 ⋅ k<br />
(4.91)<br />
o<br />
Schlitzbreite: b = 5 ⋅ d ⋅ 3<br />
(4.92)<br />
min<br />
o<br />
d o ≈ d 95 obere Stück- oder Partikelgröße<br />
k = 0,6...1,4 Partikelform abhängiger Parameter, k↑ wenn Kantigkeit↑<br />
• kohäsives Schüttgut:<br />
• Vorauswahl ff = f(ϕ e ) F 4.11 anhand σ c = f(σ 1 ), F 4.13<br />
'<br />
• Auflagerspannung einer Schüttgutbrücke σ<br />
σ1<br />
1<br />
= mit dem Fließfaktor<br />
ff<br />
ff = f ( ϕe , ϕW<br />
, θ)<br />
F 4.11<br />
• b min ausrechnen, F 4.5<br />
• H Tr berechnen, F 4.8 und F 4.9<br />
• b min,st berechnen, siehe Bild F 4.13<br />
• Zeiteinfluß → siehe Bild F 4.15<br />
• Anordnung von Austraghilfen → siehe Bild F 4.16<br />
Schüttec_4 VO Partikelmechanik und Schüttguttechnik, <strong>Trichterauslegung</strong> Prof. Dr. Jürgen Tomas, 04.06.2013
109<br />
4.1.9 Berechnungsbeispiel für Kalzitpulver:<br />
geg.:<br />
X<br />
W<br />
= 0,3%, d50<br />
= 3 µ m, AS,m<br />
=<br />
5,5 m<br />
Bestimmung der Trichterneigung θ:<br />
ϕW = 30°<br />
F 4.6 → θ = 14°-2° = 12° kon. Trichter<br />
ϕe ≈ 55°<br />
F 4.7 → θ = 20° keilf. Trichter<br />
Berechnung der Mindestaustragweite für Massenfluß, F 4.5 und F 4.11:<br />
für ϕe ≈ 55°<br />
gewählt: ff = 1,3 kon. Trichter<br />
ff = 1,2 keilf. Trichter<br />
2 ⋅ 2,0kPa ⋅ sin 2( 30° + 12°<br />
)<br />
=<br />
1,22 m konischer Trichter<br />
3<br />
333kg / m ⋅ 9,81m / s<br />
1,9kPa ⋅ sin 2( 30° + 20°<br />
)<br />
=<br />
0,56 m keilförmiger Trichter<br />
3<br />
338kg / m ⋅ 9,81m / s<br />
bmin =<br />
2<br />
bmin =<br />
2<br />
numerisch ausgewertet:<br />
ϕW = 31°<br />
→ θ = 12,4° kon. Tr.<br />
θ = 20,9°<br />
keilf. Tr.<br />
2<br />
/ g<br />
b min = 1,13 m kon. Tr. für ff = 1,37<br />
b min = 0,54 m keilf. Tr. für ff = 1,25<br />
b min,st für stationäres Fließen in einem konischen Trichter, ff = 1:<br />
ϕi = 37°<br />
, ϕ st = 45°, σ 0 = 0,355 kPa, ρ b,0 = 297 kg/m³, n = 0,1<br />
2 ⋅ sin ϕst<br />
2 ⋅ sin 45°<br />
σ<br />
c ,st<br />
= ⋅ σ0=<br />
⋅ 0,355 kPa = 1,714 kPa<br />
1−<br />
sin ϕ 1−<br />
sin 45°<br />
ρ<br />
b,st<br />
st<br />
⎛ 1 ⎞<br />
= ρb,0<br />
⋅<br />
⎜<br />
=<br />
1 sin<br />
⎟<br />
⎝ − ϕst<br />
⎠<br />
(m + 1) ⋅σ<br />
c,st⋅sin2(<br />
θ+ϕ<br />
st<br />
=<br />
ρ ⋅g<br />
n<br />
297kg / m<br />
0,1<br />
3 ⎛ 1 ⎞<br />
⋅⎜<br />
⎟ =<br />
⎝1−<br />
sin 45°<br />
⎠<br />
) (1 + 1) ⋅1,714kPa⋅sin2(12+<br />
31)<br />
=<br />
3<br />
336kg / m ⋅9,81m / s<br />
336 kg / m<br />
w<br />
bmin, =<br />
2<br />
b<br />
3<br />
1,04 m<br />
Bestimmung der Trichterhöhe:<br />
2,75 −1,22<br />
HTr<br />
= = 3,6m kon.Tr.<br />
2⋅<br />
tan12°<br />
2,75 − 0,56<br />
HTr<br />
= = 3,01m keilf.Tr.<br />
2⋅<br />
tan 20°<br />
und Wandneigung eines Pyramidenstumpfes:<br />
⎛ 1 ⎞<br />
θWand<br />
= arctan⎜<br />
tan12°<br />
⎟ = 8, 6°<br />
⎝ 2 ⎠<br />
sowie der größten Hauptspannung im Auslauf:<br />
σ = 1,3 ⋅ 2,0kPa = 2,6kPa kon. Tr.<br />
σ<br />
1,krit<br />
1,krit<br />
= 1,2 ⋅1,9kPa<br />
= 2,28kPa keilf.Tr.<br />
Schüttec_4 VO Partikelmechanik und Schüttguttechnik, <strong>Trichterauslegung</strong> Prof. Dr. Jürgen Tomas, 04.06.2013
110<br />
4.2 Vermeidung der Schachtbildung in einem Kernflußbunker<br />
− Vermeidung einer stabilen Schachtbildung! → Bilder F 4.17 und F 4.18<br />
− Kennwertefunktionen → siehe Bild F 4.19<br />
− Gewöhnlich ist der Durchmesser konische Trichter zur Vermeidung der<br />
Schachtbildung b S,min > b min,Brücke ; somit ist keine Berücksichtigung der Brückenbildung<br />
notw.!<br />
− Beachte: Beim keilförmigen Trichter entspricht b S,min ≡ d S,min der Diagonalen<br />
des Schlitzauslaufes; deshalb muss die kritische Schlitzbreite b S,min<br />
zur Vermeidung der Brückenbildung überprüft werden, also:<br />
b<br />
S,min<br />
= d − l ≥ b<br />
( 4.93)<br />
2<br />
S,min<br />
2<br />
S,min<br />
min,Brücke<br />
und mit l S,min = 3 . b S,min gemäß Gl.(4.51) folgt<br />
d<br />
b<br />
2<br />
S,min<br />
S,min<br />
= b<br />
2<br />
S,min<br />
S,min<br />
+ l<br />
2<br />
S,min<br />
= b<br />
2<br />
S,min<br />
+ 6⋅<br />
b<br />
S,min<br />
2<br />
S,min<br />
= 7⋅<br />
b<br />
min,Brücke<br />
2<br />
S,min<br />
= d / 7 = 0,38⋅d<br />
≥ b<br />
( 4.94)<br />
− Trotzdem kann in mangelhaft ausgelegten Kernflußbunkern selbstverständlich<br />
auch Brückenbildung auftreten, z.B. → Standard-Baustellensilos für<br />
Zement oder Kalkmehl.<br />
4.2.1 Berechnung des Vertikaldruckes im Schaft<br />
4.2.1.1 JANSSEN-Gleichung des Fülldruckes im Schaft<br />
− Kräftegleichgewicht an einem horizontalen Scheibenelement der Dicke dy<br />
→ Voraussetzung: p v = const. über den Durchmesser D des Schaftes<br />
ρ b = const. F 4.20<br />
( p + dp ) ⋅ A − p ⋅ A + p ⋅dy<br />
⋅ U − ρ ⋅g<br />
⋅dy<br />
⋅ A<br />
∑ F ↑= 0 =<br />
v v<br />
v W<br />
b<br />
( 4.95)<br />
p<br />
p<br />
h<br />
w<br />
= λ ⋅ p<br />
( 4.96)<br />
F<br />
v<br />
= tan ϕ ⋅ p<br />
( 4.97)<br />
w<br />
h<br />
λ F Horizontaldruckverhältnis beim Füllen mit λ F = 0 ... 1, wobei gilt:<br />
λ F = 0 Festkörper<br />
λ F = 1 iso- oder hydrostatischer Zustand (Flüssigkeit)<br />
dp<br />
v<br />
U<br />
+ λ<br />
F<br />
⋅ tan ϕw<br />
⋅ ⋅ pv<br />
= ρb<br />
⋅ g<br />
( 4.98)<br />
dy<br />
A<br />
Lösung: als gemeinsame Übung:<br />
dpv<br />
U dp<br />
v<br />
= ρb<br />
⋅ g − λ<br />
F<br />
⋅ tan ϕw<br />
⋅ ⋅ pv<br />
= ρ<br />
dy<br />
A dy<br />
b<br />
p<br />
⋅ g −<br />
H<br />
Mit einer charakteristischen Höhe:<br />
A<br />
H = 63<br />
λ ⋅ tan ϕ ⋅ U<br />
( 4.99)<br />
F<br />
w<br />
v<br />
63<br />
Schüttec_4 VO Partikelmechanik und Schüttguttechnik, <strong>Trichterauslegung</strong> Prof. Dr. Jürgen Tomas, 04.06.2013
Trennung der Variablen:<br />
Integration für H = 0 sei p v = p v,0 :<br />
− H<br />
ln<br />
⋅ ln<br />
pv<br />
( ρ ⋅ g⋅<br />
H − p ) H<br />
63 b 63 v<br />
=<br />
pv,0<br />
( ρ ⋅ g⋅<br />
H − p ) − ln( ρ ⋅ g⋅<br />
H − p )<br />
b<br />
63<br />
⎛<br />
b<br />
g H<br />
ln⎜<br />
ρ ⋅ ⋅<br />
⎝ ρb⋅<br />
g⋅<br />
H<br />
63<br />
63<br />
v<br />
− p<br />
− p<br />
v<br />
v,0<br />
b<br />
⎞<br />
⎟<br />
= −<br />
⎠<br />
H<br />
H<br />
63<br />
63<br />
und<br />
v,0<br />
H<br />
H<br />
dp<br />
⋅<br />
dy<br />
= ρ ⋅ g⋅<br />
−<br />
v<br />
63 b<br />
H63<br />
pv<br />
pv<br />
H<br />
dpv<br />
63⋅<br />
∫ =<br />
ρ ⋅ ⋅ −<br />
∫ dy<br />
p b<br />
g H63<br />
p<br />
v,0<br />
v 0<br />
= −<br />
H<br />
H<br />
63<br />
ρb⋅<br />
g⋅<br />
H<br />
ρ ⋅ g⋅<br />
H<br />
b<br />
63<br />
63<br />
− p<br />
− p<br />
v<br />
v,0<br />
⎛ = exp<br />
⎜ −<br />
⎝<br />
H<br />
H<br />
63<br />
⎟ ⎞<br />
⎠<br />
111<br />
⎡ ⎛ H ⎞⎤<br />
⎛ H ⎞<br />
p ⎢<br />
⎜<br />
⎟⎥<br />
+ ⋅<br />
⎜ −<br />
⎟<br />
v = ρ<br />
b ⋅ g ⋅ H63<br />
⋅ 1 − exp − pv,0<br />
exp<br />
( 4.100)<br />
⎣ ⎝ H63<br />
⎠⎦<br />
⎝ H63<br />
⎠<br />
Für p v,0 = 0 folgt nun die sog. JANSSEN-Gleichung 5 :<br />
⎡ ⎛ H ⎤<br />
⎢<br />
⎟ ⎞<br />
p<br />
v = ρ<br />
b ⋅ g ⋅ H63<br />
⋅ 1 − exp<br />
⎜ − ⎥<br />
( 4.101)<br />
⎣ ⎝ H63<br />
⎠⎦<br />
p v<br />
p v∞<br />
ρ<br />
b<br />
⋅g<br />
⋅ H<br />
Bild 4.10: Vertikaldruckverlauf p v<br />
über der Behälterhöhe H<br />
0,63 . p v∞<br />
Es ist pv<br />
∞<br />
( H → ∞) = ρb<br />
⋅ g ⋅ H63<br />
H 63<br />
H<br />
und für H = H 63 ist<br />
1−<br />
exp( −1)<br />
= 1−<br />
0,37<br />
p H = H = 0,63⋅<br />
ρ<br />
v<br />
(<br />
63<br />
)<br />
b<br />
⋅ g ⋅ H63<br />
z.B. für einen zylindrischen Schaft gilt:<br />
A<br />
U<br />
2<br />
π ⋅ D D<br />
= =<br />
( 4.102)<br />
4 ⋅ π ⋅ D 4<br />
ρb<br />
⋅ g ⋅ D ⎡ ⎛<br />
H ⎞⎤<br />
pv =<br />
⋅ ⎢1<br />
− exp⎜−<br />
4 ⋅ λF<br />
⋅ tanϕw<br />
⋅ ⎟<br />
4 ⋅ λ ⋅ tanϕ<br />
⎥<br />
(4.103)<br />
F w ⎣ ⎝<br />
D ⎠⎦<br />
• für Silos ist p v ∼ D, → man baut einen schlanken Schaft mit geringem<br />
Durchmesser aber großer Höhe,<br />
• für Flüssigkeitstanks ist p v ∼ H, da = ρ⋅g<br />
⋅ H , → man baut gedrungene<br />
Tanks mit geringer Höhe aber großem Durchmesser.<br />
p v<br />
4.2.1.2 Kompressibles Pulver und isostatischer Druck σ iso (H)<br />
Für einen Schlankheitsgrad des Siloschaftes von H/D < 1,5 entspricht der<br />
Vertikaldruck p v ≈ σ iso näherungsweise dem isostatischen Druck (beachte jedoch<br />
p h = λ . p v ). Der isostatische Druck nimmt wegen des vernachlässigbaren<br />
5 Janssen, H.A., Versuche über Getreidedrücke in Silozellen, Z. VDI 39 (1895) 1045-1049<br />
Schüttec_4 VO Partikelmechanik und Schüttguttechnik, <strong>Trichterauslegung</strong> Prof. Dr. Jürgen Tomas, 04.06.2013
112<br />
Wandreibungswiderstandes p w →0 bei diesem Belastungsfall linear mit der<br />
Füllhöhe H zu:<br />
iso<br />
b<br />
( σ ) ⋅ g ⋅ H<br />
σ = ρ<br />
(4.104)<br />
iso<br />
In diese Gl.(4.104) wird die Kompressionsfunktion ρ b = f(σ iso ) mit dem isostatischen<br />
Druck, Gl.(4.105), siehe Schüttec_3.doc#Rhob_Sigmaiso, eingesetzt:<br />
ρ<br />
ρ<br />
b i<br />
1<br />
b,0<br />
⎛ sin ϕ ⎞<br />
=<br />
⎜<br />
sin<br />
st<br />
sin<br />
⎟<br />
⎝ ϕ + ϕi<br />
⎠<br />
n<br />
⎛<br />
⋅<br />
⎜<br />
⎝<br />
σ<br />
+<br />
σ<br />
iso<br />
0<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
n<br />
(4.105)<br />
σ<br />
= ρ<br />
⎛<br />
⋅⎜<br />
⎝<br />
sin ϕ<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
n<br />
⎜ ⎛ σ<br />
⋅ 1+<br />
⎝<br />
i<br />
iso<br />
iso b,0 ⎜<br />
:<br />
sin ϕst<br />
+ sin ϕ ⎟ ⎟<br />
i<br />
σ0<br />
n<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
n<br />
⋅g<br />
⋅ H<br />
σ ρb,0<br />
⎛<br />
iso<br />
sin ϕ ⎞ ⎛<br />
i<br />
σ ⎞<br />
iso<br />
= ⋅<br />
⎜<br />
1 ⋅g<br />
⋅ H + 1<br />
0 0<br />
sin<br />
st<br />
sin<br />
⎟ ⋅<br />
⎜ +<br />
⎟<br />
σ σ ⎝ ϕ + ϕi<br />
⎠ ⎝ σ0<br />
⎠<br />
σ<br />
ρ<br />
⎛<br />
⎜<br />
sin ϕ<br />
⎞<br />
⎟<br />
n<br />
⎛<br />
⎜<br />
1 iso b,0<br />
i<br />
iso<br />
iso<br />
+ = ⋅<br />
⋅ 1 g H 1 : 1<br />
0 0<br />
sin<br />
st<br />
sin ⎜ + ⋅ ⋅ + ⎜ +<br />
σ σ ⎜<br />
⎟ ⎟<br />
⎟ ⎝ ϕ + ϕi<br />
⎠ ⎝ σ0<br />
⎠<br />
⎝ σ0<br />
⎠<br />
1−n<br />
n<br />
−n<br />
⎛ σ<br />
⎜1+<br />
⎝ σ<br />
1<br />
iso b,0<br />
i<br />
g H 1<br />
0<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
ρ<br />
=<br />
σ<br />
0<br />
⎛ sin ϕ<br />
sin<br />
st<br />
sin ⎟ ⎞<br />
⋅<br />
⎜<br />
⎝ ϕ + ϕi<br />
⎠<br />
⋅<br />
σ<br />
n<br />
⋅<br />
⎞<br />
⎟<br />
n<br />
⎛<br />
+<br />
⎜<br />
⎝<br />
σ<br />
+<br />
σ<br />
1<br />
n<br />
−n<br />
1−n<br />
σ ⎡ρ<br />
iso b,0 ⎛ 1 ⎞ ⎛ σ ⎞ ⎤<br />
iso<br />
+ = ⋅⎜<br />
⎟ ⋅g<br />
⋅ H + ⎜1+<br />
⎟<br />
(4.106)<br />
σ<br />
0<br />
⎢<br />
⎣⎢<br />
σ<br />
0<br />
⎜<br />
⎝1+<br />
sin ϕ<br />
st<br />
/ sin ϕ ⎟<br />
i ⎠<br />
Die Höhenabhängigkeit des isostatischen Druckes σ iso (H) ist damit für ein<br />
kompressibles Pulver:<br />
σ<br />
⎡<br />
= σ ⋅<br />
⎣<br />
ρ<br />
⋅g<br />
⋅ H<br />
⎛<br />
+ ⎜<br />
⎝<br />
b,0<br />
iso 0<br />
⎢<br />
1<br />
n<br />
⎢σ0<br />
⋅( 1+<br />
sin ϕst<br />
/ sin ϕi<br />
)<br />
⎜<br />
σ<br />
+<br />
σ<br />
iso<br />
0<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
−n<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎥⎦<br />
σ<br />
0<br />
1<br />
1−n<br />
iso<br />
0<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎟ ⎞<br />
⎠<br />
− σ<br />
⎥<br />
⎥⎦<br />
0<br />
σ<br />
0<br />
⎛<br />
⎜<br />
σ<br />
⎞<br />
n<br />
(4.107)<br />
Gl.(4.107) läßt sich wegen σ iso,i+1 = f(σ iso,i ) nur iterativ lösen.<br />
Häufig ist σ iso > σ 0 und deshalb ist der Term ( 1 −<br />
+ σ σ ) n<br />
klein gegenüber<br />
dem linken Term in der [..]-Klammer, so dass man vereinfachend die Höhenabhängigkeit<br />
des isostatischen Druckes σ iso = f(H) auch analytisch berechnen<br />
kann:<br />
1<br />
⎡ ρ<br />
1 n<br />
b,0<br />
⋅g<br />
⋅ H ⎤ −<br />
σ<br />
iso<br />
≈ σ0<br />
⋅ ⎢<br />
n ⎥ (4.108)<br />
σ0<br />
⋅( 1+<br />
sin ϕst<br />
/ sin ϕi<br />
) ⎦<br />
⎣<br />
iso /<br />
0<br />
Für ρ b = f(H) setzt man Gl.(4.106) in die Kompressionsfunktion Gl.(4.105) ein<br />
⎛ σ<br />
⎜1<br />
+<br />
⎝ σ<br />
n<br />
iso b,0<br />
= ⋅<br />
⋅ g ⋅ H + 1<br />
0<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎡ρ<br />
⎢<br />
⎢ σ<br />
⎣<br />
0<br />
⎛ 1 ⎞<br />
⎜<br />
1 sin<br />
st<br />
/sin<br />
⎟<br />
⎝ + ϕ ϕi<br />
⎠<br />
n<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
σ<br />
+<br />
σ<br />
und mit der Gl.(4.104) erhält man für ein kompressibles Pulver die Höhenabhängigkeit<br />
der Schüttgutdichte in einem Schüttguthaufen oder Halde als<br />
Iterationsgleichung ρ b,i+1 = f(H, ρ b,i ):<br />
iso<br />
0<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
−n<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎥⎦<br />
n<br />
1−n<br />
Schüttec_4 VO Partikelmechanik und Schüttguttechnik, <strong>Trichterauslegung</strong> Prof. Dr. Jürgen Tomas, 04.06.2013
ρ<br />
ρ<br />
b<br />
b,0<br />
⎛ sinϕ<br />
⎞<br />
i<br />
=<br />
⎜<br />
sin<br />
st<br />
sin<br />
⎟<br />
⎝ ϕ + ϕi<br />
⎠<br />
n<br />
⎡ρ<br />
⋅ ⎢<br />
⎢ σ<br />
⎣<br />
b,0<br />
0<br />
⎛ sinϕi<br />
⋅<br />
⎜<br />
⎝ sinϕst<br />
+ sinϕ<br />
i<br />
n<br />
⎞ ⎛ ρb<br />
⎟ g ⋅ H +<br />
⎜1+<br />
⎠ ⎝<br />
⋅ g ⋅ H ⎞<br />
⎟<br />
σ0<br />
⎠<br />
(4.109)<br />
Die Plausibilität wird für H = 0 überprüft und es folgt<br />
n<br />
⎛ sinϕ<br />
⎞<br />
i<br />
ρ<br />
b( H = 0) =<br />
⎜<br />
⋅ρb,0<br />
sin<br />
st<br />
sin<br />
⎟<br />
(4.110)<br />
⎝ ϕ + ϕi<br />
⎠<br />
siehe auch Gl.(4.105) für σ iso = 0.<br />
Zur Gewinnung einer analytischen Näherung ist mit ( 1+ ρ ⋅ g ⋅ H / σ ) → 0<br />
b<br />
−n<br />
−n<br />
0<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎥⎦<br />
n<br />
1−n<br />
113<br />
:<br />
ρ<br />
ρ<br />
b<br />
b,0<br />
⎛ sinϕ<br />
⎞<br />
i<br />
≈<br />
⎜<br />
sin<br />
st<br />
sin<br />
⎟<br />
⎝ ϕ + ϕi<br />
⎠<br />
n<br />
⎡ρ<br />
⋅ ⎢<br />
⎢ σ<br />
⎣<br />
b,0<br />
0<br />
⎛ sinϕ<br />
⎞<br />
i<br />
⋅<br />
⎜<br />
sin<br />
st<br />
sin<br />
⎟<br />
⎝ ϕ + ϕi<br />
⎠<br />
n<br />
⎤<br />
⋅ g ⋅ H⎥<br />
⎥⎦<br />
n<br />
1−n<br />
ρ<br />
ρ<br />
b<br />
b,0<br />
n<br />
⎛ sinϕ<br />
⎞<br />
i<br />
sin ⎞<br />
i<br />
sin<br />
st<br />
sin ⎜ ⎛ ϕ<br />
≈<br />
⎜<br />
⎟ ⋅<br />
i<br />
sin<br />
st<br />
sin<br />
⎟<br />
⎝ ϕ + ϕ ⎠ ⎝ ϕ + ϕi<br />
⎠<br />
2<br />
n n<br />
Mit den Exponenten: + n =<br />
1 − n<br />
2<br />
n<br />
1−n<br />
2<br />
⎡ρb,0<br />
⎤<br />
⋅ ⎢ ⋅ g ⋅ H⎥<br />
⎣ σ0<br />
⎦<br />
+ n ⋅ (1 − n) n<br />
=<br />
1 − n<br />
n<br />
1−n<br />
2<br />
+ n − n<br />
1 − n<br />
2<br />
n<br />
=<br />
1 − n<br />
Die Höhenabhängigkeit der Schüttgutdichte ρ b = f(H) ist für H/D < 1,5:<br />
ρ<br />
ρ<br />
b<br />
b,0<br />
Wegen<br />
⎛ sinϕi<br />
≈<br />
⎜<br />
⎝ sinϕst<br />
+ sinϕ<br />
b<br />
n<br />
1 n<br />
H −<br />
i<br />
ρ<br />
⋅<br />
b,0<br />
⋅ g ⋅ H ⎞<br />
⎟<br />
σ0<br />
⎠<br />
n<br />
1−n<br />
(4.111)<br />
ρ ∝ nimmt die Schüttgutdichte für ein kompressibles Pulver<br />
deutlich mit der Schütthöhe zu. Abweichend von Gl.(4.110) ist durch die Vereinfachung<br />
ρ b (H=0) = 0.<br />
4.2.1.3 Kompressibles Pulver und Vertikaldruck p v (H) im Schaft<br />
Für die Berechnung der höhen- und dichteabhängigen Verfestigungsspannung<br />
wird der Vertikaldruck p v bzw. die größte Hauptspannung σ 1 bei Füllen ausgewählt,<br />
denn beim aktiven Spannungsfeld gilt zumindest in der Hauptachse<br />
des vertikalen Schaftes p v = σ 1 . Dazu müssen die Gl.(4.103) und die Kompressionsfunktion<br />
Gl.(4.67) miteinander kombiniert werden:<br />
⎡ ⎛ H ⎞⎤<br />
p<br />
v = ρ<br />
b ⋅ g ⋅ H63<br />
⋅ ⎢1<br />
− exp<br />
⎜ −<br />
⎟⎥<br />
(4.103)<br />
⎣ ⎝ H63<br />
⎠⎦<br />
n<br />
n<br />
ρb,krit<br />
⎛ 1 ⎞ ⎛ σ1,krit<br />
⎞<br />
=<br />
⎜<br />
1<br />
b,0<br />
1 sin<br />
⎟ ⋅<br />
⎜ +<br />
⎟<br />
(4.67)<br />
ρ ⎝ + ϕst<br />
⎠ ⎝ σ0<br />
⎠<br />
Nach Einsetzen von Gl.(4.67) in Gl.(4.103) gilt mit p v ≈ σ 1 :<br />
n<br />
⎛ p ⎞ ρ ⎡<br />
⎤<br />
b,0<br />
⋅ g ⋅ H<br />
⎢<br />
⎥<br />
( )<br />
⎟ ⎞<br />
⎜ ⎛<br />
v<br />
63<br />
H<br />
p<br />
v<br />
=<br />
⎜1+<br />
⎟<br />
1<br />
n − exp −<br />
⎝ σ0<br />
⎠ 1+<br />
sinϕst<br />
⎣ ⎝ H63<br />
⎠ ⎦<br />
Schüttec_4 VO Partikelmechanik und Schüttguttechnik, <strong>Trichterauslegung</strong> Prof. Dr. Jürgen Tomas, 04.06.2013
p<br />
1+<br />
σ<br />
⎛ p<br />
⎜1+<br />
⎝ σ<br />
⎛<br />
⎜1<br />
⎝<br />
⎛ p<br />
=<br />
⎜1+<br />
⎝ σ<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
n<br />
ρ<br />
⋅ g ⋅ H<br />
⎡ ⎛ H<br />
⎢1<br />
− exp<br />
⎜ −<br />
⎣ ⎝ H<br />
⎞⎤<br />
⎟<br />
⎠⎦<br />
v v b,0 63<br />
⎟<br />
n<br />
⎥ +<br />
0<br />
0 σ0<br />
⋅ ( 1+<br />
sinϕst<br />
)<br />
⎟<br />
63<br />
v<br />
0<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
1−n<br />
ρ<br />
=<br />
σ ⋅<br />
0<br />
b,0<br />
⋅ g ⋅ H<br />
63<br />
( 1+<br />
sin ϕ )<br />
st<br />
n<br />
⎡ ⎛<br />
⎢1<br />
− exp<br />
⎜ −<br />
⎣ ⎝<br />
H<br />
H<br />
63<br />
1<br />
⎞⎤<br />
⎛ p<br />
⎟⎥<br />
+<br />
⎜1+<br />
⎠⎦<br />
⎝ σ<br />
1<br />
−n<br />
1−n<br />
p ⎞<br />
v ⎪⎧<br />
ρb,0<br />
⋅ g ⋅ H ⎡<br />
63 ⎛ H ⎞⎤<br />
⎛ p ⎞<br />
v ⎪⎫<br />
+ ⎟ = ⎨<br />
1 exp<br />
1<br />
n ⎢ −<br />
⎥ + ⎬<br />
0 0<br />
( 1 sin<br />
st<br />
)<br />
⎜ −<br />
H<br />
⎟<br />
⎜ +<br />
⎟ (4.112)<br />
σ σ ⋅ + ϕ<br />
63<br />
σ0<br />
⎠<br />
⎪⎩<br />
⎣<br />
⎝<br />
Die Höhenabhängigkeit des Fülldruckes p v (H) ist somit für ein kompressibles<br />
Pulver:<br />
p<br />
v<br />
⎪⎧<br />
ρ<br />
= σ0<br />
⎨<br />
⎪⎩<br />
σ0<br />
⋅<br />
b,0<br />
⋅ g ⋅ H<br />
63<br />
( 1 + sinϕ<br />
)<br />
st<br />
n<br />
⎡ ⎛<br />
⎢1<br />
− exp<br />
⎜ −<br />
⎣ ⎝<br />
H<br />
H<br />
63<br />
⎠⎦<br />
⎝<br />
⎞⎤<br />
⎛ p<br />
⎟⎥<br />
+<br />
⎜1<br />
+<br />
⎠⎦<br />
⎝ σ<br />
v<br />
0<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
−n<br />
⎠<br />
v<br />
0<br />
⎪⎫<br />
⎬<br />
⎪⎭<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
−n<br />
⎪⎭<br />
1<br />
1−n<br />
− σ<br />
0<br />
(4.113)<br />
Gl.(4.113) läßt sich wegen p v,i+1 = f(p v,i ) nur iterativ lösen. Praktisch ist in Silos<br />
p v >> σ 0 und deshalb ist der rechte Term ( 1 p /<br />
−<br />
+ ) n<br />
v<br />
σ klein gegenüber dem<br />
linken Term in der [..]-Klammer, so dass man die Höhenabhängigkeit des Fülldruckes<br />
p v = f(H) auch analytisch berechnen kann:<br />
p<br />
1<br />
1−n<br />
⎪⎧<br />
ρb,0<br />
⋅ g ⋅ H ⎡<br />
63 ⎛ H ⎞⎤⎪⎫<br />
v<br />
≈ σ0<br />
⋅ ⎨ 1 exp<br />
n ⎢ −<br />
⎥<br />
0<br />
( 1 sin<br />
st<br />
)<br />
⎜ − ⎬<br />
H<br />
⎟<br />
(4.114)<br />
σ ⋅ + ϕ<br />
63 ⎦<br />
⎪⎩<br />
Der Horizontaldruck ist dann wegen p h = λ . p v :<br />
⎣<br />
⎝<br />
⎠<br />
⎪⎭<br />
0<br />
114<br />
p<br />
h<br />
1<br />
1−n<br />
⎪⎧<br />
ρb,0<br />
⋅ g ⋅ H ⎡<br />
63 ⎛ H ⎞⎤⎪⎫<br />
≈ λ0<br />
⋅ σ0<br />
⋅ ⎨<br />
1 exp<br />
n ⎢ − − ⎥⎬<br />
0<br />
( 1 sin<br />
st<br />
)<br />
H<br />
⎟<br />
(4.115)<br />
σ ⋅ + ϕ<br />
63<br />
⎪⎩<br />
⎣<br />
⎜ ⎜ ⎝<br />
⎠⎦⎪⎭<br />
Für ρ b = f(H) setzt man Gl.(4.112) in die Kompressionsfunktion Gl.(4.67) ein<br />
n<br />
−n<br />
⎛ p ⎞<br />
v ⎪⎧<br />
ρb,0<br />
⋅ g ⋅ H ⎡<br />
63 ⎛ H ⎤ p ⎞<br />
v ⎪⎫<br />
1 ⎨<br />
1 exp<br />
1<br />
n<br />
⎬<br />
0<br />
0<br />
( 1 sin<br />
st<br />
)<br />
H ⎜ ⎛<br />
⎢ ⎟ ⎞<br />
⎜ +<br />
⎟ =<br />
−<br />
⎜ − ⎥ + +<br />
⎟<br />
⎝ σ ⎠ ⎪⎩<br />
σ ⋅ + ϕ ⎣ ⎝ 63 ⎠⎦<br />
⎝ σ0<br />
⎠ ⎪⎭<br />
und es folgt mit p v (ρ b , H), Gl. (4.103), die Höhenabhängigkeit der Schüttgutdichte<br />
eines kompressiblen Pulvers in einem Siloschaft als Iterationsgleichung<br />
ρ b,i+1 = f(H, ρ b,i ):<br />
ρ<br />
ρ<br />
⎧<br />
n<br />
⎛<br />
b<br />
1 ⎞ ⎪ ρb,0<br />
⋅ g ⋅ H ⎡<br />
63 ⎛ H ⎞⎤<br />
⎛ pv(<br />
ρb,<br />
H)<br />
=<br />
⎜ ⎨<br />
1 exp<br />
1<br />
n<br />
b,0<br />
1 sin<br />
⎟<br />
⎢ − ⎥ +<br />
st 0( 1 sin<br />
st<br />
)<br />
⎜ −<br />
H<br />
⎟<br />
⎜ +<br />
+ ϕ σ + ϕ<br />
63 ⎦ σ0<br />
⎝<br />
⎠<br />
⎪⎩<br />
Die Plausibilität wird wiederum für H = 0 überprüft und es folgt<br />
ρ<br />
⎣<br />
⎝<br />
⎠<br />
⎝<br />
n<br />
1−n<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
(4.116)<br />
b,0<br />
ρ<br />
b(H<br />
= 0) =<br />
(4.117)<br />
( 1+<br />
sinϕ<br />
) n<br />
st<br />
siehe auch Gl. (4.67) für p v = σ 1 = 0.<br />
−n<br />
⎪<br />
⎫<br />
⎬<br />
⎪⎭<br />
n<br />
1−n<br />
Schüttec_4 VO Partikelmechanik und Schüttguttechnik, <strong>Trichterauslegung</strong> Prof. Dr. Jürgen Tomas, 04.06.2013
−n<br />
0<br />
Zur Gewinnung einer analytischen Näherung ist mit ( 1+<br />
p / σ ) → 0<br />
ρ<br />
ρ<br />
ρ<br />
ρ<br />
b<br />
b,0<br />
b<br />
b,0<br />
⎛ 1<br />
=<br />
⎜<br />
⎝1+<br />
sin ϕ<br />
st<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
n<br />
n<br />
⎪⎧<br />
ρ<br />
⋅ ⎨<br />
⎪⎩ σ0<br />
⋅<br />
b,0<br />
⋅ g ⋅ H<br />
63<br />
( 1+<br />
sin ϕ )<br />
2<br />
n<br />
1−n<br />
⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎪⎧<br />
ρ<br />
=<br />
⎜<br />
⋅ ⎨<br />
1 sin<br />
⎟<br />
⎜<br />
st<br />
1 sin<br />
⎟<br />
⎝ + ϕ ⎠ ⎝ + ϕst<br />
⎠ ⎪⎩<br />
2<br />
n n<br />
Mit den Exponenten: + n =<br />
1 − n<br />
st<br />
n<br />
⎡ ⎛<br />
⎢1<br />
− exp<br />
⎜ −<br />
⎣ ⎝<br />
b,0<br />
H<br />
H<br />
63<br />
v<br />
⎞⎤⎪⎫<br />
⎟⎥⎬<br />
⎠⎦⎪⎭<br />
n<br />
1−n<br />
:<br />
n<br />
1−n<br />
⋅ g ⋅ H ⎡<br />
63 ⎛ H ⎞⎤⎪⎫<br />
⎢1<br />
− exp<br />
⎜ − ⎥⎬<br />
0 ⎣ H<br />
⎟<br />
σ<br />
⎝ 63 ⎠⎦⎪⎭<br />
2<br />
2<br />
+ n ⋅ (1 − n) n + n − n n<br />
=<br />
=<br />
1 − n 1 − n 1 − n<br />
Die Höhenabhängigkeit der Schüttgutdichte ρ b = f(H) ist für H/D > 1,5:<br />
ρ<br />
ρ<br />
b<br />
b,0<br />
⎪⎧<br />
ρ<br />
≈ ⎨<br />
⎪⎩<br />
σ0<br />
⋅<br />
b,0<br />
⋅ g ⋅ H<br />
63<br />
( 1+<br />
sin ϕ )<br />
st<br />
⎡ ⎛<br />
⎢1<br />
− exp<br />
⎜ −<br />
⎣ ⎝<br />
H<br />
H<br />
63<br />
2<br />
⎞⎤⎪⎫<br />
⎟⎥⎬<br />
⎠⎦⎪⎭<br />
n<br />
1−n<br />
(4.118)<br />
Die Schüttgutdichte nimmt für ein kompressibles Pulver deutlich mit der Füllhöhe<br />
zu. Abweichend von Gl.(4.117) ist durch die Vereinfachung ρ b (H=0) = 0.<br />
115<br />
4.2.1.4 Berechnung des Horizontaldruckverhältnisses λ<br />
(1) Das Horizontaldruckverhältnis λ kennzeichnet die Druckanisotropie eines<br />
Schüttgutes gegenüber dem isostatischen Druckverhalten eines Fluides mit<br />
p v = p h und λ = 1, siehe Bild F 4.21, da gilt:<br />
ph 0 < = λ < 1<br />
( 4.119)<br />
p<br />
v<br />
(2) Voraussetzung p v = σ 1 und p h = σ 2 sind Hauptspannungen, d.h. nur in der<br />
Achse des Schaftes erfüllt!<br />
σR<br />
σ1<br />
− σ2<br />
Es ist sin ϕ<br />
e<br />
= =<br />
( 4.8)<br />
σM<br />
σ1<br />
+ σ2<br />
σ<br />
1<br />
sin ϕe<br />
− σ1<br />
= −σ2<br />
− σ2<br />
⋅ sin ϕe<br />
σ<br />
1<br />
⋅ ( 1−<br />
sin ϕe<br />
) = σ2<br />
⋅ ( 1+<br />
sin ϕe<br />
)<br />
im aktiven Spannungszustand p v ≈ σ 1 bzw. p h ≈ σ 2 , siehe Bild F 4.21<br />
σ2<br />
1−<br />
sin ϕe<br />
ph<br />
= λ = ≈<br />
( 4.120)<br />
σ 1+<br />
sin ϕ p<br />
1<br />
e<br />
v<br />
(3) allgemeiner Fall der Berücksichtigung der Wandreibung → für den aktiven<br />
Spannungszustand<br />
1−<br />
sin<br />
ϕ<br />
− ∆<br />
2<br />
2<br />
2<br />
( 1- sin ϕ ) ⋅ ( sin ϕ − sin ϕ )<br />
2<br />
w<br />
λ =<br />
wenn ∆ =<br />
2<br />
1+<br />
sin ϕw<br />
+ ∆<br />
w<br />
e<br />
w ( 4.121)<br />
Liefert kleine λ und großes p v → daher Verwendung von gewöhnlich λ (3) für<br />
Berechnung von Trichterlasten, Drücke auf Austragsgeräte usw.<br />
(4) Um einen großen Horizontaldruck p h (aktiv) zu erhalten, Bild F 4.21, Verwendung<br />
eines empirischen sog. Ruhedruckbeiwertes<br />
λ = ,2 ⋅ (1 − sin )<br />
( 4.122)<br />
0<br />
1 ϕe<br />
Schüttec_4 VO Partikelmechanik und Schüttguttechnik, <strong>Trichterauslegung</strong> Prof. Dr. Jürgen Tomas, 04.06.2013
Liefert große λ → daher zur Bemessung von Stahlbetonwänden geeignet<br />
(siehe dazu die Baustatik)<br />
116<br />
4.2.1.5 Ringspannungen im stabilen Schacht<br />
Aus den Spannungsfeldgleichungen des rotationssymmetrischen Spannungszustandes<br />
Gl.(3.5) Schüttec_3.doc - Spannungsfeld_x und Gl.(3.6) Schüttec_3.doc<br />
- Spannungsfeld_y folgt analog der Vorgehensweise von Gl.(3.221)<br />
Schüttec_3.doc - Spannungsfeld_Lösung eine nichtlineare Differentialgleichung<br />
erster Ordnung für die Verteilung der Ringspannung in der stabilen<br />
(stehenden) Schachtwand n x (ψ) mit der dimensionslosen Koordinatentransformation<br />
jenseits (außerhalb) des Schachtdurchmessers b S (JENIKE 1961,<br />
MOLERUS 1985) 6, 7 :<br />
2<br />
⎛ x ⎞<br />
n<br />
x<br />
= ⎜ ≥1<br />
bS<br />
/ 2<br />
⎟<br />
( 4.123)<br />
⎝ ⎠<br />
1<br />
( 1−sinϕi<br />
) −sinϕi⋅<br />
cos2ψ+<br />
⋅ ( 1+<br />
sinϕi<br />
)<br />
dψ<br />
nx<br />
sin2ψ<br />
=<br />
⋅<br />
( 4.124)<br />
dnx<br />
4⋅<br />
( cos2ψ−sinϕi<br />
) nx−1<br />
Mit der Randbedingung<br />
ψ ( n x<br />
= 1) = 0 , ( 4.125)<br />
dψ<br />
... sin 2ψ<br />
... 0<br />
die aber wegen (nx<br />
= 1) = ⋅ = ⋅ singulär ist. Für den stabilen<br />
dnx<br />
... nx−1<br />
... 0<br />
Schacht mit seiner Druckfestigkeit σ c kann auch folgende Grenzwertbetrachtung<br />
angestellt werden:<br />
ρ<br />
⎛ ⎞ ⎛ ⎞<br />
b⋅<br />
g⋅<br />
bS<br />
1 sin2ψ<br />
dψ<br />
0<<br />
= ⋅ lim⎜<br />
⎟ = lim⎜<br />
⎟<br />
( 4.126)<br />
4⋅<br />
σ<br />
n →1<br />
⎝ − n →1<br />
c<br />
2 x nx<br />
1<br />
x<br />
⎠ ⎝ dnx<br />
⎠<br />
und der nun formell in der Funktion G(ϕ i ) kurz gefaßt werden soll:<br />
G<br />
⎛ dψ<br />
⎞<br />
⎝ dnx<br />
⎠<br />
( ϕ ) = 4 ⋅ lim⎜<br />
⎟<br />
i<br />
n →1<br />
x<br />
( 4.127)<br />
Für die Gln.( 4.124) und ( 4.127) lassen sich nun folgende Gültigkeitsbereiche<br />
abgrenzen, siehe Bild F 4.22:<br />
1<br />
1) 0≤ sinϕi ≤ , d.h. 0 ≤ ϕi<br />
≤ 19, 5°<br />
3<br />
Jede Lösung führt zu begrenzten plastischen Feldern.<br />
6 Jenike, A. W., Gravity flow of bulk solids, p. 148ff, Eng. Exp. Station Bull. No. 108, Univ.<br />
Utah, 1961<br />
7 Molerus, O., Schüttgutmechanik - Grundlagen und Anwendungen in der <strong>Verfahrenstechnik</strong>,<br />
S. 215ff, Springer Verlag, Berlin 1985<br />
Schüttec_4 VO Partikelmechanik und Schüttguttechnik, <strong>Trichterauslegung</strong> Prof. Dr. Jürgen Tomas, 04.06.2013
G<br />
⎛ dψ<br />
⎞<br />
⎜ dn ⎟ =<br />
⎝ x ⎠<br />
( ϕ ) = 4⋅<br />
lim⎜<br />
⎟ 0<br />
i<br />
n →1<br />
x<br />
117<br />
( 4.128)<br />
Es sind keine stabilen Schächte möglich!<br />
1 1<br />
2) ≤ sinϕ i<br />
≤ , d.h. 19,5° ≤ϕi<br />
≤30°<br />
3 2<br />
Mit der Transformation ζ = 1/n x , wobei für 1 ≤ n x < ∞ der Wertebereich 0<br />
≤ ζ ≤ 1 wird, sowie mit den zusätzlichen Startbedingungen<br />
cos<br />
1−sinϕ<br />
i<br />
ψ<br />
1=<br />
und ( 4.129)<br />
2sinϕi<br />
dψ<br />
1+<br />
sinϕi<br />
2<br />
lim = − ⋅ 3sin ϕ<br />
i+<br />
2sinϕi−1<br />
( 4.130)<br />
ζ 0<br />
2<br />
dζ<br />
2cos ϕ<br />
ψ →<br />
→ψ1<br />
i<br />
läßt sich die transformierte Differentialgleichung<br />
dψ<br />
( 1−sinϕi ) −sinϕi⋅<br />
cos2ψ+ζ⋅<br />
( 1+<br />
sinϕi<br />
)<br />
=<br />
⋅ sin2ψ<br />
( 4.131)<br />
dζ<br />
4ζ(<br />
ζ−1)<br />
⋅ cos2ψ−sinϕ<br />
( )<br />
numerisch lösen.<br />
1<br />
3) sin 1<br />
2<br />
≤ ϕ < , d.h. 30° ≤ϕ < 90°<br />
i i<br />
Mit den adäquaten Startbedingungen<br />
i<br />
ζ = ⋅sin<br />
ϕ 1<br />
und ( 4.132)<br />
2<br />
2<br />
i−<br />
lim<br />
ζ →ζ2<br />
π ϕi<br />
ψ→ −<br />
4 2<br />
dψ<br />
=<br />
dζ<br />
8 ⋅<br />
cos ϕ<br />
( )<br />
i<br />
( 2 sin 1) ( 1 sin ) sin sin 2<br />
⋅ ϕ 8 sin 4<br />
i−<br />
ϕi+<br />
⋅ ϕi−<br />
⋅ ϕ − ⋅ − ϕ<br />
i<br />
i<br />
( 4.133)<br />
läßt sich die transformierte Differentialgleichung ( 4.131) ebenfalls numerisch<br />
lösen.<br />
Diese Lösungen sind in der Funktion G(ϕ i ) zusammengefasst und im Bild F<br />
4.22 aufgetragen worden.<br />
4.2.1.6 Analytische Näherung der Funktion G(ϕ i )<br />
Wie beim Fließfaktor ff siehe Gln.( 4.24) bis ( 4.28), lässt sich die Funktion<br />
G(ϕ i ) vereinfacht auch analytisch annähern (innerer Reibungswinkel ϕ i in grd):<br />
Für ϕ i < 19,5°: G(ϕ i ) = 1 ( 4.134)<br />
Für ϕ i ≥ 19,5°: G(<br />
ϕ ) ≈ 0,143⋅<br />
ϕ − 2<br />
( 4.135)<br />
i<br />
i<br />
4.2.2 Maximaler Trichterneigungswinkel und Spannungsspitze<br />
Siehe auch Bild F 4.17:<br />
• Der Trichterneigungswinkel zur Horizontalen α<br />
KF<br />
= 90° − θKF<br />
> ϕw<br />
muss<br />
größer sein als der Rutschwinkel bzw. kinematische Wandreibungswinkel.<br />
Diese Fließbedingung soll sicherstellen, dass sich kein Rückstand auf der<br />
Schüttec_4 VO Partikelmechanik und Schüttguttechnik, <strong>Trichterauslegung</strong> Prof. Dr. Jürgen Tomas, 04.06.2013
118<br />
geneigten Trichterwand bildet, → Bild F 4.2 Kernfluß, schraffierter Bereich<br />
im Volumenelement 8.<br />
• Nach JENIKE 8 (Bull. 123, S. 68. Gl.(20)) ist der Trichterneigungswinkel<br />
zur Vertikalen θ KF einschließlich eines Sicherheitsabzuges:<br />
θ<br />
KF<br />
≤ 65° − ϕ W<br />
( 4.136)<br />
• Zur Vermeidung des nicht entleerbaren Restgutes (Bild F 4.2) muss der<br />
Trichterneigungswinkel zur Horizontalen α KF = 90° - θ KF für ein kohäsives<br />
Schüttgut deutlich größer sein als der Rutschwinkel auf einer glatten<br />
Wand (≈ kinematischer Wandreibungswinkel φ W ) bzw. der Rutsch- oder<br />
Böschungswinkel der rauen Wand (≈ effektiver innerer Reibungswinkel<br />
φ e ). Deshalb kann man mit einem gewissen Sicherheitszuschlag von etwa<br />
10° (freifließendes Schüttgut 9 ) bis 25° (kohäsives Schüttgut) folgende Bereiche<br />
für die Auslegung des Trichterneigungswinkels bei Kernfluß nutzen:<br />
ϕw + 10°<br />
...25° ≤ 90° − θKF<br />
≤ ϕe<br />
+ 15°<br />
( 4.137)<br />
D oder B<br />
p h<br />
H G, KF<br />
θ G, KF<br />
p h<br />
Bild 4.11: Horizontaldruckspitze<br />
bei Bildung eines stabilen Kernflusstrichters<br />
b S<br />
Grenzwinkel und Grenzhöhe des Kernflußtrichters im Schaft:<br />
• θ G,KF näherungsweise wie bei Massenfluß ermitteln, siehe F 4.6 und F 4.7<br />
• Trichterhöhe bei der eine Spannungsspitze (sog. „Switch load“) des Horizontaldruckes<br />
p h möglich ist:<br />
H<br />
(D oder B) − (b<br />
oder b<br />
)<br />
Smin S<br />
G,KF<br />
= ( 4.138)<br />
2 ⋅ tan θG,KF<br />
4.2.3 Minimale Öffnungsweite zur Vermeidung eines Schachtes<br />
Ziel: Vermeidung einer stabilen Schachtbildung im Trichter und Schaft.<br />
4.2.3.1 Mit maximaler Verfestigungsspannung<br />
Auslegungsmethode:<br />
8 Jenike, A. W., Storage and flow of bulk solids, p. 68, Eng. Exp. Station Bull. No. 123, Univ.<br />
Utah, 1964<br />
9 Schulze, D., Pulver und Schüttgüter: Fließeigenschaften und Handhabung, S. 311, Springer<br />
Berlin, 2006<br />
Schüttec_4 VO Partikelmechanik und Schüttguttechnik, <strong>Trichterauslegung</strong> Prof. Dr. Jürgen Tomas, 04.06.2013
119<br />
1) freifließendes Schüttgut b S,min = f(d o ) → wie Massenfluß, siehe Gl.(4.92)<br />
2) kohäsives Schüttgut<br />
Aus der Gl.( 4.126) folgt dann auch, siehe F 4.17<br />
b<br />
S,min<br />
( σ ) ⋅G( ϕ bzw. ϕ )<br />
σc,krit<br />
1 i<br />
it<br />
= ( 4.139)<br />
ρ ⋅g<br />
b,krit<br />
‣ G(innerer Reibungswinkel ϕ i bzw. ϕ it ) siehe Funktion im Bild F 4.22<br />
‣ σ 1 ≈ p v = f(ϕ e , ϕ w , ρ b , Schaftquerschnitt, Bunkerhöhe am Auslauf) nach<br />
Gl.( 4.101)<br />
‣ Voraussetzung: aktives Spannungsfeld = maximale Fülldrücke 10<br />
‣ Berechnungsmethode liegt auf der sicheren Seite, da größte Hauptspannung<br />
σ 1 in vertikaler Richtung in Bezug zur geringeren quergerichteten<br />
Ringspannung und der daraus resultierenden Druckfestigkeit des Schachtes<br />
σ c,krit gebracht wird. D.h. Verfestigung in vertikaler Richtung, Bruch<br />
aber in horizontaler Umfangsgrichtung → man beachte die Anisotropie<br />
11 kohäsiver Schüttgüter!<br />
‣ Das kann jedoch zu einer Überdimensionierung führen.<br />
4.2.3.2 Anisotropie zwischen Verfestigung und Fließen<br />
‣ Um deshalb eine Überdimensionierung zu vermeiden, wird neuerdings<br />
die Anisotropie zwischen der Richtung der Verfestigungsspannung und<br />
der Richtung der wirksamen Druckspannung innerhalb der ringförmigen<br />
Oberfläche eines Schachtes berücksichtigt 12 !<br />
‣ Die größte Hauptspannung σ 1 wirkt beim Füllen und Verfestigen näherungsweise<br />
in vertikaler Richtung. Nahezu horizontal wirkt dagegen die<br />
kleinere Hauptspannung σ 2 , siehe F 4.18.<br />
‣ Nach dem anschließenden konzentrischen Fließen innerhalb einer näherungsweise<br />
zylindrischen Fließzone wirkt die effektive größte Hauptspannung<br />
σ 1 ’’ nahezu in horizontaler Umfangs- oder Ringrichtung am<br />
Rand (Oberfläche) der stabilen verfestigten Schachtwand.<br />
‣ Neu: Berechnung der Ringdruckspannung σ 1 ’’ ≈ p h = f(ϕ e , ϕ w , ρ b ,<br />
Schaftquerschnitt, Bunkerhöhe), d.h. Abschätzung des Seiten- oder Horizontaldruckes<br />
des Schachtes mit den Gln.( 4.96) und ( 4.101).<br />
‣ Voraussetzung: aktives Spannungsfeld = maximale Ringdruckspannung<br />
nach dem Füllen im verfestigten zylindrischen Schacht<br />
10 Arnold, P.C., McLean, A.G., Roberts, A.W., Bulk Solids: Storage, Flow and Handling,<br />
TUNRA Bulk Solids Handling Research Associates, p. 3.30, Univ. Newcastle, 1980<br />
11 Schwedes, J., Schulze, D., Lagern von Schüttgütern, in Schubert, H. (Ed.) Handbuch der<br />
<strong>Mechanische</strong>n <strong>Verfahrenstechnik</strong>, WILEY-VCH Verlag, Weinheim, 2003<br />
12 Ittershagen, T., Schwedes, J. and A. Kwade, Investigation of anisotropic behaviour of bulk<br />
solids, p. 48-61 , Proceedings RELPOWFLO IV, Tromsö 2008<br />
Schüttec_4 VO Partikelmechanik und Schüttguttechnik, <strong>Trichterauslegung</strong> Prof. Dr. Jürgen Tomas, 04.06.2013
120<br />
‣ Mit dieser Ringdruckspannung σ 1 ’’ wird die kritische Druckfestigkeit<br />
σ c,krit,Aniso mittels der Verfestigungsfunktion Gl.( 4.53) berechnet:<br />
σ = a ⋅σ ''<br />
+ σ<br />
( 4.140)<br />
c ,krit,Aniso<br />
1<br />
1<br />
c,0<br />
‣ Der Ringdruck σ 1 ’’ ≥ σ c,krit,Aniso muss mindestens der Festigkeit entsprechen,<br />
um den Schacht zum Einsturz zu bringen!<br />
b<br />
S,min,Aniso<br />
( σ '') ⋅G( ϕ bzw. ϕ )<br />
σc,krit,Aniso<br />
1<br />
i<br />
it<br />
= ( 4.141)<br />
ρ ⋅g<br />
b,krit<br />
4.2.3.3 Auslegung mittels Fließfaktor ff d nach JENIKE<br />
‣ Voraussetzung: Gültigkeit des radialen Spannungsfeldes im Schacht, das<br />
unabhängig von der Füllhöhe H ist. Durch das vorherige Ausfließen einer<br />
Teilmenge des Schüttgutes im konvergenten Fließkanal sollte sich dieses<br />
passive radiale Spannungsfeld eingestellt haben.<br />
‣ Die Ringspannung σ 1 ’’(Druckspannung) an der Schachtoberfläche 13 ist:<br />
σ1<br />
σ<br />
1'<br />
' =<br />
( 4.142)<br />
ff<br />
d<br />
σ 1 ’’ kennzeichnet die wirksame größte Hauptspannung am Rand der trichterförmigen<br />
rauen Wand des kohäsiven Pulvers als Folge des konvergenten<br />
Fließens, siehe Bild F 4.18 Mitte. Wegen der freien Schüttgutoberfläche<br />
ist die Querspannung σ 2 ’’ = 0, d.h. es entsteht wiederum ein einaxialer<br />
Spannungszustand.<br />
‣ Der dimensionslose Fließfaktor der Schachtbildung 8 ist:<br />
ff<br />
d<br />
1+<br />
sinϕe<br />
= ⋅ G( ϕi<br />
) ≥ 1, 7<br />
( 4.143)<br />
4 ⋅sinϕ<br />
e<br />
Es ist ff d > ff, als Mindestwert wird gewöhnlich ff d ≥ 1,7 gesetzt!<br />
‣ Berechnung von σ c,krit wie beim Massenfluß, d.h. die Versagens- oder<br />
Fließbedingung für einen instabilen Schacht lautet σ 1 ’’ ≥ σ c :<br />
Der Schnittpunkt der Verfestigungsfunktion σ<br />
c<br />
= a1⋅<br />
σ1<br />
+ σc,<br />
0<br />
Gl.( 4.53), des<br />
kohäsiven Pulvers mit der Ringspannungsfunktion, Gl.( 4.142), ist:<br />
σ<br />
c,0<br />
σ<br />
c,krit<br />
=<br />
( 4.144)<br />
1−<br />
a1<br />
⋅ ffd<br />
‣ Und gemäß Gln.(4.59) und ( 4.139), Bilder F 4.17 und F 4.22<br />
σc,0<br />
⋅ G( ϕi<br />
)<br />
bS,min<br />
= ( 4.145)<br />
ρ ⋅ g ⋅ 1−<br />
a ⋅ ff<br />
b,krit<br />
( )<br />
1<br />
d<br />
‣ Diese Berechnungsmethode liegt eher auf der unsicheren Seite.<br />
13 Schwedes, J., Schulze, D., Lagern von Schüttgütern, in Schubert, H. (Ed.) Handbuch der<br />
<strong>Mechanische</strong>n <strong>Verfahrenstechnik</strong>, S. 1205, WILEY-VCH Verlag, Weinheim, 2003<br />
Schüttec_4 VO Partikelmechanik und Schüttguttechnik, <strong>Trichterauslegung</strong> Prof. Dr. Jürgen Tomas, 04.06.2013
121<br />
Beispiel Kalzitpulver<br />
geg.: kreisrundes Silo D i = 2,75 m und H = 12 m<br />
90°<br />
− θ = ϕ + 25°<br />
→ θ = 65°<br />
ϕ<br />
w<br />
-<br />
ϕw<br />
= 30°<br />
→ θ = 35°<br />
→ meist für hohes σ<br />
1<br />
= pv<br />
vorgewählt<br />
→ ϕe ≈ ϕst<br />
+ 1°<br />
... 3°<br />
in der Nähe von ϕ st gewählt<br />
ϕe<br />
≈ 44°<br />
oder 46°<br />
+1°<br />
...3°<br />
→ ϕe<br />
≈ 47°<br />
Horizontaldruckverhältnis λF → Füllen → aktives Spannungsfeld<br />
λ<br />
∆ =<br />
F<br />
2<br />
2<br />
2<br />
( 1−<br />
sin ϕ )( sin ϕ − sin ϕ )<br />
1−<br />
sin<br />
=<br />
1+<br />
sin<br />
2<br />
2<br />
ϕ<br />
ϕ<br />
w<br />
w<br />
w<br />
e<br />
− ∆<br />
= 0,168<br />
+ ∆<br />
w<br />
w<br />
= 0,462<br />
1. Variante: über Vertikaldruckberechnung<br />
D<br />
H63 =<br />
= 7,09 m<br />
4 ⋅ tanϕ<br />
⋅ λ<br />
p<br />
p<br />
v<br />
v<br />
= ρ<br />
b<br />
⋅g<br />
⋅ H<br />
63<br />
w<br />
= 23,84 kPa<br />
⋅<br />
F<br />
[ 1−<br />
exp( − H H )]<br />
63<br />
( ϕ ) 3, 2<br />
ϕ<br />
i<br />
≈ 37°<br />
= const. → G<br />
i<br />
= F 4.22<br />
σ<br />
c<br />
=<br />
a1<br />
⋅ σ1<br />
+ σc,<br />
0<br />
σ<br />
=<br />
⋅G<br />
= 0,277 ⋅ 23,84 kPa +1,3 kPa = 7,9 kPa<br />
( ϕ )<br />
7,9 kPa ⋅3,2<br />
=<br />
3<br />
420 kg m ⋅9,81m s<br />
c,krit i<br />
bmin =<br />
2<br />
ρb<br />
⋅ g<br />
6,14 m<br />
b min = 6.14 m ⇒ damit >> D i und praktisch unsinnig groß!!<br />
→ Vermeidung von Kernfluß bzw. Schachtbildung durch Massenfluß notw.<br />
ρ<br />
b<br />
für σ<br />
= 420 kg<br />
1<br />
m<br />
3<br />
≈ 25 kPa vorgewählt<br />
2.Variante: mittels ff d -Berechnung<br />
ff<br />
σ<br />
b<br />
d<br />
min<br />
1+<br />
sinϕ<br />
=<br />
4 ⋅ sinϕ<br />
c,krit<br />
σc,0<br />
=<br />
1−<br />
a ⋅ ff<br />
σ<br />
=<br />
c,krit<br />
ρ<br />
b<br />
1<br />
e<br />
e<br />
⋅ g<br />
⋅ G<br />
d<br />
( )<br />
⋅ σ ϕ<br />
i<br />
1+<br />
sin47°<br />
4 ⋅ sin47°<br />
( ϕ ) = ⋅ G( ϕ = 37°<br />
)<br />
i<br />
1,3 kPa<br />
=<br />
= 2,74 kPa<br />
1- 0,277 ⋅1,9<br />
2,74 kPa ⋅ 3,2<br />
=<br />
3<br />
372 kg m ⋅ 9,81m s<br />
i<br />
2<br />
= 1,9<br />
= 2,4 m<br />
b min = 2,4 m → im Allgemeinen b min (p v ) > b min (ff d )<br />
→ ansonsten Massenfluß auch damit notw.!<br />
Trichterhöhe:<br />
D − b 2,75 m - 2,4 m<br />
H Tr<br />
= =<br />
= 0,25 m<br />
2 ⋅ tan θ 2 ⋅ tan 35°<br />
Größter Druck:<br />
σ = ff ⋅ σ = 1,9<br />
1 d c, krit<br />
⋅<br />
2,74 kPa = 5,2 kPa<br />
Schüttec_4 VO Partikelmechanik und Schüttguttechnik, <strong>Trichterauslegung</strong> Prof. Dr. Jürgen Tomas, 04.06.2013
122<br />
4.3 Berechnung des minimalen Schaftdurchmessers<br />
− Vermeidung von Brückenbildung durch hohe Vertikaldrücke und Schüttgutfestigkeiten<br />
im meist zylindrischen Schaft, F 4.23<br />
2 ⋅ σc,krit<br />
⋅sin 2( ϕw<br />
+ θ)<br />
− aus bmin<br />
≅ Dmin<br />
=<br />
für θ = 0 und<br />
ρ ⋅ g<br />
σ folgt:<br />
c<br />
= a1<br />
⋅ σ1<br />
+ σc,0<br />
2sin2ϕw<br />
⋅ a<br />
D −<br />
ρ ⋅ g<br />
b<br />
1<br />
⋅ σ<br />
1<br />
b<br />
2 ⋅sin2ϕw<br />
⋅ σ<br />
=<br />
ρ ⋅ g<br />
b<br />
c,0<br />
Darin wird die JANSSEN-Gleichung für das aktive Spannungsfeld bei vertikaler<br />
Verdichtung eingesetzt:<br />
ρb<br />
⋅ g ⋅ D ⎡ ⎛<br />
H ⎞⎤<br />
σ1 = pv<br />
=<br />
⎢1<br />
− exp⎜−<br />
4 ⋅ λ ⋅ tanϕw<br />
⋅ ⎟<br />
4 ⋅ λ ⋅ tanϕ<br />
⎥<br />
(4.103)<br />
w ⎣ ⎝<br />
D ⎠⎦<br />
2sin2ϕ<br />
H 2 sin2<br />
w<br />
⋅ a1<br />
ρb<br />
⋅ g ⋅ D ⎡ ⎛<br />
⎞⎤<br />
⋅ ϕw<br />
⋅ σ<br />
D −<br />
⋅<br />
1 exp 4 tan<br />
w<br />
=<br />
b<br />
g 4 tan<br />
⎢ − ⎜−<br />
⋅ λ ⋅ ϕ ⋅ ⎟<br />
ρ ⋅ ⋅ λ ⋅ ϕw<br />
D<br />
⎥<br />
⎣ ⎝<br />
⎠⎦<br />
ρb<br />
⋅ g<br />
a<br />
2 sin2<br />
1<br />
⋅ sin2ϕw<br />
⎡ ⎛<br />
H ⎤ ⋅ ϕw<br />
⋅ σc,0<br />
D − D ⋅<br />
1 exp 4 tan<br />
w<br />
=<br />
2 tan<br />
⎢ − ⎜−<br />
⋅ λ ⋅ ϕ ⋅<br />
⎞ ⎟<br />
⋅ λ ⋅ ϕw<br />
D<br />
⎥<br />
⎣ ⎝<br />
⎠⎦<br />
ρb<br />
⋅ g<br />
sinϕW<br />
Mit sin2ϕ W<br />
= 2 ⋅sinϕW<br />
⋅ cosϕW<br />
und tanϕ W<br />
= folgt:<br />
cosϕ<br />
a1<br />
⋅ 2 ⋅sinϕw<br />
cosϕ<br />
D − D ⋅<br />
sinϕw<br />
2 ⋅ λ ⋅<br />
cosϕ<br />
2<br />
a1<br />
⋅ cos ϕ<br />
D − D ⋅<br />
λ<br />
2<br />
⎧ a1<br />
⋅ cos ϕ<br />
D ⋅ ⎨1<br />
−<br />
⎩ λ<br />
W<br />
W<br />
w<br />
W<br />
⎡ ⎛<br />
⎢1<br />
− exp⎜−<br />
4 ⋅ λ ⋅ tanϕ<br />
⎣ ⎝<br />
⎡ ⎛<br />
⎢1<br />
− exp⎜−<br />
4 ⋅ λ ⋅ tanϕ<br />
⎣ ⎝<br />
⎡ ⎛<br />
⎢1<br />
− exp⎜−<br />
4 ⋅ λ ⋅ tanϕ<br />
⎣ ⎝<br />
w<br />
w<br />
w<br />
W<br />
H ⎞⎤<br />
2 ⋅sin2ϕw<br />
⋅ σ<br />
⋅ ⎟ =<br />
D<br />
⎥<br />
⎠⎦<br />
ρb<br />
⋅ g<br />
H ⎞⎤<br />
2 ⋅sin2ϕw<br />
⋅ σc,0<br />
⋅ ⎟ =<br />
D<br />
⎥<br />
⎠⎦<br />
ρb<br />
⋅ g<br />
H ⎞⎤⎫<br />
2 ⋅ sin2ϕw<br />
⋅ σ<br />
⋅ ⎟ ⎬ =<br />
D<br />
⎥<br />
⎠⎦⎭<br />
ρb<br />
⋅ g<br />
Somit folgt:<br />
2 ⋅ sin2ϕw<br />
⋅ σc,0<br />
D<br />
min<br />
=<br />
( 4.146)<br />
⎪⎧<br />
2<br />
a ⎡ ⎛<br />
⎞⎤⎪⎫<br />
1<br />
⋅ cos ϕw<br />
H<br />
ρb<br />
⋅ g ⋅ ⎨1<br />
− ⎢1<br />
− exp⎜−<br />
4 ⋅ λ ⋅ tanϕw<br />
⋅ ⎟⎥⎬<br />
⎪⎩<br />
λ ⎣ ⎝<br />
Dmin<br />
⎠⎦⎪⎭<br />
als Iterationsgleichung mit dem Startwert D min,0 = A/U bzw. b min,kon .<br />
Wenn der {...}-Klammer-Ausdruck negativ wird, bedeutet dies Brückenbildung,<br />
d.h. die Füllhöhe H muß bei gegebenen Schaftdurchmesser D begrenzt<br />
werden, um die Verfestigungsspannung zu vermindern. D.h., die obige Gl.(<br />
4.146) muß nach H umgestellt werden:<br />
⎡ 2 ⋅ σc,0<br />
⋅sin 2ϕw<br />
⎤<br />
⎢ 1 −<br />
− D<br />
ρ ⋅ ⋅<br />
⎥<br />
b<br />
g D<br />
H < H =<br />
⋅ ⎢ −<br />
⎥<br />
max<br />
ln 1<br />
2<br />
( 4.147)<br />
4 ⋅ λ ⋅ tanϕw<br />
⎢ a1⋅<br />
cos ϕw<br />
⎥<br />
⎢<br />
⎣ λ ⎥<br />
⎦<br />
− beide Gln.( 4.146) und ( 4.147) liegen auf der sicheren Seite.<br />
c,0<br />
c,0<br />
c,0<br />
Schüttec_4 VO Partikelmechanik und Schüttguttechnik, <strong>Trichterauslegung</strong> Prof. Dr. Jürgen Tomas, 04.06.2013
Berechnungsbeispiel Kalksteinmehl:<br />
→ D min,0 = b min für kon. Tr. als Startwert nehmen, d.h.<br />
0,5465<br />
Dmin,1<br />
=<br />
⎧ ⎡ ⎛<br />
12m ⎞⎤⎫<br />
⎨1<br />
−1,237<br />
⋅ ⎢1<br />
− exp⎜−<br />
4 ⋅ 0,168 ⋅ tan30° ⋅ ⎟⎥⎬<br />
⎩ ⎣ ⎝<br />
1,22m ⎠⎦⎭<br />
0,5465<br />
D =<br />
{ 1 −1,237[ 1 − exp( − 4,656/1,22m)<br />
]} =<br />
min,1<br />
− 0,209 ⇒ Iteration beendet, keine Konvergenz<br />
{ }<br />
→ Dafür D min,0 = D Schaft = 2,75 m nehmen und die Höhe H von 12 m auf 10 m<br />
verkürzen:<br />
D<br />
D<br />
D<br />
min,1<br />
min,2<br />
min,3<br />
=<br />
{ 1−1,237<br />
⋅[ 1−<br />
exp( − 3,88 m / 2,75 m)<br />
]}<br />
= 1,00 m<br />
⇒<br />
0,5465 m<br />
{- 0,211} keine Konvergenz!<br />
Daher Brückenbildung im Schaft möglich!<br />
= 8,44 m<br />
→ Begrenzung der Füllhöhe notwendig:<br />
⎡ 2 ⋅1,3 kPa ⋅sin60°<br />
⎤<br />
⎢<br />
1-<br />
3<br />
2<br />
− 2,75 m<br />
420 kg/m ⋅ 9,81m/s ⋅ 2,75 m ⎥<br />
H =<br />
⋅ ln⎢1-<br />
2<br />
⎥<br />
4 ⋅ 0,168 ⋅ tan30°<br />
⎢ 0,277 ⋅ cos 30°<br />
/ 0,167 ⎥<br />
⎢⎣<br />
⎥⎦<br />
H= 7,32 m als Füllhöhenbegrenzung<br />
numerisches Ergebnis H = 7,49 m<br />
→ gewöhnlich auf der sicheren Seite, d.h. größere Füllhöhen sind möglich ⇒<br />
müssen aber praktisch überprüft werden<br />
⇒ weitere Erfahrungen mit der Anwendung noch notwendig!<br />
123<br />
Schüttec_4 VO Partikelmechanik und Schüttguttechnik, <strong>Trichterauslegung</strong> Prof. Dr. Jürgen Tomas, 04.06.2013
124<br />
4.4 Beispiel einer Trichter- u. Schaftauslegung für Kalksteinmehl<br />
geg. Bunkerschaft: D = 2,75 m H = 12 m<br />
D min < 0 → Brückenbildung, dafür H max = 7,32 m<br />
Tabelle 4.2: Auslegungswerte für ein Kalksteinmehl<br />
Bunkertrichter:<br />
θ<br />
ff bzw.<br />
b min<br />
H tr<br />
σ 1 o. p v<br />
grd<br />
G(ϕ i )<br />
m<br />
m<br />
kPa<br />
über p v<br />
35<br />
3,2<br />
6,14<br />
Unsinn<br />
23,8<br />
Kernfluß<br />
num.<br />
32,6<br />
3,33<br />
6,0<br />
-2,55<br />
21,55<br />
über ff d<br />
35<br />
1,9<br />
2,4<br />
0,25<br />
5,2<br />
num.<br />
34,5<br />
1,92<br />
2,38<br />
0,27<br />
5,04<br />
kon. Tr.<br />
12<br />
1,3<br />
1,22<br />
3,6<br />
2,6<br />
Massenfluß<br />
num.<br />
12,4<br />
1,37<br />
1,13<br />
3,68<br />
2,65<br />
keilf. Tr.<br />
20<br />
1,2<br />
0,56<br />
3,01<br />
2,28<br />
num.<br />
20,9<br />
1,25<br />
0,54<br />
2,9<br />
2,24<br />
Diskussion der techn. Realisierbarkeit der Werte der Tabelle 4.2 anhand eines<br />
Normsilos, siehe auch Bild F 4.37<br />
→ sehr problematisch θ < 15° → riesige Trichterhöhen notwendig !!!<br />
Schüttec_4 VO Partikelmechanik und Schüttguttechnik, <strong>Trichterauslegung</strong> Prof. Dr. Jürgen Tomas, 04.06.2013
125<br />
4.5 Kinematik eines Schüttgutelementes auf einer geneigten Wand<br />
4.5.1 Gleitbedingung und Geschwindigkeit auf einer Schurre<br />
4.5.1.1 Geschwindigkeitsgesetze<br />
Das Kräftegleichgewicht beinhaltet das Schüttgutgewicht als treibende Kraft,<br />
den Reibungswiderstand und die Trägheitskraft 14 :<br />
m . b g . sinα<br />
y<br />
x α<br />
α<br />
α<br />
F R<br />
F N<br />
Bild 4.12: Kräfte an einem steifen<br />
Schüttgut-Blockelement mit seiner<br />
Masse m b auf einer um den Winkel α<br />
geneigten Wand oder Schurre.<br />
m b . g<br />
∑<br />
F<br />
x<br />
= 0 = mb<br />
⋅g<br />
⋅sin<br />
α − FR<br />
− FT<br />
( 4.148)<br />
∑ F<br />
y<br />
= 0 = −mb<br />
⋅g<br />
⋅cosα<br />
+ FN<br />
( 4.149)<br />
Aus letzterem und ersterem folgen:<br />
FN = mb<br />
⋅g<br />
⋅cosα<br />
( 4.150)<br />
F<br />
T<br />
= m ⋅ x<br />
= m<br />
b<br />
b<br />
⋅g<br />
⋅sin<br />
α − F<br />
R<br />
Für den Fall dass der Neigungswinkel der Schurre größer ist als der Wandreibungswinkel<br />
α ≥ ϕ W (Gleitreibung auf der Schurrenwand), folgt mit dem<br />
Stoffgesetz für die Gleitreibung eines kohäsiven Schüttgutes 15 - hier für den<br />
allgemeinen Fall einschließlich mit einer gewissen Wandadhäsion F A (für ein<br />
kohäsionsloses, freifließendes rieselfähiges Schüttgut ist F A = 0):<br />
R<br />
W<br />
( F + F ) = tan ϕ ⋅( F F )<br />
F = µ ⋅<br />
+<br />
N<br />
A<br />
W<br />
N<br />
A<br />
⎛ F ⎞<br />
FR = tan ϕW<br />
⋅<br />
(4.151)<br />
m<br />
b<br />
⋅ x<br />
= m<br />
b<br />
A<br />
( cosα⋅<br />
m + ) = ϕ ⋅ α⋅ ⋅<br />
⎜ + ⎟ bg<br />
FA<br />
tan<br />
W<br />
cos mbg<br />
1<br />
⎝ cosα⋅<br />
mbg<br />
⎠<br />
⋅g<br />
⋅sin<br />
α − tan ϕ<br />
W<br />
⋅cosα⋅<br />
m<br />
b<br />
⎛ FA<br />
⋅g<br />
⋅<br />
⎜1+<br />
⎝ cosα⋅<br />
m<br />
Daraus folgt die Bewegungsgleichung des Schüttgut-Blockelementes auf der<br />
geneigten Schurre:<br />
b<br />
⎞<br />
⎟<br />
g ⎠<br />
14 Tomas, freifließendes Schüttgut, 2011<br />
15 Tomas, kohäsives Schüttgut, ergänzt 5_2013<br />
Schüttec_4 VO Partikelmechanik und Schüttguttechnik, <strong>Trichterauslegung</strong> Prof. Dr. Jürgen Tomas, 04.06.2013
126<br />
⎡<br />
⎛ F ⎞⎤<br />
A<br />
x<br />
= g ⋅ ⎢sin<br />
α − tan ϕW<br />
⋅cosα⋅<br />
⎜1+<br />
⎟⎥<br />
( 4.152)<br />
⎣<br />
⎝ cosα⋅<br />
mbg<br />
⎠⎦<br />
Das Geschwindigkeits-Zeit-Gesetz folgt aus der ersten Integration mit der<br />
Anfangsbedingung v = 0 für t = 0:<br />
v<br />
∫<br />
0<br />
⎡<br />
d x = v = g ⋅ ⎢sin<br />
α − tan ϕ<br />
⎣<br />
W<br />
⎛ FA<br />
⋅cosα⋅<br />
⎜1+<br />
⎝ cosα⋅<br />
m<br />
b<br />
⎞⎤<br />
⎟⎥<br />
⋅<br />
g ⎠⎦<br />
⎡<br />
⎛ F ⎞⎤<br />
A<br />
v = g ⋅ ⎢sin<br />
α − tan ϕW<br />
⋅cosα⋅<br />
⎜1+<br />
⎟⎥<br />
⋅ t<br />
⎣<br />
cos mbg<br />
( 4.153)<br />
⎝ α⋅ ⎠⎦<br />
Die erneute Integration liefert das Weg-Zeit-Gesetz:<br />
x<br />
∫<br />
0<br />
⎡<br />
dx = g ⋅ ⎢sin<br />
α − tan ϕ<br />
⎣<br />
W<br />
⎛ FA<br />
⋅cosα⋅<br />
⎜1+<br />
⎝ cosα⋅<br />
m<br />
b<br />
⎞⎤<br />
⎟⎥<br />
⋅<br />
g ⎠⎦<br />
t<br />
∫<br />
0<br />
t<br />
∫<br />
0<br />
t dt<br />
2<br />
⎡<br />
⎛ F ⎞⎤<br />
A<br />
t<br />
x = g ⋅ ⎢sin<br />
α − tan ϕW<br />
⋅cosα⋅<br />
⎜1+<br />
⎥ ⋅<br />
⎣<br />
cos mbg<br />
⎟<br />
( 4.154)<br />
⎝ α⋅ ⎠ ⎦ 2<br />
Umstellen nach t liefert die Zeit-Weg-Funktion<br />
2<br />
2⋅<br />
x<br />
t =<br />
⎡<br />
⎛ F ⎞⎤<br />
A<br />
g ⋅ ⎢sin<br />
α − tan ϕW<br />
⋅cosα⋅<br />
⎜1+<br />
⎟⎥<br />
⎣<br />
⎝ cosα⋅<br />
mbg<br />
⎠⎦<br />
t =<br />
⎡<br />
g ⋅ ⎢sin<br />
α − tan ϕ<br />
⎣<br />
W<br />
2⋅<br />
x<br />
⎛ FA<br />
⋅cosα⋅<br />
⎜1+<br />
⎝ cosα⋅<br />
m<br />
b<br />
⎞⎤<br />
⎟⎥<br />
g ⎠⎦<br />
dt<br />
( 4.155)<br />
und Einsetzen in das Geschwindigkeits-Zeit-Gesetz, Gl.( 4.153), liefert das<br />
Geschwindigkeits-Weg-Gesetz:<br />
⎡<br />
v = g⎢sin<br />
α − tan ϕ<br />
⎣<br />
W<br />
⎛ F ⎞⎤<br />
A<br />
cosα<br />
⎜1+<br />
⎟⎥ ⋅<br />
⎝ cosα⋅<br />
mbg<br />
⎠⎦<br />
⎡<br />
g⎢sin<br />
α − tan ϕ<br />
⎣<br />
W<br />
2⋅<br />
x<br />
⎛ F ⎞⎤<br />
A<br />
cosα<br />
⎜1+<br />
⎟⎥<br />
⎝ cosα⋅<br />
mbg<br />
⎠⎦<br />
v =<br />
⎡<br />
⎤<br />
2<br />
⎛ F ⎞<br />
A<br />
2⋅<br />
x ⋅g<br />
⋅ ⎢sin<br />
α − tan ϕW<br />
⋅cosα⋅<br />
⎜1+<br />
⎟⎥<br />
⎣<br />
⎝ cosα⋅<br />
mbg<br />
⎠⎦<br />
⎡<br />
⎛ F ⎞⎤<br />
A<br />
g ⋅ ⎢sin<br />
α − tan ϕW<br />
⋅cosα⋅<br />
⎜1+<br />
⎟⎥<br />
⎣<br />
⎝ cosα⋅<br />
mbg<br />
⎠⎦<br />
2<br />
v =<br />
⎡<br />
⎛ F ⎞⎤<br />
A<br />
2⋅g<br />
⋅ x ⋅ ⎢sin<br />
α − tan ϕW ⋅cosα⋅<br />
⎜1+<br />
⎟⎥<br />
( 4.156)<br />
⎣<br />
⎝ cosα⋅<br />
mbg<br />
⎠⎦<br />
Deutlich bequemer und kürzer: Dieses Geschwindigkeits-Weg-Gesetz (<br />
4.156) erhält man auch direkt aus dem Bewegungsgesetz ( 4.152), wenn man<br />
das Zeitinkrement dt durch das Weginkrement dx ersetzt 15<br />
Schüttec_4 VO Partikelmechanik und Schüttguttechnik, <strong>Trichterauslegung</strong> Prof. Dr. Jürgen Tomas, 04.06.2013
dx<br />
dt = (4.157)<br />
v<br />
dv ⎡<br />
⎛ F ⎞⎤<br />
A<br />
v ⋅ = g ⋅ ⎢sin<br />
α − tan ϕW ⋅cosα⋅<br />
⎜1+<br />
⎟⎥<br />
( 4.158)<br />
dx ⎣<br />
⎝ cosα⋅<br />
mbg<br />
⎠⎦<br />
und zwischen 0 bis v sowie von 0 bis x integriert:<br />
v<br />
⎡<br />
⎛ F ⎞⎤<br />
A<br />
∫ v ⋅dv<br />
= g ⋅ ⎢sin<br />
α − tan ϕW<br />
⋅cosα⋅<br />
⎜1+<br />
⎟⎥<br />
⋅<br />
⎣<br />
⎝ cosα⋅<br />
m<br />
0<br />
bg<br />
⎠⎦<br />
2<br />
v ⎡<br />
= g ⋅ ⎢sin<br />
α − tan ϕ<br />
2 ⎣<br />
Es ist also wiederum:<br />
W<br />
⎛ F ⎤<br />
A<br />
cos 1<br />
⎥ ⋅ x<br />
cos mbg<br />
⎟ ⎞<br />
⋅ α⋅<br />
⎜ +<br />
⎝ α⋅ ⎠⎦<br />
x<br />
∫<br />
0<br />
dx<br />
127<br />
v =<br />
⎡<br />
⎛ F ⎞⎤<br />
A<br />
2⋅g<br />
⋅ x ⋅ ⎢sin<br />
α − tan ϕW ⋅cosα⋅⎜<br />
1+<br />
⎟<br />
⎥<br />
( 4.156)<br />
⎣<br />
⎝ cosα⋅<br />
mbg<br />
⎠⎦<br />
4.5.1.2 Gleitbedingung auf der Wand<br />
Für die Gleitgeschwindigkeit v in Abhängigkeit von der Höhe h folgt gemäß<br />
h<br />
Bild 4.12 mit sin α =<br />
x<br />
v =<br />
h ⎡<br />
2⋅g<br />
⋅ ⋅ ⎢sin<br />
α − tan ϕ<br />
sin α ⎣<br />
W<br />
⎛ FA<br />
⋅cosα⋅⎜<br />
1+<br />
⎝ cosα⋅<br />
m<br />
b<br />
⎞⎤<br />
⎟<br />
⎥<br />
g ⎠⎦<br />
v =<br />
⎡ tan ϕ<br />
2⋅g<br />
⋅ h ⋅ ⎢1<br />
−<br />
⎣ tan α<br />
W<br />
⎛ FA<br />
⋅<br />
⎜1+<br />
⎝ cosα⋅<br />
m<br />
b<br />
⎞⎤<br />
⎟⎥<br />
g ⎠⎦<br />
( 4.159)<br />
F A = 0: Für ein kohäsionsloses, freifließendes rieselfähiges Schüttgut muss also<br />
der Neigungswinkel der Schurren α > φ w werden, damit Fließen oder Gleiten<br />
einsetzt und die Abgleitgeschwindigkeit v > 0 wird!<br />
tan ϕ ⎛ F ⎞<br />
F A > 0: W A<br />
1<br />
1<br />
tan<br />
⎜<br />
cos mbg<br />
⎟ < FA<br />
tan α<br />
⋅ +<br />
, < −1<br />
α ⎝ α⋅ ⎠ cosα⋅<br />
mbg<br />
tan ϕW<br />
Mit einem Additionstheorem der Winkelfunktionen ist:<br />
FA<br />
sin α sin α⋅cosϕW<br />
cosα⋅sin<br />
ϕW<br />
sin α − ϕ<br />
< − cosα =<br />
−<br />
=<br />
m g tan ϕ<br />
sin ϕ sin ϕ sin ϕ<br />
b<br />
sin<br />
W<br />
F<br />
A<br />
( − ϕW<br />
) > ⋅sin<br />
ϕW<br />
α mbg<br />
, A<br />
⎜<br />
⎟ W<br />
W<br />
⎝ mbg<br />
⎠<br />
W<br />
α − ϕ<br />
W<br />
⎛ F<br />
> arcsin ⎜<br />
⋅sin<br />
ϕ<br />
( )<br />
Gleiten tritt mit merkbarer Geschwindigkeit v > 0 nur dann ein, wenn der<br />
Schurrenneigungswinkel groß genug ist 15 :<br />
α > ϕ<br />
W<br />
⎛ F ⎞<br />
A<br />
+ arcsin ⎜ ⋅sin<br />
ϕW<br />
⎟<br />
( 4.160)<br />
⎝ mbg<br />
⎠<br />
⎞<br />
W<br />
W<br />
Schüttec_4 VO Partikelmechanik und Schüttguttechnik, <strong>Trichterauslegung</strong> Prof. Dr. Jürgen Tomas, 04.06.2013
128<br />
Diese Bedingung gilt für die notwendige Restentleerung des Silos bei vergleichsweise<br />
flach geneigten Trichterwänden θ KF = 90° - α im Kernflußregime,<br />
siehe Bild 4.13. Außerdem geht die allgemeine Gl.( 4.160) für F A = 0 in<br />
die vorstehende Bedingung α > ϕ über.<br />
W<br />
4.5.2 Gleitbedingung und Geschwindigkeit auf einer Böschung<br />
→ Siehe „Füllen und Entleeren eines Bechers mit freifließendem Schüttgut“<br />
Bild F 4.24<br />
4.5.2.1 Geschwindigkeitsgesetze<br />
Beim stationären Abgleiten eines kohäsiven Schüttgutes auf einer geneigten<br />
Böschung mit innerer Reibung gehen, wie bei einer rauen Wand 15 ,<br />
(1) der Schurrenneigungswinkel α → φ B in den Böschungswinkel,<br />
(2) der kinematische Wandreibungswinkel φ w → φ st in den stationären (inneren)<br />
Reibungswinkel und<br />
(3) die Wandhaftung F A → F H0,b in die Haftkraft unverfestigter Partikelkontakte<br />
des kohäsiven Schüttgut-Blockelementes über, siehe Gl..<br />
Analog zur Gl.( 4.152) ergibt sich die Bewegungsgleichung des kohäsiven<br />
Schüttgut-Blockelementes auf der geneigten Böschung:<br />
⎡<br />
⎛ F ⎤<br />
H0,b ⎞<br />
x<br />
= g ⋅ ⎢sin<br />
ϕB<br />
− tan ϕst<br />
⋅cosϕB<br />
⋅⎜<br />
1+<br />
⎟⎥<br />
( 4.161)<br />
⎣<br />
⎝ cosϕB<br />
⋅ mbg<br />
⎠⎦<br />
Das Geschwindigkeits-Weg/Höhe-Gesetz ( 4.156) erhält man aus dem Bewegungsgesetz<br />
( 4.161), siehe Gl.( 4.159):<br />
v =<br />
⎡ tan ϕ<br />
2⋅g<br />
⋅ h ⋅ ⎢1<br />
−<br />
⎣ tan ϕ<br />
st<br />
B<br />
⎜ ⎛ F<br />
⋅ 1+<br />
⎝ cosϕ<br />
H0,b<br />
B<br />
⋅ m<br />
b<br />
⎤<br />
⎟ ⎞<br />
⎥<br />
g ⎠⎦<br />
( 4.162)<br />
Das Geschwindigkeits-Zeit-Gesetz folgt aus der ersten Integration mit der<br />
Anfangsbedingung v = 0 für t = 0, siehe auch Gl.( 4.153):<br />
⎡<br />
⎛ FH0,b<br />
⎞⎤<br />
v = g ⋅ ⎢sin<br />
ϕB<br />
− tan ϕst<br />
⋅cosϕB<br />
⋅<br />
⎜1+<br />
⎥ ⋅ t<br />
⎣<br />
cos<br />
B<br />
mbg<br />
⎟<br />
( 4.163)<br />
⎝ ϕ ⋅ ⎠⎦<br />
Die erneute Integration liefert das Weg-Zeit-Gesetz:<br />
2<br />
⎡<br />
⎛ FH0,b<br />
⎞⎤<br />
t<br />
x = g ⋅ ⎢sin<br />
ϕB<br />
− tan ϕst<br />
⋅cosϕB<br />
⋅<br />
⎜1+<br />
⎥ ⋅<br />
⎣<br />
cos<br />
B<br />
mbg<br />
⎟<br />
( 4.164)<br />
⎝ ϕ ⋅ ⎠⎦<br />
2<br />
Umstellen nach t liefert die Zeit-Weg-Funktion<br />
t =<br />
⎡<br />
g ⋅ ⎢sin<br />
ϕ<br />
⎣<br />
B<br />
− tan ϕ<br />
st<br />
2⋅<br />
x<br />
⋅cosϕ<br />
B<br />
⎛ F<br />
⋅<br />
⎜1+<br />
⎝ cosϕ<br />
H0,b<br />
B<br />
⋅ m<br />
b<br />
⎞⎤<br />
⎟⎥<br />
g ⎠⎦<br />
( 4.165)<br />
Schüttec_4 VO Partikelmechanik und Schüttguttechnik, <strong>Trichterauslegung</strong> Prof. Dr. Jürgen Tomas, 04.06.2013
129<br />
4.5.2.2 Gleitbedingung auf einer Schüttgutböschung<br />
Gleiten tritt mit merkbarer Geschwindigkeit v > 0 nur dann ein, wenn der Böschungswinkel<br />
groß genug ist, siehe auch Gl.( 4.160):<br />
ϕ<br />
B<br />
> ϕ<br />
st<br />
⎛ FH0,b<br />
⎞<br />
+ arcsin ⎜ ⋅sin<br />
ϕst<br />
⎟<br />
( 4.166)<br />
⎝ mbg<br />
⎠<br />
Diese Fließbedingung läßt sich ebenfalls für das erforderliche Fließen am Rand<br />
der rauen Schüttgutwand der inneren Kernflusszone des Silos eines vergleichsweise<br />
flach geneigten Trichters θ KF = 90° - φ B anwenden, Bild 4.13:<br />
Θ<br />
KF<br />
Fließzone<br />
tote<br />
Zone<br />
Bild 4.13: Schüttgutreibung an geneigten Wänden<br />
im Kernflußsilo, innere Reibung zwischen<br />
Fließ- und Totzone und an der raue Wand im<br />
resultierenden Schüttguttrichter des Flachbodens<br />
(links), Wandreibung an der flachen Wand<br />
(rechts, wie auf einer Schurre).<br />
ϕ<br />
B<br />
α = ϕ<br />
w<br />
Darüber hinaus geht die allgemeine Gl.( 4.166) für F H0,b = 0 in die vorstehende<br />
Bedingung ϕ > ϕ über.<br />
B<br />
st<br />
Der Term F H0,b /(m . b g) kennzeichnet darüber hinaus das Verhältnis der gesamten<br />
Haftkraft zur Gewichtskraft des kohäsiven Schüttgut-Blockelementes mit<br />
einer Höhe h 0 . Mit seiner Scherfläche A 0 , der isostatischen Zugfestigkeit σ 0 und<br />
der Schüttdichte ρ b,0 der lockeren Packung unverfestigter Partikelkontakte läßt<br />
sich abschätzen:<br />
F<br />
F<br />
A<br />
A<br />
H0,b H0,b 0<br />
0<br />
0<br />
≈ ⋅ = σ0<br />
⋅<br />
=<br />
( 4.167)<br />
bg<br />
A0<br />
mpg<br />
ρb,0<br />
⋅ A0<br />
⋅ h0<br />
⋅g<br />
ρb,0<br />
⋅g<br />
⋅ h0<br />
m<br />
Gemäß Schüttec_3.doc#Haftkraftverhältnis_Abschätzung läßt sich das auch als<br />
Verhältnis der Haftkraft/Gewichtskraft eines einzelnen Partikels mit seiner Anzahl<br />
n p in einer angenommenen Wirkungskette interpretieren, mit F H0 /F G,p = 1<br />
bis 10 8 , siehe Tabelle 3.1 in Schüttec_3.pdf:<br />
n<br />
F<br />
( 100 µ m)<br />
2<br />
H0,b FH0<br />
FH0<br />
p<br />
= ≈<br />
= ≈<br />
( 4.168)<br />
3<br />
2<br />
mpg<br />
ρs<br />
⋅π / 6⋅d<br />
⋅g<br />
FG,p<br />
d<br />
σ<br />
4.5.3 Freier Fall eines Schüttgutelementes<br />
Man beachte, dass für α = 90° aus der Bewegungsgleichung eines Schüttgut-<br />
Blockelementes auf einer geneigten Schurre, Gl.( 4.152), die Gesetze des freien<br />
Falls folgen:<br />
Schüttec_4 VO Partikelmechanik und Schüttguttechnik, <strong>Trichterauslegung</strong> Prof. Dr. Jürgen Tomas, 04.06.2013
130<br />
a) Bewegungsgleichung:<br />
x = g<br />
( 4.169)<br />
b) Geschwindigkeits-Zeit-Gesetz:<br />
v = g ⋅ t<br />
( 4.170)<br />
c) Weg-Zeit-Gesetz:<br />
2<br />
t<br />
x = g ⋅<br />
( 4.171)<br />
2<br />
d) Zeit-Weg-Funktion:<br />
2 ⋅ x<br />
t = ( 4.172)<br />
g<br />
e) Geschwindigkeits-Weg-Gesetz mit dt = dx/v:<br />
dv v 2<br />
v ⋅ = g = g ⋅ x<br />
( 4.173)<br />
dx 2<br />
v = 2 ⋅ g ⋅ x<br />
( 4.174)<br />
Diese kinematischen Gesetze müssen nun im folgenden Abschnitt 4.6 für den<br />
ungleich komplizierteren und komplexeren Fall des gleichmäßig beschleunigten,<br />
reibungsbehafteten Ausfließens eines kohäsiven Schüttgutes aus einem<br />
konvergenten Trichter hergeleitet werden:<br />
Schüttec_4 VO Partikelmechanik und Schüttguttechnik, <strong>Trichterauslegung</strong> Prof. Dr. Jürgen Tomas, 04.06.2013
131<br />
4.6 Berechnung des Trichterauslaufmassenstromes<br />
Neben den technologischen Reservefunktionen und Störreserven dienen<br />
Schüttgutbehälter, wie z.B. Befülltrichter, Bunker oder Silos, der Vergleichmäßigung<br />
von Mengenströmen, Partikelgrößenverteilungen, Dichten und chemisch-mineralogischer<br />
Zusammensetzungen. Um also für die mengenmäßige<br />
Vergleichmäßigung den Aufwand an Fördertechnik und Automatisierungstechnik<br />
(Dosiertechnik) zu minimieren, muss die zu erwartende Schwankungsbreite<br />
des Massenstroms resultierend aus den möglichen Veränderungen der Schüttguteigenschaften<br />
geklärt werden. Speicher sollen bekanntlich Schwankungen<br />
glätten und nicht noch mehr Störungen hervorrufen, als ohnehin in einer verfahrenstechnischen<br />
Anlage auftreten.<br />
4.6.1 Vergleich bisheriger Modelle<br />
4.6.1.1 Stationäres Ausfließen einer Flüssigkeit<br />
Für das stationäre Ausfließen von Flüssigkeiten (= viskose Reibung!) aus<br />
Tanks gilt mit der Energiestrombilanz (Leistungsbilanz) bezogen auf den Massenstrom<br />
m , svw. spezifische Energiebilanz oder BERNOULLI-Gleichung<br />
(u Fluidgeschwindigkeit, p statischer Druck, y Höhenkoordinate):<br />
2<br />
u p<br />
+ + g ⋅ y = const.<br />
( 4.175)<br />
2 ρ<br />
l<br />
A 1<br />
u 1<br />
Bild 4.14: Ausströmen einer Flüssigkeit<br />
aus einem Tank<br />
p 1<br />
A 2<br />
y 1<br />
h<br />
y<br />
g<br />
u 2<br />
y 2<br />
p 2<br />
u p u p<br />
+ ( 4.176)<br />
2<br />
2<br />
2<br />
1 1<br />
2 2<br />
+ g ⋅ y1<br />
= + + g ⋅ y2<br />
ρl<br />
2 ρl<br />
und der Volumenstrombilanz<br />
u<br />
1<br />
A1<br />
= u<br />
2<br />
⋅ A<br />
2<br />
⋅ ( 4.177)<br />
u<br />
2<br />
2<br />
1<br />
2 ⋅ p<br />
+<br />
ρ<br />
l<br />
1<br />
+ 2 ⋅ g ⋅ y<br />
1<br />
2 ⋅ p<br />
−<br />
ρ<br />
l<br />
2<br />
− 2 ⋅ g ⋅ y<br />
2<br />
= u<br />
2<br />
2<br />
2<br />
u<br />
2<br />
⋅ A<br />
−<br />
A<br />
2<br />
1<br />
2<br />
2<br />
Schüttec_4 VO Partikelmechanik und Schüttguttechnik, <strong>Trichterauslegung</strong> Prof. Dr. Jürgen Tomas, 04.06.2013
u<br />
2 ⋅ g ⋅<br />
( y − y ) + 2 ⋅ ( p − p )<br />
/ ρ<br />
1 2<br />
1 2 l<br />
2<br />
= ( 4.178)<br />
2 2<br />
1−<br />
A<br />
2<br />
/ A1<br />
Da nun ∆y = y 1 – y 2 = h die Behälterfüllhöhe darstellt, der Auslaufquerschnitt<br />
A 2
4.6.2 Allgemeines Prozessmodell einer gleichmäßig beschleunigten kohäsiven<br />
Schüttgutbrücke<br />
• Beim Ausfließen eines feinkörnigen Schüttgutes aus einem Trichter dehnt<br />
sich dieses aufgrund der abnehmender Spannungen zur Trichterspitze hin<br />
aus (Dilatanz), siehe Bild 4.4. Dadurch wird ein Unterdruck in den<br />
Partikelporenräumen erzeugt, der eine Fluidströmung entgegen der<br />
Austragsrichtung in das Gut hinein bewirkt.<br />
• Außerdem muß man häufig gegen einen leichten Überdruck der Umgebung<br />
(oder Unterdruck im geschlossenen Behälter) austragen - man denke dabei<br />
an die Blasenbildung und Luftrückströmung beim Ausgießen von Getränken<br />
aus geschlossenen Flaschen.<br />
4.6.2.1 Modellbildung<br />
4.6.2.1.1 Kräftegleichgewicht an einer gleichmäßig beschleunigten Brücke<br />
Das Kräftegleichgewicht der Gewichtskraft F G , Trägheitskraft F T und Auflagerkraft<br />
F V einer gleichmäßig beschleunigten, dynamischen Brücke eines<br />
kohäsiven Schüttgutes unter Berücksichtigung der Fluid-Widerstandkraft F F<br />
einer Fluidgegenströmung durch das fließende Schüttgutbett innerhalb des<br />
Trichters liefert (dh B inkrementelle Schicht- oder Brückenhöhe, F 4.4:<br />
dF<br />
dF<br />
dF<br />
G<br />
V<br />
T<br />
= ρ ⋅ g ⋅ A ⋅ dh<br />
( 4.182)<br />
b<br />
1<br />
B<br />
B<br />
= σ′ ⋅ cos δ ⋅ sin δ ⋅ U ⋅ dh<br />
( 4.183)<br />
b<br />
B<br />
B<br />
B<br />
B<br />
= a ⋅ρ ⋅ A ⋅ dh<br />
( 4.184)<br />
dp<br />
dFF<br />
= ⋅ AB<br />
⋅ dh<br />
B<br />
( 4.185)<br />
dh<br />
B<br />
∑ dF ↓= 0 und damit 0 = dFG<br />
− dFV<br />
− dFT<br />
− dFF<br />
Einsetzen der obigen Gln.( 4.182) bis ( 4.185 liefert:<br />
sin 2δ<br />
U<br />
B<br />
dp<br />
0 = ρb<br />
⋅g<br />
⋅A<br />
B<br />
⋅dh<br />
B<br />
− σ′<br />
1<br />
⋅ ⋅ ⋅ A<br />
B<br />
⋅dh<br />
B<br />
− a ⋅ρb<br />
⋅ A<br />
B<br />
⋅dh<br />
B<br />
− ⋅ A<br />
B<br />
⋅dh<br />
B<br />
2 A<br />
dh<br />
B<br />
Für σ 1 ’ = σ c,krit und δ = θ + ϕ w ist bekanntlich, siehe Gl. ( 4.15):<br />
(m + 1) ⋅ σc,krit⋅<br />
sin 2( ϕw<br />
+ θ)<br />
bmin<br />
= ( 4.15)<br />
ρ ⋅ g<br />
Einsetzen:<br />
b<br />
B<br />
133<br />
m + 1<br />
0 = ρb<br />
⋅g<br />
− σ′<br />
1<br />
⋅sin 2δ⋅<br />
− a ⋅ρb<br />
−<br />
b<br />
dp<br />
dh<br />
B<br />
1<br />
⋅<br />
ρ b<br />
⋅ g<br />
b<br />
b<br />
min<br />
a 1 dp<br />
= 1 − − ⋅<br />
(4.186)<br />
g ρ ⋅ g dh<br />
b<br />
B<br />
Schüttec_4 VO Partikelmechanik und Schüttguttechnik, <strong>Trichterauslegung</strong> Prof. Dr. Jürgen Tomas, 04.06.2013
Die vertikale Beschleunigung a der Schüttgutströmung aus der Ruhelage, z.B.<br />
durch Öffnung des Schiebers oder kurzzeitige Brückenbildung, setzt sich sowohl<br />
aus dem Anteil<br />
(1) durch die Querschnittsverengung des Trichters, svw. Trichterkonvergenz<br />
∂A/∂h, als auch aus<br />
(2) der Bremswirkung infolge der reinen Trägheitswirkung der dynamischen<br />
Schüttgutbrücke (Anlaufvorgang) ∂v/∂t zusammen<br />
dv(h,t) ⎛ V(t) ⎞ ∂V<br />
V<br />
∂A<br />
a = = d dt − ⋅<br />
2<br />
dt<br />
⎜<br />
=<br />
A(h,t)<br />
⎟<br />
, ( 4.187)<br />
⎝ ⎠ ∂t⋅<br />
A A ∂dt<br />
∂A<br />
∂A<br />
∂h<br />
∂A<br />
mit: = ⋅ = ⋅ v<br />
∂t<br />
∂h<br />
∂t<br />
∂h<br />
wobei der Volumenstrom im gesamten Trichter konstant bleibt, d.h. für die<br />
Kontinuitätsbedingung wird näherungsweise ein inkompressibles Schüttgut ρ b<br />
≈ const. angenommen, V<br />
(t) ≠ f (h)<br />
. Einsetzen liefert:<br />
dv V<br />
dA dv 2 dA<br />
a = − ⋅ ⋅ v = − v ⋅<br />
2<br />
dt A dh dt A⋅<br />
dh<br />
b/2<br />
θ<br />
y, h<br />
x<br />
( 4.188)<br />
Nebenrechnungen:<br />
b = 2⋅<br />
h⋅<br />
tan θ<br />
( 4.189)<br />
A<br />
A<br />
A<br />
2<br />
= b = 4h<br />
tan<br />
θ<br />
π 2 2 2<br />
= b = πh<br />
tan θ<br />
4<br />
= l ⋅ b= l ⋅ 2htanθ<br />
2<br />
2<br />
( 4.190)<br />
134<br />
Bild 4.15: Trichtergeometrie<br />
Wenn die Höhenkoordinate h von oben beginnend angesetzt wird, nimmt die<br />
Trichterquerschnittsfläche A nach unten ab. Diese Flächenabnahme dA/dh muß<br />
dann mit einem - Vorzeichen versehen werden. Aus Bild 4.15 folgt für einen<br />
quadratischen Auslauf<br />
2<br />
1 dA 8htan θ 2 4⋅<br />
tan θ<br />
⋅ = − = − = − ,<br />
2 2<br />
A dh 4h tan θ h b<br />
runden Auslauf<br />
2<br />
1 dA 2πytan<br />
θ 2 4⋅<br />
tan θ<br />
⋅ = − = − = −<br />
2 2<br />
A dh πy<br />
tan θ h b<br />
und schlitzförmigen Auslauf:<br />
1 dA 2ltanθ<br />
1 2⋅<br />
tan<br />
⋅ = − = − = −<br />
θ<br />
( 4.191)<br />
A dh 2lytanθ<br />
h b<br />
Allgemeingültig liest man aus den obigen Gln.( 4.191) nun mit dem Trichterformfaktor<br />
m ab:<br />
1 dA m + 1 2⋅<br />
(m + 1) ⋅ tan θ<br />
⋅ = − = −<br />
( 4.192)<br />
A dh h<br />
b<br />
Schüttec_4 VO Partikelmechanik und Schüttguttechnik, <strong>Trichterauslegung</strong> Prof. Dr. Jürgen Tomas, 04.06.2013
Damit folgt schließlich für die Beschleunigung des beginnenden Fließens einer<br />
kohäsiven Schüttgutbrücke im konvergenten Trichter:<br />
a<br />
dv<br />
dt<br />
2(m+<br />
1)tan θ<br />
b<br />
2<br />
= + ⋅ v<br />
( 4.193)<br />
Die Auslaufgeschwindigkeit v(t) ≠ f(x) wird hier über dem Trichterquerschnitt<br />
als konstant vorausgesetzt, siehe Bild 4.15. Eingesetzt in Gl.(4.186) ergibt sich<br />
nun die folgende inhomogene, nichtlineare Differentialgleichung erster Ordnung<br />
für die Auslaufgeschwindigkeit v(t) des beginnenden Fließens der kohäsiven<br />
Schüttgutbrücke:<br />
dv 2 ⋅ (m+<br />
1) ⋅ tan θ<br />
+<br />
⋅ v<br />
dt b<br />
2<br />
+<br />
dp<br />
dh<br />
B<br />
1<br />
ρ<br />
b<br />
⎜<br />
⎛ b = g ⋅ 1 −<br />
⎝ b<br />
min<br />
⎟ ⎠<br />
⎞<br />
( 4.194)<br />
Wegen der Geschwindigkeitsabhängigkeit des Druckverlustes während der<br />
Durchströmung der fließenden Schüttgutbrücke (-bettes) dp/dh B = f(u) ist auch<br />
für v ≡ u :<br />
dv 2 ⋅ (m+<br />
1) ⋅ tan θ ⎡ b dp 1 ⎤ ⎛ ⎞<br />
⎢<br />
⋅ ⋅ ⎥ ⋅ 2 b<br />
⋅ +<br />
= ⋅ ⎜ − min<br />
+<br />
1<br />
v g 1 ⎟ ,<br />
2<br />
dt b ⎣ 2 ⋅ (m+<br />
1) ⋅ tan θ dhB<br />
ρb<br />
⋅ u ⎦ ⎝ b ⎠<br />
( 4.195)<br />
Der Term (1- b min /b) erfasst den Fließwiderstand bzw. die Trägheitswirkung<br />
einer kohäsiven Brücke in dem konvergenten Fließkanal, d.h. die Behinderung<br />
des Trichterausflusses aufgrund der kohäsiven Schüttguteigenschaften. Die<br />
minimale Trichteröffnungsweite zur Vermeidung der Brückenbildung b min ist<br />
im Wesentlichen ein apparatives Äquivalentmaß der inneren Haftkräfte im kohäsiven<br />
Schüttgut.<br />
135<br />
4.6.2.1.2 Druckverlust während der homogenen Durchströmung<br />
Der Druckverlust dp/dh B der nach unten fließenden, statistisch homogen<br />
durchströmten Schüttgutbrücke hängt selbstverständlich von der Durchströmungsgeschwindigkeit<br />
der Luft in den Poren u ε und damit von der<br />
Austragsgeschwindigkeit v ab. Infolge der Druckabnahme dehnt sich die<br />
Schüttgutbrücke beim Ausfließen aus (Dilatanz). In den Poren der Brücke<br />
wird ein Unterdruck erzeugt. Deshalb wird Luft „ansaugt“ und folglich das<br />
Fließen der Schüttgutbrücke durch diese Luftgegenströmung abgebremst.<br />
Wenn sich die Schüttgutbrücke beim Ausfließen durch ein umgebendes ruhendes<br />
Fluid hindurchbewegt wird der Betrag der Relativgeschwindigkeit zwischen<br />
Fluid und Brücke u r (kein Schlupf und zusätzliche Anströmung u = 0)<br />
der Brückenaustraggeschwindigkeit v entsprechen:<br />
<br />
= u − v ≅ v , ( 4.196)<br />
u r<br />
Folglich wären alle nachfolgenden Kennzahlen mit der Relativgeschwindigkeit<br />
u r zu bilden. Anstelle dieser Sichtweise kann auch strömungstechnisch<br />
Schüttec_4 VO Partikelmechanik und Schüttguttechnik, <strong>Trichterauslegung</strong> Prof. Dr. Jürgen Tomas, 04.06.2013
analog die homogene Durchströmung einer ruhenden Brücke v = 0 betrachtet<br />
werden:<br />
<br />
= u − v ≅ u<br />
( 4.197)<br />
u r<br />
Somit ist der Zusammenhang zwischen der sog. Anströmgeschwindigkeit<br />
(Leerrohrgeschwindigkeit) u und der mittleren Geschwindigkeit u<br />
ε<br />
der durchströmten<br />
Kanäle des Durchmessers d ε , wie folgt darstellbar:<br />
u = u ε<br />
( 4.198)<br />
ε<br />
/<br />
Die mittlere Porengröße (= sog. hydraulischer Durchmesser charakteristischer<br />
zylindrischer Kanäle d h ) Schüttec_3.doc - hydraulischerDurchmesser<br />
Gl.(3.142), sei<br />
2 ⋅ ε ⋅ dST<br />
dε =<br />
( 4.199)<br />
3⋅<br />
(1 − ε)<br />
Dabei ist d ST die gemittelte oberflächengleichwertige Partikelgröße oder der<br />
sog. SAUTER-Durchmesser der durchströmten Schüttgutbrücke, Gl.(1.70)<br />
MVT_e_1neu.doc#SAUTER_Durchmesser_M:<br />
1 1<br />
d<br />
ST<br />
= =<br />
( 4.200)<br />
M<br />
−1,3<br />
do<br />
∫ − 1<br />
d<br />
du<br />
q<br />
3<br />
(d)d(d)<br />
Es ist nun zweckmäßig, den Druckverlust mit Hilfe der EULER-Zahl (=<br />
Druckkraft/Trägheitskraft) als dimensionslose Kennzahl für das Durchströmungsproblem<br />
einer Partikelschüttung auszudrücken 16 :<br />
Eu<br />
ε<br />
F W,ε<br />
2⋅<br />
F / A<br />
= ( 4.201)<br />
ρ<br />
W, ε<br />
2<br />
f⋅<br />
uε<br />
Widerstandskraft in den Kanälen<br />
ρ f Fluiddichte<br />
Mit der homogen durchströmten Querschnitts- bzw. Porenfläche<br />
136<br />
Aε = ε⋅<br />
A und<br />
der charakteristischen Abmessung des Strömungsprofils in Form des Porendurchmessers<br />
V ε /A ε ⇒ d ε folgt mit dem Druckverlust der Schüttschicht (Index<br />
B für eine Schüttgutbrücke oder Festbett)<br />
( dp / dh<br />
B<br />
) ⋅<br />
2<br />
⋅ ( u / ε) ⋅ ε<br />
2 ⋅ dε<br />
Eu<br />
B<br />
= (4.202)<br />
ρ<br />
f<br />
und mit der Gl.( 4.199):<br />
( dp / dh )<br />
2<br />
4 ⋅<br />
B<br />
⋅ ε ⋅ dST<br />
Eu<br />
B<br />
=<br />
2<br />
( 4.203)<br />
3⋅ρ<br />
⋅ u ⋅ (1 − ε)<br />
f<br />
Der Druckverlust des Festbettes ist somit:<br />
16 MOLERUS, O., Principles of Flow in Disperse Systems, p. 10, Chapman & Hall, London<br />
1993<br />
Schüttec_4 VO Partikelmechanik und Schüttguttechnik, <strong>Trichterauslegung</strong> Prof. Dr. Jürgen Tomas, 04.06.2013
dp<br />
dh<br />
3⋅<br />
ρ<br />
⋅ u ⋅ (1 − ε)<br />
2<br />
f<br />
= ⋅ Eu<br />
2<br />
B<br />
( 4.204)<br />
B<br />
4 ⋅ ε ⋅ dST<br />
Die EULER-Zahl hängt von der Partikel-REYNOLDS-Zahl (MOLERUS, p.<br />
17) und somit vom mittleren Porendurchmesser d ε ab, Gl. ( 4.199):<br />
(u<br />
r<br />
/ ε)<br />
⋅ dST⋅<br />
ρf<br />
3⋅<br />
u<br />
r<br />
⋅ d<br />
ε⋅ρf<br />
⋅ (1 − ε)<br />
Re =<br />
=<br />
( 4.205)<br />
2<br />
η<br />
2 ⋅ ε ⋅ η<br />
η f<br />
f<br />
dynamische Fluidviskosität<br />
f<br />
Der Durchströmungswiderstand Eu = f(Re) wird nun wie folgt quantifiziert:<br />
137<br />
4.6.2.1.3 Durchströmungsbedingungen<br />
Für die im Allgemeinen laminaren bis turbulenten Durchströmungsbedingungen<br />
beim Ausfließen muss Re < 10 4 erfüllt sein (man beachte die Analogie, bei<br />
der Umströmung soll Re < 2⋅10 5 sein). Nach MOLERUS (1982) folgt für<br />
‣ das Festbett Schüttec_3.doc - Druckverlust_Festbett_Molerus<br />
2<br />
1,5<br />
24 ⎪<br />
⎧ ⎡d<br />
1 d ⎪<br />
⎫<br />
⎛ ⎞ ⎤ 4 ⎪⎧<br />
⎛ d ⎞ ⎪⎫<br />
⎛ d ⎞<br />
Eu<br />
B<br />
= ⋅ ⎨1<br />
+ 0,692⋅<br />
⎢ + ⋅⎜<br />
⎟ ⎥ ⎬ + ⋅ ⎨1<br />
+ 0,12⋅⎜<br />
⎟ ⎬ + 0,4 + ⎜ ⎟<br />
Re<br />
a 2 a Re<br />
a<br />
0,95<br />
⎪⎩ ⎝ ⎠0,95<br />
⎪⎭ ⎝ a ⎠<br />
⎪⎩<br />
⎢⎣<br />
⎝ ⎠ ⎥⎦<br />
⎪⎭<br />
( 4.206)<br />
für die Porositätsfunktion (Partikelgrößen-Abstandsverhältnis), siehe dazu<br />
das Würfelzellenmodell ../VO_MVT_Neu/MVT_e_1neu.doc#a_phis<br />
0,95<br />
0,891<br />
⋅<br />
0,1<br />
Re<br />
⎛ d ⎞<br />
⎜ ⎟<br />
⎝ a ⎠<br />
=<br />
3<br />
0,95<br />
0,95 − 1<br />
3<br />
1− ε<br />
− ε<br />
mit ( 4.207)<br />
3<br />
( 1 ε ) 0, 95<br />
− d.h. (1-ε) max = 0,8574 ( 4.208)<br />
max =<br />
‣ und für eine homogene Wirbelschicht (expandierendes Festbett)<br />
Der Druckverlust läßt sich in diesem Falle aus der um den statischen Auftrieb<br />
verminderten Gewichtskraft der schwebenden Schüttung berechnen:<br />
dp<br />
dh<br />
WS<br />
( ρ − ρ ) ⋅ g<br />
= (1 − ε ) ⋅ , ( 4.209)<br />
WS<br />
s<br />
f<br />
wobei die Feststoffdichte wesentlich größer als die Fluid- oder gewöhnlich<br />
Gasdichte ρ s >> ρ f ist:<br />
dp<br />
dh<br />
ρ b,WS<br />
ρ<br />
⋅<br />
( ρ − ρ ) ⋅ g ≈ ρ ⋅ g<br />
b,WS<br />
=<br />
s f<br />
b,WS<br />
( 4.210)<br />
WS<br />
ρs<br />
Schüttgutdichte im Wirbelschichtzustand (Index WS)<br />
Damit ist die EULER-Zahl im Wirbelschichtzustand<br />
Eu<br />
4⋅<br />
( ρ − ρ )<br />
⋅ g ⋅ ε<br />
⋅ d<br />
2<br />
s f<br />
ST<br />
WS= ( 4.211)<br />
2<br />
3⋅<br />
ρf<br />
⋅ u<br />
Es folgt Schüttec_3.doc - Druckverlust_Wirbelschicht_Molerus:<br />
Schüttec_4 VO Partikelmechanik und Schüttguttechnik, <strong>Trichterauslegung</strong> Prof. Dr. Jürgen Tomas, 04.06.2013
Eu<br />
WS<br />
=<br />
2<br />
24 ⎪⎧<br />
⎡d<br />
1 ⎛ d ⎞ ⎤⎪⎫<br />
⋅⎨1<br />
+ 0,341⋅<br />
⎢ + ⋅⎜<br />
⎟ ⎥⎬<br />
+<br />
Re ⎪⎩ ⎢⎣<br />
a 2 ⎝ a ⎠ ⎥⎦<br />
⎪⎭<br />
4 ⎪⎧<br />
⎛ d ⎞<br />
⋅ ⎨1<br />
+ 0,07⋅⎜<br />
⎟<br />
Re ⎪⎩ ⎝ a ⎠<br />
mit der Porositätsfunktion (Partikelgrößen-Abstandsverhältnis)<br />
⎛ d ⎞<br />
⎜ ⎟<br />
⎝ a ⎠<br />
3<br />
=<br />
3<br />
1− ε<br />
3<br />
0,9<br />
0,9 − 1<br />
( 1 ε ) 0, 9<br />
max =<br />
− ε<br />
1,5<br />
138<br />
⎪⎫<br />
d 0,907<br />
⎬ + 0,4 + ⋅<br />
0,1<br />
⎪⎭<br />
a Re<br />
( 4.212)<br />
und (4.213)<br />
− d.h. (1-ε) max = 0,729 ( 4.214)<br />
Man beachte die Plausibilität dieser Gleichungen, d.h., als Grenzwert der expandierenden<br />
Wirbelschicht (Flugstaubwolke) muss sich der Widerstand der<br />
Umströmung der Einzelpartikel (ideal glatte Kugeln) lim ⎜ ⎛ Eu ⎟⎞<br />
⎠<br />
= c ergeben:<br />
ε→1<br />
⎝<br />
24 4<br />
EuWS ( ε = 1) = EuKugel=<br />
cW<br />
= + + 0,4 ,<br />
Re Re<br />
( 4.215)<br />
wobei sich die folgenden Einflüsse auf die Durchströmungs- bzw. Umströmungsbedingungen<br />
abgrenzen lassen:<br />
⇒ {...}<br />
Re<br />
Term für laminare Durchströmung<br />
⇒ {...}<br />
Re<br />
Übergangsterm und<br />
⇒ 0,4 + ... Term für turbulente Durchströmung<br />
WS<br />
W<br />
4.6.2.2 Differentialgleichung des Ausfließens<br />
Aus der Differentialgleichung ( 4.195)<br />
dv 2 ⋅ (m+<br />
1) ⋅ tan θ ⎡ b<br />
+<br />
⋅ ⎢1<br />
+<br />
⋅<br />
dt b ⎣ 2 ⋅ (m+<br />
1) ⋅ tan θ<br />
dp<br />
dh<br />
B<br />
1<br />
⋅<br />
ρ ⋅ u<br />
b<br />
2<br />
⎤<br />
⎥ ⋅ v<br />
⎦<br />
2<br />
⎜<br />
⎛ b = g ⋅ 1 −<br />
⎝ b<br />
min<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
folgt mit den Gln. ( 4.195), ( 4.197) und ( 4.204)<br />
dp<br />
dh<br />
B<br />
dp<br />
dh<br />
B<br />
dp<br />
dh<br />
B<br />
2<br />
3⋅ρf<br />
⋅ u ⋅ (1 − ε)<br />
= ⋅ Eu<br />
B<br />
(u<br />
r<br />
)<br />
( 4.204)<br />
2<br />
4 ⋅ ε ⋅ d<br />
ST<br />
1 3⋅ρf<br />
⋅ (1 − ε)<br />
⋅ =<br />
⋅ Eu<br />
B<br />
(u<br />
r<br />
) und<br />
2<br />
2<br />
ρ ⋅ u 4 ⋅ ρ ⋅ ε ⋅ d<br />
b<br />
1<br />
3⋅ρ<br />
b<br />
⋅ Eu<br />
ST<br />
(u<br />
)<br />
1− ε ρb<br />
=<br />
ρ ρ ⋅ ρ<br />
b<br />
s<br />
b<br />
1<br />
=<br />
ρ<br />
⋅ f B r<br />
=<br />
2<br />
2<br />
ρb<br />
⋅ u 4 ⋅ρs<br />
⋅ ε ⋅ d<br />
( 4.216)<br />
ST<br />
s<br />
die grundlegende Differentialgleichung erster Ordnung des beginnenden, instationären<br />
oder beschleunigten Ausfließens kohäsiver Schüttgüter aus einem<br />
konvergenten Trichter:<br />
dv 2(m+<br />
1) ⋅ tan θ ⎡ 3⋅<br />
b ⋅ ρ<br />
⎤<br />
f<br />
⋅ Eu<br />
B<br />
(v(t))<br />
+<br />
⋅ ⎢1<br />
+<br />
⎥ ⋅ v<br />
2<br />
dt b ⎣ 8 ⋅ d<br />
ST⋅<br />
ε ⋅ ρs⋅<br />
(m+<br />
1) ⋅ tan θ⎦<br />
2<br />
⎞<br />
⎜<br />
⎛ b = ⋅ − min<br />
g 1 ⎟<br />
⎝ b ⎠<br />
( 4.217)<br />
Schüttec_4 VO Partikelmechanik und Schüttguttechnik, <strong>Trichterauslegung</strong> Prof. Dr. Jürgen Tomas, 04.06.2013
139<br />
Für den einfachen Fall des stationären Fließens dv/dt = 0 läßt sich die obige<br />
Differentialgleichung einfach auflösen:<br />
⎞<br />
⎜ ⎛ b<br />
min,st<br />
g ⋅ b ⋅ 1 −<br />
⎟<br />
⎝ b<br />
v<br />
⎠<br />
st<br />
(b) =<br />
( 4.218)<br />
⎡ 3⋅<br />
b ⋅ρ ⋅<br />
⎤<br />
f<br />
Eu<br />
B<br />
(vst<br />
)<br />
2 ⋅ (m+<br />
1) ⋅ tan θ ⋅ ⎢1<br />
+<br />
2<br />
⎥<br />
⎣ 8⋅<br />
d<br />
ST⋅<br />
ε ⋅ ρs⋅<br />
(m+<br />
1) ⋅ tan θ⎦<br />
Für das stationäre Fließen sollte nun statt b min die etwas kleinere minimale<br />
Öffnungsweite des stationäres Ausfließen b min,st gemäß Gl. ( 4.72) eingesetzt<br />
werden. Man erkennt unmittelbar, daß bei einer ausgeführten Öffnungsweite<br />
von exakt b = b min,st sich Brückenbildung ergeben würde - zumindest mit einer<br />
50%igen Wahrscheinlichkeit. Die Auslaufgeschwindigkeit ist folglich v st = 0.<br />
Die Reduzierung der stationären Auslaufgeschwindigkeit mit zunehmender<br />
Druckdifferenz dp/(dh . B ρ . b u 2 ) lässt sich anhand des Durchströmungsterms mit<br />
der EULER-Zahl Eu B (v st ) als Widerstand ebenfalls abschätzen. Wollte man<br />
eine mögliche Sogwirkung eines äußeren Unterdruckes unterhalb des Ausflusses<br />
berücksichtigen, wäre statt des (+dp) ein (-dp) Vorzeichen zu schreiben.<br />
Diese inhomogene, nichtlineare Differentialgleichung erster Ordnung, Gl.(<br />
4.217), lässt sich wegen der komplizierten nichtlineare Abhängigkeit von den<br />
Durchströmungsbedingungen der Partikelschichten Eu B = Re(v(t)) nur numerisch<br />
lösen, z.B. mit der RUNGE-KUTTA-Methode:<br />
4.6.2.3 Numerische Lösung mit der RUNGE-KUTTA-Methode<br />
Gleichung ( 4.217) wird unter Verwendung von Gl.( 4.241) umgeschrieben<br />
dv<br />
2(m+<br />
1) ⋅ tan θ<br />
( ) [ ] ⎞<br />
⎜<br />
⎛ ⋅ + ⋅<br />
2 b<br />
= = −<br />
+ ⋅ − min<br />
f (v,t)<br />
1 cEu<br />
v (t) g 1 ⎟ ( 4.219)<br />
dt<br />
b ⋅ 1−k<br />
b⋅<br />
d / b<br />
⎝ b ⎠<br />
mit dem Parameter c Eu , EULER-Zahl und REYNOLDS-Zahl:<br />
3⋅<br />
ρf<br />
⋅ Eu<br />
B(Re)<br />
⋅ b ⋅ ( 1−<br />
k<br />
b⋅<br />
d / b)<br />
cEu =<br />
( 4.220)<br />
2<br />
8⋅<br />
d ⋅ε ⋅ ρ ⋅ (m+<br />
1) ⋅ tan θ<br />
ST<br />
s<br />
Eu<br />
B<br />
2<br />
3<br />
3<br />
24<br />
⎧<br />
1 1 1<br />
⎫<br />
⎪<br />
⎡ − ε ⎛ − ε ⎞ ⎤<br />
⎪ 4<br />
= ⋅ ⎨1<br />
+ 0,692⋅<br />
⎢<br />
+ ⋅⎜<br />
⎟ ⎥<br />
3<br />
3 ⎬ + ⋅<br />
Re<br />
⎢0,95<br />
− 1− ε 2<br />
0,95 1<br />
Re<br />
⎪⎩ ⎣<br />
⎝ − − ε ⎠ ⎥<br />
⎦⎪⎭<br />
⎧<br />
1,5<br />
3<br />
3<br />
⎪ ⎛ 1− ε ⎞ ⎪<br />
⎫ ⎛ 1− ε ⎞ 0,891<br />
⋅ ⎨1<br />
+ 0,12⋅⎜<br />
⎟ + 0,4 + ⎜<br />
⎟<br />
⋅<br />
3 ⎬<br />
3<br />
0,1<br />
0,95 1<br />
0,95 1<br />
⎝ − − ε ⎠ Re<br />
⎪⎩ ⎝ − − ε ⎠ ⎪⎭<br />
( 4.221)<br />
Re<br />
v(t) ⋅ d ST<br />
⋅ ρf<br />
= ( 4.222)<br />
ε ⋅ η<br />
f<br />
Für festzulegende Startwerte t 0 , v 0 , Endwerte t max , sowie der Anzahl der Funktionswerte<br />
n und einer sich selbststeuernden Schrittweite (0 < α < 1<br />
Schrittweitenfaktor, gewöhnlich α ≈ 0,9)<br />
h= t / n<br />
( 4.223)<br />
max<br />
Schüttec_4 VO Partikelmechanik und Schüttguttechnik, <strong>Trichterauslegung</strong> Prof. Dr. Jürgen Tomas, 04.06.2013
140<br />
h := h ⋅ α<br />
( 4.224)<br />
t<br />
k + 1=<br />
t<br />
k<br />
+ h<br />
( 4.225)<br />
wird die Differentialgleichung mit den Hilfswerten k 0(k) bis k 3(k) in k = 1 ... n<br />
Schritten gelöst:<br />
k = f (t , v ) ⋅ h<br />
k<br />
k<br />
k<br />
0(k)<br />
1(k)<br />
2(k)<br />
3(k)<br />
k<br />
= f (t + 0,5 ⋅ h,v<br />
k<br />
= f (t + 0,5 ⋅ h,v<br />
k<br />
= f (t + h, v<br />
k<br />
k<br />
k<br />
k<br />
k<br />
+ k<br />
+ 0,5 ⋅ k<br />
+ 0,5 ⋅ k<br />
2(k)<br />
) ⋅ h<br />
0(k)<br />
1(k)<br />
) ⋅ h<br />
) ⋅ h<br />
( 4.226)<br />
Die Genauigkeit und der Rechenaufwand werden im Algorithmus mit der<br />
k<br />
2(k)<br />
− k1(k)<br />
Schranke < 0,01...0, 1<br />
( 4.227)<br />
k − k<br />
1(k)<br />
0(k)<br />
geregelt. Die Funktionswerte der Auslaufgeschwindigkeit sind dann:<br />
1<br />
v<br />
k+ 1=<br />
vk<br />
+ ⋅ [ k<br />
0+<br />
2 ⋅ k1+<br />
2 ⋅ k<br />
2+<br />
k<br />
3]<br />
( 4.228)<br />
6<br />
Programmausschnitt mit RUNGE-KUTTA-Algorithmus aus Borland-PAS-<br />
CAL-Unit „SZTr.Pas“ der eigenen Berechnungssoftware „SZNeu.Exe“ zur<br />
Auswertung von Scherzellenmeßergebnissen und Bunkerdimensionierung 17 :<br />
with TR[k]^ do begin {Variablenvektor mit Index k}<br />
alfa:=0.9;<br />
{selbst kontrollierende Schrittweite 0
141<br />
4.6.2.4 Näherungslösungen für die turbulente Durchströmung<br />
4.6.2.4.1 Das Geschwindigkeits-Zeit-Gesetz<br />
Eine analytische Näherungslösung der Auslaufgeschwindigkeit kann man für<br />
die turbulente Durchströmung nur gewinnen, wenn man während der Beschleunigungsphase,<br />
d.h. beim Durchlaufen des laminaren und des Übergangsbereiches<br />
der Bettdurchströmung voraussetzt, dass der Druckverlustterm<br />
dp/(dh . B ρ . b u 2 ) abschnittsweise konstant sei. Das entspricht einem konstanten<br />
Widerstandsbeiwert c W bei der Partikelumströmung, siehe dazu auch ../VO_-<br />
MVT_Neu/MVT_e_4neu.doc#Widerstandsbeiwert_kaskas bzw. ..\VO_MVT_-<br />
Neu\MVT_e_4neu.pdf.<br />
Folglich soll unter der vereinfachenden Annahme einer zumindest abschnittsweisen<br />
Konstanz der Eulerzahl Eu B ≈ const. ≠ f(v(t)) die Differentialgleichung<br />
( 4.195) analytisch gelöst werden, um sich über die wesentlichen Zusammenhänge<br />
der Auslaufkinetik Klarheit zu verschaffen:<br />
dv 2 ⋅ (m+<br />
1) ⋅ tan θ ⎡ b dp 1 ⎤<br />
⎞<br />
⎢<br />
⋅ ⋅ ⎥ ⎜<br />
⎛ ⋅ 2 b<br />
⋅ +<br />
= ⋅ − min<br />
+<br />
1<br />
v g 1<br />
2<br />
⎟<br />
dt b ⎣ 2 ⋅ (m+<br />
1) ⋅ tan θ dhB<br />
ρb<br />
⋅ u ⎦ ⎝ b ⎠<br />
( 4.195)<br />
Zunächst wird als wesentlicher Prozessparameter und kennzeichnender Stoffwert<br />
(Stoffeigenschaftsfunktion), svw. Eigenwert der Differentialgleichung, die<br />
stationäre Auslaufgeschwindigkeit v st berechnet:<br />
⎛ dv ⎞ 2 ⋅ (m+<br />
1) ⋅ tan θ ⎡ b dp 1 ⎤<br />
⎞<br />
⋅ ⎢ +<br />
⋅ ⋅ ⎥ ⎜<br />
⎛ ⋅ 2 b<br />
⎟ +<br />
= ⋅ − min<br />
⎜ = 0<br />
1<br />
v g 1<br />
2 st<br />
⎟<br />
⎝ dt ⎠ b ⎣ 2 ⋅ (m+<br />
1) ⋅ tan θ dhB<br />
ρb<br />
⋅ u ⎦ ⎝ b ⎠<br />
⎞<br />
⎜<br />
⎛ b ⋅ − min<br />
g 1 ⎟<br />
2<br />
⎝ b<br />
v<br />
⎠<br />
st<br />
=<br />
2 ⋅ (m+<br />
1) ⋅ tan θ ⎡ b dp 1 ⎤<br />
⋅ ⎢1<br />
+<br />
⋅ ⋅<br />
2<br />
b<br />
⎥<br />
⎣ 2 ⋅ (m+<br />
1) ⋅ tan θ dhB<br />
ρb<br />
⋅ u ⎦<br />
Im Vergleich zur Gl.( 4.218) ergibt sich die stationäre Auslaufgeschwindigkeit<br />
in einer etwas veränderten Schreibweise:<br />
⎛ b ⎞<br />
⋅ ⋅ ⎜ −<br />
min<br />
b g 1 ⎟ ⎝ b<br />
v =<br />
⎠<br />
( 4.229)<br />
st<br />
⎡ b dp 1 ⎤<br />
2 ⋅ (m+<br />
1) ⋅ tan θ ⋅ ⎢1<br />
+<br />
⋅ ⋅<br />
2 ⎥<br />
⎣ 2 ⋅ (m+<br />
1) ⋅ tan θ dhB<br />
ρb<br />
⋅ u ⎦<br />
Zur Lösung mittels Trennung der Variablen wird die Differentialgleichung (<br />
4.195) zweckmäßig umgeformt:<br />
dv(t) ⎛ bmin<br />
⎞ 2 ⋅ (m+<br />
1) ⋅ tan θ ⎡ b dp 1 ⎤ =<br />
2<br />
g ⋅ ⎜1<br />
− ⎟ −<br />
⋅ 1<br />
v<br />
2<br />
dt<br />
b b<br />
⎢ +<br />
⋅ ⋅<br />
2 (m 1) tan dhB<br />
b<br />
u<br />
⎥ ⋅<br />
⎝ ⎠ ⎣ ⋅ + ⋅ θ ρ ⋅ ⎦<br />
Einsetzen von Gl.( 4.229)<br />
2 ⋅ (m+<br />
1) ⋅ tan θ ⎡ b dp 1 ⎤ 1 − bmin<br />
/ b<br />
⋅ 1<br />
g<br />
2<br />
2<br />
b<br />
⎢ +<br />
⋅ ⋅ = ⋅<br />
2 (m 1) tan dhB<br />
b<br />
u<br />
⎥<br />
⎣ ⋅ + ⋅ θ ρ ⋅ ⎦ vst<br />
Schüttec_4 VO Partikelmechanik und Schüttguttechnik, <strong>Trichterauslegung</strong> Prof. Dr. Jürgen Tomas, 04.06.2013
142<br />
in Gl. ( 4.195):<br />
2<br />
dv(t) ⎛ bmin<br />
⎞ ⎛ bmin<br />
⎞ v<br />
= g ⋅ ⎜1<br />
− ⎟ − g ⋅ ⎜1<br />
− ⎟ ⋅<br />
2 und ausklammern:<br />
dt ⎝ b ⎠ ⎝ b ⎠ v<br />
liefert eine deutlich übersichtlichere Differentialgleichung<br />
dv(t)<br />
dt<br />
⎛ b<br />
g ⋅ ⎜1<br />
−<br />
⎝ b<br />
⎞ ⎛ v<br />
⎟ ⋅<br />
⎜1<br />
−<br />
⎠ ⎝ v<br />
2<br />
=<br />
min<br />
2<br />
st<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
st<br />
( 4.230)<br />
Die Integration dieser nichtlinearen Differentialgleichung liefert nach Trennung<br />
der Variablen mit der Anfangsbedingung v(t = 0) = 0 für Werte v(t) ≤ v st<br />
v<br />
∫<br />
v = 0<br />
dv<br />
v − v<br />
2<br />
st<br />
2<br />
g =<br />
2<br />
v<br />
st<br />
⎜<br />
⎛ b ⋅ 1 −<br />
⎝ b<br />
min<br />
⎞<br />
⎟ ⋅<br />
⎠<br />
t<br />
∫<br />
t = 0<br />
dt<br />
auf der linken Seite der Integralgleichung die folgende Lösung 18 :<br />
(4.231)<br />
v<br />
v<br />
dv 1 ⎛ v ⎞ ⎡ ⎛ ⎞ ⎛<br />
st<br />
+ v 1 vs<br />
+ v vst<br />
∫ = ⋅ ln<br />
⎜<br />
⎟ = ⋅ ⎢ln<br />
⎜<br />
⎟ − ln<br />
⎜<br />
2 2<br />
v − ⋅ ⎝ − ⎠ ⋅ ⎣ ⎝ −<br />
v = 0 st<br />
v 2 vst<br />
vst<br />
v 2 v<br />
0 st<br />
vs<br />
v ⎠ ⎝ vst<br />
Die rechte Seite der Integralgleichung (4.331) ergibt:<br />
g<br />
2<br />
v<br />
st<br />
⎛ b ⋅ ⎜1<br />
−<br />
⎝ b<br />
min<br />
⎟ ⎠<br />
⎞ ⋅<br />
t<br />
∫<br />
t = 0<br />
g<br />
dt =<br />
2<br />
v<br />
st<br />
⎛ b ⋅ ⎜1<br />
−<br />
⎝ b<br />
min<br />
⎞<br />
⎟ ⋅<br />
⎠<br />
Beide Integrale ergeben zusammen:<br />
1 ⎛ vs<br />
+ v ⎞ g ⎛ bmin<br />
⎞<br />
⋅ ln<br />
1 t<br />
2<br />
2 v<br />
⎜ = ⋅ ⎜ − ⎟ ⋅<br />
st<br />
vs<br />
v<br />
⎟<br />
⋅ ⎝ − ⎠ vst<br />
⎝ b ⎠<br />
Auflösen nach v:<br />
⎛ vst<br />
+ v ⎞ 2 ⋅ g ⎛ b<br />
ln<br />
⎜ = ⋅ ⎜1<br />
−<br />
vst<br />
v<br />
⎟<br />
⎝ − ⎠ vst<br />
⎝ b<br />
v<br />
v<br />
v<br />
st<br />
st<br />
st<br />
min<br />
+ v ⎡2<br />
⋅ g<br />
= ⎢ ⎜<br />
⎛ b<br />
exp ⋅ 1 −<br />
− v ⎣ v ⎝ b<br />
st<br />
min<br />
⎞<br />
⎟ ⋅ t<br />
⎠<br />
⎞ ⎤<br />
⎟ ⋅ t⎥<br />
⎠ ⎦<br />
⎡<br />
+ v =<br />
st ⎢ ⎜ ⎟ ⋅ t<br />
⎣ vst<br />
⎝ b ⎠<br />
2 ⋅ g ⎛ b ⎞ ⎤<br />
( − ) ⋅ ⋅ 1 −<br />
min<br />
v v exp<br />
⎥ ⎦<br />
⎡2<br />
⋅ g ⎛ b<br />
v + v ⋅ exp⎢<br />
⋅ ⎜1<br />
−<br />
⎣ vst<br />
⎝ b<br />
min<br />
⎞<br />
⎟ ⋅<br />
⎠<br />
⎤<br />
t⎥<br />
= v<br />
⎦<br />
st<br />
t<br />
⎡2<br />
⋅ g b<br />
⋅ exp⎢ ⎜<br />
⎛ ⋅ 1 −<br />
⎣ v ⎝ b<br />
st<br />
min<br />
⎞ ⎤<br />
⎟ ⋅ t⎥ − v<br />
⎠ ⎦<br />
⎧ ⎡2<br />
⋅ g ⎛ b ⎞ ⎤⎫<br />
⎬ ⎫<br />
⎩ ⎨⎧<br />
⎡ ⋅ ⎛ ⎞ ⎤<br />
⎨ ⎢ ⋅ ⎜ −<br />
min<br />
2 g b<br />
⎟ ⋅ ⎥⎬<br />
= ⋅ ⎢ ⋅ ⎜ −<br />
min<br />
v ⋅ 1+<br />
exp 1 t vst<br />
exp 1 ⎟ ⋅ t⎥<br />
−1<br />
⎩ ⎣ vst<br />
⎝ b ⎠ ⎦ ⎭ ⎣ vst<br />
⎝ b ⎠ ⎦ ⎭<br />
Das ergibt die Zeitabhängigkeit der instationären Auslaufgeschwindigkeit:<br />
⎡2<br />
⋅ g ⎛ bmin<br />
⎞ ⎤<br />
exp⎢<br />
⋅ ⎜1<br />
− ⎟ ⋅ t 1<br />
v b<br />
⎥ −<br />
st<br />
v(t) v<br />
⎣ ⎝ ⎠<br />
=<br />
st<br />
⋅<br />
⎦<br />
⎡2<br />
⋅ g ⎛ b ⎤<br />
min ⎞<br />
exp⎢ ⋅ ⎜1<br />
− ⎟ ⋅ t + 1<br />
vst<br />
b<br />
⎥<br />
⎣ ⎝ ⎠ ⎦<br />
Dies lässt sich mit der tanh-Funktion 19 deutlich vereinfachen:<br />
⎞⎤<br />
⎟⎥<br />
⎠⎦<br />
st<br />
18 Siehe Ruge, P., Mathematik, S. A 47, in Czichos, H., Hütte, Springer Berlin 1991.<br />
Schüttec_4 VO Partikelmechanik und Schüttguttechnik, <strong>Trichterauslegung</strong> Prof. Dr. Jürgen Tomas, 04.06.2013
( 2x)<br />
( 2x)<br />
exp −1<br />
y = = tanh( x) mit −1<br />
< y < 1<br />
(4.232)<br />
exp + 1<br />
Schließlich erhält man die folgenden Geschwindigkeits-Zeit-Gesetze für das<br />
beginnendes Ausfließen eines kohäsiven Schüttgutes aus einem konvergenten<br />
Trichter:<br />
⎡2<br />
⋅ g ⎛ b ⎞ ⎤<br />
⎢ ⋅ ⎜ −<br />
min<br />
v(t)<br />
= vst ⋅ tanh 1 ⎟ ⋅ t⎥<br />
oder<br />
⎣ vst<br />
⎝ b ⎠ ⎦<br />
v<br />
exp(2t / t76)<br />
−1<br />
=<br />
st<br />
76<br />
= vst⋅<br />
, ( 4.233)<br />
exp(2t / t ) + 1<br />
( t) v ⋅ tanh( t / t )<br />
Mit der stationären Auslaufgeschwindigkeit Gl.( 4.229):<br />
76<br />
⎞<br />
⎜<br />
⎛ b ⋅ ⋅ − min<br />
b g 1 ⎟<br />
⎝ b<br />
v =<br />
⎠<br />
( 4.229)<br />
st<br />
⎡ b dp 1 ⎤<br />
2 ⋅ (m+<br />
1) ⋅ tan θ ⋅ ⎢1<br />
+<br />
⋅ ⋅<br />
2 ⎥<br />
⎣ 2 ⋅ (m+<br />
1) ⋅ tan θ dhB<br />
ρb<br />
⋅ u ⎦<br />
Die tanh-Funktion ist typisch für diesen Schwerkraft-getriebenen Auslaufprozess.<br />
Sie enthält einen kennzeichnenden Kinematikparameter bzw. eine charakteristischen<br />
Auslaufzeit t 76 :<br />
t<br />
76<br />
vst<br />
=<br />
⎜<br />
⎛ b<br />
g 1 −<br />
⎝ b<br />
min<br />
1<br />
=<br />
⎞<br />
⎟ ⎜<br />
⎛ b<br />
g 1 −<br />
⎠ ⎝ b<br />
min<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎞<br />
⎜<br />
⎛ b ⋅ ⋅ − min<br />
b g 1 ⎟<br />
⎝ b ⎠<br />
⎡ b<br />
2(m+<br />
1) tan θ ⋅ ⎢1<br />
+<br />
⋅<br />
⎣ 2(m+<br />
1) tan θ<br />
dp<br />
dh<br />
B<br />
1<br />
⋅<br />
ρ u<br />
b<br />
2<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎦<br />
(4.234)<br />
b<br />
t =<br />
(4.235)<br />
76<br />
⎛ b ⎞ ⎡<br />
⎤<br />
⋅ + ⋅ θ⋅ ⋅ ⎜ −<br />
min<br />
b dp 1<br />
2 (m 1) tan g 1 ⎟ ⋅ ⎢1<br />
+<br />
⋅ ⋅<br />
2 ⎥<br />
⎝ b ⎠ ⎣ 2 ⋅(m+<br />
1) ⋅ tan θ dh<br />
B<br />
ρb<br />
⋅ u ⎦<br />
Der Index 76 der charakteristischen Auslaufzeit wurde gewählt, weil für t = t 76<br />
die Funktion<br />
v(t<br />
( 1) = 0,76 ⋅<br />
st<br />
= t<br />
(4.236)<br />
76)<br />
= vst<br />
⋅ tanh v<br />
ergibt. Die stationäre Auslaufgeschwindigkeit wird für<br />
v(t<br />
v(t<br />
( 2) = 0,964 ⋅<br />
st<br />
( 3) = 0,995 ⋅<br />
st<br />
96<br />
2 ⋅ t<br />
76)<br />
= vst<br />
⋅ tanh v<br />
99<br />
3⋅<br />
t<br />
76)<br />
= vst<br />
⋅ tanh v<br />
= (4.237)<br />
= (4.238)<br />
mit weniger als 4%-iger bzw. 0,5%-iger Abweichung erreicht.<br />
d<br />
d<br />
Der aus dem konvergenten Trichter ausfließende momentane Volumenstrom<br />
V und Massestrom m sind mit der Gl.( 4.233) für die Auslaufgeschwindigkeit<br />
(A d Querschnittsfläche des Trichterauslaufes, ρ b,d = f(σ 1,krit ) Schüttgutdichte<br />
am Auslauf):<br />
143<br />
19 Bronstein, I.E. und R.A. Semendjajev, Taschenbuch der Mathematik, B.G. Teubner Verlagsgesellschaft,<br />
Leipzig 1968; neu: S. 88, 7. Aufl., Verlag Harri Deutsch, Frankfurt a.M. 2008.<br />
Schüttec_4 VO Partikelmechanik und Schüttguttechnik, <strong>Trichterauslegung</strong> Prof. Dr. Jürgen Tomas, 04.06.2013
d<br />
d<br />
( t) = A ⋅ v ⋅ tanh( t / t )<br />
V (t) = A ⋅ v<br />
, ( 4.239)<br />
d<br />
b,d<br />
d<br />
d<br />
st<br />
( t) = ρ ⋅ A ⋅ v ⋅ tanh( t / t )<br />
b,d<br />
d<br />
st<br />
76<br />
m (t) = ρ ⋅ A ⋅ v<br />
( 4.240)<br />
76<br />
144<br />
4.6.2.4.2 Mit Wandkollisionen und EULER-Zahl<br />
In einer früheren Arbeit des Verfassers 20 wurde zusätzlich die Behinderung des<br />
Partikelstromes durch Kollisionsereignisse gröberer Partikel am Rand des<br />
Trichterauslaufes berücksichtigt:<br />
( 1 − k d / b)<br />
b : = b ⋅<br />
( 4.241)<br />
b ⋅<br />
k b = 1 ... 3 Kollisionskonstante, abhängig von der Partikelform<br />
d ≈ d 95 obere Stück- oder Partikelgröße, siehe auch Dimensionierungsgleichung<br />
(4.92) zur Vermeidung des Verkeilens der Auslauföffnung<br />
durch grobe Stücke<br />
Diese Partikel-Wand-Kollisionen erzeugen eine gewisse „Einschnürung“ des<br />
ausgetragenen Partikelstromes am Auslauf (siehe auch BEVERLOO 1961).<br />
Die stationäre Auslaufgeschwindigkeit v st ist dann für stationäres Fließen<br />
vst =<br />
⎛ d ⎞ ⎛ b ⎞<br />
⎜ −<br />
min,st<br />
g ⋅ b ⋅ ⎜1−<br />
k<br />
b<br />
⋅ ⎟⋅ 1 ⎟<br />
⎝ b ⎠ ⎝ b ⎠<br />
⎡ 3⋅<br />
ρ ⋅ ⋅ ⋅<br />
( )<br />
( − ⋅ ) ⎤<br />
f<br />
b Eu<br />
B<br />
1 k<br />
b<br />
d / b<br />
2⋅<br />
m + 1 ⋅ tan θ ⋅ ⎢1<br />
+<br />
2<br />
⎥<br />
⎣ 8 ⋅ ρs<br />
⋅ dST<br />
⋅ ε ⋅ ( m + 1) ⋅ tan θ ⎦<br />
( 4.242)<br />
und dem Kinematik- oder Zeitparameter t 76 für das beginnende Fließen:<br />
t<br />
76<br />
=<br />
b⋅<br />
⎛ b<br />
2 ⋅ (m + 1) ⋅ tan Θ ⋅ g ⋅ ⎜1<br />
−<br />
⎝ b<br />
( 1−<br />
k ⋅d / b)<br />
min,st<br />
b<br />
⎞ ⎡ ⋅ρ ⋅ ⋅<br />
⋅ 3<br />
f<br />
b Eu<br />
⎟ ⎢1<br />
+<br />
⎠ ⎣ 8⋅ρs<br />
⋅dST<br />
⋅ε<br />
B<br />
2<br />
⋅<br />
⋅<br />
( 1−<br />
k ) ⎤<br />
b<br />
⋅d / b<br />
⎥<br />
( m + 1) ⋅ tan Θ ⎦<br />
( 4.243)<br />
Mit dem Geschwindigkeits-Zeit-Gesetz Gl.( 4.233) folgen die entsprechenden<br />
Auslaufvolumen- und -massenströme:<br />
V (t) = A ⋅ v(t)<br />
( 4.244)<br />
d<br />
d<br />
m (t) = ρ ⋅ A ⋅ v(t)<br />
( 4.245)<br />
d<br />
b<br />
d<br />
⎛ t ⎞<br />
V d(t)<br />
= Ad<br />
⋅ vst<br />
⋅ tanh<br />
⎜<br />
⎟<br />
⎝ t76<br />
⎠<br />
( 4.246)<br />
⎛ t ⎞<br />
m<br />
d(t)<br />
= ρb<br />
⋅ Ad<br />
⋅ vst<br />
⋅ tanh<br />
⎜<br />
⎟<br />
⎝ t76<br />
⎠<br />
( 4.247)<br />
20 Tomas, J., Modellierung des Fließverhaltens von Schüttgütern auf der Grundlage der Wechselwirkungskräfte<br />
zwischen den Partikeln und Anwendung bei der Auslegung von Bunkeranlagen,<br />
S. 114, Diss. B (Habilitation), TU Bergakademie Freiberg 1991<br />
Schüttec_4 VO Partikelmechanik und Schüttguttechnik, <strong>Trichterauslegung</strong> Prof. Dr. Jürgen Tomas, 04.06.2013
145<br />
Infolge der Partikel-Wand-Kollisionen grober Partikel wird der Auslaufstrom<br />
etwas eingeschnürt. Deshalb werden die Dimensionen der Auslauffläche A d<br />
1− k ⋅ b<br />
d / b reduziert und zwar für die<br />
jeweils um den Betrag ( )<br />
• kreisförmige Trichteröffnung:<br />
A<br />
2<br />
π ⎛ d ⎞ 2<br />
d<br />
= ⋅ ⎜1−<br />
kd<br />
⋅ ⎟ ⋅ b<br />
( 4.248)<br />
4<br />
⎝<br />
b ⎠<br />
• quadratische Trichteröffnung:<br />
A<br />
2<br />
⎛ d ⎞ 2<br />
d<br />
= ⎜1−<br />
kd<br />
⋅ ⎟ ⋅ b<br />
( 4.249)<br />
⎠<br />
⎝<br />
b<br />
• und schlitzförmige Trichteröffnung (Schlitzlänge l):<br />
A<br />
d<br />
⎛ d ⎞ ⎛ d ⎞<br />
= ⎜1<br />
− kd<br />
⋅ ⎟ ⋅ b ⋅ ⎜1<br />
− kd<br />
⋅ ⎟ ⋅ l<br />
( 4.250)<br />
⎝ b ⎠ ⎝ l ⎠<br />
Die berechnete instationäre Auslaufgeschwindigkeit ist unter Berücksichtigung<br />
des Luftwiderstandes eines kohäsiven, teilweise nicht fluidisierbaren Kalksteinpulvers<br />
im Bild 4.16 dargestellt:<br />
Bild 4.16: Berechnete instationäre Auslaufgeschwindigkeit v eines konischen<br />
(b min = 1,127 m, b = 1,14 m, l Ad = 0) und keilförmigen (b min = 0,5378 m, b =<br />
0,538 m, l Ad = 1,614 m) Trichters in Abhängigkeit von der Zeit t für ein kohäsives<br />
Kalksteinpulver (d 50 = 3 µm)<br />
Je geringer der Unterschied zwischen der ausgeführten Öffnungsweite b des<br />
großtechnischen Silos und der aufgrund der Fließeigenschaften des Schüttgutes<br />
ermittelten minimalen Öffnungsweite b min ist, desto größer ist die Zeitspanne<br />
zum Erreichen des stationären Fließens im Auslauf und desto störanfälliger<br />
Schüttec_4 VO Partikelmechanik und Schüttguttechnik, <strong>Trichterauslegung</strong> Prof. Dr. Jürgen Tomas, 04.06.2013
wird die Funktionskette Auslauftrichter und Austraggerät. Dies stimmt auch<br />
sehr gut mit den praktischen Erfahrungen überein.<br />
146<br />
4.6.2.4.3 Das Weg-Zeit-Gesetz<br />
Um das Weg-Zeit-Gesetz h = f(t) zu erhalten, siehe Bild 4.15, muss die Zeitfunktion<br />
der instationären Auslaufgeschwindigkeit, Gl.( 4.233), erneut integriert<br />
werden:<br />
dh(t) ⎛ t ⎞<br />
v (t) = = vst<br />
⋅ tanh<br />
⎜<br />
⎟ , (4.251)<br />
dt<br />
⎝ t76<br />
⎠<br />
Zur Vereinfachung wird vorausgesetzt, dass nur der Bereich der Auslauföffnung<br />
betrachtet wird. Deshalb können die beiden Parameter stationäre Auslaufgeschwindigkeit<br />
v st , Gl.( 4.242), und der Zeitparamer t 76 , Gl.( 4.243), als<br />
mittlere Größen aufgefasst werden, die weitestgehend unabhängig von der<br />
Höhenänderung während der Beschleunigungsphase sind (für die Trichterhöhe<br />
gilt gemäß Bild 4.15:<br />
h = b /(2 ⋅ tan θ)<br />
bzw. ( 4.79)<br />
b = 2 ⋅ h ⋅ tan θ<br />
( 4.189) )<br />
Somit folgt die Integralgleichung mit der Anfangsbedingung h(t = 0) = 0:<br />
h(t)<br />
∫<br />
h=<br />
0<br />
t<br />
⎛ t ⎞<br />
dh = h(t) = v ⋅ ∫<br />
⎜<br />
⎟<br />
st<br />
tanh dt<br />
(4.252)<br />
t=<br />
0 ⎝ t<br />
76 ⎠<br />
Das rechte Integral wird mit Hilfe folgender Substitutionen analytisch gelöst:<br />
∫<br />
∫<br />
x = t / t 76<br />
abgeleitet: dt / t76<br />
⎛ t ⎞<br />
tanh ⎜<br />
⎟ dt = t76<br />
⋅∫<br />
tanh( x)<br />
dx = t76<br />
⋅<br />
⎝ t76<br />
⎠<br />
sinh<br />
cosh<br />
( x)<br />
( x)<br />
dx<br />
dx = d.h.: dt = t dx<br />
∫<br />
sinh<br />
cosh<br />
( x)<br />
( x)<br />
f<br />
entspricht dem Integralkern 21 f’(x)/f(x), also: ∫ ′ (x)<br />
dx .<br />
f (x)<br />
Die Substitution u = cosh( x)<br />
ergibt abgeleitet:<br />
( x) ⋅ dx<br />
du = sinh d.h.:<br />
Das unbestimmte Integral wird umgeformt zu:<br />
∫<br />
( x)<br />
dx<br />
du<br />
dx =<br />
sinh( x)<br />
⎛ t ⎞ sinh du du<br />
tanh ⎜ dt t<br />
t t ln u<br />
t<br />
⎟ =<br />
76<br />
⋅∫<br />
⋅ =<br />
76<br />
⋅<br />
76<br />
76<br />
u sinh( x)<br />
∫ = ⋅<br />
⎝ ⎠<br />
u<br />
Das rückwärtige Einsetzen liefert:<br />
t<br />
∫<br />
⎛<br />
tanh<br />
⎜<br />
⎝<br />
t<br />
t<br />
⎞<br />
⎟ dt = t<br />
⎠<br />
⋅ ln cosh(x)<br />
76<br />
u=<br />
1 76<br />
t 0 76<br />
t<br />
=<br />
76<br />
u<br />
= t<br />
ln cosh⎜ ⎛<br />
⋅<br />
⎝<br />
t<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
t<br />
76 ⋅<br />
t = 0<br />
21 Leupolt, W. u.a., Analysis, S. 254 und 256, Fachbuchverlag Leipzig 1968.<br />
Schüttec_4 VO Partikelmechanik und Schüttguttechnik, <strong>Trichterauslegung</strong> Prof. Dr. Jürgen Tomas, 04.06.2013
t<br />
∫<br />
⎛<br />
tanh<br />
⎜<br />
⎝<br />
t<br />
t<br />
t = 0 76<br />
⎞<br />
⎟ dt = t<br />
⎠<br />
76<br />
⎢ ⎢ ⎡ ⎛<br />
⋅ ln cosh<br />
⎜<br />
⎣ ⎝<br />
t<br />
t<br />
76<br />
⎟ ⎞<br />
⎠<br />
− ln cosh<br />
( 0)<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎥⎦<br />
147<br />
t<br />
∫<br />
⎛ t ⎞<br />
⎞<br />
⎜ ⎛ t<br />
tanh ⎜<br />
⎟ dt = t76<br />
⋅ ln cosh<br />
⎟<br />
(4.253)<br />
⎝ t ⎠<br />
⎝ ⎠<br />
t = 0 76<br />
t76<br />
Damit ergibt sich die Weg-Zeit-Funktion des Ausfließens kohäsiver Schüttgüter<br />
aus einem konvergenten Trichter im turbulenten Durchströmungsbereich:<br />
⎛ t ⎞<br />
h (t) = vst<br />
⋅ t76<br />
⋅ ln cosh<br />
⎜<br />
⎟ , (4.254)<br />
⎝ t76<br />
⎠<br />
wobei mit der Gl.(4.234) gilt:<br />
v<br />
st<br />
2<br />
vst<br />
⋅ t76<br />
=<br />
(4.255)<br />
g ⋅<br />
( 1−<br />
b / b)<br />
min<br />
Mit dieser Weg-Zeit-Funktion lassen sich folgende charakteristische Höhen<br />
oder vertikale Positionen der Schüttgutbrücke während des beschleunigten<br />
oder beginnenden Ausfließens ermitteln:<br />
h(t<br />
76<br />
2<br />
0,433⋅<br />
vst<br />
) = vst<br />
⋅ t76<br />
⋅ ln cosh( 1)<br />
= 0,433⋅<br />
vst<br />
⋅ t76<br />
=<br />
(4.256)<br />
g ⋅<br />
( 1−<br />
b / b)<br />
min<br />
t<br />
t<br />
= 2 ⋅ , d.h.<br />
96<br />
t 76<br />
= 3⋅<br />
, d.h.<br />
99<br />
t 76<br />
h(t<br />
h(t<br />
96<br />
99<br />
2<br />
1,33⋅<br />
vst<br />
) = 1,33⋅<br />
vst<br />
⋅ t76<br />
=<br />
(4.257)<br />
g ⋅<br />
( 1−<br />
b / b)<br />
2<br />
2,31⋅<br />
vst<br />
) = 2,31⋅<br />
vst<br />
⋅ t76<br />
=<br />
(4.258)<br />
g ⋅<br />
min<br />
( 1−<br />
b / b)<br />
min<br />
4.6.2.4.4 Berechnung der Auslaufzeit t d = f(h)<br />
Wenn eine Trichterfüllhöhe h(t d ) = h* gegeben ist, kann die zugehörige Auslaufzeit<br />
t d durch Umstellung der Weg-Zeit-Funktion, Gl.(4.254), die zugehörige<br />
Umkehrfunktion berechnet werden:<br />
⎛ t ⎞<br />
h (t) = vst<br />
⋅ t76<br />
⋅ ln cosh<br />
⎜<br />
⎟<br />
(4.254)<br />
⎝ t76<br />
⎠<br />
⎛ h ⎞ ⎛ t ⎞<br />
exp ⎜ ⎟<br />
= cosh⎜<br />
⎟<br />
(4.259)<br />
⎝ vst<br />
⋅ t76<br />
⎠ ⎝ t76<br />
⎠<br />
Die cosh-Funktion lässt sich durch exp-Funktionen ausdrücken 22 :<br />
exp(x) + exp( −x)<br />
1 ⎡ 1 ⎤<br />
y = cosh(x) =<br />
= ⎢exp(x)<br />
+<br />
2 2<br />
⎥ (4.260)<br />
⎣ exp(x) ⎦<br />
1 ⎡ 1 ⎤ 1 ⎡ exp(x) ⋅ exp(x) + 1⎤<br />
⎢exp(x)<br />
+ ⎥ =<br />
2<br />
⎢<br />
⎥<br />
⎣ exp(x) ⎦ 2 ⎣ exp(x) ⎦<br />
22 Bronstein, I.E. und R.A. Semendjajev, Taschenbuch der Mathematik, S. 88 und 91, 7. Aufl.,<br />
Verlag Harri Deutsch, Frankfurt a.M. 2008.<br />
Schüttec_4 VO Partikelmechanik und Schüttguttechnik, <strong>Trichterauslegung</strong> Prof. Dr. Jürgen Tomas, 04.06.2013
1 exp(2x) + 1<br />
y = cosh(x) = ⋅<br />
2 exp(x)<br />
Damit folgt aus der Gl.(4.254):<br />
( t / t ) + exp( −t<br />
/ t ) ⎡exp( 2t / t )<br />
h(t<br />
d<br />
) ⎡exp<br />
d 76<br />
d 76 ⎤<br />
d 76<br />
+<br />
= ln<br />
⎢<br />
⎥<br />
= ln⎢<br />
vst<br />
⋅ t<br />
76 ⎣<br />
2<br />
⎦ ⎣ 2 ⋅ exp(t<br />
d<br />
/ t<br />
76)<br />
⎛ h(t ) ⎞<br />
d<br />
exp( 2t<br />
d<br />
/ t<br />
76<br />
) + 1<br />
exp<br />
⎜<br />
v t<br />
⎟ =<br />
⎝ st<br />
⋅<br />
76 ⎠ 2 ⋅ exp(t<br />
d<br />
/ t<br />
76)<br />
⎛ h(t ) ⎞<br />
d<br />
2 ⋅ exp<br />
⎜ exp(t<br />
d<br />
/ t<br />
76)<br />
= exp( 2t<br />
d<br />
/ t<br />
76<br />
) + 1<br />
vst<br />
t<br />
⎟ ⋅<br />
⎝ ⋅<br />
76 ⎠<br />
exp t /<br />
Damit folgt eine quadratische Gleichung bezüglich ( )<br />
d<br />
t 76<br />
1⎤<br />
⎥<br />
⎦<br />
148<br />
⎛ h(t ) ⎞<br />
d<br />
exp( 2t<br />
d<br />
/ t<br />
76<br />
) − 2 ⋅ exp<br />
⎜ exp(t<br />
d<br />
/ t<br />
76)<br />
+ 1 = 0<br />
vst<br />
t<br />
⎟ ⋅<br />
(4.261)<br />
⎝ ⋅<br />
76 ⎠<br />
mit ihrer Lösung:<br />
exp<br />
h(t ) ⎞ ⎛ 2 ⋅ h(t )<br />
vst<br />
t<br />
76<br />
vst<br />
t ⎟ ⎞<br />
⎜ ⎛<br />
= ⎟ ⎜<br />
(4.262)<br />
⎝ ⋅ ⎠ ⎝ ⋅<br />
76 ⎠<br />
d<br />
d<br />
( t / t ) exp ⎟ + exp⎜<br />
−1<br />
d<br />
76<br />
Diese Formulierung wird noch umgewandelt und vereinfacht:<br />
⎡<br />
⎞ ⎤<br />
( )<br />
⎢ ⎢⎢ ⎜ ⎛ 2 ⋅ h(t<br />
d<br />
)<br />
exp<br />
⎟ −1<br />
⎛ h(t ⎞ ⎝ ⋅<br />
d<br />
)<br />
⎠<br />
⋅ vst<br />
t<br />
76<br />
exp t<br />
⎜ ⎟<br />
d<br />
/ t<br />
76<br />
= exp 1+<br />
⎝ vst<br />
⋅ t<br />
76 ⎠<br />
⎛ ⎞<br />
⎢<br />
2 ⋅ h(t<br />
d<br />
)<br />
exp<br />
⎢<br />
⎜<br />
⎟<br />
⎥ ⎥⎥⎥⎥ ⎣ ⎝ vst<br />
⋅ t<br />
76 ⎠ ⎦<br />
⎛ h(t ⎞<br />
( )<br />
⎥ ⎥ ⎤<br />
⎢ ⎢ ⎡ ⎛ ⎞<br />
d<br />
)<br />
⋅<br />
⋅<br />
2 h(t<br />
d<br />
)<br />
exp t =<br />
⎜ ⎟ + −<br />
⎜−<br />
⎟<br />
d<br />
/ t<br />
76<br />
exp 1 1 exp<br />
⎝ vst<br />
⋅ t<br />
76 ⎠ ⎣ ⎝ vst<br />
⋅ t<br />
76 ⎠⎦<br />
⎪<br />
⎧ ⎛ h(t ⎞ ⎡ ⎛ ⎞⎤<br />
⎫<br />
d<br />
)<br />
⋅ ⎪<br />
⎨<br />
⋅<br />
2 h(t<br />
d<br />
)<br />
t<br />
⎜ ⎟ ⎢ + −<br />
⎜−<br />
⎟<br />
d<br />
= t<br />
76<br />
⋅ ln exp 1 1 exp<br />
⎥⎬<br />
⎪⎩ ⎝ vst<br />
⋅ t<br />
76 ⎠ ⎢<br />
⎣ ⎝ vst<br />
⋅ t<br />
76 ⎠⎥<br />
⎦⎪⎭<br />
h(t ⎡<br />
⎤<br />
⎢<br />
⎟<br />
⎥<br />
⎢<br />
⎞<br />
⎜ ⎛<br />
d<br />
)<br />
2 ⋅ h(t<br />
d<br />
)<br />
t<br />
d<br />
= t<br />
76<br />
⋅ + t<br />
76<br />
⋅ ln 1+<br />
1−<br />
exp −<br />
vst<br />
⋅ t<br />
76<br />
⎣ ⎝ vst<br />
⋅ t<br />
76 ⎠⎥<br />
⎦<br />
Daraus ergibt sich eine vergleichsweise übersichtliche Umkehrfunktion der<br />
Auslaufzeit t d = f(h*):<br />
* ⎡<br />
*<br />
h<br />
⎛ 2 ⋅ h ⎞⎤<br />
t ⎢<br />
⎜<br />
⎟<br />
d<br />
= + t<br />
76<br />
⋅ ln 1+<br />
1−<br />
exp − ⎥<br />
(4.263)<br />
vst<br />
⎢<br />
⎣ ⎝ vst<br />
⋅ t<br />
76 ⎠⎥<br />
⎦<br />
Für große Füllhöhen (-mengen) h*, schnelle Kinetik (kleine charakteristische<br />
Auslaufzeit) t 76 und geringe stationäre Auslaufgeschwindigkeit v st kann der<br />
letzte Term in der Gl.(4.263) vernachlässigt werden. D.h. es gilt unter der Bedingung<br />
*<br />
h<br />
v ⋅ t<br />
st<br />
76<br />
> 2, (4.264)<br />
Schüttec_4 VO Partikelmechanik und Schüttguttechnik, <strong>Trichterauslegung</strong> Prof. Dr. Jürgen Tomas, 04.06.2013
die auch in vielen Fällen erfüllt wird, 1− exp( −4)<br />
= 0,98 ≈ 1 und damit<br />
149<br />
*<br />
h<br />
≈ + t ⋅ ln 2<br />
(4.265)<br />
v<br />
t<br />
d<br />
76<br />
st<br />
4.6.2.4.5 Das Geschwindigkeits-Weg-Gesetz<br />
Um die Geschwindigkeits-Weg-Funktion der Schicht- oder Zonensedimentation<br />
im turbulenten Durchströmungsbereich zu erhalten, muß in der Geschwindigkeits-Zeit-Funktion,<br />
Gl.( 4.233),<br />
⎛ t ⎞<br />
v (t) = vst<br />
⋅ tanh<br />
⎜<br />
⎟<br />
( 4.233)<br />
⎝ t76<br />
⎠<br />
die Zeit durch eine Weg-Funktion ersetzt werden, Gl.(4.259):<br />
⎛ t ⎞ ⎛ h ⎞<br />
cosh ⎜<br />
⎟ = exp<br />
⎜<br />
⎟<br />
(4.259)<br />
⎝ t76 ⎠ ⎝ vst<br />
⋅ t76<br />
⎠<br />
Die tanh-Funktion, Gl.( 4.233), lässt sich mit der cosh-Funktion ausdrücken 22 :<br />
v (t)<br />
= v<br />
st<br />
⎛<br />
⋅ tanh<br />
⎜<br />
⎝<br />
t<br />
t<br />
76<br />
⎞<br />
⎟ = v<br />
⎠<br />
st<br />
⋅<br />
2⎛<br />
cosh<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎛<br />
cosh<br />
⎜<br />
⎝<br />
t<br />
t<br />
76<br />
t<br />
t<br />
76<br />
⎞<br />
⎟ −1<br />
⎠<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
= v<br />
st<br />
⋅<br />
1−<br />
cosh<br />
Einsetzen der Gl. (4.259) liefert die Geschwindigkeits-Weg-Funktion während<br />
des Ausfließens im turbulenten Durchströmungsbereich:<br />
⎛ 2⋅<br />
h ⎞<br />
v (h) = vst<br />
⋅ 1−<br />
exp<br />
⎜−<br />
⎟<br />
(4.266)<br />
⎝ vst<br />
⋅ t76<br />
⎠<br />
−2<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
t<br />
t<br />
76<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
4.6.2.5 Analytische Lösungen für die laminare Durchströmung<br />
Die feinen adhäsiven Partikel der somit kohäsiven Pulver werden gewöhnlich<br />
laminar umströmt, Re < 0,25 - 1, und es gilt das STOKES-Gesetz für die<br />
stationäre Sinkgeschwindigkeit v s,St , siehe ../VO_MVT_Neu/MVT_e_4neu.-<br />
doc#Sinkgeschwindigkeit_STOKES bzw. ..\VO_MVT_Neu\MVT_e_4neu.pdf:<br />
2<br />
( ρs−ρf<br />
) ⋅d<br />
⋅ g<br />
vs ,St<br />
=<br />
(4.267)<br />
18η<br />
bzw. der relevante Partikelgrößenbereich ( v ⋅ d ⋅ρ / η ≤ Re 1)<br />
d<br />
18⋅<br />
η<br />
⋅ Re<br />
s f<br />
St<br />
=<br />
2<br />
3<br />
St<br />
St<br />
≤ . (4.268)<br />
ρf<br />
⋅ ( ρs−ρf<br />
) ⋅ g<br />
Beispielsweise liegt dieser Grenzwert für die Sedimentation von Quarzpartikel<br />
(ρ s = 2650 kg/m 3 ) in ruhender Luft (ρ f = 1,2 kg/m 3 , η = 18 . 10 -6 Pa . s) bei d St <<br />
57 µm.<br />
Schüttec_4 VO Partikelmechanik und Schüttguttechnik, <strong>Trichterauslegung</strong> Prof. Dr. Jürgen Tomas, 04.06.2013
150<br />
Damit dürfte für die Durchströmung der Poren einer feinen Pulverschicht<br />
auch die laminare Durchströmung zutreffen. Deren Durchströmungswiderstand<br />
wird entweder mit Ansätzen nach DARCY, CARMAN und KOZENY<br />
u.a., oder - wie nachfolgend beschrieben - nach MOLERUS quantifiziert.<br />
Neben der allgemein gültigen Form der Gln.( 4.195) bis ( 4.243) sollen nun die<br />
Geschwindigkeits-Zeit- und Weg-Zeit-Gesetze des Ausfließens einer kohäsiven<br />
Brücke aus einem konvergenten Trichter bei deren laminarer Durchströmung<br />
analytisch hergeleitet werden:<br />
4.6.2.5.1 Differentialgleichung des Ausfließens<br />
Das Kräftegleichgewicht an einer kohäsiven Schüttgutbrücke mit Berücksichtigung<br />
der Druckverluste in der Schüttung infolge Dilatanz oder Bettausdehnung<br />
dp und äußerem Überdruck dp a , siehe Diss. SCHEIBE (1997) liefert:<br />
∗<br />
⎛ a dp / dh +<br />
( )<br />
⎟ ⎞<br />
B<br />
dpa<br />
/ dH<br />
(m+<br />
1) ⋅ σ ⋅ ϕ +θ = ρ ⋅ ⋅ ⋅<br />
⎜<br />
c ,st<br />
sin 2<br />
w<br />
b<br />
g b 1−<br />
−<br />
( 4.269)<br />
⎝ g ρbg<br />
⎠<br />
Die gesamte Beschleunigung eines dynamischen Scheibenelementes einer kohäsiven<br />
Schüttgutbrücke im Auslauftrichter besteht nach Gl.( 4.193) aus zwei<br />
Anteilen, siehe Bild F 4.4:<br />
a<br />
dv 2(m+<br />
1)tan θ<br />
+<br />
⋅ v<br />
dt b<br />
2<br />
= ( 4.193)<br />
∗<br />
dv/dt<br />
Auslaufbeschleunigung infolge Trägheitswirkung der<br />
2(m+<br />
1)tan θ<br />
b<br />
Masse der Schüttgutbrücke<br />
2<br />
⋅ v Geschwindigkeitszunahme infolge Trichterkonvergenz<br />
∗<br />
(Abnahme der Brückenquerschnittsfläche bei konstantem<br />
Volumenstrom V= const.<br />
)<br />
Die Mindestweite einer stationären Brücke ergibt sich gemäß der allgemeinen<br />
Auslegungsgleichung für die instationäre oder beginnende Brückenbildung<br />
ohne Fluiddurchströmung Gl. ( 4.15)<br />
b<br />
min,st<br />
wobei<br />
( ϕ +θ)<br />
(m+<br />
1) ⋅σ<br />
c,st⋅<br />
sin 2<br />
w<br />
= , ( 4.72)<br />
ρ ⋅g<br />
b<br />
b<br />
min, st<br />
bmin<br />
=<br />
< b kleiner ist als die ausgeführte Trichteröffnungsweite b<br />
σ c,st Druckfestigkeit des stationären Fließortes, d.h. für ff = 1 bzw. σ 1 =<br />
σ c,stat folgt aus der allgemeinen Druckfestigkeitsfunktion σ = ( σ ) Gl.(<br />
c<br />
f<br />
1<br />
4.53) im Falle einer linearen Materialeigenschaftsfunktion<br />
σ<br />
c=<br />
a1⋅<br />
σ1<br />
+ σc,0<br />
( 4.53)<br />
σ<br />
c,0<br />
σ<br />
c,krit<br />
= σc,stat<br />
=<br />
( 4.70)<br />
1− a1<br />
Schüttec_4 VO Partikelmechanik und Schüttguttechnik, <strong>Trichterauslegung</strong> Prof. Dr. Jürgen Tomas, 04.06.2013
Charakteristische Weite b* einer stationären Brücke analog der allgemeinen<br />
Auslegungsgleichung für die instationäre Brückenbildung nach Gl. ( 4.14) unter<br />
Berücksichtigung der Fluiddurchströmung<br />
∗<br />
(m+<br />
1) ⋅ σc,st⋅sin 2<br />
w<br />
b =<br />
≈<br />
⎛ dp / dhB+<br />
dpa<br />
/ dH ⎞<br />
ρb⋅<br />
g ⋅<br />
⎜1<br />
−<br />
b<br />
g<br />
⎟<br />
⎝ ρ ⋅ ⎠<br />
( ϕ +θ) (m+<br />
1) ⋅ σ ⋅sin 2( ϕ +θ)<br />
g ⋅<br />
c,st<br />
( ρ − ρ )<br />
b<br />
b,B<br />
w<br />
, ( 4.270)<br />
ρ b,B < ρ b charakteristische Dichte des durchströmten Bettes<br />
wobei allerdings hier auch b* > b ≥ b min größer sein kann als die ausgeführte<br />
Trichteröffnungsweite b. Dies bedeutet ein Aufwärtswandern der stationären<br />
Brücke im Trichter infolge:<br />
dp a /dH<br />
151<br />
Zusatzdruckverlust über der gesamten Silohöhe H ⇒ bei Anliegen<br />
eines äußeren Überdruckes dp a<br />
dp/dh B Druckunterschied durch ⇒ Auflockerung des Schüttgutes im<br />
Trichter durch Spannungsabnahme:<br />
u = v Die Auslaufgeschwindigkeit des Schüttgutes v sei betragsmäßig<br />
dp<br />
dh<br />
B<br />
d K > d ST<br />
d<br />
d<br />
K<br />
gleich der Leerrohrgeschwindigkeit des Fluides u<br />
3 ρf<br />
1−ε<br />
2<br />
= ⋅ Eu<br />
B⋅<br />
⋅ ⋅ u<br />
( 4.204)<br />
2<br />
4 d ε<br />
K<br />
Der charakteristische Durchmesser der inhomogenen Durchströmungskanäle<br />
bei kohäsiven kanalbildenden Schüttgütern<br />
gemäß Wirbelschichtverhalten der C-Gruppe nach GELDART<br />
ist wesentlich größer als ein hydraulische Durchmesser d h , der<br />
sich über den oberflächengleichwertigen Durchmesser der Partikel<br />
d ST nach Gl.( 4.199) berechnen läßt.<br />
= f (d , ff , ε...)<br />
noch zu bestimmende Funktion der Durchströmungs-<br />
ST<br />
c<br />
kanäle, wobei als erste Näherung<br />
≈ 100 ⋅ eine brauchbare Abschätzung liefert;<br />
K<br />
d ST<br />
Besser ist die Messung des Fluidisierverhaltens und daraus entweder mit einer<br />
modifizierten HAGEN-POISEUILLE-Gleichung (3.134) Schüttec_3.doc -<br />
Druckverlust_Schüttung_HAGEN die Abschätzung des Kanaldurchmessers d K ,<br />
h<br />
b<br />
η ⋅ u<br />
d<br />
K<br />
= 32 ⋅ ⋅<br />
( 4.271)<br />
∆p<br />
ε<br />
b<br />
oder mit einer Berechnungsmethode nach SCHEIBE 23 Gl.( 4.274):<br />
Am Punkt der sog. Mindest- oder Minimalfluidisation, das ist bei der Hysterese<br />
der erste gemeinsame Punkt beider Druckverlustkurven, siehe Bild 4.17,<br />
dp(u↑) = dp(u↓) ( 4.272)<br />
( dp / dh ) const. ≠ f (u)<br />
b<br />
WS<br />
= ( 4.273)<br />
23 Scheibe, M.: Die Fördercharakteristik einer Zellenradschleuse unter Berücksichtigung der<br />
Wechselwirkung von Silo und Austragorgan, S.117, Diss. TU Bergakademie Freiberg 1997<br />
Schüttec_4 VO Partikelmechanik und Schüttguttechnik, <strong>Trichterauslegung</strong> Prof. Dr. Jürgen Tomas, 04.06.2013
152<br />
ist der Druckverlust weitestgehend konstant und unabhängig von der Durchströmungsgeschwindigkeit<br />
u L < u min ≤ u.<br />
Aus Gl.( 4.279) folgt der charakteristische Kanaldurchmessers d K,min :<br />
d<br />
K,min<br />
18 ⋅ η⋅ B( ε<br />
) ⋅ (1 − ε<br />
)<br />
min<br />
min<br />
= ⋅ u<br />
2 min<br />
( 4.274)<br />
( dp / dh<br />
B<br />
) ⋅ ε<br />
WS,min min<br />
Übergangsbereich<br />
Haftkräfte<br />
Lockerungspunkt<br />
1<br />
Minimalfluidisation<br />
ρ<br />
∆p<br />
⋅ g ⋅<br />
WS<br />
h WS<br />
kanalbildende<br />
Wirbelschicht<br />
u<br />
u L<br />
u min<br />
Bild 4.17: Hysterese des gewichtsbezogenen Druckverlustes in Abhängigkeit<br />
von der Leerrohrgeschwindigkeit für kohäsive Pulver<br />
Die Minimalfluidisationsgeschwindigkeit u min ≈ u* entspricht näherungsweise<br />
der Leerrohrgeschwindigkeit am Punkt des sog. „freien Fließens“, siehe Bild F<br />
3.39 im Kapitel Schüttec_3.doc - Fluidisierbarkeit. Für die Wirbelschicht- oder<br />
Fließdichte ρ WS * am Punkt der Minimalfluidisation bzw. des sog. „freien Fließens“<br />
läßt sich die gleiche Annäherung treffen.<br />
*<br />
ε = − ρ / ρ ≈ 1− ρ / ρ = ε *<br />
( 4.275)<br />
min<br />
1<br />
WS,min s<br />
WS s<br />
Ausgehend von Gl.( 4.206) sei die EULER-Zahl des laminar durchströmten<br />
Festbettes<br />
Eu<br />
B<br />
2<br />
24 ⎪⎧<br />
⎡⎛<br />
d ⎞ 1 ⎛ d ⎞ ⎤⎫⎪<br />
24<br />
= ⋅ ⎨1<br />
+ 0,692⋅<br />
⎢⎜<br />
⎟ + ⋅ ⎜ ⎟ ⎥⎬<br />
≡ ⋅ B( ε)<br />
( 4.276)<br />
Re ⎪⎩ ⎢⎣<br />
⎝ a ⎠0,95<br />
2 ⎝ a ⎠0,95<br />
⎦⎥<br />
⎪⎭<br />
Re<br />
mit dem Porositätsterm B(ε) in der EULER-Zahl für laminare Durchströmung,<br />
der gegenüber der Partikelumströmung eine deutliche Zunahme des<br />
Widerstandes um mehr als eine Größenordnung bewirkt<br />
2<br />
⎡⎛<br />
d ⎞ 1 ⎛ d ⎞<br />
⎥ ⎥ ⎤<br />
B ( ε)<br />
= 1+<br />
0,692⋅<br />
⎢⎜<br />
⎟ + ⋅ ⎜ ⎟<br />
( 4.277)<br />
⎢⎣<br />
⎝ a ⎠0,95<br />
2 ⎝ a ⎠0,95<br />
⎦<br />
und mit der Porositätsfunktion der Festbettes (Index B):<br />
⎛ d ⎞<br />
⎜ ⎟<br />
⎝ a ⎠<br />
=<br />
3<br />
0,95<br />
0,95 − 1<br />
3<br />
1− ε<br />
− ε<br />
( 4.207)<br />
Schüttec_4 VO Partikelmechanik und Schüttguttechnik, <strong>Trichterauslegung</strong> Prof. Dr. Jürgen Tomas, 04.06.2013
2<br />
⎡ 3<br />
⎛<br />
3<br />
1− ε 1 1− ε ⎞ ⎤<br />
B ( ε)<br />
⎢<br />
+ ⋅ ⎜<br />
⎟ ⎥<br />
B<br />
= 1+<br />
0,692⋅<br />
3<br />
⎢ − − ε<br />
3<br />
( 4.278)<br />
0,95 1 2<br />
⎥<br />
⎣<br />
⎝ 0,95 − 1− ε ⎠ ⎦<br />
Mit der Partikel-REYNOLDS-Zahl [alt(< 5/2010): Re = d . K u . ρ f /η]<br />
(ur<br />
/ ε)<br />
⋅ dST⋅ρf<br />
3⋅<br />
ur<br />
⋅ dε ⋅ρf<br />
⋅ (1 − ε)<br />
Re = =<br />
( 4.205)<br />
2<br />
η<br />
2 ⋅ ε ⋅ η<br />
f<br />
f<br />
und Gl.( 4.278) erhält man für den Druckverlust des Festbettes, Gl. ( 4.204):<br />
dp<br />
dh<br />
dp<br />
dh<br />
3⋅ρ<br />
⋅ u ⋅ (1−ε<br />
)<br />
2<br />
f r<br />
=<br />
2<br />
B<br />
4 ⋅ ε ⋅ dST<br />
⋅ EuB<br />
( 4.204)<br />
B<br />
dp<br />
dh<br />
B<br />
2<br />
3⋅ρf⋅<br />
ur<br />
⋅ (1−ε<br />
) 24 ⋅ B( ε)<br />
=<br />
⋅ =<br />
2<br />
4 ⋅ ε ⋅ d Re<br />
2<br />
ST<br />
ST<br />
3 24 ⋅ ε ⋅ η<br />
⋅<br />
4 d ⋅ u ⋅ρ<br />
ST<br />
r<br />
f<br />
ρ<br />
⋅<br />
d<br />
f<br />
ST<br />
1 − ε<br />
⋅ ⋅ u<br />
2<br />
ε<br />
18 ⋅ η⋅ B( ε)<br />
⋅ (1 − ε)<br />
= ⋅ ur<br />
. ( 4.279)<br />
d ⋅ ε<br />
Aus dem Kräftegleichgewicht an einer Schüttgutbrücke Gl.( 4.269) und der<br />
minimale Trichteröffnungsweite Gl. ( 4.15) folgt die Beschleunigung:<br />
a<br />
⎛ b<br />
⎞<br />
min<br />
dp / dh<br />
B<br />
+ dpa<br />
/ dH<br />
g<br />
⎜1−<br />
−<br />
⎟ . ( 4.280)<br />
⎝ b ρbg<br />
⎠<br />
=<br />
∗<br />
Einsetzen der Gl. ( 4.193) für die Beschleunigung in die Gl.( 4.280) ergibt:<br />
a<br />
dv 2(m+<br />
1)tan θ<br />
+<br />
⋅ v<br />
dt b<br />
2(m+<br />
1)tan θ 2<br />
⎜ ⎛ b<br />
⋅ v = g 1−<br />
∗<br />
b<br />
⎝ b<br />
2<br />
= ( 4.193)<br />
∗<br />
dv<br />
dt<br />
min<br />
+<br />
∗<br />
−<br />
dp / dh<br />
+ dp<br />
ρ g<br />
B<br />
b<br />
a<br />
/ dH<br />
Damit folgt die allgemeine Differentialgleichung für die Auslaufgeschwindigkeit<br />
eines kohäsiven Pulvers aus einem konvergenten Trichter:<br />
dv<br />
dt<br />
2(m+<br />
1)tan θ<br />
⋅ v<br />
∗<br />
b<br />
dp / dh<br />
+<br />
ρ<br />
⎛ b<br />
= g<br />
⎜1−<br />
⎝ b<br />
2<br />
B<br />
min<br />
+<br />
∗<br />
b<br />
dpa<br />
−<br />
ρ g<br />
/ dH<br />
b<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
2<br />
r<br />
(4.281)<br />
Das Einsetzen der Gl.( 4.279) für den Druckverlustterm der laminare Durchströmung<br />
der kohäsiven Schüttgutbrücke als „Festbett“<br />
dp<br />
dh<br />
B<br />
1<br />
⋅<br />
ρ<br />
b<br />
18 ⋅ η⋅ B( ε)<br />
⋅ (1 − ε)<br />
=<br />
⋅ u<br />
ρ ⋅ d ⋅ ε<br />
b<br />
2<br />
ST<br />
r<br />
mit der Packungsdichtefunktion des Festbettes bzw. der Wirbelschicht:<br />
1 − ε<br />
=<br />
ρ<br />
b<br />
folgen<br />
dp<br />
dh<br />
B<br />
ρ<br />
b<br />
=<br />
1<br />
( ρs<br />
− ρf<br />
) ⋅ρb<br />
ρs<br />
− ρf<br />
b<br />
2 r<br />
( ρ − ρ ) ⋅ d ⋅ ε<br />
s<br />
f<br />
ST<br />
(4.282)<br />
1 18⋅<br />
η⋅ B( ε)<br />
⋅ =<br />
⋅ u<br />
(4.283)<br />
ρ<br />
Der Druckverlust lässt sich auch mit Hilfe des mikroskopischen Beitrages der<br />
Partikelumströmung als stationäre Sinkgeschwindigkeit der Einzelpartikel<br />
153<br />
Schüttec_4 VO Partikelmechanik und Schüttguttechnik, <strong>Trichterauslegung</strong> Prof. Dr. Jürgen Tomas, 04.06.2013
2<br />
( ρs−ρf<br />
) ⋅d<br />
⋅ g<br />
vs ,St<br />
=<br />
(4.267)<br />
18η<br />
und des makroskopischen Widerstandes der Packung als Porositätsfunktion<br />
B(ε)/ε ausdrücken:<br />
dp<br />
dh<br />
B<br />
1<br />
⋅<br />
ρ<br />
b<br />
=<br />
2<br />
r<br />
r<br />
( ρ − ρ ) ⋅ d ⋅ g ε<br />
ε<br />
s<br />
18⋅<br />
η⋅ g<br />
f<br />
ST<br />
B( ε)<br />
⋅ ⋅ u<br />
=<br />
g<br />
v<br />
s,St<br />
B( ε)<br />
⋅ ⋅ u<br />
154<br />
18 ⋅ η<br />
=<br />
g<br />
v<br />
2<br />
( ρs<br />
− ρf<br />
) ⋅ dST<br />
s, St<br />
(4.284)<br />
dp<br />
dh<br />
B<br />
1 g B( ε)<br />
⋅ = ⋅ ⋅ ur<br />
(4.285)<br />
ρ v ε<br />
b<br />
s,St<br />
Es folgt die Differentialgleichung:<br />
dv 2(m+<br />
1)tan θ 2 18⋅<br />
η⋅ B( ε)<br />
⎛ b<br />
+ ⋅ v +<br />
⋅ u = g<br />
⎜1−<br />
∗<br />
∗<br />
dt b<br />
min<br />
dp<br />
−<br />
/ dH ⎞<br />
( ) ⎟ 2 r<br />
ρs<br />
− ρf<br />
⋅ dST⋅<br />
ε ⎝ b ρbg<br />
⎠<br />
u r<br />
Wenn man ruhende Luft u = 0 voraussetzt, sind die relative Anströmgeschwindigkeit<br />
des Fluides u <br />
r<br />
(im Leerrohr) und die Auslaufgeschwindigkeit v des<br />
<br />
Schüttgutes = u − v betragsmäßig gleich u r = v, folgt die Differentialgleichung<br />
für die Auslaufgeschwindigkeit eines kohäsiven Pulvers aus einem<br />
konvergenten Trichter für laminare Durchströmung eines Festbettes, siehe Bild<br />
F 4.26 (und beachte d K ≡ d ST und wegen Re = f(u/ε) folgt nun ε statt ε 2 ):<br />
a<br />
dv<br />
dt<br />
2(m+<br />
1)tan θ 2 18 ⋅ η⋅ B( ε)<br />
⎛ b<br />
+ ⋅ v +<br />
⋅ v = g⎜<br />
1−<br />
∗<br />
∗<br />
b<br />
min<br />
dp<br />
−<br />
/ dH ⎞<br />
( ) ⎟ 2<br />
ρs<br />
− ρf<br />
⋅ dST⋅<br />
ε ⎝ b ρbg<br />
⎠<br />
bzw. mit der Sinkgeschwindigkeit nach STOKES:<br />
a<br />
(4.286)<br />
dv<br />
dt<br />
2(m+<br />
1)tan θ<br />
⋅ v<br />
∗<br />
b<br />
g ⋅ B( ε)<br />
⎛ b<br />
+ ⋅ v = g⎜<br />
1−<br />
vs,St⋅<br />
ε ⎝ b<br />
2<br />
min<br />
+<br />
∗<br />
dpa<br />
−<br />
ρ g<br />
/ dH<br />
b<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
(4.287)<br />
4.6.2.5.2 Das Geschwindigkeits-Zeit-Gesetz<br />
Die stationäre Auslaufgeschwindigkeit v ⇒ v st ergibt sich für dv/dt = 0 mittels<br />
Lösung der quadratischen Gleichung:<br />
2(m+<br />
1)tan θ 2 18⋅<br />
η⋅ B( ε)<br />
⎛ b dp / dH ⎞<br />
min a<br />
⋅ vst +<br />
⋅ vst<br />
− g 1<br />
= 0<br />
2<br />
b (<br />
s f<br />
) d<br />
⎜ − −<br />
ST<br />
b<br />
bg<br />
⎟<br />
∗<br />
∗<br />
ρ − ρ ⋅ ⋅ ε ⎝ ρ ⎠<br />
∗<br />
∗<br />
2 18⋅<br />
η⋅ b ⋅ B( ε)<br />
g ⋅ b ⎛ b dp / dH ⎞<br />
min a<br />
vst + ⋅ vst<br />
−<br />
⋅ 1<br />
⎟ = 0<br />
2<br />
2(m 1)tan (<br />
s f<br />
) dST<br />
2(m 1)tan<br />
⎜ − −<br />
∗<br />
+ θ ⋅ ρ − ρ ⋅ ⋅ ε + θ b<br />
bg<br />
⎝ ρ ⎠<br />
v<br />
v<br />
2<br />
∗<br />
∗<br />
∗<br />
⋅ B( ε)<br />
9 ⋅ η⋅ b ⋅ B( ε)<br />
g ⋅ b<br />
min<br />
st<br />
= +<br />
+<br />
∗<br />
9 ⋅ η⋅ b<br />
−<br />
2(m+<br />
1)tan θ ⋅<br />
∗ ⎡<br />
b<br />
⋅ ⎢<br />
2(m+<br />
1)tan θ ⎢<br />
⎣<br />
⎜ ⎛<br />
⎝<br />
⎛ b<br />
⋅<br />
⎜1<br />
−<br />
dp<br />
−<br />
/ dH ⎞<br />
( ) ( ) ⎟ 2<br />
2<br />
ρs<br />
− ρf<br />
dSTε<br />
2(m+<br />
1)tan θ ⋅ ρs<br />
− ρf<br />
dSTε<br />
⎠ 2(m+<br />
1)tan θ ⎝ b ρbg<br />
⎠<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
9 ⋅ η⋅ B( ε)<br />
⎞<br />
⎟<br />
g ⋅ 2(m+<br />
1)tan θ ⎛ b<br />
+<br />
⋅<br />
⎜1−<br />
= min<br />
st<br />
∗<br />
2<br />
( ) ( ) ⎥ ⎥ 2<br />
∗<br />
2<br />
ρs<br />
− ρf<br />
⋅ dST⋅<br />
ε ⎠ b ⎝ b ρbg<br />
⎠ ρs<br />
− ρf<br />
dSTε<br />
⎦<br />
⎞<br />
⎟<br />
dp<br />
−<br />
a<br />
/ dH ⎞<br />
⎟ −<br />
Nur die positive Wurzel liefert sinnvolle positive Werte der stationären Aus-<br />
⎤<br />
9 ⋅ η⋅ B( ε)<br />
a<br />
Schüttec_4 VO Partikelmechanik und Schüttguttechnik, <strong>Trichterauslegung</strong> Prof. Dr. Jürgen Tomas, 04.06.2013
laufgeschwindigkeit. Wie wir später sehen werden, entspricht der Wurzelterm<br />
einem reziproken Zeitparameter t 76,lam Gl.(4.300).<br />
Damit ergibt sich die stationäre Auslaufgeschwindigkeit eines feinen Pulvers<br />
bei laminarer Durchströmung der kohäsiven Brücke:<br />
∗<br />
b ⎡ 1 9 ⋅ η⋅ B( ε)<br />
⎤<br />
v<br />
st,lam<br />
=<br />
⋅ ⎢ −<br />
2 ⎥ bzw. ( 4.288)<br />
2(m+<br />
1)tan θ ⎣ t76,lam<br />
( ρs<br />
− ρf<br />
) ⋅ dST⋅<br />
ε⎦<br />
∗<br />
b ⎡ 1 g ⋅ B( ε)<br />
⎤<br />
v<br />
st,lam<br />
=<br />
⋅ ⎢ − ⎥<br />
( 4.289)<br />
2(m+<br />
1)tan θ<br />
⎣t<br />
76,lam<br />
2 ⋅ vs,St⋅<br />
ε<br />
⎦<br />
Zur Lösung der Differentialgleichung (4.286) werden die Variablen getrennt<br />
dv ⎛ bmin<br />
dpa<br />
/ dH ⎞ 18 ⋅ η⋅ B( ε)<br />
2(m+<br />
1)tan θ 2<br />
= g 1<br />
v<br />
v<br />
2<br />
dt<br />
⎜ − −<br />
⋅ −<br />
⋅<br />
b<br />
bg<br />
⎟ −<br />
∗<br />
∗<br />
⎝ ρ ⎠ ( ρs<br />
− ρf<br />
) ⋅ dST⋅<br />
ε b<br />
und mit der Rand- bzw. Anfangsbedingung, für t = 0 ist v = 0, integriert:<br />
v<br />
∫ =∫<br />
⎛ b<br />
g<br />
⎜1<br />
−<br />
⎝ b<br />
dp ⎞<br />
a<br />
/ dH<br />
−<br />
⎟ −<br />
ρbg<br />
⎠<br />
dv<br />
18⋅<br />
η⋅ B( ε)<br />
2(m+<br />
1)tan θ<br />
v −<br />
⋅ v<br />
2<br />
∗<br />
⋅ d ⋅ ε b<br />
0 min<br />
2<br />
∗<br />
( ρs<br />
− ρf<br />
)<br />
ST<br />
t<br />
0<br />
dt<br />
4.290)<br />
Für eine bequeme analytische Lösung ist etwas rechnerischer Aufwand notwendig.<br />
Bezüglich der obigen Integralgleichung 4.290) sollen zwei Lösungsvarianten<br />
vorgestellt werden:<br />
155<br />
Lösungsvariante 1:<br />
Die linke Seite entspricht einem Grundintegral, siehe BRONSTEIN 24 , dessen<br />
Lösung die Umkehrfunktion (Area Tangens hyperbolicus) Artanh(x) der<br />
tanh(x)-Funktion - entsprechend der bekannten Lösung ( 4.233) für die turbulente<br />
Durchströmung der kohäsiven Brücke - enthält:<br />
dx 2<br />
⎛ 2ax + b ⎞<br />
2<br />
∫ = − ⋅ Ar tanh<br />
wenn 4ac − b 0<br />
ax<br />
2 bx c<br />
2<br />
⎜<br />
2<br />
⎟<br />
b − 4ac b 4ac<br />
< ( 4.291)<br />
+ +<br />
⎝ − ⎠<br />
Die Parameter a, b, c ergeben sich durch Koeffizientenvergleich:<br />
2(m+<br />
1)tan θ<br />
a = −<br />
( 4.292)<br />
∗<br />
b<br />
18 ⋅ η⋅ B( ε)<br />
b −<br />
( 4.293)<br />
c<br />
=<br />
2<br />
s f ST<br />
( ρ − ρ ) ⋅ d ⋅ ε<br />
⎛ b<br />
⎞<br />
min<br />
dpa<br />
/ dH<br />
g<br />
⎜1−<br />
−<br />
⎟<br />
( 4.294)<br />
⎝ b ρbg<br />
⎠<br />
=<br />
∗<br />
Da beide Summanden negativ sind, ist die obige Bedingung 4ac − b<br />
2 < 0 erfüllt:<br />
24 Bronstein, I.E. und R.A. Semendjajev, Taschenbuch der Mathematik, B.G. Teubner Verlagsgesellschaft,<br />
Leipzig 1968; neu: S. 1077, 7. Aufl., Verlag Harri Deutsch, Frankfurt a.M.<br />
2008.<br />
Schüttec_4 VO Partikelmechanik und Schüttguttechnik, <strong>Trichterauslegung</strong> Prof. Dr. Jürgen Tomas, 04.06.2013
8(m+<br />
1)tan θ ⎛ b<br />
−<br />
⋅ g 1<br />
b<br />
⎜ −<br />
∗<br />
⎝ b<br />
Die Integration ergibt also:<br />
v<br />
∫<br />
0<br />
av<br />
2<br />
dv<br />
= −<br />
+ bv + c<br />
b<br />
2<br />
dp / dH ⎞ ⎡<br />
a<br />
− −<br />
bg<br />
⎟<br />
ρ<br />
⎢<br />
⎠ ⎣<br />
18 ⋅ η⋅ B( ε)<br />
⎤<br />
2<br />
s f<br />
⋅ d<br />
⎥<br />
ST⋅<br />
ε⎦<br />
min<br />
<<br />
∗<br />
2<br />
⎛<br />
⋅ Ar tanh<br />
⎜<br />
− 4ac ⎝<br />
( ρ − ρ )<br />
2av + b ⎞<br />
2<br />
⎟<br />
b − 4ac ⎠<br />
v<br />
dv<br />
2 ⎧ ⎛ 2av + b ⎞ ⎛<br />
∫<br />
= − ⋅ ⎨Ar<br />
tanh<br />
⎜<br />
⎟ − Ar tanh<br />
⎜<br />
2<br />
av + bv + c<br />
2<br />
2<br />
0<br />
b − 4ac ⎩ ⎝ b − 4ac ⎠ ⎝ b<br />
1 ⎛1+<br />
x ⎞<br />
mit y = Ar tanh(x) = ⋅ ln⎜<br />
⎟ im Bereich −1<br />
< x < 1<br />
2 ⎝1−<br />
x ⎠<br />
Beide Seiten der Integralgleichung 4.290) ergeben zusammen:<br />
2 ⎧ ⎛ 2av + b ⎞ ⎛ b ⎞⎫<br />
− ⋅ ⎨Ar<br />
tanh<br />
Ar tanh<br />
⎬ = t<br />
2<br />
⎜<br />
2<br />
⎟ −<br />
⎜<br />
2<br />
⎟<br />
b − 4ac ⎩ ⎝ b − 4ac ⎠ ⎝ b − 4ac ⎠⎭<br />
⎛ 2av + b ⎞ ⎛ b ⎞ t 2<br />
Ar tanh<br />
⎜<br />
Ar tanh<br />
= − ⋅ b − 4ac<br />
2<br />
⎟ −<br />
⎜<br />
2<br />
⎟<br />
⎝ b − 4ac ⎠ ⎝ b − 4ac ⎠ 2<br />
v<br />
0<br />
2<br />
0<br />
2<br />
b ⎞⎫<br />
⎟⎬<br />
− 4ac<br />
⎠⎭<br />
Mit der Summe der Artanh-Funktionen, siehe BRONSTEIN 25<br />
⎛ x − z ⎞<br />
Ar tanh(x) − Ar tanh(z) = Ar tanh⎜<br />
⎟<br />
( 4.295)<br />
⎝1<br />
− zx ⎠<br />
und mit dem Parameter f folgt:<br />
f = b<br />
2 − 4ac<br />
( 4.296)<br />
⎛ 2av + b b<br />
⎛ x − z ⎞<br />
t<br />
Ar tanh(x) − Ar tanh(z) = Ar tanh⎜<br />
⎟ Ar tanh f f ⎟ ⎟ ⎞<br />
−<br />
= − ⋅ f<br />
⎝1<br />
− zx ⎠<br />
2av b b<br />
1<br />
2<br />
⎜ ⎜⎜ +<br />
− ⋅<br />
⎟<br />
⎝ f f ⎠<br />
2av + b − b 2av<br />
f<br />
f<br />
2av ⋅ f<br />
=<br />
=<br />
2<br />
2<br />
( 2av + b) ⋅ b f ( 2av b) 1<br />
b f − ( 2av + b) −<br />
− + ⋅<br />
⋅ b<br />
2<br />
2<br />
f<br />
f<br />
⎛ 2av ⋅ f ⎞ t<br />
Ar tanh⎜<br />
⎟ = − ⋅ f<br />
2<br />
⎝ f − ( 2av + b)<br />
⋅ b ⎠ 2<br />
Umformen in eine tanh-Funktion:<br />
2av ⋅ f<br />
⎞<br />
⎜ ⎟<br />
( )<br />
⎛ t<br />
= tanh − ⋅ f<br />
2<br />
f − 2av + b ⋅ b ⎝ 2 ⎠<br />
Vorzeichenwechsel des Argumentes der tanh-Funktion gemäß BRONSTEIN 26<br />
tanh( − x) = − tanh(x)<br />
( 4.297)<br />
f<br />
2av ⋅ f<br />
−<br />
( 2av + b)<br />
⎛ t ⎞<br />
= − tanh⎜<br />
⋅ f ⎟<br />
⋅ b ⎝ 2 ⎠<br />
2<br />
,<br />
156<br />
25 Bronstein, I.E. und R.A. Semendjajev, Taschenbuch der Mathematik, S. 94, Verlag Harri<br />
Deutsch, Frankfurt a.M. 2008.<br />
26 Bronstein, I.E. und R.A. Semendjajev, Taschenbuch der Mathematik, S. 90, Verlag Harri<br />
Deutsch, Frankfurt a.M. 2008.<br />
Schüttec_4 VO Partikelmechanik und Schüttguttechnik, <strong>Trichterauslegung</strong> Prof. Dr. Jürgen Tomas, 04.06.2013
157<br />
Umstellen nach v:<br />
2 ⎛ t ⎞<br />
⎛ t ⎞<br />
− 2av ⋅ f = f ⋅ tanh⎜<br />
⋅ f ⎟ − ( 2av + b) ⋅ b ⋅ tanh⎜<br />
⋅ f ⎟<br />
⎝ 2 ⎠<br />
⎝ 2 ⎠<br />
⎛ t ⎞<br />
2 ⎛ t ⎞ 2 ⎛ t ⎞<br />
2av ⋅ b ⋅ tanh⎜<br />
⋅ f ⎟ − 2av ⋅ f = f ⋅ tanh⎜<br />
⋅ f ⎟ − b ⋅ tanh⎜ ⋅ f ⎟<br />
⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠<br />
⎡ ⎛ t ⎞ ⎤ 2 ⎛ t ⎞ 2 ⎛ t ⎞<br />
v ⋅ ⎢2a<br />
⋅ b ⋅ tanh⎜<br />
⋅ f ⎟ − 2a ⋅ f ⎥ = f ⋅ tanh⎜<br />
⋅ f ⎟ − b ⋅ tanh⎜<br />
⋅ f ⎟<br />
⎣ ⎝ 2 ⎠ ⎦ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠<br />
⎡ ⎛ t ⎞ ⎤ 2 2 ⎛ t ⎞<br />
v ⋅ 2a ⋅ ⎢b<br />
⋅ tanh⎜<br />
⋅ f ⎟ − f ⎥ = ( f − b ) ⋅ tanh⎜<br />
⋅ f ⎟<br />
⎣ ⎝ 2 ⎠ ⎦<br />
⎝ 2 ⎠<br />
2 2<br />
( f − b )<br />
⎛ t ⎞<br />
⋅ tanh⎜<br />
⋅ f ⎟<br />
⎝ 2<br />
v =<br />
⎠<br />
⎡ ⎛ t ⎞ ⎤<br />
2a ⋅ ⎢b<br />
⋅ tanh⎜<br />
⋅ f ⎟ − f ⎥<br />
⎣ ⎝ 2 ⎠ ⎦<br />
Jetzt müssen die Koeffizienten a, b, c<br />
( 4.298)<br />
2(m+<br />
1)tan θ<br />
a = −<br />
( 4.292)<br />
∗<br />
b<br />
18 ⋅ η⋅ B( ε)<br />
b −<br />
( 4.293)<br />
c<br />
=<br />
2<br />
s f ST<br />
( ρ − ρ ) ⋅ d ⋅ ε<br />
⎛ b<br />
⎞<br />
min<br />
dpa<br />
/ dH<br />
g<br />
⎜1−<br />
−<br />
⎟<br />
( 4.294)<br />
⎝ b ρbg<br />
⎠<br />
=<br />
∗<br />
ersetzt werden. Zweckmäßig fängt man mit dem Parameter f an:<br />
f = b<br />
2 − 4ac<br />
( 4.296)<br />
f<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
18 ⋅ η⋅ B( ε)<br />
⎞<br />
⎟<br />
2<br />
2(m+<br />
1)tan θ ⎛ b<br />
+ 4 ⋅<br />
⋅ g<br />
⎜1<br />
−<br />
min<br />
=<br />
∗<br />
dp<br />
−<br />
/ dH ⎞<br />
( ) ⎟ 2<br />
∗<br />
ρs<br />
− ρf<br />
⋅ dST⋅<br />
ε ⎠ b ⎝ b ρbg<br />
⎠<br />
a<br />
(4.299)<br />
Daraus folgt der Kinematik- oder Zeitparameter der tanh-Funktion t 76,lam ,<br />
siehe auch Gl.(4.235), hier jedoch für die laminare Durchströmung:<br />
2<br />
2<br />
t76,lam<br />
= =<br />
f<br />
2<br />
⎛ 18⋅η⋅<br />
B( ε)<br />
⎞ 2(m+<br />
1)tan θ ⎛ b<br />
⎞<br />
min<br />
dpa<br />
/ dH<br />
⎜<br />
⎟ + 4⋅<br />
⋅g<br />
⎜1−<br />
−<br />
2<br />
∗<br />
∗<br />
⎝ ρs<br />
− ρf<br />
⋅dST⋅ε<br />
⎠ b ⎝ b ρbg<br />
( ) ⎟ ⎟ ⎠<br />
1<br />
t76 ,lam<br />
=<br />
(4.300)<br />
2<br />
⎛ 9 ⋅ η⋅ B( ε)<br />
⎞ 2g(m+<br />
1)tan θ ⎛ b<br />
( ) ⎟ ⎞<br />
min<br />
dpa<br />
/ dH<br />
⎜<br />
⎟ +<br />
⋅<br />
⎜1<br />
− −<br />
2<br />
∗<br />
∗<br />
⎝ ρs<br />
− ρf<br />
⋅ dST⋅<br />
ε ⎠ b ⎝ b ρbg<br />
⎠<br />
Bzw. mit der Gl.(4.284) lässt sich auch schreiben:<br />
1<br />
t<br />
76 ,lam<br />
=<br />
(4.301)<br />
2<br />
⎛ ⎞<br />
⎛<br />
⎞<br />
⎜<br />
g ⋅ B( ε)<br />
⎟<br />
2g(m+<br />
1)tan θ bmin<br />
dpa<br />
/ dH<br />
+<br />
⋅<br />
⎜ − −<br />
⎟<br />
1<br />
∗<br />
∗<br />
⎝ 2 ⋅ vs,St⋅<br />
ε ⎠ b ⎝ b ρbg<br />
⎠<br />
Die Auslaufgeschwindigkeit v(t) ergibt sich aus folgenden Umrechnungen:<br />
Schüttec_4 VO Partikelmechanik und Schüttguttechnik, <strong>Trichterauslegung</strong> Prof. Dr. Jürgen Tomas, 04.06.2013
⎛ ⎞<br />
⎛ ⎞<br />
2 2<br />
( ) ⎜<br />
t<br />
2<br />
2<br />
⎟ ( ) ⎜<br />
t<br />
f − b ⋅ tanh<br />
⎟<br />
b − 4ac − b ⋅ tanh<br />
⎝ t<br />
76,lam ⎠<br />
=<br />
⎝ t<br />
76,lam<br />
v =<br />
⎠<br />
⎡ ⎛ ⎞ ⎤ ⎡ ⎛ ⎞ ⎤<br />
⋅ ⎢ ⋅ ⎜<br />
t<br />
⎟ − ⎥ ⋅ ⎢ ⋅ ⎜<br />
t<br />
⎟<br />
2<br />
2a b tanh<br />
f 2a b tanh<br />
− ⎥<br />
⎢⎣<br />
⎝ t<br />
76,lam ⎠ ⎥⎦<br />
⎢⎣<br />
⎝ t<br />
76,lam ⎠ t<br />
76,lam ⎥⎦<br />
⎛ t ⎞<br />
⎛ t ⎞<br />
− 4ac ⋅ tanh⎜<br />
⎟<br />
2c tanh⎜<br />
⎟<br />
t<br />
− ⋅<br />
76,lam<br />
t<br />
76,lam<br />
v =<br />
⎝ ⎠<br />
=<br />
⎝ ⎠<br />
⎡ ⎛ t 2 ⎤ ⎛ t ⎞ 2<br />
2a ⎢b<br />
tanh<br />
⎥ b ⋅ tanh⎜<br />
⎟ −<br />
t ⎟ ⎞<br />
⋅ ⋅ ⎜<br />
−<br />
t<br />
76,lam<br />
t<br />
⎢<br />
76,lam ⎥ ⎝ 76,lam ⎠ t<br />
⎣ ⎝ ⎠ ⎦<br />
76,lam<br />
⎛ t ⎞ ⎛ bmin<br />
dpa<br />
/ dH ⎞ ⎛ t ⎞<br />
− 2c ⋅ tanh⎜<br />
⎟ 2g 1<br />
tanh⎜<br />
⎟<br />
t<br />
−<br />
⎜ − −<br />
76,lam<br />
b<br />
bg<br />
⎟ ⋅<br />
∗<br />
t<br />
⎝ ρ ⎠<br />
76,lam<br />
v =<br />
⎝ ⎠<br />
=<br />
⎝ ⎠<br />
⎛ t ⎞ 2 18 ⋅ η⋅ B( ε)<br />
⎛ t ⎞ 2<br />
b ⋅ tanh⎜<br />
⎟ −<br />
⋅ tanh⎜<br />
⎟<br />
−<br />
2<br />
t<br />
−<br />
76,lam<br />
t76,lam<br />
( ρs<br />
− ρf<br />
) ⋅ d<br />
ST⋅<br />
ε t<br />
⎝ ⎠<br />
⎝ 76,lam ⎠ t76,<br />
lam<br />
Schließlich erhält man mittels der recht aufwändigen analytischen Lösung der<br />
Differentialgleichung (4.286) folgendes Geschwindigkeits-Zeit-Gesetz für das<br />
beginnendes Ausfließen eines feinen kohäsiven Pulvers aus einem konvergenten<br />
Trichter bei laminarer Durchströmung:<br />
158<br />
v(t) =<br />
⎛ bmin<br />
dpa<br />
/ dH ⎞ ⎛<br />
g⋅<br />
⎜1−<br />
− tanh<br />
b<br />
bg<br />
⎟ ⋅ ⎜<br />
∗<br />
⎝ ρ ⎠ ⎝ t<br />
9 ⋅ η⋅ B( ε)<br />
⎛<br />
⋅ tanh⎜<br />
t ⎞<br />
⎟ +<br />
⎝ ⎠<br />
t ⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
1<br />
76,lam<br />
2<br />
( ρs<br />
− ρf<br />
) ⋅dST⋅<br />
ε ⎜ t ⎟<br />
76,lam<br />
t76,<br />
lam<br />
bzw. ( 4.302)<br />
⎛ bmin<br />
dpa<br />
/ dH ⎞ ⎛ t<br />
g⋅⎜1<br />
tanh⎜<br />
− −<br />
b<br />
bg<br />
⎟ ⋅<br />
∗<br />
⎝<br />
ρ ⎠ t<br />
v(t) =<br />
⎝<br />
g ⋅ B( ε)<br />
⎛ t ⎞ 1<br />
⋅ tanh⎜<br />
⎟ +<br />
2 ⋅ v<br />
s,St⋅<br />
ε t<br />
⎝ 76,lam ⎠ t<br />
76,lam<br />
76,lam<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
( 4.303)<br />
Die Porositätsfunktion B(ε), Gl.( 4.278), stammt von der modifizierten<br />
EULER-Zahl (svw. Widerstandsbeiwert) und ergibt sich für die homogene<br />
laminare Durchströmung der kohäsiven Brücke als Festbett:<br />
2<br />
⎡ 3<br />
⎛<br />
3<br />
1− ε 1 1− ε ⎞<br />
⎥ ⎥ ⎤<br />
B ( ε)<br />
= 1+<br />
0,692⋅<br />
⎢<br />
+ ⋅ ⎜<br />
⎟<br />
3<br />
⎢ − − ε<br />
3<br />
( 4.304)<br />
0,95 1 2<br />
⎣<br />
⎝ 0,95 − 1− ε ⎠ ⎦<br />
Zur Vollständigkeit wird hier nochmals die stationäre Auslaufgeschwindigkeit<br />
eines feinen Pulvers bei homogener laminarer Durchströmung der kohäsiven<br />
Brücke angegeben, siehe Gl.( 4.289):<br />
∗<br />
b ⎡ 1 g ⋅ B( ε)<br />
⎤<br />
v<br />
st,lam<br />
=<br />
⋅ ⎢ − ⎥<br />
( 4.289)<br />
2(m+<br />
1)tan θ<br />
⎣t<br />
76,lam<br />
2 ⋅ vs,St⋅<br />
ε<br />
⎦<br />
Durch Umstellen der Gl. ( 4.289) folgt ebenfalls der Zeitparameter t 76,lam :<br />
2(m+<br />
1)tan θ 1 g ⋅ B( ε)<br />
⋅ v = −<br />
∗<br />
st,lam<br />
b<br />
t 2 ⋅ v ⋅ ε<br />
76,lam<br />
s,St<br />
Schüttec_4 VO Partikelmechanik und Schüttguttechnik, <strong>Trichterauslegung</strong> Prof. Dr. Jürgen Tomas, 04.06.2013
2(m+<br />
1)tan θ<br />
⋅ v<br />
∗<br />
b<br />
st,lam<br />
g ⋅ B( ε)<br />
+<br />
2 ⋅ v ⋅ ε<br />
s,St<br />
=<br />
t<br />
1<br />
76,lam<br />
159<br />
1<br />
t<br />
76,lam<br />
=<br />
( 4.305)<br />
2(m+<br />
1)tan θ g ⋅ B( ε)<br />
⋅ v +<br />
∗<br />
st,lam<br />
b<br />
2 ⋅ v ⋅ ε<br />
s,St<br />
Mit dem Geschwindigkeits-Zeit-Gesetz, Gl.( 4.303), folgen die zugehörigen<br />
Auslaufvolumen- und -massenströme:<br />
V (t) = A ⋅ v(t)<br />
( 4.244)<br />
d<br />
d<br />
m (t) = ρ ⋅ A ⋅ v(t)<br />
( 4.245)<br />
d<br />
b<br />
d<br />
Diese neuen Rechenergebnisse vervollständigen die früheren Herleitungen 27 .<br />
Lösungsvariante 2:<br />
Als 2. Lösungsmöglichkeit des Grundintegrales 4.290), siehe Formelsammlung<br />
28 ,<br />
dx 1 ⎡<br />
2<br />
2ax + b − b − 4ac ⎤<br />
2<br />
∫<br />
= ⋅ ln⎢<br />
⎥ wenn 4ac − b 0<br />
ax<br />
2 + bx + c<br />
2<br />
2<br />
b − 4ac 2ax b b 4ac<br />
<<br />
⎢⎣<br />
+ + − ⎥⎦<br />
( 4.306)<br />
ergibt die Integration:<br />
v<br />
∫<br />
0<br />
v<br />
∫<br />
0<br />
=<br />
av<br />
av<br />
2<br />
2<br />
b<br />
dv<br />
=<br />
+ bv + c<br />
dv<br />
=<br />
+ bv + c<br />
2<br />
b<br />
b<br />
1 ⎡2av<br />
+ b −<br />
⋅ ln⎢<br />
− 4ac ⎢⎣<br />
2av + b +<br />
2<br />
2<br />
1 2av b<br />
ln<br />
4ac ⎢ ⎢ ⎡ + −<br />
⋅<br />
− ⎣2av<br />
+ b +<br />
1 ⎪⎧<br />
⎡2av<br />
+ b −<br />
⎨ln⎢<br />
− 4ac ⎪⎩ ⎢⎣<br />
2av + b +<br />
b<br />
b<br />
2<br />
2<br />
− 4ac b +<br />
⋅<br />
− 4ac b −<br />
b<br />
b<br />
b<br />
b<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
b<br />
b<br />
− 4ac ⎤<br />
⎥<br />
− 4ac ⎥⎦<br />
v<br />
0<br />
− 4ac ⎤ ⎡b<br />
−<br />
⎥ − ln⎢<br />
− 4ac ⎥⎦<br />
⎢⎣<br />
b +<br />
2<br />
2<br />
− 4ac ⎤<br />
⎥<br />
− 4ac ⎥⎦<br />
Beide Seiten der Integralgleichung 4.290) ergeben zusammen:<br />
1 ⎡<br />
2<br />
2<br />
2av + b − b − 4ac b + b − 4ac<br />
ln<br />
= t<br />
2<br />
2<br />
2<br />
b 4ac 2av b b 4ac b b 4ac ⎥ ⎥ ⎤<br />
⋅ ⎢<br />
⋅<br />
− ⎢⎣<br />
+ + − − − ⎦<br />
b<br />
b<br />
2<br />
2<br />
− 4ac ⎤⎪⎫<br />
⎥⎬<br />
− 4ac<br />
⎥⎦<br />
⎪⎭<br />
Mit einer zweckmäßigen Nebenrechnung (Vorsicht bei den Umrechnungen!):<br />
2<br />
2av + b − b − 4ac b +<br />
⋅<br />
2<br />
2av + b + b − 4ac b −<br />
2<br />
b − 4ac 2a ⋅<br />
=<br />
2<br />
b − 4ac 2a ⋅<br />
2<br />
2 2 2<br />
mit ( )( )<br />
q − s q + s = q + qs − sq − s = q − s d.h.<br />
2<br />
2<br />
2<br />
b + b −<br />
⋅ v +<br />
b − b −<br />
⋅<br />
b + b −<br />
2<br />
2<br />
2<br />
( b − b − 4ac) ⋅ v + ( b + b − 4ac) ⋅ ( b − b − 4ac)<br />
2<br />
2<br />
2 2<br />
( b − b − 4ac) ⋅ ( b + b − 4ac) = b − b + 4ac = 4ac<br />
27 Tomas, J., Modellierung des Fließverhaltens von Schüttgütern auf der Grundlage der Wechselwirkungskräfte<br />
zwischen den Partikeln und Anwendung bei der Auslegung von Bunkeranlagen,<br />
S. 128, Diss. B (Habilitation), TU Bergakademie Freiberg 1991<br />
28 Papula, L. Mathematische Formelsammlung, S. 441, Vieweg, Wiesbaden 2003.<br />
Schüttec_4 VO Partikelmechanik und Schüttguttechnik, <strong>Trichterauslegung</strong> Prof. Dr. Jürgen Tomas, 04.06.2013
2a ⋅<br />
=<br />
2a ⋅<br />
2<br />
b + b − 4ac<br />
2<br />
( b − b − 4ac )<br />
Das Integral ergibt:<br />
v<br />
∫<br />
0<br />
av<br />
2<br />
dv<br />
=<br />
+ bv + c<br />
2 2<br />
⋅ v + b − b + 4ac 2a ⋅<br />
=<br />
2 2<br />
⋅ v + b − b + 4ac 2a ⋅<br />
b<br />
2<br />
1<br />
⎢ ⎢ ⎡<br />
⋅ ln<br />
− 4ac ⎣<br />
2<br />
b + b −<br />
2<br />
( b − b − 4ac)<br />
⋅ v + 4ac<br />
=<br />
⋅ v + 4ac<br />
2<br />
b + b − 4ac<br />
⋅ v + 2c<br />
( ) ⎥ ⎥ ⎤<br />
2<br />
b − b − 4ac ⋅ v + 2c⎦<br />
Beide Seiten der Integralgleichung 4.290) ergeben zusammen:<br />
1 ⎡<br />
2<br />
b + b −<br />
⋅ v + 2c⎤<br />
⋅ ln⎢<br />
⎥ = t<br />
2<br />
2<br />
b − 4ac ⎢⎣<br />
( b − b − 4ac)<br />
⋅ v + 2c⎥⎦<br />
Auflösen nach v mit dem Parameter f<br />
⎡( b + f ) ⋅ v + 2c⎤<br />
ln⎢<br />
= t ⋅ f<br />
( b f ) v 2c<br />
⎥<br />
⎣ − ⋅ + ⎦<br />
( b + f ) ⋅ v + 2c<br />
= exp( t ⋅ f )<br />
b − f ⋅ v + 2c<br />
160<br />
2<br />
b + b −<br />
⋅ v + 2c<br />
2<br />
( b − b − 4ac) ⋅ v + 2c<br />
= b<br />
2 − 4ac<br />
nach Gl.( 4.296):<br />
( )<br />
( b + f ) ⋅ v + 2c = [( b − f ) ⋅ v + 2c] ⋅ exp( t ⋅ f )<br />
( b + f ) ⋅ v − ( b − f ) ⋅ v ⋅ exp( t ⋅ f ) = 2c ⋅ exp( t ⋅ f ) − 2c<br />
v ⋅ [( b + f ) − ( b − f ) ⋅ exp( t ⋅ f )] = 2c ⋅ [ exp( t ⋅ f ) −1]<br />
2c ⋅ [ exp( t ⋅ f ) −1]<br />
v =<br />
( b + f ) − ( b − f ) ⋅ exp( t ⋅ f )<br />
2c ⋅[ exp( t ⋅ f ) −1]<br />
2c ⋅[ exp( t ⋅ f ) −1]<br />
v =<br />
=<br />
f + f ⋅ exp( t ⋅ f ) + b − b ⋅ exp( t ⋅ f ) f ⋅[ exp( t ⋅ f ) + 1] + b ⋅[ 1−<br />
exp( t ⋅ f )]<br />
−1<br />
[ exp( t ⋅ f ) + 1]<br />
Zweckmäßiges Erweitern des Bruches mit<br />
liefert:<br />
−<br />
[ exp( t ⋅ f ) + 1] 1<br />
exp( t ⋅ f ) −1<br />
exp( t ⋅ f ) −1<br />
2c ⋅<br />
2c ⋅<br />
exp( t ⋅ f ) + 1 exp( t ⋅ f ) + 1<br />
v =<br />
1 exp ( t f )<br />
=<br />
− ⋅ exp( t ⋅ f ) −1<br />
f + b ⋅<br />
− b ⋅<br />
+ f<br />
exp( t ⋅ f ) + 1 exp( t ⋅ f ) + 1<br />
Mit der tanh-Funktion Gl.(4.232) und ihrem Argument t ⋅ f / 2<br />
( 2x)<br />
( 2x)<br />
exp −1<br />
= tanh( x)<br />
exp + 1<br />
exp( t ⋅ f ) −1<br />
2c ⋅<br />
exp( t ⋅ f ) + 1<br />
v =<br />
exp( t ⋅ f ) −1<br />
− b ⋅<br />
+ f<br />
exp( t ⋅ f ) + 1<br />
c ⋅ tanh( t ⋅ f / 2)<br />
v =<br />
b<br />
f<br />
− ⋅ tanh( t ⋅ f / 2)<br />
+<br />
2<br />
2<br />
( t ⋅ f / 2)<br />
( t ⋅ f / 2)<br />
folgt (4.232)<br />
2c ⋅ tanh<br />
=<br />
− b ⋅ tanh<br />
( t ⋅ f / 2)<br />
( t ⋅ f / 2)<br />
+<br />
c ⋅ tanh<br />
=<br />
f b<br />
− ⋅ tanh<br />
2<br />
( t ⋅ f / 2)<br />
( t ⋅ f / 2)<br />
c ⋅ tanh<br />
v = ( 4.307)<br />
b<br />
f<br />
− ⋅ tanh +<br />
2<br />
2<br />
Jetzt müssen wiederum die Koeffizienten f, b und c<br />
+<br />
f<br />
2<br />
Schüttec_4 VO Partikelmechanik und Schüttguttechnik, <strong>Trichterauslegung</strong> Prof. Dr. Jürgen Tomas, 04.06.2013
18 ⋅ η⋅ B( ε)<br />
b −<br />
( 4.293)<br />
c<br />
=<br />
2<br />
s f ST<br />
( ρ − ρ ) ⋅ d ⋅ ε<br />
⎛ b<br />
⎞<br />
min<br />
dpa<br />
/ dH<br />
g<br />
⎜1−<br />
−<br />
⎟<br />
( 4.294)<br />
⎝ b ρbg<br />
⎠<br />
=<br />
∗<br />
ersetzt werden. Man fängt wiederum mit dem Parameter f an. Der charakteristische<br />
Kinematik- oder Zeitparameter der tanh-Funktion t 76,lam ergibt sich für<br />
die laminare Durchströmung:<br />
2<br />
1<br />
t76,lam<br />
= =<br />
f<br />
2<br />
⎛ 9⋅η⋅<br />
B( ε)<br />
⎞ 2(m+<br />
1)tan θ ⎛ b<br />
⎜<br />
⎟ +<br />
⋅g<br />
⎜1−<br />
2<br />
∗<br />
⎝ ρs<br />
− ρf<br />
⋅dST⋅ε<br />
⎠ b ⎝ b<br />
dp<br />
−<br />
/ dH ⎞<br />
( ) ⎟ ∗<br />
ρbg<br />
⎠<br />
Dieser Kinematikparameter t 76,lam der tanh-Funktion ist wiederum identisch mit<br />
der Gl. (4.300) der Lösungsvariante 1:<br />
1<br />
t76 ,lam<br />
=<br />
(4.300)<br />
2<br />
⎛ 9 ⋅ η⋅ B( ε)<br />
⎞ 2g(m+<br />
1)tan θ ⎛ b<br />
( ) ⎟ ⎞<br />
min<br />
dpa<br />
/ dH<br />
⎜<br />
⎟ +<br />
⋅<br />
⎜1−<br />
−<br />
2<br />
∗<br />
∗<br />
⎝ ρs<br />
− ρf<br />
⋅ dST⋅<br />
ε ⎠ b ⎝ b ρbg<br />
⎠<br />
Das ergibt wiederum ein der Gl.( 4.302), siehe auch Variante 1, identisches<br />
Geschwindigkeits-Zeit-Gesetz der Auslaufgeschwindigkeit - q.e.d.<br />
min<br />
a<br />
161<br />
v(t) =<br />
⎛ bmin<br />
dpa<br />
/ dH ⎞ ⎛<br />
g⋅<br />
⎜1−<br />
− tanh<br />
b<br />
bg<br />
⎟ ⋅ ⎜<br />
∗<br />
⎝ ρ ⎠ ⎝ t<br />
9 ⋅ η⋅ B( ε)<br />
⎛<br />
⋅ tanh⎜<br />
t ⎞<br />
⎟ +<br />
⎝ ⎠<br />
t ⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
1<br />
76,lam<br />
2<br />
( ρs<br />
− ρf<br />
) ⋅dST⋅<br />
ε ⎜ t ⎟<br />
76,lam<br />
t76,<br />
lam<br />
Charakteristische Auslaufgeschwindigkeiten sind wiederum:<br />
⎛ bmin<br />
dpa<br />
/ dH ⎞<br />
0,76 ⋅ g⋅<br />
⎜1−<br />
−<br />
b<br />
bg<br />
⎟<br />
∗<br />
v(t t<br />
76,lam)<br />
⎝<br />
ρ<br />
= =<br />
⎠<br />
6,84 ⋅ η ⋅ B( ε)<br />
1<br />
+<br />
2<br />
ρ − ρ ⋅ d ⋅ ε t<br />
v(t = 2 ⋅ t<br />
v(t = 3⋅<br />
t<br />
76,lam<br />
76,lam<br />
(<br />
s f<br />
)<br />
ST 76, lam<br />
bmin<br />
dpa<br />
/ dH<br />
0,964 g 1<br />
b<br />
bg<br />
⎟ ⎞<br />
⎜ ⎛<br />
⋅ ⋅ − −<br />
∗<br />
)<br />
⎝<br />
ρ<br />
=<br />
⎠<br />
8,676 ⋅ η ⋅ B( ε)<br />
1<br />
+<br />
2<br />
( ρs<br />
− ρf<br />
) ⋅ dST⋅<br />
ε t<br />
76, lam<br />
⎛ bmin<br />
dpa<br />
/ dH ⎞<br />
0,995 ⋅ g⋅<br />
⎜1−<br />
−<br />
b<br />
bg<br />
⎟<br />
∗<br />
)<br />
⎝<br />
ρ<br />
=<br />
⎠<br />
8,955 ⋅ η ⋅ B( ε)<br />
1<br />
+<br />
2<br />
( ρs<br />
− ρf<br />
) ⋅ dST⋅<br />
ε t<br />
76, lam<br />
( 4.302)<br />
(4.308)<br />
(4.309)<br />
(4.310)<br />
4.6.2.5.3 Das Weg-Zeit-Gesetz<br />
Schüttec_4 VO Partikelmechanik und Schüttguttechnik, <strong>Trichterauslegung</strong> Prof. Dr. Jürgen Tomas, 04.06.2013
Um das Weg-Zeit-Gesetz h = f(t) zu erhalten muss die obige Zeitfunktion der<br />
instationären Auslaufgeschwindigkeit v(t) für laminare Durchströmung, Gl.(<br />
4.302), erneut integriert werden<br />
v(t) =<br />
dh(t)<br />
dt<br />
=<br />
⎛ bmin<br />
dpa<br />
/ dH ⎞ ⎛<br />
g⋅<br />
⎜1<br />
− − tanh<br />
b<br />
bg<br />
⎟ ⋅ ⎜<br />
∗<br />
⎝ ρ ⎠ ⎝ t<br />
9 ⋅ η⋅ B( ε)<br />
⎛<br />
⋅ tanh⎜<br />
t ⎞<br />
⎟ +<br />
⎝ ⎠<br />
76,lam<br />
2<br />
( ρs<br />
− ρf<br />
) ⋅ dST⋅<br />
ε ⎜ t ⎟<br />
76,lam<br />
t76,<br />
lam<br />
und zwar mit der Anfangsbedingung h(t = 0) = 0:<br />
h(t)<br />
∫<br />
h=<br />
0<br />
t ⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
, (4.311)<br />
1<br />
⎛ b<br />
⎞ ⎛ ⎞<br />
min<br />
dpa<br />
/ dH<br />
∗<br />
⋅ t<br />
g⋅<br />
⎜1−<br />
− ⎟ tanh⎜<br />
⎟<br />
t<br />
⎝ b ρbg<br />
⎠ ⎝ t76,lam<br />
dh = h(t) =<br />
⎠<br />
∫<br />
dt (4.312)<br />
⎛ ⎞<br />
t = 0 9 ⋅ η⋅ B( ε)<br />
t 1<br />
⋅ tanh⎜<br />
⎟ +<br />
2<br />
( ρ − ρ ) ⋅ ⋅ ε<br />
s f<br />
dST<br />
⎝ t76,lam<br />
⎠ t76,lam<br />
Das rechte Integral wird mit den Parametern c, siehe Gl.( 4.294), und b’, siehe<br />
auch Gl.( 4.293), umgeschrieben<br />
9 ⋅ η ⋅ B( ε)<br />
⋅ (1−ε<br />
)<br />
' = = −b / 2<br />
(4.313)<br />
ρ ⋅ d ⋅ ε<br />
b<br />
2<br />
b ST<br />
t<br />
tanh( t / t<br />
76,lam<br />
)<br />
( t / t )<br />
c<br />
h (t) = ⋅ ∫<br />
dt<br />
(4.314)<br />
b'<br />
1<br />
t= 0tanh<br />
76,lam<br />
+<br />
t b'<br />
76,lam<br />
Die Lösung dieser schwierigen Integralgleichung auf analytischem Wege erscheint<br />
ziemlich problematisch. Man könnte es numerisch integrieren.<br />
162<br />
Variante 1:<br />
Um jedoch eine überschaubare analytische Lösung der obigen Integralgleichung<br />
(4.314) zu erhalten, kann man zunächst folgende Vereinfachung vornehmen,<br />
und zwar wird zur Abschätzung angenommen 29 , dass<br />
t<br />
1<br />
>> tanh( t / t<br />
76,lam<br />
) sei. (4.315)<br />
b'<br />
76,lam<br />
Damit folgt:<br />
t<br />
c tanh t / t<br />
h (t) ≈ ⋅<br />
b'<br />
∫ 1<br />
t=<br />
0<br />
t b'<br />
( )<br />
76,lam<br />
76,lam<br />
dt = c ⋅ t<br />
76,lam<br />
⋅<br />
t<br />
∫<br />
t=<br />
0<br />
tanh<br />
( t / t )<br />
76,lam<br />
Unter Nutzung der bequemen und übersichtlichen Lösung des Integrals für turbulente<br />
Umströmung Gl.(4.254)<br />
t<br />
∫<br />
⎛ t ⎞<br />
tanh (4.254)<br />
( t / t ) = ⋅<br />
⎜<br />
⎟ 76<br />
dt t<br />
76<br />
ln cosh<br />
⎝ t ⎠<br />
t= 0<br />
76<br />
ergibt sich mit den Gln. ( 4.294) und (4.300):<br />
dt<br />
29 ein <strong>Verfahrenstechnik</strong>er darf das – ein Mathematiker natürlich nicht.<br />
Schüttec_4 VO Partikelmechanik und Schüttguttechnik, <strong>Trichterauslegung</strong> Prof. Dr. Jürgen Tomas, 04.06.2013
c<br />
⎛ b<br />
g<br />
⎜1−<br />
⎝ b<br />
min<br />
=<br />
∗<br />
h(t) ≈ c ⋅ t<br />
2<br />
76,lam<br />
dpa<br />
−<br />
ρ g<br />
/ dH<br />
b<br />
⎛<br />
⋅ ln cosh⎜<br />
⎝ t<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
t<br />
76,lam<br />
⎞<br />
⎟<br />
= g ⋅ t<br />
⎠<br />
2<br />
76,lam<br />
⎛ b<br />
⋅<br />
⎜1−<br />
⎝ b<br />
min<br />
∗<br />
dpa<br />
−<br />
ρ g<br />
/ dH<br />
b<br />
⎞ ⎛<br />
⎜<br />
⎟ ⋅ ln cosh<br />
⎠ ⎝ t<br />
Die angenäherte Weg-Zeit-Funktion des Ausfließens kohäsiver Pulver aus<br />
t<br />
76,lam<br />
einem konvergenten Trichter im laminaren Durchströmungsbereich lautet:<br />
⎛ ⎞<br />
2<br />
⎛ b<br />
⎞<br />
min<br />
dpa<br />
/ dH<br />
≈ ⋅ ⋅<br />
⎜ ⎟<br />
⎜ − −<br />
⎟ ⋅ t<br />
h (t) g t<br />
76,lam<br />
1<br />
ln cosh<br />
(4.316)<br />
∗<br />
⎝ b ρbg<br />
⎠ ⎝ t<br />
76,lam ⎠<br />
Mit dieser Weg-Zeit-Funktion, Gl.(4.316), lassen sich folgende charakteristische<br />
Auslaufhöhen ermitteln:<br />
2<br />
⎛ b<br />
⎞<br />
min<br />
dpa<br />
/ dH<br />
h(t ) ≈ 0,433⋅<br />
g ⋅ t ⋅<br />
⎜1−<br />
−<br />
⎟<br />
(4.317)<br />
76 ,lam<br />
76,lam<br />
∗<br />
⎝ b ρbg<br />
⎠<br />
163<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
t<br />
t<br />
= 2 ⋅ , d.h.<br />
96<br />
t 76,lam<br />
= 3⋅<br />
, d.h.<br />
99<br />
t 76,lam<br />
2<br />
⎛ b<br />
⎞<br />
min<br />
dpa<br />
/ dH<br />
h(t ) ≈ 1,33⋅<br />
g ⋅ t ⋅<br />
⎜1−<br />
−<br />
⎟ (4.318)<br />
96 76,lam<br />
∗<br />
⎝ b ρbg<br />
⎠<br />
2<br />
⎛ b<br />
⎞<br />
min<br />
dpa<br />
/ dH<br />
h(t ) ≈ 2,31⋅<br />
g ⋅ t ⋅<br />
⎜1−<br />
−<br />
⎟ (4.319)<br />
99 76,lam<br />
∗<br />
⎝ b ρbg<br />
⎠<br />
Variante 2:<br />
MATLAB 30 bietet für diese schwierige Integralgleichung (4.314)<br />
t<br />
c tanh( t / t<br />
76,lam<br />
)<br />
h (t) = ⋅ ∫<br />
dt<br />
(4.314)<br />
b'<br />
1<br />
t= 0tanh( t / t<br />
76,lam<br />
) +<br />
t b'<br />
76,lam<br />
folgende komplizierte analytische Lösung an:<br />
c / b' ⋅t<br />
⎡ ⎛ ⎞ ⎤<br />
⎡ ⎛<br />
76,lam<br />
t<br />
c / b' ⋅t76,lam<br />
h(t) = −<br />
ln⎢tanh⎜<br />
⎟<br />
⎢ ⎜<br />
+ 1⎥<br />
−<br />
ln tanh<br />
⎛ 1 ⎞<br />
⎢⎣<br />
⎝ t76,lam<br />
⎠ ⎥⎦<br />
⎛ 1 ⎞<br />
⎟<br />
⎢⎣<br />
⎝ t<br />
2⎜<br />
⎟<br />
⎜<br />
−1<br />
2<br />
+ 1<br />
⎝ t76,lam<br />
⋅ b' ⎠<br />
⎝ t76,lam<br />
⋅ b' ⎠<br />
1<br />
c / b' ⋅t76,lam<br />
⋅<br />
t ⋅ ⎡ ⎛ ⎞ 1 ⎤<br />
76,lam<br />
b'<br />
t<br />
+<br />
⋅ ln⎢tanh⎜<br />
⎟<br />
+ ⎥<br />
⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎢⎣<br />
⎝ t76,lam<br />
⎠ t76,lam<br />
⋅ b'<br />
⎜<br />
⎟ ⎜ ⎟<br />
⎥<br />
⋅<br />
⎦<br />
+ 1<br />
−1<br />
⎝ t76,lam<br />
⋅ b' ⎠ ⎝ t76,lam<br />
⋅ b' ⎠<br />
t<br />
76,lam<br />
(4.320)<br />
Die Koeffizienten lassen sich zusammenfassen:<br />
2<br />
c / b' ⋅t76,lam<br />
c / b' ⋅t76,lam<br />
c ⋅ t76,lam<br />
=<br />
=<br />
⎛ 1 ⎞ ⎛1−<br />
t b' 2( 1−<br />
t76,lam<br />
⋅ b' )<br />
76,lam<br />
⋅ ⎞<br />
2⎜<br />
1⎟<br />
2⎜<br />
⎟<br />
−<br />
t76,lam<br />
b'<br />
t76,lam<br />
b'<br />
⎝ ⋅ ⎠ ⎝ ⋅ ⎠<br />
⎞ ⎤<br />
⎟<br />
−1⎥<br />
+<br />
⎠ ⎥⎦<br />
30 MATLAB, The Math Works Inc., Version 7, siehe auch: Beucher, O., MATLAB und<br />
Simulink, Pearson Studium, München 2008<br />
Schüttec_4 VO Partikelmechanik und Schüttguttechnik, <strong>Trichterauslegung</strong> Prof. Dr. Jürgen Tomas, 04.06.2013
c / b' ⋅t76,lam<br />
c / b' ⋅t<br />
=<br />
⎛ 1 ⎞ ⎛1+<br />
t<br />
2⎜<br />
1⎟<br />
2⎜<br />
+<br />
t76,lam<br />
b'<br />
⎝ ⋅ ⎠ ⎝ t<br />
c ⋅ t<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝ t<br />
76,lam<br />
76,lam<br />
76,lam<br />
76,lam<br />
c ⋅ t<br />
=<br />
⋅ b' ⎞ 2 1<br />
⎟<br />
⋅ b'<br />
⎠<br />
76,lam<br />
b' ⋅t76,lam<br />
⋅ b'<br />
=<br />
1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛<br />
+ 1⎟<br />
⋅ ⎜ 1⎟<br />
⎜<br />
b'<br />
−<br />
⋅<br />
t76,lam<br />
b'<br />
⎠ ⎝ ⋅ ⎠ ⎝ t<br />
2<br />
76,lam<br />
2<br />
76,lam<br />
( + t ⋅ b' )<br />
c<br />
2<br />
b'<br />
1<br />
⋅ b'<br />
2<br />
76,lam<br />
c<br />
= b'<br />
⎞ ⎛1−<br />
t<br />
−1⎟<br />
⎜<br />
⎠ ⎝ t<br />
Umordnen der Terme und mit Gl.( 4.294) für c:<br />
2<br />
c ⋅ t76,lam<br />
c ⋅ t<br />
h(t) = −<br />
⋅ ln[ tanh( t / t76,lam<br />
) + 1]<br />
−<br />
2 1 − t ⋅ b'<br />
2 1 + t<br />
c ⋅ t<br />
+<br />
2<br />
1 − t<br />
h(t) = c ⋅ t<br />
( )<br />
2<br />
76,lam<br />
76,lam<br />
2<br />
76,lam<br />
76,lam<br />
⋅ b'<br />
2<br />
⎡ ⎛<br />
ln⎢tanh⎜<br />
⎢⎣<br />
⎝ t<br />
−<br />
2 1<br />
⎡<br />
⋅ ln⎢tanh<br />
⎣<br />
⎧ ⎡ ⎛ t<br />
⎪ln⎢tanh⎜<br />
⎪ ⎢⎣<br />
⎝ t<br />
⎨<br />
⎪ 1−<br />
t<br />
⎪<br />
⎩<br />
t<br />
76,lam<br />
( + t b' )<br />
76,lam<br />
⎞ ⎤ ⎫<br />
⎟<br />
−1⎥<br />
⎪<br />
⎠ ⎥⎦<br />
⎪<br />
⎬<br />
⎪<br />
⎪<br />
⎭<br />
1 ⎤<br />
( t / t ) + ⎥<br />
⎦<br />
76,lam<br />
2<br />
76,lam<br />
76,lam<br />
⎞<br />
⎟<br />
+<br />
⎠ t<br />
2<br />
b'<br />
t<br />
76,lam<br />
2<br />
2<br />
76,lam<br />
2<br />
76,lam<br />
⋅<br />
( ⋅ b' )<br />
⋅ b'<br />
2<br />
76,lam<br />
76,lam<br />
1 ⎤ ⎡ ⎛<br />
⎥ ln⎢tanh⎜<br />
b'<br />
⎥⎦<br />
⎢⎣<br />
⎝ t<br />
−<br />
2 1<br />
76,lam<br />
t<br />
76,lam<br />
c ⋅ t<br />
=<br />
2<br />
⋅ b' ⎞ 1−<br />
t<br />
⎟<br />
2<br />
b'<br />
⎠<br />
⋅ ln<br />
( − t b' )<br />
76,lam<br />
2<br />
76,lam<br />
2<br />
76,lam<br />
⋅<br />
164<br />
b'<br />
[ tanh( t / t ) −1]<br />
⎞ ⎤<br />
⎟<br />
+ 1⎥<br />
⎠ ⎥⎦<br />
Schließlich ergibt die Rechnung folgende, ziemlich komplizierte analytische<br />
Weg-Zeit-Funktion des Ausfließens kohäsiver Pulver aus einem konvergenten<br />
Trichter bei homogener laminarer Durchströmung:<br />
2<br />
⎛ b<br />
h(t) = g ⋅ t ⋅⎜<br />
76,lam<br />
1 −<br />
∗<br />
⎝ b<br />
76,lam<br />
1 ⎡ ⎞ ⎤<br />
⎡ ⎞ ⎤⎪⎫<br />
⎢<br />
−<br />
( ) ( ) ⎟<br />
⎜ ⎛<br />
⎢<br />
⎟<br />
⎜ ⎛ t<br />
1<br />
t<br />
⋅ ln tanh + 1⎥<br />
−<br />
⋅ ln tanh 1 ⎬<br />
− t b' t<br />
2 1 + t b' t ⎪ ⎭<br />
2 1<br />
76,lam<br />
min<br />
⎢⎣<br />
dp<br />
a<br />
−<br />
ρ g<br />
⎝<br />
/ dH<br />
b<br />
76,lam<br />
⎞⎪⎧<br />
1<br />
⎟<br />
⎨ 2<br />
⎠⎪⎩<br />
1 − t<br />
⎠<br />
⎥⎦<br />
76,lam<br />
Das kann man auch wie folgt schreiben:<br />
⎧<br />
⎪ ⎡ ⎛<br />
2 ⎛ b<br />
⎞<br />
min<br />
dpa<br />
/ dH<br />
h(t) = g ⋅ t ⋅<br />
⎜ − −<br />
⎟⎨<br />
⎢ ⎜<br />
76,lam<br />
1<br />
ln tanh<br />
∗<br />
⎝ b ρbg<br />
⎠⎪<br />
⎢⎣<br />
⎝ t<br />
⎩<br />
⎡ ⎛<br />
ln⎢tanh⎜<br />
⎢⎣<br />
⎝ t<br />
t<br />
76,lam<br />
b'<br />
2<br />
76,lam<br />
⎡ ⎛<br />
⋅ ln⎢tanh⎜<br />
⎢⎣<br />
⎝ t<br />
76,lam<br />
⎞<br />
⎟<br />
+<br />
⎠ t<br />
76,lam<br />
⎢⎣<br />
t<br />
76,lam<br />
1<br />
1<br />
( ) ( )<br />
⎫<br />
⎤ 2 1−t<br />
⎞<br />
76,lamb'<br />
⎡<br />
⎤<br />
2 1+<br />
t<br />
⎛ ⎞<br />
76,lamb'<br />
t<br />
⎟<br />
⎪<br />
+ ⎥ − ⎢ ⎜ ⎟<br />
1 ln tanh<br />
−1⎥<br />
⎬<br />
⎠ ⎥⎦<br />
⎢⎣<br />
⎝ t76,lam<br />
⎠ ⎥⎦<br />
⎪<br />
⎭<br />
t<br />
1 ⎤<br />
⎥<br />
b' ⎥⎦<br />
⎝<br />
⎞<br />
⎟<br />
+<br />
⎠ t<br />
76,lam<br />
1<br />
2 2<br />
1−t<br />
76, lam b'<br />
⎠<br />
⎥ ⎥ ⎦<br />
2<br />
+<br />
1 ⎤<br />
⎥ −<br />
b' ⎥⎦<br />
76,lam<br />
(4.321)<br />
−<br />
Schüttec_4 VO Partikelmechanik und Schüttguttechnik, <strong>Trichterauslegung</strong> Prof. Dr. Jürgen Tomas, 04.06.2013
h(t) = gt<br />
2<br />
76,lam<br />
⎛ b<br />
⎜1−<br />
⎝ b<br />
min<br />
∗<br />
⎧<br />
⎪<br />
⎪<br />
dp ⎞<br />
a<br />
/ dH<br />
−<br />
⎟ ⋅ ln⎨<br />
ρbg<br />
⎠ ⎪⎡<br />
⎛<br />
⎪⎢tanh⎜<br />
⎪<br />
⎩⎢⎣<br />
⎝ t<br />
76,lam<br />
165<br />
1<br />
⎫<br />
2 2<br />
⎡ ⎛ ⎞ ⎤1−t<br />
b'<br />
t 1<br />
76,<br />
lam<br />
⎪<br />
⎢tanh⎜<br />
⎟<br />
+ ⎥<br />
⎪<br />
⎢⎣<br />
⎝ t76,lam<br />
⎠ t76,lamb'<br />
⎥⎦<br />
1<br />
1 ⎬<br />
⎞ ⎤<br />
2( 1−t<br />
76,lamb'<br />
) ⎡ ⎛ ⎞ ⎤<br />
2( 1+<br />
t 76,lamb'<br />
)<br />
t<br />
t<br />
⎪<br />
⎟ + ⎥ ⋅ ⎢ ⎜ ⎟ − ⎥ ⎪<br />
1 tanh<br />
1<br />
⎠ ⎥⎦<br />
⎢⎣<br />
⎝ t76,lam<br />
⎠ ⎥⎦<br />
⎪⎭<br />
(4.322)<br />
Mit den Gln.(4.300) und (4.313) lautet der dimensionslose Parameter t b lam<br />
'<br />
( ) ⎟ 2<br />
∗<br />
∗<br />
ρs<br />
− ρf<br />
⋅ dST⋅<br />
ε ⎠ b ⎝ b ρbg<br />
⎠<br />
76 ,<br />
:<br />
9 ⋅ η⋅ B( ε)<br />
2<br />
( ρs<br />
− ρf<br />
) ⋅ dST⋅<br />
ε<br />
t76 ,lamb'<br />
=<br />
(4.323)<br />
2<br />
⎛ 9 ⋅ η⋅ B( ε)<br />
⎞ 2g(m+<br />
1)tan θ ⎛ b dp / dH ⎞<br />
min a<br />
⎜<br />
⎟ +<br />
⋅<br />
⎜1<br />
− −<br />
⎝<br />
Trotz ihres komplizierten Aussehens kann man dieser analytischen Lösung eine<br />
gewisse Eleganz nicht absprechen.<br />
Variante 3:<br />
t<br />
c tanh( t / t<br />
76,lam<br />
)<br />
Lösungsversuch für: h (t) = ⋅ ∫<br />
dt<br />
b' tanh( t / t ) +<br />
t= 0<br />
76, lam<br />
e<br />
1<br />
Mit e = , t 76,lam = t* und der Substitution:<br />
t<br />
76,lamb'<br />
dt<br />
u = tanh( t / t*) ) abgeleitet: du =<br />
2<br />
t * cosh (t / t*)<br />
2<br />
tanh( t / t *)<br />
t * cosh (t / t*) ⋅ u ⋅ du<br />
=<br />
tanh( t / t *) + e u + e<br />
1<br />
mit cosh(t / t*) = 2<br />
1−<br />
tanh (t(t*)<br />
siehe BRONSTEIN S. 91<br />
tanh( t / t *)<br />
t * ⋅u<br />
⋅ du<br />
t * ⋅u<br />
⋅ du<br />
=<br />
=<br />
=<br />
2<br />
2<br />
tanh t / t * + e 1−<br />
tanh (t / t*) ⋅ u + e 1−<br />
u ⋅ u + e<br />
tanh( t / t *)<br />
u<br />
∫ dt = *<br />
+<br />
∫<br />
du<br />
tanh t / t * e<br />
t 1−<br />
u ⋅ 1+<br />
u ⋅ u + e<br />
⋅u<br />
⋅ du<br />
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1−<br />
u) ⋅ ( 1+<br />
u) ⋅ ( u + e)<br />
( ) ( ) ( ) ( )<br />
mit der Partialbruchzerlegung, siehe BRONSTEIN S. 1080:<br />
1<br />
A B C<br />
= + +<br />
( a + x) ⋅ ( b + x) ⋅ ( c + x) a + x b + x c + x<br />
tanh( t / t *)<br />
⎪⎧<br />
u<br />
u<br />
∫<br />
dt = t * ⎨−<br />
A du + B +<br />
⎪⎩<br />
− +<br />
∫ du C<br />
tanh t / t * e<br />
a u b + u<br />
x x b<br />
∫ dx = − ln ax<br />
ax + b a a<br />
….ggf. später ausrechnen (lassen)…<br />
u ⎪⎫<br />
( ) ( ) ( ) ( ) ⎬<br />
+<br />
∫ ∫ du<br />
c + u ⎪ ⎭<br />
und mit dem Grundintegral S. 1074: ( b)<br />
2<br />
+<br />
t *<br />
Schüttec_4 VO Partikelmechanik und Schüttguttechnik, <strong>Trichterauslegung</strong> Prof. Dr. Jürgen Tomas, 04.06.2013
166<br />
4.6.3 Plausibilitätsprüfung und Spezialfälle<br />
Die allgemeine Differentialgleichung für die Auslaufgeschwindigkeit eines<br />
durchströmten kohäsiven Pulvers aus einem konvergenten Trichter lautet<br />
dv<br />
dt<br />
2(m+<br />
1)tan θ<br />
⋅ v<br />
∗<br />
b<br />
dp / dh<br />
+<br />
ρ<br />
⎛ b<br />
= g<br />
⎜1−<br />
⎝ b<br />
2<br />
min<br />
+<br />
∗<br />
b<br />
und für laminare Durchströmung<br />
dv<br />
dt<br />
dpa<br />
−<br />
ρ g<br />
/ dH<br />
2(m+<br />
1)tan θ 2 18 ⋅ η⋅ B( ε)<br />
⎛ b<br />
+ ⋅ v +<br />
⋅ v = g<br />
⎜1−<br />
∗<br />
∗<br />
b<br />
( ) ⎟ 2<br />
ρs<br />
− ρf<br />
⋅ dST⋅<br />
ε ⎝ b ρbg<br />
⎠<br />
b<br />
min<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
dp<br />
−<br />
a<br />
/ dH ⎞<br />
(4.281)<br />
(4.286)<br />
Für den Fall das der entgegen gerichteten Fluidstrom bei laminarer Durchströmung<br />
während des Ausfließens eine homogene Auflockerung bewirkt, muss<br />
die EULER-Zahl einer Wirbelschicht Gl.( 4.212)<br />
2<br />
24 ⎪⎧<br />
⎡d<br />
1 ⎛ d ⎞ ⎤⎪⎫<br />
Eu<br />
WS<br />
= ⋅⎨1<br />
+ 0,341⋅<br />
⎢ + ⋅⎜<br />
⎟ ⎥⎬<br />
( 4.212)<br />
Re ⎪⎩ ⎢⎣<br />
a 2 ⎝ a ⎠ ⎥⎦<br />
⎪⎭<br />
und die zur Gl.( 4.304) analoge Funktion B(ε) WS benutzt werden:<br />
2<br />
⎡ 3<br />
⎛<br />
3<br />
1− ε 1 1− ε ⎞ ⎤<br />
B ( ε)<br />
⎢<br />
+ ⋅ ⎜ ⎟ ⎥<br />
WS<br />
= 1+<br />
0,341⋅<br />
3<br />
⎢ − − ε<br />
3<br />
( 4.324)<br />
0,9 1 2<br />
⎥<br />
⎣<br />
⎝ 0,9 − 1− ε ⎠ ⎦<br />
Für die Sedimentation einer laminar durchströmten, kohäsiven Pulverschicht<br />
in einem Behälter mit vertikale Wänden θ = 0 und tanθ = 0 mit b min →<br />
D min und b* → D sowie ohne äußerem Überdruck dp a = 0 folgt aus der Gl.<br />
(4.286) die Differentialgleichung:<br />
dv 18⋅<br />
η⋅ B( ε)<br />
WS<br />
⎛ D ⎞<br />
⋅ = ⎜ −<br />
min<br />
+<br />
v g 1 ⎟<br />
( 4.325)<br />
2<br />
dt ( ρs<br />
− ρf<br />
) ⋅ dST⋅<br />
ε ⎝ D ⎠<br />
Für ein reibungsfreies freifließendes Schüttgut ist näherungsweise D min ≈ 0:<br />
dv<br />
dt<br />
18⋅<br />
η⋅ B( ε)<br />
WS<br />
+ ⋅ v = g<br />
( 4.326)<br />
2<br />
⋅ d ⋅ ε<br />
( ρ − ρ )<br />
s<br />
f<br />
ST<br />
Für die Sedimentation einzelner, laminar umströmter Partikel folgt mit<br />
ε→1 und deshalb B(ε) WS = 1<br />
dv<br />
dt<br />
+<br />
18 ⋅ η<br />
⋅ d<br />
( ρ − ρ )<br />
s<br />
f<br />
2<br />
ST<br />
⋅ v = g<br />
Mit der stationären Sinkgeschwindigkeit Gl.(4.45) in ../VO_MVT_Neu/MVT_-<br />
e_4neu.doc#Sinkgeschwindigkeit_STOKES ist (d ST = d):<br />
2<br />
( ρs−ρf<br />
) ⋅ d ⋅ g<br />
vs ,St<br />
=<br />
(4.267)<br />
18⋅<br />
η<br />
dv<br />
dt<br />
= g −<br />
18 ⋅ η<br />
⋅ v = g −<br />
18 ⋅ η<br />
⎛ ⋅ v = g ⋅ 1 −<br />
( ) ( ) ⎜ ⎟ 2<br />
2<br />
ρs− ρf<br />
⋅ dST<br />
ρs− ρf<br />
⋅ dST<br />
⎝ s,St ⎠<br />
⋅<br />
g<br />
g<br />
v<br />
v<br />
⎞<br />
Schüttec_4 VO Partikelmechanik und Schüttguttechnik, <strong>Trichterauslegung</strong> Prof. Dr. Jürgen Tomas, 04.06.2013
Das entspricht wiederum der Differentialgleichung der beschleunigten Sedimentation<br />
feiner, laminar umströmter Partikel in einem ruhenden Fluid, siehe<br />
dazu Gl.(4.59) im Manuskript ../VO_MVT_Neu/MVT_e_4neu.doc#Partikelbeschleunigung_Stokes:<br />
dv(t)<br />
dt<br />
⎛<br />
g ⋅ ⎜<br />
1 −<br />
⎝<br />
v<br />
=<br />
v s, St<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
(4.327)<br />
Damit lassen sich die Differentialgleichungen des Ausfließens und der simultanen<br />
Durchströmung kohäsiver Pulver (makroskopische Kontinua) mit der<br />
Sedimentation mikroskopisch kleiner Partikel vergleichen und umrechnen.<br />
Der Plausibilitätstest ist somit gelungen – q.e.d.<br />
167<br />
4.6.4 Auslaufzeit aus einem Trichter und Verweilzeit<br />
Die experimentelle Überprüfung bisheriger Modellgleichungen wurde gewöhnlich<br />
mit Hilfe der Messung der Auslaufzeit t d in Abhängigkeit vom Speicherbzw.<br />
Füllvolumens des Bunkers V Füll vorgenommen. Daraus wurden Durchsatz<br />
und die Auslaufgeschwindigkeiten ermittelt. Der instationäre Anlaufvorgang<br />
blieb bisher (außer mit Einschränkungen bei Johanson /3/ und Keller /4/) unberücksichtigt<br />
31 . Im Folgenden soll deshalb die Auslaufzeit des beginnenden<br />
Ausfließens in Abhängigkeit von den Fließeigenschaften der Schüttgüter hergeleitet<br />
werden.<br />
Ausgangspunkt ist die allgemeine Formulierung eines Modells verfahrenstechnischer<br />
Prozesse in Form einer Komponentenmassenbilanz /63, 64/ für beliebige<br />
Stoffsysteme:<br />
Änderung der in einem Volumenelement gespeicherten Masse einer beliebigen<br />
Komponente i = Gesamtzufluss dieser Komponente – Gesamtabfluss<br />
+ durch Reaktion (oder andere Quellen) entstandene Komponentenmasse<br />
– Senken der Komponente i<br />
Damit folgt die Gesamtmassenbilanz des Speicherbehälters:<br />
dm<br />
dt<br />
Füll<br />
= ∆m<br />
= m<br />
− m<br />
(4.328)<br />
A<br />
d<br />
Die zeitliche Änderung der Speichermasse m Füll ist gleich der Differenz zwischen<br />
dem Aufgabe- oder Einlaufmassenstromes m<br />
A<br />
und dem Auslaufmassenstrom<br />
m . Bei angenommen konstanter Schüttgutdichte ρ b lässt sich damit die<br />
d<br />
zeitliche Änderung des Füllvolumens V F bestimmen:<br />
dV<br />
dt<br />
F<br />
= V<br />
− V<br />
(4.329)<br />
A<br />
d<br />
31 Tomas, J., Modellierung…, S. 135ff, Diss. B, TU Bergakademie Freiberg 1991<br />
Schüttec_4 VO Partikelmechanik und Schüttguttechnik, <strong>Trichterauslegung</strong> Prof. Dr. Jürgen Tomas, 04.06.2013
168<br />
In diese einfache Differentialgleichung (4.329) wird die Zeitfunktion des Auslaufvolumenstromes<br />
gemäß Gl.( 4.244) eingesetzt:<br />
dV ⎞<br />
⎜ ⎛<br />
F(t)<br />
t<br />
= V − ⋅ ⋅<br />
⎟<br />
A<br />
(t) Ad<br />
vst<br />
tanh<br />
(4.330)<br />
dt<br />
⎝ t<br />
76 ⎠<br />
Das ergibt die zeitliche (inkrementelle) Änderung des Bunkerfüllstandes bei<br />
ständigem Zu- und Abfluss.<br />
Zur Berechnung der gesamten Auslaufzeit während des Auslaufens eines Bunkers<br />
mit gegebenem Füllstand muss die Gl.(4.330) integriert werden. Dazu<br />
werden die folgenden Anfangs- und Randbedingungen formuliert:<br />
- für t = 0 ist V F = V F,max gleich dem gesamten Füllvolumen des Bunkers,<br />
- nach der Auslaufzeit t = t d hat der Bunker einen Mindestfüllstand V F =<br />
V F,min ,<br />
- der Einlaufstrom wird V A<br />
= 0 gesetzt, d.h., der Bunker wird diskontinuierlich<br />
(satzweise) befüllt.<br />
Damit folgt die Integralgleichung<br />
V<br />
V<br />
F,min<br />
∫ = VF,min<br />
− VF,max<br />
= −∫<br />
F,max<br />
t<br />
d<br />
dV V (t) dt<br />
(4.331)<br />
und mit der Gl.( 4.244) folgt für die rechte Seite:<br />
td t d<br />
∫<br />
0<br />
0<br />
d<br />
⎛ t<br />
∫ ⎟ ⎞<br />
V = ⋅ ⋅<br />
⎜<br />
d<br />
(t) dt Ad<br />
vst<br />
tanh dt<br />
(4.332)<br />
0 ⎝ t<br />
76 ⎠<br />
Das rechte Integral entspricht der Summe aller Höheninkremente des Auslaufstromes<br />
Gl. (4.252)<br />
h(t)<br />
∫<br />
h=<br />
0<br />
t<br />
⎛ t ⎞<br />
dh = h(t) = v ⋅ ∫<br />
⎜<br />
⎟<br />
st<br />
tanh dt<br />
(4.333)<br />
t=<br />
0 ⎝ t<br />
76 ⎠<br />
und ist schon im Abschnitt 4.6.2.4.3 gelöst worden, siehe dazu den Lösungsweg<br />
der erhaltenen Weg-Zeit-Funktion Gl. (4.254):<br />
⎛ t ⎞<br />
h (t) = vst<br />
⋅ t76<br />
⋅ ln cosh<br />
⎜<br />
⎟<br />
(4.254)<br />
⎝ t76<br />
⎠<br />
Die zeitliche Änderung des Füllvolumens lässt sich ebenfalls mit dieser Funktion<br />
berechnen:<br />
V<br />
F,max<br />
− V = ∆V<br />
= A ⋅ ∆h(t<br />
)<br />
(4.334)<br />
F,min<br />
F<br />
d<br />
d<br />
⎛ t ⎞<br />
d<br />
∆V = ⋅ ⋅ ⋅<br />
⎜<br />
⎟<br />
F(t<br />
d<br />
) Ad<br />
vst<br />
t<br />
76<br />
ln cosh<br />
(4.335)<br />
⎝ t<br />
76 ⎠<br />
Diese Gleichung muss nun für ΔV F (t d ) ≡ V F (t d ) nach der Auslaufzeit t d umgestellt<br />
werden. Die Methode ist schon im Abschnitt 4.6.2.4.4 angewandt worden.<br />
Dazu wird die cosh-Funktion in exp-Funktionen umgewandelt:<br />
Schüttec_4 VO Partikelmechanik und Schüttguttechnik, <strong>Trichterauslegung</strong> Prof. Dr. Jürgen Tomas, 04.06.2013
( t / t ) + exp( −t<br />
/ t ) ⎡exp( 2t / t )<br />
V<br />
⎤<br />
F<br />
(t<br />
d<br />
) ⎡exp<br />
d 76<br />
d 76 ⎤<br />
d 76<br />
+ 1<br />
= ln⎢<br />
⎥ = ln⎢<br />
⎥<br />
Ad<br />
⋅ vst<br />
⋅ t<br />
76 ⎣<br />
2<br />
⎦ ⎣ 2 ⋅ exp(t<br />
d<br />
/ t<br />
76)<br />
⎦<br />
⎛ V ⎞<br />
F<br />
exp( 2t<br />
d<br />
/ t<br />
76<br />
) + 1<br />
exp<br />
⎜<br />
A v t<br />
⎟ =<br />
⎝ d<br />
⋅<br />
st<br />
⋅<br />
76 ⎠ 2 ⋅ exp(t<br />
d<br />
/ t<br />
76)<br />
exp t / umgewandelt:<br />
Das wird in eine quadratische Gleichung bezüglich ( )<br />
d<br />
t 76<br />
⎛ V ⎞<br />
F<br />
exp( 2t<br />
d<br />
/ t<br />
76<br />
) − 2 ⋅ exp⎜<br />
exp(t<br />
d<br />
/ t<br />
76)<br />
+ 1 = 0<br />
Ad<br />
vst<br />
t<br />
⎟ ⋅<br />
(4.336)<br />
⎝ ⋅ ⋅<br />
76 ⎠<br />
mit ihrer Lösung:<br />
exp<br />
= ⎛ V ⎞ 2 V<br />
Ad<br />
vst<br />
t<br />
76<br />
Ad<br />
vst<br />
t ⎟ ⎞<br />
⎜ ⎛ ⋅<br />
⎜ ⎟<br />
⎝ ⋅ ⋅ ⎠ ⎝ ⋅ ⋅<br />
(4.337)<br />
76 ⎠<br />
F<br />
F<br />
( t / t ) exp⎜<br />
⎟ + exp<br />
−1<br />
d<br />
76<br />
Diese Formulierung soll noch umgewandelt und vereinfacht werden:<br />
⎡ ⎛ 2 ⋅ V ⎞ ⎤<br />
F<br />
⎢ exp<br />
⎜<br />
⎟ −1⎥<br />
⎛ V ⎞ ⎢<br />
⎥<br />
( )<br />
⎝ ⋅ ⋅ ⎠<br />
⋅ Ad<br />
vst<br />
t<br />
F<br />
76<br />
exp t<br />
⎜ ⎟<br />
d<br />
/ t<br />
76<br />
= exp<br />
⎢1<br />
+<br />
⎛ ⎞<br />
⎥<br />
⎝ Ad<br />
⋅ vst<br />
⋅ t<br />
76 ⎠ ⎢<br />
2 ⋅ VF<br />
exp<br />
⎥<br />
⎢<br />
⎜<br />
⎟<br />
⎥<br />
⎣ ⎝ Ad<br />
⋅ vst<br />
⋅ t<br />
76 ⎠ ⎦<br />
⎛ V ⎞ ⎡ ⎛<br />
⎞<br />
( )<br />
⎥ ⎥ ⎤<br />
F<br />
⋅<br />
⋅<br />
2 VF<br />
exp t<br />
⎜ ⎟ ⎢ + −<br />
⎜−<br />
⎟<br />
d<br />
/ t<br />
76<br />
= exp<br />
1 1 exp<br />
⎝ Ad<br />
⋅ vst<br />
⋅ t<br />
76 ⎠ ⎢<br />
⎣ ⎝ Ad<br />
⋅ vst<br />
⋅ t<br />
76 ⎠⎦<br />
⎪<br />
⎧ ⎛ V ⎞ ⎡<br />
⎞ ⎪<br />
⎫<br />
⎨<br />
⎬<br />
⎪⎩<br />
⎥ ⎥ ⎤<br />
⎢<br />
⎜ ⎟<br />
⎢<br />
⎛<br />
F<br />
⋅<br />
⋅<br />
2 VF<br />
t<br />
⎜ ⎟<br />
d<br />
= t<br />
76<br />
⋅ ln exp<br />
1+<br />
1−<br />
exp −<br />
⎝ Ad<br />
⋅ vst<br />
⋅ t<br />
76 ⎠ ⎣ ⎝ Ad<br />
⋅ vst<br />
⋅ t<br />
76 ⎠⎦⎪ ⎭<br />
V<br />
⎡ ⎛<br />
⎥ ⎥ ⎤<br />
⎢<br />
⎟<br />
⎢<br />
⎞<br />
F<br />
2 ⋅ VF<br />
t<br />
⎜<br />
d<br />
= t<br />
76<br />
⋅<br />
+ t<br />
76<br />
⋅ ln 1+<br />
1−<br />
exp −<br />
Ad<br />
⋅ vst<br />
⋅ t<br />
76<br />
⎣ ⎝ Ad<br />
⋅ vst<br />
⋅ t<br />
76 ⎠⎦<br />
Daraus ergibt sich analog zur Funktion t d = f(h*), Gl.(4.263), wiederum eine<br />
* ⎡<br />
*<br />
h<br />
⎛ 2 ⋅ h ⎞⎤<br />
t ⎢<br />
⎜<br />
⎟<br />
d<br />
= + t<br />
76<br />
⋅ ln 1+<br />
1−<br />
exp − ⎥<br />
(4.263)<br />
vst<br />
⎢<br />
⎣ ⎝ vst<br />
⋅ t<br />
76 ⎠⎥<br />
⎦<br />
vergleichweise übersichtliche Umkehrfunktion der Auslaufzeit t d = f(V F ):<br />
V ⎡ ⎛<br />
⎞⎤<br />
F<br />
2 ⋅ VF<br />
t ⎢<br />
⎜<br />
⎟<br />
d<br />
= + t<br />
76<br />
⋅ ln 1+<br />
1−<br />
exp −<br />
⎥<br />
(4.338)<br />
Ad<br />
⋅ vst<br />
⎢<br />
⎣ ⎝ Ad<br />
⋅ vst<br />
⋅ t<br />
76 ⎠⎥<br />
⎦<br />
mit der stationären Auslaufgeschwindigkeit<br />
⎞<br />
⎜<br />
⎛ b ⋅ ⋅ − min<br />
b g 1 ⎟<br />
⎝ b<br />
v =<br />
⎠<br />
, ( 4.229)<br />
st<br />
⎡ b dp 1 ⎤<br />
2 ⋅ (m+<br />
1) ⋅ tan θ ⋅ ⎢1<br />
+<br />
⋅ ⋅<br />
2 ⎥<br />
⎣ 2 ⋅ (m+<br />
1) ⋅ tan θ dhB<br />
ρb<br />
⋅ u ⎦<br />
der charakteristischen Auslaufzeit t 76<br />
b<br />
t =<br />
(4.234)<br />
76<br />
⎛ b ⎞ ⎡<br />
⎤<br />
⋅ + ⋅ θ⋅ ⋅ ⎜ −<br />
min<br />
b dp 1<br />
2 (m 1) tan g 1 ⎟ ⋅ ⎢1<br />
+<br />
⋅ ⋅<br />
2 ⎥<br />
⎝ b ⎠ ⎣ 2 ⋅(m+<br />
1) ⋅ tan θ dh<br />
B<br />
ρb<br />
⋅ u ⎦<br />
169<br />
Schüttec_4 VO Partikelmechanik und Schüttguttechnik, <strong>Trichterauslegung</strong> Prof. Dr. Jürgen Tomas, 04.06.2013
170<br />
und mit dem charakteristischen Produkt im Argument der exp-Funktion:<br />
v<br />
st<br />
2<br />
vst<br />
⋅ t<br />
76<br />
=<br />
(4.255)<br />
g ⋅<br />
( 1−<br />
b / b)<br />
min<br />
Anhand der Gl. (4.338) kann unmittelbar abgelesen werden, dass sich die Auslaufzeit<br />
aus einem Anteil beim stationären Fließen und einem instationären<br />
Anteil infolge des beginnenden (beschleunigten) Ausfließens zusammensetzt.<br />
Für große Füllmengen V F , schnelle Kinetik (kleine charakteristische Auslaufzeit)<br />
t 76 und geringe stationäre Auslaufgeschwindigkeit v st kann der letzte Term<br />
in der Gl. (4.338) vernachlässigt werden. D.h. es gilt unter der Bedingung<br />
A<br />
d<br />
V<br />
⋅ v<br />
F<br />
><br />
st<br />
⋅ t<br />
76<br />
2 , (4.339)<br />
die auch in vielen Fällen erfüllt wird, 1− exp( −4)<br />
= 0,98 ≈ 1 und damit<br />
VF<br />
≈ + t ⋅ ln 2<br />
(4.340)<br />
A ⋅ v<br />
t<br />
d<br />
76<br />
d st<br />
Der Term V F /(A . d v st ) entspricht der mittleren Verweilzeit t V,st während des<br />
stationären Ausfließens:<br />
VF<br />
A ⋅ v<br />
d<br />
st<br />
V<br />
=<br />
V<br />
F<br />
st<br />
= t<br />
V,st<br />
(4.341)<br />
≈ t + t ⋅ ln 2<br />
(4.342)<br />
t<br />
d V,st 76<br />
Diese Abschätzung lässt sich auch als Beweis der Plausibilität der rechnerisch<br />
sehr aufwändigen Herleitung auffassen.<br />
Beim praktischen Bunkerbetrieb mit Massenfluss bestimmen die Auslaufzeit t d ,<br />
wobei hier die stationäre Auslaufgeschwindigkeit v st des Austraggerätes einzusetzen<br />
ist, und die Lagerzeit t L bei Stillstand der Abförderung die mittlere Verweilzeit<br />
t V,m des Schüttgutes (siehe auch Abschnitt 2).<br />
t = t + t<br />
(4.343)<br />
V,m<br />
d<br />
L<br />
Zur Berechnung der Auslaufzeit t d des instationären Auslaufprozesses bei laminarer<br />
Durchströmung muss die Geschwindigkeits-Zeit-Funktion der instationärer<br />
Auslaufgeschwindigkeit<br />
⎛ bmin<br />
dpa<br />
/ dH ⎞ ⎛ t ⎞<br />
g⋅<br />
1<br />
tanh⎜<br />
⎟<br />
⎜ − −<br />
b<br />
bg<br />
⎟ ⋅<br />
∗<br />
t<br />
⎝<br />
ρ ⎠<br />
76,lam<br />
v(t) =<br />
⎝ ⎠<br />
g ⋅ B( ε)<br />
⎛ t ⎞ 1<br />
⋅ tanh⎜<br />
⎟ +<br />
2 ⋅ v<br />
s,St⋅<br />
ε t<br />
⎝ 76,lam ⎠ t<br />
76,lam<br />
in das Integral der Gl.(4.331) eingesetzt werden:<br />
t d<br />
∫<br />
( 4.303)<br />
V − V = A ⋅ v(t) dt<br />
(4.331)<br />
F,max<br />
F,min<br />
d<br />
0<br />
Dieses Integral Gl.(4.314) wurde schon im Abschnitt 4.6.2.5.3 gerechnet,<br />
Schüttec_4 VO Partikelmechanik und Schüttguttechnik, <strong>Trichterauslegung</strong> Prof. Dr. Jürgen Tomas, 04.06.2013
t<br />
tanh( t / t<br />
76,lam<br />
)<br />
( t / t )<br />
c<br />
h (t) = ⋅ ∫<br />
dt<br />
(4.314)<br />
b'<br />
1<br />
t= 0tanh<br />
76,lam<br />
+<br />
t b'<br />
76,lam<br />
um die Weg-Zeit-Funktion, Gln.(4.321) und (4.323), zu erhalten:<br />
⎪⎧<br />
⎡ ⎛ ⎞<br />
2<br />
⎛ b<br />
⎞<br />
min<br />
dp<br />
a<br />
/ dH 1<br />
⎨ ⋅ ⎢ ⎜<br />
t<br />
h(t) = g ⋅ t ⎜<br />
⎟<br />
⎟<br />
76,lam<br />
⋅<br />
1 − −<br />
ln tanh<br />
+<br />
∗<br />
2 2<br />
⎝ b ρ<br />
b<br />
g ⎠⎪⎩<br />
1 − t<br />
76,lamb'<br />
⎣⎢<br />
⎝ t<br />
76,lam ⎠ t<br />
1 ⎡ ⎛ ⎞ ⎤<br />
⎡ ⎛ ⎞ ⎤⎪⎫<br />
⎢<br />
⎢<br />
− ⎥<br />
( ) ⎟ ⎥ −<br />
⋅<br />
( ) ⎟<br />
⎜ t<br />
1<br />
+<br />
⎜ t<br />
⋅ ln tanh 1<br />
ln tanh 1 ⎬<br />
− t b' t<br />
2 1 + t b' t ⎭ ⎪<br />
2 1<br />
76,lam<br />
⎢⎣<br />
⎝<br />
76,lam<br />
⎠<br />
⎥⎦<br />
76,lam<br />
( ) ⎟ 2<br />
∗<br />
∗<br />
ρs<br />
− ρf<br />
⋅ dST⋅<br />
ε ⎠ b ⎝ b ρbg<br />
⎠<br />
⎣⎢<br />
⎝<br />
76,lam<br />
⎠<br />
⎥⎦<br />
171<br />
1 ⎤<br />
⎥ −<br />
b' ⎥⎦<br />
76,lam<br />
(4.321)<br />
9 ⋅ η⋅ B( ε)<br />
2<br />
( ρs<br />
− ρf<br />
) ⋅ dST⋅<br />
ε<br />
t76 ,lamb'<br />
=<br />
(4.323)<br />
2<br />
⎛ 9 ⋅ η⋅ B( ε)<br />
⎞ 2g(m+<br />
1)tan θ ⎛ b dp / dH ⎞<br />
min a<br />
⎜<br />
⎟ +<br />
⋅<br />
⎜1<br />
− −<br />
⎝<br />
∆V<br />
F<br />
= A<br />
d<br />
⋅g<br />
⋅ t<br />
⎛ b<br />
⋅<br />
⎜1−<br />
⎝ b<br />
1 ⎡ ⎞ ⎤<br />
⎡ ⎞ ⎤⎪⎫<br />
⎢<br />
− ⎥<br />
( ) ( ) ⎟<br />
⎜ ⎛<br />
⎢<br />
⎟<br />
⎜ ⎛ t<br />
1<br />
t<br />
⋅ln<br />
tanh + 1⎥<br />
−<br />
⋅ln<br />
tanh 1 ⎬<br />
− t b' t 2 1+<br />
t b' t ⎪ ⎭<br />
2 1<br />
2<br />
76,lam<br />
76,lam<br />
⎢⎣<br />
min<br />
∗<br />
dp ⎞⎪⎧<br />
a<br />
/ dH 1<br />
−<br />
⎟⎨<br />
2<br />
ρbg<br />
⎠ 1−<br />
t ⎪⎩<br />
⎝<br />
76,lam<br />
⎠<br />
⎥⎦<br />
76,lam<br />
b'<br />
2<br />
76,lam<br />
⎡ ⎛<br />
⋅ln⎢tanh⎜<br />
⎢⎣<br />
⎝ t<br />
⎢⎣<br />
⎝<br />
t<br />
76,lam<br />
⎞<br />
⎟<br />
+<br />
⎠ t<br />
76,lam<br />
⎠<br />
1 ⎤<br />
⎥ −<br />
b' ⎥⎦<br />
76,lam<br />
⎥⎦<br />
(4.344)<br />
Allerdings ist hier die Berechnung der Umkehrfunktion t d = f(V F ), wie beispielsweise<br />
von der Gl.(4.334) zur Gl.(4.338), auf analytischem Wege nicht<br />
mehr möglich, d.h. es müssen Iterationsrechnungen durchgeführt werden:<br />
∆V<br />
⎡ ⎛ ⎞ ⎤<br />
F<br />
1<br />
t 1<br />
= ⋅ln⎢tanh⎜<br />
⎟<br />
+ ⎥ −<br />
2 2<br />
2 ⎛ b<br />
⎞ 1−<br />
t b'<br />
⋅ ⋅ ⋅<br />
⎢⎣<br />
⎝ t ⎠ t b'<br />
min<br />
dpa<br />
/ dH<br />
76,lam<br />
76,lam 76,lam<br />
A<br />
⎦⎥<br />
d<br />
g t76,lam<br />
⎜1−<br />
−<br />
⎟<br />
∗<br />
⎝ b ρbg<br />
⎠<br />
1<br />
2<br />
1−<br />
t<br />
76,lam<br />
⎞ ⎤<br />
⎟ + 1⎥<br />
−<br />
⎦<br />
⎤<br />
⎥ =<br />
b' ⎥⎦<br />
A<br />
⎡ ⎛<br />
⋅ln⎢tanh⎜<br />
⎣<br />
⎞ ⎤<br />
⎟ −1<br />
( − t ) ⎜ ⎟ ( ) ⎜ ⎟<br />
⎢<br />
⎥ + ⎢<br />
⎥ ⎥ 76,lamb'<br />
⎝ t76,lam<br />
⎠ 2 1 t76,lamb'<br />
⎝ t76,lam<br />
⎠ ⎦<br />
2 1<br />
b'<br />
1 ⎡ ⎛<br />
⋅ln⎢tanh⎜<br />
⎣<br />
t<br />
⎡ ⎛ t ⎞ 1<br />
⋅ln⎢tanh⎜<br />
⎟<br />
+<br />
⎢⎣<br />
⎝ t76,lam<br />
⎠ t<br />
⎡ ⎛<br />
⋅ln⎢tanh<br />
t<br />
⎞ ⎤<br />
⎟ + 1⎥<br />
+<br />
⋅g<br />
⋅ t<br />
( − t ) ⎜ ⎟ ( ) ⎜ ⎟<br />
⎢<br />
⎥ + ⎢<br />
⎥ ⎥ 76,lamb'<br />
⎣ ⎝ t76,lam<br />
⎠ ⎦<br />
2 1 t76,lamb'<br />
⎣ ⎝ t76,lam<br />
⎠ ⎦<br />
2 1<br />
2<br />
1<br />
76,lam<br />
d<br />
1<br />
2<br />
76,lam<br />
1<br />
∆VF<br />
⎛ b<br />
⋅<br />
⎜1−<br />
⎝ b<br />
min<br />
∗<br />
⎡ ⎛<br />
⋅ln⎢tanh⎜<br />
t<br />
+<br />
dp ⎞<br />
a<br />
/ dH<br />
−<br />
⎟<br />
ρbg<br />
⎠<br />
t<br />
⎞ ⎤<br />
⎟ −1<br />
…usw.<br />
Diese Rechnung lässt sich für laminare Umströmung näherungsweise auch mit<br />
der Gl. (4.338) durchführen.<br />
Allerdings sind die charakteristischen Auslaufzeiten t 76 des beginnenden Ausfließens<br />
oftmals so gering (siehe Tab. 9.3) 32 , dass die Berücksichtigung des<br />
32 Tomas, J., Modellierung…, S. 129, Diss. B, TU Bergakademie Freiberg 1991<br />
Schüttec_4 VO Partikelmechanik und Schüttguttechnik, <strong>Trichterauslegung</strong> Prof. Dr. Jürgen Tomas, 04.06.2013
172<br />
instationären Anteils bei Messungen der Auslaufzeiten in den meisten Fällen<br />
praktisch nicht notwendig ist. Eine Ausnahme bilden hierbei die beschleunigten<br />
Auslauf- und Füllvorgänge in schnell laufenden Verpackungsmaschinen (s.<br />
Bild 9.2 ebenda).<br />
Die wesentlichen Prozessgrößen zur Modellierung der Dynamik des instationären<br />
Auslaufverhaltens kohäsiver Schüttgüter aus konvergenten Trichtern<br />
während ihrer homogenen Durchströmung wurden in der Tabelle 4.3 und in<br />
den Folien F 4.27 und F 4.28 zusammengefasst:<br />
Schüttec_4 VO Partikelmechanik und Schüttguttechnik, <strong>Trichterauslegung</strong> Prof. Dr. Jürgen Tomas, 04.06.2013
173<br />
Tabelle 4.3: Das instationäre Auslaufverhalten kohäsiver Schüttgüter aus konvergenten Trichtern und ihre homogene Durchströmung (TOMAS 1991, 2010)<br />
Prozessgrößen Laminare Durchströmung Turbulente Durchströmung<br />
Reynolds-Zahl Umströmung: Re < Re St = 0,25 ... 1, c W = 24/Re Umströmung: 10 3 < Re N < Re c = 2⋅10 5 , c W = 0,44<br />
2<br />
( ρs−ρf<br />
) ⋅d<br />
⋅ g<br />
vs ,St<br />
=<br />
für Partikelumströmung<br />
18η<br />
Partikelgrößenber<br />
2<br />
18⋅<br />
η ⋅ Re<br />
3<br />
St<br />
eich dSt<br />
≤ für Partikelumströmung<br />
ρ ⋅ ( ρ −ρ ) ⋅ g<br />
Stationäre Sinkgeschwindigkeit<br />
Durchströmungswiderstand<br />
Differentialgleichung<br />
Geschwindigkeits-Zeit-Gesetz<br />
Stationäre Auslaufgeschwindigkeit<br />
Charakteristische<br />
Auslaufzeit<br />
dv<br />
dt<br />
B ( ε)<br />
WS<br />
f<br />
s<br />
f<br />
⎢ ⎢ ⎡ 3<br />
1− ε<br />
= 1+<br />
0,341⋅<br />
+<br />
3<br />
0,9 − 1− ε<br />
⎣<br />
2(m+<br />
1)tan θ<br />
⋅ v<br />
∗<br />
b<br />
1<br />
2<br />
g ⋅ B( ε)<br />
⎛ b<br />
+ ⋅ v = g<br />
⎜1−<br />
vs,St⋅<br />
ε ⎝ b<br />
2<br />
min<br />
+<br />
∗<br />
⎛ b<br />
min<br />
dpa<br />
/ dH ⎞ ⎛ t<br />
g⋅<br />
1<br />
tanh⎜<br />
⎜ − −<br />
b<br />
bg<br />
⎟ ⋅<br />
∗<br />
⎝ ρ ⎠ t<br />
v(t) =<br />
⎝<br />
g ⋅ B( ε)<br />
⎛ t ⎞ 1<br />
⋅ tanh⎜<br />
⎟ +<br />
2⋅<br />
v<br />
s,St⋅ε<br />
t<br />
⎝ 76,lam ⎠ t<br />
76,lam<br />
v<br />
t<br />
st<br />
∗<br />
b ⎡ 1<br />
=<br />
⋅ ⎢<br />
2(m+<br />
1)tan θ<br />
⎣t<br />
76,lam<br />
=<br />
⎛ ⎞<br />
⎜<br />
g ⋅ B( ε)<br />
⎟<br />
⎝ 2 ⋅ vs,St⋅<br />
ε ⎠<br />
2<br />
76,lam<br />
76,lam<br />
⎛<br />
3<br />
1− ε<br />
⎟ ⎞<br />
⋅ ⎜<br />
3<br />
⎝ 0,9 − 1− ε ⎠<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
g ⋅ B( ε)<br />
⎤<br />
− ⎥<br />
2 ⋅ vs,St⋅<br />
ε<br />
⎦<br />
1<br />
2g(m+<br />
1)tan θ ⎛ b<br />
+<br />
⋅<br />
⎜1−<br />
∗<br />
b ⎝ b<br />
min<br />
∗<br />
dpa<br />
−<br />
ρ g<br />
2<br />
⎤<br />
⎥ ⎥ ⎦<br />
/ dH<br />
b<br />
dpa<br />
−<br />
ρ g<br />
/ dH<br />
b<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎟ ⎞<br />
⎠<br />
(4.267)<br />
(4.268)<br />
( 4.324)<br />
(4.287)<br />
( 4.303)<br />
( 4.289)<br />
(4.301)<br />
v<br />
d<br />
4 ⋅(<br />
ρ<br />
−ρ ) ⋅d<br />
⋅ g<br />
s f<br />
s,N<br />
= für Partikelumströmung<br />
3⋅cW<br />
⋅ρf<br />
3⋅<br />
c<br />
⋅ η ⋅ Re<br />
2 2<br />
3<br />
W<br />
N<br />
N<br />
≥ für Partikelumströmung<br />
4 ⋅ρf<br />
⋅ ( ρs<br />
−ρf<br />
) ⋅ g<br />
dp<br />
dh<br />
B<br />
⋅<br />
ρ<br />
b<br />
1<br />
⋅ u<br />
2<br />
3⋅ρf<br />
⋅ Eu<br />
B<br />
(u<br />
r<br />
)<br />
=<br />
2<br />
4 ⋅ρ<br />
⋅ ε ⋅ d<br />
s<br />
ST<br />
dv 2 ⋅ (m+<br />
1) ⋅ tan θ ⎡ b dp 1 ⎤<br />
⎢<br />
⎥ ⋅<br />
2<br />
+<br />
⋅ 1+<br />
⋅ ⋅ v =<br />
2<br />
dt b ⎣ 2 ⋅ (m+<br />
1) ⋅ tan θ dh<br />
B<br />
ρb<br />
⋅ u ⎦<br />
⎞<br />
⎜<br />
⎛ b<br />
g ⋅ 1 − min<br />
⎟<br />
⎝ b ⎠<br />
v (t)<br />
v<br />
t<br />
st<br />
76<br />
=<br />
=<br />
= v<br />
st<br />
⎛<br />
⋅ tanh<br />
⎜<br />
⎝<br />
t<br />
t<br />
76<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎞<br />
⎜<br />
⎛ b ⋅ ⋅ − min<br />
b g 1 ⎟<br />
⎝ b ⎠<br />
⎡ b<br />
2 ⋅ (m+<br />
1) ⋅ tan θ ⋅ ⎢1<br />
+<br />
⋅<br />
⎣ 2 ⋅ (m+<br />
1) ⋅ tan θ<br />
⎛ b<br />
2 ⋅ (m + 1) ⋅ tan θ⋅ g ⋅ ⎜1<br />
−<br />
⎝ b<br />
min<br />
⎞<br />
⎟ ⋅<br />
⎠<br />
dp<br />
dh<br />
B<br />
1<br />
⋅<br />
2<br />
ρ ⋅ u<br />
b<br />
⎡ b<br />
⎢1<br />
+<br />
⋅<br />
⎣ 2 ⋅(m+<br />
1) ⋅ tan θ<br />
b<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎦<br />
dp<br />
dh<br />
B<br />
1<br />
⋅<br />
ρ ⋅ u<br />
b<br />
2<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎦<br />
(4.345)<br />
(4.346)<br />
( 4.216)<br />
( 4.195)<br />
( 4.233)<br />
( 4.229)<br />
(4.234)<br />
Schüttec_4 VO Partikelmechanik und Schüttguttechnik, <strong>Trichterauslegung</strong> Prof. Dr. Jürgen Tomas, 04.06.2013
Schüttec_4 VO Partikelmechanik und Schüttguttechnik, <strong>Trichterauslegung</strong> Prof. Dr. Jürgen Tomas, 04.06.2013<br />
174<br />
Charakteristische<br />
Auslaufgeschwindigkeiten<br />
76,lam<br />
s,St<br />
b<br />
a<br />
min<br />
76,lam<br />
t<br />
1<br />
v<br />
)<br />
B(<br />
g<br />
0,38<br />
g<br />
dH<br />
/<br />
dp<br />
b<br />
b<br />
1<br />
g<br />
0,76<br />
)<br />
t<br />
v(t<br />
+<br />
ε<br />
⋅<br />
ε<br />
⋅<br />
⋅<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎞<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎛<br />
ρ<br />
−<br />
−<br />
⋅<br />
⋅<br />
=<br />
=<br />
∗<br />
76,lam<br />
s,St<br />
b<br />
a<br />
min<br />
76,lam<br />
t<br />
1<br />
v<br />
)<br />
B(<br />
g<br />
0,482<br />
g<br />
dH<br />
/<br />
dp<br />
b<br />
b<br />
1<br />
g<br />
0,964<br />
)<br />
t<br />
2<br />
v(t<br />
+<br />
ε<br />
⋅<br />
ε<br />
⋅<br />
⋅<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎞<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎛<br />
ρ<br />
−<br />
−<br />
⋅<br />
⋅<br />
=<br />
⋅<br />
=<br />
∗<br />
(4.308)<br />
(4.309)<br />
( ) st<br />
s<br />
76 v<br />
0,76<br />
tanh 1<br />
v<br />
)<br />
t<br />
(t<br />
v<br />
⋅<br />
=<br />
⋅<br />
=<br />
=<br />
( ) st<br />
s<br />
76<br />
96 v<br />
0,964<br />
2<br />
tanh<br />
v<br />
)<br />
t<br />
2<br />
(t<br />
v<br />
⋅<br />
=<br />
⋅<br />
=<br />
⋅<br />
=<br />
(4.236)<br />
(4.237)<br />
Differentialgleichung<br />
76,lam<br />
76,lam<br />
s,St<br />
76,lam<br />
b<br />
a<br />
min<br />
t<br />
1<br />
t<br />
t<br />
tanh<br />
v<br />
2<br />
)<br />
B(<br />
g<br />
t<br />
t<br />
tanh<br />
g<br />
dH<br />
/<br />
dp<br />
b<br />
b<br />
1<br />
g<br />
dt<br />
dh(t)<br />
+<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎞<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎛<br />
⋅<br />
ε<br />
⋅<br />
⋅<br />
ε<br />
⋅<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎞<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎛<br />
⎟ ⋅<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎞<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎛<br />
ρ<br />
−<br />
−<br />
⋅<br />
=<br />
∗<br />
(4.311)<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎞<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎛<br />
⋅<br />
=<br />
76<br />
st<br />
t<br />
t<br />
tanh<br />
v<br />
dt<br />
(t)<br />
dh (4.251)<br />
Weg-Zeit-Gesetz<br />
( ) ( ) ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎦<br />
⎤<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎣<br />
⎡<br />
−<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎞<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎛<br />
⋅<br />
+<br />
−<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎦<br />
⎤<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎣<br />
⎡<br />
+<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎞<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎛<br />
⋅<br />
−<br />
−<br />
⎪⎩<br />
⎪<br />
⎨<br />
⎧<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎦<br />
⎤<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎣<br />
⎡<br />
+<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎞<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎛<br />
⋅<br />
−<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎞<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎛<br />
ρ<br />
−<br />
−<br />
⋅<br />
⋅<br />
= ∗<br />
1<br />
t<br />
t<br />
tanh<br />
ln<br />
b'<br />
t<br />
2 1<br />
1<br />
1<br />
t<br />
t<br />
tanh<br />
ln<br />
b'<br />
t<br />
2 1<br />
1<br />
b'<br />
t<br />
1<br />
t<br />
t<br />
tanh<br />
ln<br />
b'<br />
t<br />
1<br />
1<br />
g<br />
dH<br />
/<br />
dp<br />
b<br />
b<br />
1<br />
t<br />
g<br />
h(t)<br />
76,lam<br />
76,lam<br />
76,lam<br />
76,lam<br />
76,lam<br />
76,lam<br />
2<br />
2<br />
76,lam<br />
b<br />
a<br />
min<br />
2<br />
76,lam<br />
(4.321)<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎞<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎛<br />
⋅<br />
⋅<br />
=<br />
76<br />
76<br />
st<br />
t<br />
t<br />
ln cosh<br />
t<br />
v<br />
(t)<br />
h<br />
(4.254)<br />
Charakteristische<br />
Auslaufhöhen<br />
⎟ ⎟ ⎠<br />
⎞<br />
⎜ ⎜ ⎝<br />
⎛<br />
ρ<br />
−<br />
−<br />
⋅<br />
⋅<br />
⋅<br />
≈<br />
∗<br />
g<br />
dH<br />
/<br />
dp<br />
b<br />
b<br />
1<br />
t<br />
g<br />
0,433<br />
)<br />
h(t<br />
b<br />
a<br />
min<br />
2<br />
76,lam<br />
76,lam<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎞<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎛<br />
ρ<br />
−<br />
−<br />
⋅<br />
⋅<br />
⋅<br />
≈<br />
∗<br />
g<br />
dH<br />
/<br />
dp<br />
b<br />
b<br />
1<br />
t<br />
g<br />
1,33<br />
)<br />
h(t<br />
b<br />
a<br />
min<br />
2<br />
76,lam<br />
96<br />
(4.317)<br />
(4.318)<br />
( )<br />
b<br />
/<br />
b<br />
1<br />
g<br />
v<br />
0,433<br />
t<br />
v<br />
0,433<br />
)<br />
h(t<br />
min<br />
2<br />
st<br />
76<br />
st<br />
76<br />
−<br />
⋅<br />
⋅<br />
=<br />
⋅<br />
⋅<br />
=<br />
( )<br />
b<br />
/<br />
b<br />
1<br />
g<br />
v<br />
1,33<br />
t<br />
v<br />
1,33<br />
)<br />
h(t<br />
min<br />
2<br />
st<br />
76<br />
st<br />
96<br />
−<br />
⋅<br />
⋅<br />
=<br />
⋅<br />
⋅<br />
=<br />
(4.256)<br />
(4.257)<br />
Auslaufzeit nur numerisch lösbar -<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎦<br />
⎤<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎣<br />
⎡<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎞<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎛<br />
⋅<br />
⋅<br />
⋅<br />
−<br />
−<br />
+<br />
⋅<br />
+<br />
⋅<br />
=<br />
76<br />
st<br />
d<br />
F<br />
76<br />
st<br />
d<br />
F<br />
d<br />
t<br />
v<br />
A<br />
V<br />
2<br />
exp<br />
1<br />
1<br />
ln<br />
t<br />
v<br />
A<br />
V<br />
t<br />
(4.338)<br />
Geschwindigkeits-Weg-Gesetz<br />
nur numerisch rechenbar -<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎞<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎛<br />
⋅<br />
⋅<br />
−<br />
−<br />
⋅<br />
=<br />
76<br />
st<br />
st<br />
t<br />
v<br />
h<br />
2<br />
exp<br />
1<br />
v<br />
(h)<br />
v<br />
(4.266)
175<br />
4.6.5 Experimentelle Überprüfung der Trichterauslaufmodelle<br />
Diese Modelle lassen sich mit dem Flüssigkeitsbrückenmodell [7]<br />
b<br />
35⋅<br />
( m + 1) ⋅sin 2( φw<br />
+ Θ)<br />
⋅ σlg<br />
ρ ⋅ g ⋅ b ⋅d<br />
⋅ ( 1−<br />
sin φ )<br />
⋅sin<br />
φ<br />
min<br />
i s<br />
= ⋅ ⋅ XW<br />
( 4.347)<br />
b<br />
s<br />
i<br />
ρl<br />
(m Trichterformfaktor, σ lg Grenzflächenspannung, φ i inneren Reibungswinkel,<br />
ρ l Flüssigkeitsdichte, X W Wassergehalt) kombinieren und anhand Meßdaten<br />
von Johanson [3] bei Vernachlässigung von Anlaufvorgängen und Luftwiderstand<br />
überprüfen:<br />
...................... Zusätze:<br />
Bild xx: Stationärer Austragsvolumenstrom V in Abhängigkeit von der ausgeführten<br />
Öffnungsweite b eines konischen Trichters (m = 1) und des<br />
Feuchtegehalts X W des Eisenerzkonzentrates; err. - errechnet mit<br />
Gl. ( 4.242) V = a ⋅ v s ; gem. - gemessen [3]<br />
Bild xx: Stationärer Austragsvolumenstrom V in Abhängigkeit von ausgeführten<br />
Öffnungsweite b eines Trichters (m = 0) und des Feuchtegehaltes<br />
X W des Eisenerzkonzentrates; errechnet mit Gl. ( 4.242) V = A<br />
⋅v s ; gem. - gemessen<br />
In Anbetracht der Komplexität der Problemstellung und der Stochastik des<br />
Fließverhaltens des feinkörnigen Eisenerzes (d ≈ d 50 ≈ 400 µm angenommen,<br />
ρ s = 5200 kg⋅m -3 , ρ b = 2510 kg⋅m -3 , φ i = 33°, ff = 1,3 [3]) kann die Anpassung<br />
als gut eingeschätzt werden.<br />
.........................<br />
ρ<br />
4.6.6 Einfluß der kohäsiven Fließeigenschaften<br />
Generell lassen sich im Term b min /b bzw. b min,st /b die gemessenen oder die mit<br />
den Haftkraftmodellen [7] abgeschätzten Fließeigenschaften der Schüttgüter<br />
berücksichtigen (φ st stationärer innerer Reibungswinkel, σ 0 dreiaxiale Zugfestigkeit<br />
der unverfestigten Partikelkontakte, φ w Wandreibungswinkel, ρ b Schüttgutdichte,<br />
siehe auch Schüttec_3.doc#sigma_c_sigma_1):<br />
b<br />
b<br />
b<br />
min<br />
min,st<br />
b<br />
( m + 1) ⋅sin 2( φw<br />
+ Θ) ⋅ ( 1+<br />
sin φi<br />
) ⋅sin<br />
φst<br />
⋅ σ0<br />
⋅ b ⋅[ 1−<br />
sin φ ⋅sin<br />
φ − ( sin φ − sin φ ) ⋅ ( 2 ⋅ ff −1)<br />
]<br />
2<br />
= ( 4.348)<br />
ρ ⋅ g<br />
b<br />
st<br />
( m + 1) ⋅ sin φst<br />
⋅ σ0<br />
⋅ sin 2( φw<br />
+ Θ)<br />
g b ( 1 sin ) 1 −<br />
ρ ⋅ ⋅ ⋅ − φ<br />
n<br />
b,0<br />
i<br />
st<br />
st<br />
2 ⋅<br />
= ( 4.349)<br />
Hinsichtlich des Einflusses des instationären Anlaufvorganges soll auch auf<br />
den Beitrag von Keller [4] verwiesen werden, bzw. siehe auch [7].<br />
Ein Vergleich mit Meßwerten für freifließenden Sand [5] zeigt, daß ab etwa<br />
Partikelgrößen d < 500 µm der Luftwiderstand bei der voraussetzungsgemäß<br />
laminaren Durchströmung zunehmend in Rechnung gestellt werden muß, Bild<br />
i<br />
Schüttec_4 VO Partikelmechanik und Schüttguttechnik, <strong>Trichterauslegung</strong> Prof. Dr. Jürgen Tomas, 04.06.2013
176<br />
F 4.29 (Stationärer Austragsvolumenstrom v s in Abhängigkeit von der Partikelgröße<br />
d für Sand; errechnet mit Gl.(4.286); gemessen [5] konischer Massenflußtrichter<br />
k b = 3, ε = 1, ff c > 10)<br />
Die Vorteile der vorgestellten Modelle gegenüber bisher bekannten sind ihre<br />
vielseitige Anwendungsmöglichkeiten, wie z.B. die Beschreibung der instationären<br />
Fließgeschwindigkeit kohäsiver Güter bei der Wirkung eines Luftwiderstandes<br />
in senkrechten Rohren bzw. Schurren [7] oder hinsichtlich der Auslegung<br />
von Dosier- und Portioniergeräten.<br />
[1] Neddermann, R. M., u.a.: Chem. Engng. Sci. 37 (1982) 11, 1597-1609;<br />
Chem. Engng. Sci. 37 (1982) 12; 1691-1709; Chem. Engng. Sci. 38<br />
(1983) 1, 189-195.<br />
[2] Beverloo, W. A., u.a.: Chem. Engng. Sci. 15 (1961) 260-269.<br />
[3] Johanson, J. R.: Trans. Amer. Inst. Min. Metallurg. Petrol. Engrs. 232<br />
(1965) 3, 69-79.<br />
[4] Keller, H., u. Gjacek, L. V.: Freiberger Forsch.-H., Reihe A 703 (1985)<br />
129-139.<br />
[5] Carleton, A. J.: Powder Technology 6 (1972) 91-96.<br />
[6] Crewdson, J. B., u.a.: Powder Technology 16 (1977) 197-207.<br />
[7] Tomas, J.: Dissertation B, Bergakademie Freiberg 1991.<br />
[8] Molerus, O.: Fluid-Feststoff-Strömungen, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg,<br />
New York 1982.<br />
[9] Kache, G., Verbesserung des Schwerkraftflusses kohäsiver Pulver durch<br />
Schwingungseintrag, docupoint Verlag, Magdeburg 2010<br />
4.7 Zusammenfassung wesentlicher Dimensionierungsgleichungen<br />
⇒ siehe Bilder F 4.30, F 4.31<br />
Schüttec_4 VO Partikelmechanik und Schüttguttechnik, <strong>Trichterauslegung</strong> Prof. Dr. Jürgen Tomas, 04.06.2013
Zusatzkapitel:<br />
177<br />
4.8 Wärmetransportprobleme in Silos<br />
4.8.1 praktische Probleme<br />
• Nachtrocknung von Schüttgütern, die aus Trocknern eingefüllt werden, in<br />
den Silos verbunden mit Brüdenkondensation an den kalten Wänden,<br />
• dem folgen Aufbau von Anbackungen oder Verhärtungen von Schüttgütern<br />
mit leichtlöslichen Inhaltsstoffen,<br />
• oder Ansammlung größerer kondensierter Wassermengen am Auslauf;<br />
• Berücksichtigung von Zusatzlasten (passiver Wandnormaldruck) notwendig<br />
bei Abkühlung (Kontraktion) der Wand<br />
∆l(T)<br />
∆ pn,T<br />
= E ⋅ ε(T)<br />
= E ⋅ = E ⋅ αl<br />
⋅ ∆T<br />
( 4.350)<br />
l<br />
0<br />
und folgender Verdichtung des sich durch die Temperaturwechsel - eine<br />
Wandausdehnung bewirkt das Nachrutschen des Schüttgutes, eine Wandkontraktion<br />
die Schüttgutverdichtung - zunehmend versteifenden Schüttgutes;<br />
4.8.2 Wärmeübergang zwischen Wand und ruhendem Schüttgut<br />
Gewöhnlich ist hier ein scharfer Unterschied zwischen der Wandtemperatur T w<br />
und der Guttemperatur an der Wand zu beobachten. Stark vereinfacht lassen<br />
sich die möglichen Temperaturdifferenzen über eine quasi-stationäre Wärmebilanz<br />
aus dem von einer Quelle abfließenden Wärmestrom (Wärmedurchgang<br />
zwischen Schüttgut und Außenwand) abschätzen:<br />
dQ<br />
≈ −Q<br />
= −k⋅<br />
A⋅<br />
∆T<br />
, ( 4.351)<br />
dt<br />
mit dem Durchgangswiderstand als Summe der Teilwiderstände<br />
1 1 sw<br />
1 1<br />
= + + +<br />
( 4.352)<br />
k α λ α<br />
g,aw<br />
w<br />
w,b+ g<br />
αb+<br />
g<br />
α g,aw Wärmeübergangskoeffizient, Außenluft - Außenwand, ≈ 23 W/(m 2 K)<br />
(siehe MARTENS 1987)<br />
λ w Wärmeleitkoeffizient der Wand, ≈ (30...60) W/(m K) für Stahl<br />
α w,b+g Wärmeübergangskoeffizient, Schüttgut und Porenluft - Innenwand,<br />
α b+g Wärmeeindringkoeffizient in das Schüttgut (und Porenluft),<br />
Problematisch sind die Wärmeübergangskoeffizienten von Schüttgut und Porenluft<br />
(jeweils parallel geschaltet) zur Innenwand und im Inneren der Schüttung.<br />
Wenn nur der Anteil der Porenluft betrachtet wird, läßt sich etwa α w,g ≈ 8<br />
W/(m 2 K) abschätzen (siehe MARTENS 1987).<br />
Schüttec_4 VO Partikelmechanik und Schüttguttechnik, <strong>Trichterauslegung</strong> Prof. Dr. Jürgen Tomas, 04.06.2013
178<br />
4.8.3 Modellierung des Wärmeüberganges zwischen Wand und Schüttgut<br />
Es soll hier auf ein zweckmäßiges Modell von TSOTSAS (1988) zurückgegriffen<br />
werden.<br />
Für die modifizierte freie Weglänge der Gasmoleküle zwischen den Partikel-<br />
Wand-Kontaktflächen gilt:<br />
2−γ<br />
2πRT<br />
λg<br />
lg ,mod=<br />
2⋅<br />
⋅ ⋅<br />
( 4.353)<br />
γ M ⎛ R ⎞<br />
p⋅<br />
⎜2c<br />
p,g−<br />
⎟<br />
⎝ M ⎠<br />
M Molmasse des Gases<br />
R allgemeine Gaskonstante<br />
T Temperatur<br />
γ Anpassungskoeffizient (sog. Akkomodationskoeffizient), 1-γ ist der<br />
Anteil an Gasmolekülen mit vollelastischer Wandreflexion ohne molekulare<br />
Energieübertragung, ≈ 0,9<br />
c p,g spezifische Wärmekapazität des Gases bei konstantem Druck, ≈1,006<br />
J/(g K) für Luft<br />
Der lokale Wärmeübertragungskoeffizient im Partikel-Wand-Kontakt (Index<br />
pwk,lok) ist definitionsgemäß mit der KNUDSEN-Zahl Kn = l / a :<br />
( 1+<br />
Kn)<br />
g,mod<br />
λg<br />
λg<br />
α<br />
pwk,lok<br />
= =<br />
( 4.354)<br />
a + l a ⋅<br />
lok<br />
g,mod<br />
lok<br />
Bei großen lokalen Partikelabständen a lok und kleinen KNUDSEN-Zahlen (Kn<br />
< 1, Kontinuumsbereich) überwiegen die Molekülkollisionen; bei kleinen<br />
Partikelabständen und großen KNUDSEN-Zahlen (KNUDSEN-Bereich) die<br />
Molekül-Wand-Kollisionen.<br />
Nach Integration unter Berücksichtigung der Kugel-Platte-Kontaktgeometrie<br />
wird erhalten:<br />
( d )<br />
4λ<br />
⎪⎧<br />
⎡<br />
⎤ ⎪⎫<br />
g ⎡ 2 lg,mod+<br />
r ⎤<br />
α = ⎨⎢<br />
+ ⎥ ⎢ + ⎥ −<br />
( ) ⎬<br />
⎪⎩ ⎣<br />
⎦<br />
⋅ d<br />
pwk<br />
1<br />
ln 1<br />
1<br />
( 4.355)<br />
d d ⎣ 2 lg,mod+<br />
dr<br />
⎦ ⎪ ⎭<br />
d r<br />
d<br />
mittlere Rauhigkeitsabmessung<br />
Partikelgröße<br />
Für den Wärmeübertragungskoeffizienten zwischen Wand und Schüttung gilt<br />
nun mit Berücksichtigung der Wärmestrahlung α rad :<br />
2λ<br />
/ d<br />
α = α ⋅ ϕ +<br />
( 4.356)<br />
wb<br />
pwk<br />
HF<br />
g<br />
( 1−ϕ<br />
HF)<br />
⋅<br />
+ αrad≈ αpwk⋅<br />
ϕHF<br />
2+<br />
2⋅<br />
(lg,mod+<br />
dr<br />
) / d<br />
ϕ HF Bedeckungsgrad der Heizfläche mit Schüttgut, ≈ 0,8<br />
Der zweite Summand berücksichtigt die Wärmeleitung von der Wand an die<br />
zweite Partikelschicht.<br />
lok<br />
Schüttec_4 VO Partikelmechanik und Schüttguttechnik, <strong>Trichterauslegung</strong> Prof. Dr. Jürgen Tomas, 04.06.2013
4.8.3.1 Partikel-Partikel-Wärmeübergang in ruhender Schüttung<br />
Mit dem sog. Plattenmodell nach KRISCHER (siehe TSOTSAS 1988) läßt sich<br />
insbesondere der Einfluß der<br />
1 1 1<br />
Porosität ε der Schüttung darstellen.<br />
= + bzw.<br />
kges<br />
k1<br />
k1+<br />
k2<br />
−1<br />
Es gilt für parallel ( k1+ k<br />
2<br />
) und<br />
−1<br />
kges<br />
in Reihe ( 1/ k1+ 1/ ...) geschaltete<br />
Durchflußkoeffizienten k k<br />
⎜ 1+<br />
k ⎟<br />
k1<br />
1<br />
1<br />
1 ⎟ ⎟ ⎞<br />
⎜ ⎜ ⎛<br />
⎛ ⎞<br />
= ⎜ + ⎟ = +<br />
k1<br />
⎝ k1+<br />
k2<br />
⎠ ⎜ k2<br />
⎟<br />
⎝<br />
1 ⎠<br />
oder reziprok für die Widerstände<br />
1/k k der festen und Porengasphase:<br />
−1<br />
⎛ ⎞<br />
⎜ ⎟<br />
λb ⎜1−ξ<br />
ξ<br />
= +<br />
⎟ mit ( 4.357)<br />
λ ⎜ λ ⎟<br />
g I<br />
λII<br />
⎜ ⎟<br />
⎝ λg<br />
λg<br />
⎠<br />
λ<br />
λ<br />
I<br />
= ε+ (1−ε<br />
)<br />
g<br />
λ<br />
⋅<br />
λ<br />
s<br />
g<br />
−1<br />
und ( 4.358)<br />
⎛ ⎞<br />
⎜ ⎟<br />
λII ⎜ 1−ε<br />
= ε+<br />
⎟<br />
( 4.359)<br />
λ ⎜ λ ⎟<br />
g<br />
s<br />
⎜ ⎟<br />
⎝ λg<br />
⎠<br />
ξ Anteil der Reihenschaltung (= Maximalwiderstand), ≈ 0,2 gute Anpassung,<br />
1-ξ = Anteil der Parallelschaltung (= Minimalwiderstand)<br />
λ s Wärmeleitfähigkeit des Feststoffpartikels, ≈ 1,2 W/(m K) für Silikate<br />
u.ä. mineralische Stoffe<br />
λ g Wärmeleitfähigkeit des Gases, ≈ 0,245 W/(m K) für Luft T = 273 K,<br />
−7 / 6<br />
wobei λ ∝ T⋅<br />
M<br />
g<br />
Problematisch für praktische Aufgaben ist allerdings hier die Quantifizierung<br />
des Anteiles ξ.<br />
179<br />
4.8.3.2 instationärer Partikel-Partikel-Wärmeübergang in ruhender Schüttung<br />
Für den instationären Energietransport gilt in Zylinderkoordinaten:<br />
dT 1 ∂<br />
[( )<br />
]<br />
( rq<br />
) ∂q<br />
r y ∂T<br />
1−ε<br />
⋅ρscp,s+ε ⋅ρgcp,g<br />
⋅ = − ⋅ − − m<br />
0cp,<br />
g<br />
dt r ∂r<br />
∂y<br />
∂y<br />
( 4.360)<br />
mit den kinetischen Ansätzen für die Wärmestromdichten q in radialer und<br />
axialer Richtung<br />
∂T<br />
∂T<br />
q r= −Λ<br />
r<br />
( 4.361) und q y= −Λax<br />
( 4.362)<br />
∂r<br />
∂y<br />
Schüttec_4 VO Partikelmechanik und Schüttguttechnik, <strong>Trichterauslegung</strong> Prof. Dr. Jürgen Tomas, 04.06.2013
180<br />
Λ r , Λ ax radialer und axialer Transportkoeffizient (effektive Wärmeleitfähigkeit)<br />
erhält man die allgemeine Bilanz<br />
2<br />
2<br />
dT ⎛ 1 ∂T<br />
∂ T ⎞ ∂ T ∂T<br />
[( 1−<br />
ε)<br />
⋅ρscp,s+ ε ⋅ρgcp,g<br />
] ⋅ = Λ<br />
r⋅<br />
⎜ ⋅ + ⎟ +Λax⋅<br />
− u0ρgc<br />
2<br />
2<br />
p, g<br />
dt ⎝ r ∂r<br />
∂r<br />
⎠ ∂y<br />
∂y<br />
( 4.363)<br />
sowie analog dazu für den Stofftransport in der Gasphase<br />
2<br />
2<br />
dc ⎛ 1 ∂c<br />
∂ c ⎞ ∂ c ∂c<br />
ε ⋅ = Dr⋅⎜<br />
⋅ + ⎟ + Dax⋅<br />
− u<br />
( 4.364)<br />
2<br />
2 0<br />
dt ⎝ r ∂r<br />
∂r<br />
⎠ ∂y<br />
∂y<br />
D r , D ax radialer und axialer Dispersionskoeffizient<br />
Die gewöhnlich unter Beachtung bestimmter Randbedingungen numerisch gelöst<br />
werden.<br />
Vereinfachend gilt für den zeitlich gemittelten Wärmeübergang aus Messungen<br />
in einer Schüttung, siehe TSOTSAS S. 167 ff:<br />
q<br />
αb=<br />
= 2⋅<br />
∆T<br />
ρ<br />
b<br />
c<br />
p,b<br />
π ⋅ t<br />
t Kontaktzeit<br />
c p,b<br />
ρ b<br />
λ<br />
b<br />
spezifische Wärmekapazität der Schüttung<br />
Schüttgutdichte<br />
( 4.365)<br />
λ b wirksame Wärmeleitfähigkeit der Schüttung, z.B. nach Gl.( 4.357)<br />
4.9 Befüllung und Füllstandsmessung<br />
Befülleinrichtungen<br />
Die Einspeisung von Schüttgütern in Bunker geschieht gewöhnlich durch Abwurf<br />
von Stetigförderern. Bei geringeren Füllständen sollte das Gut als Folge<br />
der Abwurfparabel nicht auf die Bunkerwand auftreffen, da dann dort starker<br />
Verschleiß auftreten kann. Weiterhin können größere Abwurfhöhen infolge der<br />
kinetischen Energie der fallenden Partikeln zu einer erhöhten Schüttgutverfestigung<br />
führen.<br />
Den in Abschnitt 1.4 Schüttec_1.doc beschriebenen Entmischungserscheinungen<br />
am aufgeworfenen Schüttgutkegel kann einerseits durch reversierbaren<br />
Bandabwurf, wobei das Schüttgut lagenweise eingespeichert wird, oder andererseits<br />
durch Mehrpunktbeschickung mittels einfacher Einbauten begegnet<br />
werden. Dadurch entstehen mehrere kleinere Schüttgutkegel, und die Entmischungen<br />
halten sich Grenzen, siehe Bild F 4.32.<br />
Schüttec_4 VO Partikelmechanik und Schüttguttechnik, <strong>Trichterauslegung</strong> Prof. Dr. Jürgen Tomas, 04.06.2013
181<br />
Bunkerfüllstandsmessung<br />
Im Zusammenhang mit der Automatisierung verfahrenstechnischer Prozesse<br />
kommt der Bunkerfüllstandsmessung wachsende Bedeutung zu. Vielfach genügen<br />
Grenzstandsmessungen. Es kann aber auch ein periodisches oder kontinuierliches<br />
Messen des tatsächlichen Füllstandes erforderlich sein. In<br />
Abgängigkeit von der Art des Bunkers, den Schüttguteigenschaften und von<br />
meßtechnischen Erfordernissen ist eine größere Zahl von Meßmethoden und -<br />
geräten entwickelt worden, Bild F 4.33:<br />
1) Die wahrscheinlich genaueste Messung wird erreicht, wenn der gesamte<br />
Bunker auf Druckmeßdosen gestellt wird, wodurch das Bunkergesamtgewicht<br />
unmittelbar gemessen wird.<br />
2) Die einfachste Methode ist das Ausloten der Füllhöhe entweder elektromechanisch<br />
oder von Hand.<br />
3) Elektromechanische Drehflügelgeräte werden als Grenzschalter zur Volloder<br />
Leeranzeige benutzt. Diese einfache Meßmethode ist sehr robust und<br />
preiswert, Bild F 4.34.<br />
4) Zur Grenzstandsüberwachung dienen auch Membranschalter, die in der<br />
Silowand eingesetzt auf den Schüttgutdruck ansprechen.<br />
5) Bei der konduktiven Füllstandsmessung dienen Sonden zur Signalisierung<br />
von Grenzzuständen elektrisch leitfähiger Schüttgüter.<br />
6) Bei der kapazitiven Messung bilden eine in den Behälter eingebaute Stabsonde<br />
oder eingehängte Teilsonde mit der Behälterwand einen Kondensator.<br />
7) Die Absorption von β- oder γ-Strahlen kann für alle Schüttgüter zur Kontrolle<br />
von Grenzfüllständen oder zur kontinuierlichen radiometrischen Messung<br />
benutzt werden. Diese Methoden sind unempfindlich, aber vergleichsweise<br />
aufwendig und kostspielig.<br />
8) Die Echolotung mit Ultraschall bietet sich zu Kontrolle von Grenzzuständen<br />
sowie zur kontinuierlichen Messung von Füllständen feinkörniger und<br />
auch belüfteter Schüttgüter an.<br />
4.10 Bunkerverschlüsse<br />
− wesentliche Bauarten, Bild F 4.35<br />
a) waagerechter Flachschieber<br />
b) senkrechter Flachschieber<br />
c) waagerechter Drehschieber<br />
d) Doppeldrehschieber<br />
e) Kugelbahn<br />
f) Drehklappe<br />
Schüttec_4 VO Partikelmechanik und Schüttguttechnik, <strong>Trichterauslegung</strong> Prof. Dr. Jürgen Tomas, 04.06.2013
182<br />
g) Austragschurre mit Klauenhebelverschluß<br />
h) Stauverschluß mit Schwenkschurre<br />
− Anwendung<br />
• a) bis f) für mittel- bis feinkörnige Schüttgüter, z.B. Zement, Sand, Kies<br />
• e) Kugelhahn für feinkörnige Güter in Druck- bzw. pneumatische Förderanlagen<br />
(Richtpreis 23000.- DM!)<br />
• g) und h) für grobstückiges Gut, z. B. Rohhaufwerke<br />
− Beispiel: Absperrschieber mit Handrad bzw. Elektroantrieb, F 4.36<br />
− grundsätzliche Forderungen<br />
• keine Steuerung des Massenstromes durch halbgeöffnete Schieber, Klappen<br />
oder Hähne bei kohäsiven Gütern ⇒ Kernflußgefahr!, d.h. kein<br />
"Wasserhahn-Prinzip"<br />
• Verschlüsse vollständig öffnen bzw. schließen<br />
• Mengenstromsteuerung bzw. -regelung ist Aufgabe der Austrags- bzw.<br />
Dosiergeräte!<br />
4.11 Normsilos<br />
kurze Diskussion der Abmessungen und Einzelheiten siehe Bild F 4.37<br />
....<br />
Schüttec_4 VO Partikelmechanik und Schüttguttechnik, <strong>Trichterauslegung</strong> Prof. Dr. Jürgen Tomas, 04.06.2013