Trichterauslegung - Lehrstuhl Mechanische Verfahrenstechnik

90
4 Fließgerechte Auslegung eines Silos bzw. Bunkers 92
4.1 Vermeidung der Brückenbildung in einem Massenflussbunker 92
4.1.1 Radiales Spannungsfeld 92
4.1.2 Allgemeines Kräftegleichgewicht an einer Schüttgutbrücke 93
4.1.3 Auflagerspannung einer Brücke σ 1 ’ und Fließfaktor ff 94
4.1.3.1 Differentialgleichungen zur Berechnung des Fließfaktors95
4.1.3.2 Analytische Berechnung des Fließfaktors 95
4.1.4 Vermeidung der Brückenbildung beim Massenflusstrichter 99
4.1.4.1 Maximaler Trichterneigungswinkel für Massenfluß 99
4.1.4.2 Grafische Auslegungsmethode für beginnendes Fließen 100
4.1.4.3 Analytische Auslegung für beginnendes Fließen mit ρ b,krit 102
4.1.4.4 Analytische Auslegung für stationäres Fließen 103
4.1.4.5 Analytische Auslegung für stationäres Fließen mit ρ b,krit 104
4.1.5 Geometrische Auslegung des Trichters 105
4.1.6 Ermittlung der größten Hauptspannung σ 1 (b) am Auslauf 106
4.1.7 Kompressibles Pulver und Hauptspannung σ 1 (b) am Auslauf106
4.1.8 Auslegung der Geometrie eines Bunkertrichters 108
4.1.9 Berechnungsbeispiel für Kalzitpulver: 109
4.2 Vermeidung der Schachtbildung in einem Kernflußbunker 110
4.2.1 Berechnung des Vertikaldruckes im Schaft 110
4.2.1.1 JANSSEN-Gleichung des Fülldruckes im Schaft 110
4.2.1.2 Kompressibles Pulver und isostatischer Druck σ iso (H) 111
4.2.1.3 Kompressibles Pulver und Vertikaldruck p v (H) im Schaft113
4.2.1.4 Berechnung des Horizontaldruckverhältnisses λ 115
4.2.1.5 Ringspannungen im stabilen Schacht 116
4.2.1.6 Analytische Näherung der Funktion G(ϕ i ) 117
4.2.2 Maximaler Trichterneigungswinkel und Spannungsspitze 117
4.2.3 Minimale Öffnungsweite zur Vermeidung eines Schachtes 118
4.2.3.1 Mit maximaler Verfestigungsspannung 118
4.2.3.2 Anisotropie zwischen Verfestigung und Fließen 119
4.2.3.3 Auslegung mittels Fließfaktor ff d nach JENIKE 120
4.3 Berechnung des minimalen Schaftdurchmessers 122
4.4 Beispiel einer Trichter- u. Schaftauslegung für Kalksteinmehl 124
4.5 Kinematik eines Schüttgutelementes auf einer geneigten Wand 125
4.5.1 Gleitbedingung und Geschwindigkeit auf einer Schurre 125
4.5.1.1 Geschwindigkeitsgesetze 125
4.5.1.2 Gleitbedingung auf der Wand 127
4.5.2 Gleitbedingung und Geschwindigkeit auf einer Böschung 128
4.5.2.1 Geschwindigkeitsgesetze 128
4.5.2.2 Gleitbedingung auf einer Schüttgutböschung 129
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91
4.5.3 Freier Fall eines Schüttgutelementes 129
4.6 Berechnung des Trichterauslaufmassenstromes 131
4.6.1 Vergleich bisheriger Modelle 131
4.6.1.1 Stationäres Ausfließen einer Flüssigkeit 131
4.6.1.2 Stationäres Ausfließen eines Schüttgutes 132
4.6.2 Allgemeines Prozessmodell einer gleichmäßig beschleunigten
kohäsiven Schüttgutbrücke 133
4.6.2.1 Modellbildung 133
4.6.2.1.1 Kräftegleichgewicht an einer gleichmäßig beschleunigten
Brücke 133
4.6.2.1.2 Druckverlust während der homogenen Durchströmung135
4.6.2.1.3 Durchströmungsbedingungen 137
4.6.2.2 Differentialgleichung des Ausfließens 138
4.6.2.3 Numerische Lösung mit der RUNGE-KUTTA-Methode139
4.6.2.4 Näherungslösungen für die turbulente Durchströmung 141
4.6.2.4.1 Das Geschwindigkeits-Zeit-Gesetz 141
4.6.2.4.2 Mit Wandkollisionen und EULER-Zahl 144
4.6.2.4.3 Das Weg-Zeit-Gesetz 146
4.6.2.4.4 Berechnung der Auslaufzeit t d = f(h) 147
4.6.2.4.5 Das Geschwindigkeits-Weg-Gesetz 149
4.6.2.5 Analytische Lösungen für die laminare Durchströmung 149
4.6.2.5.1 Differentialgleichung des Ausfließens 150
4.6.2.5.2 Das Geschwindigkeits-Zeit-Gesetz 154
4.6.2.5.3 Das Weg-Zeit-Gesetz 161
4.6.3 Plausibilitätsprüfung und Spezialfälle 166
4.6.4 Auslaufzeit aus einem Trichter und Verweilzeit 167
4.6.5 Experimentelle Überprüfung der Trichterauslaufmodelle 175
4.6.6 Einfluß der kohäsiven Fließeigenschaften 175
4.7 Zusammenfassung wesentlicher Dimensionierungsgleichungen 176
4.8 Wärmetransportprobleme in Silos 177
4.8.1 praktische Probleme 177
4.8.2 Wärmeübergang zwischen Wand und ruhendem Schüttgut 177
4.8.3 Modellierung des Wärmeüberganges zwischen Wand und
Schüttgut 178
4.8.3.1 Partikel-Partikel-Wärmeübergang in ruhender Schüttung179
4.8.3.2 instationärer Partikel-Partikel-Wärmeübergang in ruhender
Schüttung 179
4.9 Befüllung und Füllstandsmessung 180
4.10 Bunkerverschlüsse 181
4.11 Normsilos 182
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4 Fließgerechte Auslegung eines Silos bzw. Bunkers
92
Gliederung siehe auch Bild F 4.1:
4.1 Vermeidung der Brückenbildung in einem Massenflussbunker
- Gemäß eines „natürlichen“ Fließprofils beim Schwerkraftfluss eines kohäsiven
Schüttgutes stellt sich je nach der Behälterform das reale Fließprofil ein,
- Wenn die Trichterform dem „natürlichen“ Fließprofil des Schüttgutes entspricht,
stellt sich Massenfluss ein, ansonsten wird Kernfluss erzeugt.
- siehe dazu noch einmal die Fließprofile für Kern- und Massenfluss und die
damit verbundenen Fließprobleme der Schacht- und Brückenbildung, siehe
Bilder F 4.2 und F 4.3:
- Daher hier nur Spannungen in Auslaufnähe betrachtet, unabhängig von Bedingungen
am oberen Schüttgutniveau im Schaft
4.1.1 Radiales Spannungsfeld
σ r
r
ψ
θ *
θ
σ 1
Bild 4.1: radiale Spannungsfeld
→ Einführung des folgenden „radialen“ Spannungsansatzes
• Zylinder- oder Polarkoordinaten r, θ *
• in der Trichterspitze alle Spannungen = 0
Eine mittlere Spannung sei mit σ
M
∼ r (Kreismittelpunkt)
auf einem Fahrstrahl beginnend von der
Kegelspitze gegeben:
* *
( r, θ ) ⋅s( r θ )
*
( r, θ )
M
= r ⋅g
⋅ρb
,
σ ( 4.1)
ρb
≠ f
Es sei
( 4.2)
s ≠ f ( r)
→ Das ist voraussetzungsgemäß das sog. radiale Spannungsfeld, Bild 4.1.
Man liest eine einfache Gleichung für das Stoffgesetz des stationären Fließens
beschrieben mittels des effektiven Fließortes ab, Bild 4.2:
τ rθ
ϕ e σ θ
ϕ e
effektiver Fließort
σ R
2ψ
σ M σ 1
σ r
Bild 4.2: Effektiver Fließort
σ ( 4.3)
σ
R
= sin ϕe
⋅ σM
1
= σ
= σ
M
M
+ σ
+ σ
R
M
⋅ sin ϕ
( 1+
ϕ )
1
= σM⋅
sin
e
e
( 4.4)
σ ( 4.5)
M
b
*
( θ )
σ = r ⋅ g ⋅ρ ⋅s
( 4.6)
Für die gegenüber σ 1 kleinere Radialspannung σ r gilt entsprechend:
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σr =σ
M+σR⋅
cos2ψ
( 4.7)
und mit sin ϕ =σ σ
( 4.8)
e R
/
M
läßt sich σ R eliminieren σ =σ ⋅ ( + sinϕ
⋅ cos2ψ)
*
( 1+
sin ϕ ) ⋅ ( θ )
1
= r ⋅ g ⋅ρb
e
s
r
M
1
e
σ ( 4.9)
93
4.1.2 Allgemeines Kräftegleichgewicht an einer Schüttgutbrücke
Folgende Kräfte greifen an einer inkrementellen Brücke an, siehe Bild F 4.4:
dF
dF
dF
dF
G
V
T
F
= ρ
b
= σ′ ⋅ cosδ ⋅sinδ ⋅ U
1
= a ⋅ρ
=
dp
dh
⋅ g ⋅ A
B
b
⋅ A
⋅ A
B
B
B
⋅ dh
⋅ dh
⋅ dh
B
B
B
B
⋅ dh
B
keilf.Tr.:
kon.Tr.:
al lg.:
A
U
B
B
A
U
B
B
A
U
b ⋅l
= =
2 ⋅l
B
B
2
b ⋅ π
= =
4 ⋅ π ⋅ b
=
2
b
b
2
( m + 1)
b
4
( 4.10)
Beim Schlitzauslauf → vertikale, möglichst glatte Stirnseiten tragen nicht (!),
so dass das Kräftegleichgewicht ∑ F ↓= 0 = dF G
− dFV
ergibt:
ρ ⋅ g ⋅ b ⋅ dh ⋅ l = σ′ ⋅sinδ ⋅ dh ⋅ cosδ
⋅ 2l
( 4.11)
b
b
1
b
σ´1
δ
dh B
Bild 4.3: Auflagerspannung σ 1 ’ der inkrementell kleinen
Dicke dh B . Die Querspannung ist σ 2 ’ = 0.
Diese Auflagerspannung σ 1 ’ an der Trichterwand entspricht einer wirksamen
größten Hauptspannung in der Oberfläche einer kohäsiven Schüttgutbrücke:
ρb
⋅ g ⋅ b
σ′
1
=
( 4.12)
sin 2δ
Wegen dieser freien Schüttgutoberfläche der Brücke ist die wirksame Querspannung
σ 2 ’ = 0, d.h., es handelt sich um einen einaxialen Spannungszustand.
Das obige Kräftegleichgewicht liefert:
∑dF ↓= 0 und damit 0 = dFG
− dFV
− dFT
− dFF
sin 2δ
U
B
dp
0 = ρb
⋅ g ⋅ A
B
⋅ dh
B
− σ′
1
⋅ ⋅ ⋅ A
B
⋅ dh
B
− a ⋅ ρb
⋅ A
B
⋅ dh
B
− ⋅ A
B
⋅ dh
2 A
B
dh
B
m + 1 dp
0 = ρb
⋅ g − σ′
1
⋅ sin 2δ ⋅ − a ⋅ ρb
−
b dh
B
'
( m + 1)
⋅ σ
⎛
⎞
1
⋅ sin 2δ
a 1 dp
= b ⋅
⎜1−
− ⋅
⎟
( 4.13)
ρb
⋅ g ⎝ g ρb
⋅ g dh
B ⎠
Für das erwünschte Versagen oder Fließen einer instabilen Brücke muss die
Auflagerspannung größer oder gleich der einaxialen Druckfestigkeit σ 1 ’ ≥ σ c
'
sein, d.h. σ = , und es folgt allgemeingültig für δ = ϕ w + θ:
1
σc,
krit
B
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( m + 1) ⋅ σ ⋅sin2( θ + ϕ )
c,krit
w
b
min
=
( 4.14)
⎛ a 1 dp ⎞
ρb
⋅ g ⋅
⎜1
− − ⋅
⎟
⎝ g ρb
⋅ g dhB
⎠
94
Gewöhnlich wird der quasistationäre Fall a = dv/dt = 0 ohne Fluidgegendruck
dp = 0 betrachtet und es folgt die Dimensionierungsgleichung für die
Trichteröffnungsweite, siehe Bild F 4.5:
b
min
( m + 1) ⋅ σ ⋅sin 2( θ + ϕ )
c,krit
w
= ( 4.15)
ρ ⋅ g
b,krit
m = 0 keilförmiger Trichter
m = 1 konischer Trichter, siehe F 3.1 Schüttec_3.doc - Volumenelement
Oft wird die Trichterform auch mit der nach JENIKE grafisch angegebenen
Funktion H(θ) berücksichtigt, die hier analytisch angenähert wurde:
⎛ Θ ⎞
H ( θ) = ( m + 1) ⋅⎜1+
0,25⋅
⎟ ( 4.16)
⎝ 40°
⎠
b
min
( θ)
H ⋅ σc,krit
= ( 4.17)
ρ ⋅ g
b,krit
4.1.3 Auflagerspannung einer Brücke σ 1 ’ und Fließfaktor ff
Wenn b oder d = 2 ⋅ r ⋅sin
θ in Gl.( 4.15) eingesetzt wird, erhält man die Auflagerspannung
σ 1 ’ oder, in anderen Worten, die wirksame (oder effektive) größte
Hauptspannung an der Trichterwand (deshalb der ’-Strich):
' 2 ⋅ r ⋅ ρb
⋅ g ⋅ sin θ
σ1 =
( 4.18)
1+
m ⋅ sin 2
( ) δ
Bild 4.4: Höhenverlauf der Druckfestigkeit σ c einer freien Schüttgutoberfläche
1 1
=
'
→ in der Trichterspitze sei σ = σ 0 vorausgesetzt, d.h. größte Hauptspannung
u. wirksame größte Hauptspannung an der Wand sind gleich,
→ wegen des linearen Verlaufs des radialen Spannungsfeldes gilt dann
( δ = θ + ϕ w
) und b = 2 ⋅ r ⋅sinθ
σ1 r ⋅ g ⋅ b ⋅ ( 1+
sin ϕe
) ⋅ s( θ *) ⋅ ( 1+
m)
⋅ sin 2δ
= const = ff =
bzw.
'
σ
2 ⋅ r ⋅ g ⋅ b ⋅ sin θ
1
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σ1
ff = =
'
σ
1
( 1+
m) ⋅ sin 2( φ + θ) ⋅ s( θ *)
w
1+
sin ϕ
⋅
2 ⋅ sin θ
als dimensionslose Formulierung von JENIKE numerisch gelöst,
*
s θ * = f θ , ϕ , ϕ .
dabei ist ( ) ( )
e
w
e
( 4.19)
95
4.1.3.1 Differentialgleichungen zur Berechnung des Fließfaktors
→ Aufstellung von 2 gekoppelten, gewöhnlichen nichtlinearen Differentialgleichungen
1. Ordnung für die unbekannten Funktionen s(θ * ) und ψ(θ * ), siehe
auch MOLERUS S.148 (1985)
ds
dθ
*
*
s⋅
sin 2ψ+
sin( θ + 2ψ)
+ m⋅
s⋅
sin ϕe⋅
=
cos2ψ−sin
ϕ
*
[ cot θ ⋅(1+
cos2ψ−sin 2ψ)
]
( 4.20)
mit dem Winkel ψ zwischen der Radialspannung σ r (bzw. Fahrstrahl r) und
der größten Hauptspannung σ 1 siehe Bild 4.1 und Bild 4.4:
[
dψ
=−1−
m⋅
s⋅
sin ϕe⋅
(1+
sin ϕ
*
dθ
+ cos θ
*
−sin
ϕ ⋅ cos( θ
e
*
e
+ 2ψ)
+ s⋅
cos
] ⋅
e
*
) ⋅ (cot θ ⋅ sin 2ψ+
cos 2ψ−1)
+
2
ϕ
e
1
2s⋅
sin ϕ ⋅ (cos 2ψ−sin
ϕ
sowie der Randbedingung für das Abgleiten an der Wand,
*
[ ψ(
θ )]
[ 2ψ(
θ )]
e
e
)
( 4.21)
sinϕe⋅
sin 2
tan ϕ
w= −
( 4.22)
*
1−
sinϕ
⋅ cos
e
die natürlich durch den Wandreibungswinkel beeinflusst wird.
→ Für vorgewählte ϕ e läßt sich das Gleichungssystem numerisch integrieren.
Die Lösungsgrenzen, d.h. Bedingung ob an der Wand Fließen oder nicht
eintritt, ergibt die Massenfluß- und Kernflußgrenzen, siehe Gln.( 4.48) und
(4.50) und Bilder F 4.6, F 4.7
→ Die zugehörigen symmetrischen Trichterformen sind in den Bildern F 4.8
und F 4.9 dargestellt
→ Verfestigungsfunktion σ c = f(σ 1 ) mit der Auflagerspannung σ ’ 1 F 4.10
→ entsprechend Gl. ( 4.19) ist also der Fließfaktor der Brückenbildung nach
JENIKE (1964)
( θ,
ϕ ϕ )
ff = f
( 4.23)
e ,
w
→ ein vereinfachtes Diagramm ff = f(ϕ e ) Bild F 4.11
→ komplette Fließfaktoren, s. alte Umdrucke bzw. JENIKE Bull. 123 (1964)
4.1.3.2 Analytische Berechnung des Fließfaktors
Analytische Näherung des Fließfaktors nach JENIKE
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96
⇒ Die analytisch vereinfachten Lösungen für das Differentialgleichungssystem
Gl.( 4.19) und Bild F 4.11 lauten für den Fließfaktor nach JENIKE (effektiver
Reibungswinkel ϕ e in grd):
Konischer Trichter:
für ϕ e < 38°: ff
für ϕ e ≥ 38°: ff
= ⋅ ϕ
( 4.24)
kon
65, 443
kon
6, 462 ⋅
Keilförmiger Trichter:
für ϕ e < 42°: ff
für ϕ e ≥ 42°: ff
−1,0298
e
= ϕ
( 4.25)
keil
65, 443
keil
9, 185 ⋅
−0,396
e
= ⋅ ϕ
( 4.26)
−1,0298
e
= ϕ
( 4.27)
−0,5078
e
für ϕ e > 79°: ff keil = 1 ( 4.28)
Verhältnis der größten Hauptspannung zur Wandnormalspannung
⇒ Darüber hinaus soll hier nun in Analogie zum Fließfaktor ff = σ 1 /σ 1 ’ methodisch
vereinfacht das Verhältnis der größten Hauptspannung σ 1 in
Wandnähe zur - mit Spannungsmeßzellen - messbaren Wandnormalspannung
σ w (= Wandnormaldruck p n nach Abschnitt 5.2 Schüttec_5.doc) hergeleitet
werden, Bild 4.5:
τ
EFO
τ w
ϕ e
WFO
σ 1
β
θ
σ r
σ R
2β σ
σ M σ w σ 1
ϕ w
β
Wandfließort
σ w
τ w
effektiver
Fließort
Bild 4.5: Spannungsverhältnisse an der Trichterwand
τw = σR⋅
sin2β
( 4.29)
σw = σM+σR⋅
cos2β
( 4.30)
Mit der Gleichung des effektiven Fließortes
σ = σ ⋅sinϕ
eingesetzt folgt ( 4.31)
R
M
e
τ w
= σ M
⋅sinϕ
e
⋅sin
2β
(4.32)
( + sinϕ
⋅ cos β)
σw = σM⋅
1
e
2
(4.33)
Zur Eliminierung der Mittelpunktspannungen werden beide Gln.(4.32) und
(4.33) geteilt. Bei voll mobilisierter Wandreibung gilt:
τw sin ϕe⋅
sin 2β
≤ tan ϕw
=
für Gleichheit folgt (4.34)
σw
1+
sin ϕe⋅
cos 2β
sinϕ ⋅sin 2β = tanϕ
+ tanϕ
⋅sinϕ
⋅ cos2β
e
w
w
e
ϕ e
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97
Diese Gleichung wird nun in eine für die Anwendung der Additionstheoreme
der Winkelfunktionen günstige Schreibweise umgeformt:
tanϕw
sin 2 − tanϕw⋅
cos2β =
⋅ cosϕ
sinϕ
β
w
sin 2β
⋅ cosϕ
sin
( 2 −ϕ )
w
− cos2β⋅
sinϕ
sinϕ
w
β
w
=
bzw.
sinϕe
1 ⎡
β = ⋅ ⎢ϕ
2 ⎣
w
⎛ sin ϕ
+ arcsin
⎜
⎝ sin ϕ
w
e
w
e
sinϕ
=
sinϕ
w
e
⎤
⎟ ⎞
⎥
(4.35)
⎠⎦
Dieser Gleitwinkel β entspricht auch dem Winkel zwischen der Wandnormalspannung
σ w und der größten Hauptspannung σ 1 in Wandnähe. Deshalb
folgt auch aus den Gln.( 4.29) und ( 4.31):
τw
σ1−σ2
σ ⎛
1
1−sin
ϕ ⎞
e
σ1⋅sin
ϕe
= = 1 =
sin 2 2 2
⎜ −
1 sin
⎟
β
⎝ + ϕe
⎠ 1+
sin ϕe
Kombiniert man Gl.(4.36) mit der Wandreibungsgrenze
τ
(4.36)
w
= tan ϕw
⋅σw
und Gl.(4.35) folgt das interessierende Verhältnis der unbekannten größten
Hauptspannung σ 1 zur messbaren Wandnormalspannung σ w im Trichter
τ w
σ1⋅sin
ϕe
τ
=
( )
w
1+
sin ϕe
σw
( 1+
sin ϕe
) ⋅ tan ϕ
σ1
=
σ1
=
sin 2β
1+
sin ϕ
sin ϕ ⋅sin 2β
sin ϕ ⋅sin 2β
σ
σ
1
w
e
( 1+
sin ϕ )
=
⎡
sin ϕe⋅sin⎢ϕ
⎣
w
e
⋅ tan ϕ
w
⎛ sin ϕ
+ arcsin
⎜
⎝ sin ϕ
w
e
e
( 4.37)
⎞⎤
⎟⎥
⎠⎦
als eine vergleichsweise einfache und überschaubare Beziehung. Diese ist
analog zum Fließfaktor ff der Brückenbildung innerhalb des Trichters als
Verhältnis der größten Hauptspannung zur wirksamen größten Hauptspannung
im Auflager einer Brücke ff = σ 1
/ σ1'
definiert, z.B.
Tabelle 4.1: Gleitwinkel β und Spannungsverhältnis σ 1 /σ w an der Wand
Wandreibungswinkel ϕ w 20° 25°
effektiver Reibungswinkel ϕ e 40° 45° 50° 40° 45° 50°
Gleitwinkel β 26° 25° 23° 33° 31° 29°
Spannungsverhältnis σ 1 /σ w 1,18 1,17 1,16 1,30 1,28 1,26
e
w
Fließfaktor nach WALKER
⇒ Davon ausgehend soll nun eine analytische Abschätzung des Fließfaktors
nach WALKER (1968) angegeben werden:
• Mit dem Gleitwinkel β zwischen der Schubspannungsebene an der Wand
und der Wirkungsebene der größten Hauptspannung σ 1 , gemäß Gl. (4.35)
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1 ⎡
β = ⋅ ⎢φ
2 ⎣
w
⎛ sin φ
+ arcsin
⎜
⎝ sin φ
w
e
98
⎞⎤
⎟⎥
(4.35)
⎠⎦
• und den Hilfsgrößen B und D, wobei letztere sich als Verteilungsfaktor des
Vertikaldruckes über den Trichterquerschnitt interpretieren läßt D ≈ 1
( β+θ)
( β+θ)
sinϕe ⋅sin2
B =
( 4.38)
1−
sinϕ
⋅ cos2
e
( β+θ)
( ϕ +θ)
1+
sinϕe sin2
w
ff =
⋅
( 4.39)
1−
sinϕ
⋅ cos2 2⋅
B⋅
D−tan
θ
e
• nur sinnvoll im Zusammenhang mit den Meßergebnissen von Ringscherzellen
für konische Trichter anwendbar, ⇒ gewöhnlich werden zu große ff-
Werte berechnet.
Fließfaktor nach ARNOLD, MCLEAN, ROBERTS und ENSTAD
⇒ Deshalb sollen hier - statt der Gl.( 4.39) - zusätzlich die allgemeingültig
formulierten, analytischen Berechnungen des Fließfaktors der Brückenbildung
nach ARNOLD, MCLEAN 1 , ROBERTS 2 und ENSTAD 3 angegeben
werden, die an die JENIKE-Werte angepasst wurden, Bild F 4.12:
• mittlere Vertikalspannung am Auslauf für das Entleeren σ v
m
( tan θ+ tan φ )
⎛ 4 ⎞ 1 ⎡2σ
⎤
w⋅
w
1
σv = ρb⋅
g⋅
b⋅
⎜ ⎟ ⋅ ⋅ ⎢
−
θ
⎥ ( 4.40)
⎝ 3 ⎠ 4tan ⎣ ρb⋅
g⋅
b m+
1⎦
• die Wandnormalspannung σ w
( 1+
sinφe⋅
cos2β)
2( X−1) ⋅sinθ
Y⋅
σw = ρb⋅
g⋅
b⋅
( 4.41)
mit der Höhenkoordinate y bzw. b = y⋅
2tan
θ sowie wiederum mit dem
Gleitwinkel β und den Hilfsgrößen X > 1 und Y > X
1 ⎡ ⎛ sinφ
⎞⎤
w
β = ⋅ ⎢φw+
arcsin
⎜
⎟⎥
(4.35)
2 ⎣ ⎝ sinφe
⎠⎦
Es sollte β < 180°/ π ≈ 57,3° sein.
( 2β+θ)
m
2 ⋅ sinφe
⎡sin
⎤
X = ⋅
⎢
+ 1
1−
sinφ
⎣ sinθ
⎥
⎦
e
( β+θ)
1−m
2 m
( 1−sin
φ ) ⋅sin
( β+θ)
( 4.42)
m
m ⎡π⋅
⎤
1+
m
2 ⋅[ 1−
cos( β+θ)
] ⋅
⎢ ⎥
⋅sin
θ + sinβ⋅sin
( β+θ)
⎣ 180°
Y
⎦
( 4.43)
=
+
e
1 Arnold, P.C. and A.G. Mclean, An analytical solution for the stress function at the wall of
converging channel, Powder Technol. 13 (1976) 255
2 Arnold, P.C., McLean, A.G., Roberts, A.W., Bulk Solids: Storage, Flow and Handling,
TUNRA Bulk Solids Handling Research Associates, p. 4.15 ff, Univ. Newcastle, 1980
3 Enstad, G., On the theory of arching in mass-flow hoppers, Chem. Engng. Sci. 30 (1975)
1273
Schüttec_4 VO Partikelmechanik und Schüttguttechnik, Trichterauslegung Prof. Dr. Jürgen Tomas, 04.06.2013

99
Dabei muss Y > X sein.
• die größte Hauptspannung am Auslauf σ 1 folgt entsprechend σ w
Y⋅
( 1 + sin φe
)
( X −1) ⋅sin
θ ⋅ F( θ)
σ
1
= ρb⋅
g⋅
b ⋅
( 4.44)
2⋅
• sowie damit der Fließfaktor ff nach ARNOLD u.a. (für X > 1)
Y⋅
( 1+
sinφe
)
( X −1) ⋅sinθ ⋅ F( θ)
'
σ1
ff = = ( m+
1)
⋅
( 4.45)
σ 2 ⋅
mit
1
m
1−m
⎛ 130°
⎞ ⎛ 200°
⎞
F( θ ) = ⎜ ⎟ ⋅ ⎜ ⎟
( 4.46)
⎝130° + θ ⎠ ⎝ 200° + θ ⎠
somit ist auch die Funktion H(θ) nach Gl.( 4.16):
m
m + 1 ⎛130° + θ ⎞ ⎛ 200° + θ ⎞
H( θ ) = = ( m + 1)
⋅⎜
⎟ ⋅⎜
⎟
( 4.47)
F( θ)
⎝ 130°
⎠ ⎝ 200°
⎠
1−m
4.1.4 Vermeidung der Brückenbildung beim Massenflusstrichter
4.1.4.1 Maximaler Trichterneigungswinkel für Massenfluß
Die Randbedingungen zur Lösung der Gleichungen des radialen Spannungsfeldes
entsprechen den Bedingung, ob an der Wand Fließen bzw. Abgleiten oder
nicht eintritt, ergibt die Massen- und Kernflußgrenzen 8 , siehe dazu die Diagramme
F 4.6 und F 4.7.
Zur Gewährleistung von Massenfluss muss der Trichterwerkstoff glatt sein
und steil genug gestaltet werden. Die praktisch immer noch häufig anzutreffenden
60°-Trichter (30° zur Vertikalen) reichen dazu gewöhnlich nicht aus. Diese
Diagramme lassen sich auch analytisch ausdrücken, und zwar gilt für den maximalen
Neigungswinkel des Silotrichters zur Vertikalen 4 des
• konischen Trichters und des
θ
kon
≤
1 ⎡
⎛1−
sin ϕe
⎢180° − arccos
⎜
2 ⎣
⎝ 2 ⋅sin
ϕe
⎞
⎟ − ϕ
⎠
w
⎛ sin ϕ
− arcsin
⎜
⎝ sin ϕ
W
e
⎞⎤
⎟⎥
⎠⎦
( 4.48)
θ = θ − (2°
bis 3 )
( 4.49)
kon ,prak kon
°
Zur Sicherheit wählt man die Grenzen zwischen Massen- und Kernfluß etwa
2° bis 3° niedriger. Wegen zu hoher Bauhöhen sind allerdings bisher Neigungswinkel
unterhalb von θ = 15° praktisch nicht realisiert worden!
• keilförmigen Trichters für ϕ W < ϕ e - 3° und θ ≤ 60°:
θ
keil
⎡ 1 ⎛ 50° − ϕ ⎡
ϕ
⎤
e ⎞⎤
⎢
⎟⎥ ⋅
W
≤ 60 .5° + arctan⎜
⎢1
−
(4.50)
⎣ 15.7°
⎝ 7.73°
⎠⎦
⎣ 42.3° + 0.131°⋅exp
( 0.06⋅ϕ
) ⎥ e ⎦
4 Ter Borg, L., Einfluß des Wandmaterials auf das Auslaufverhalten von Schüttgütern aus Silos,
Chem.-Ing.-Techn. 58 (1986) 588 - 590
Schüttec_4 VO Partikelmechanik und Schüttguttechnik, Trichterauslegung Prof. Dr. Jürgen Tomas, 04.06.2013

100
Hier wird kein Sicherheitswert abgezogen.
4.1.4.2 Grafische Auslegungsmethode für beginnendes Fließen
Aus der Gl.( 4.15) folgt für die kritischen Druckspannungen am Schnittpunkt
'
σ
c
= σ 1
, bei dem eine Brücke zerstört wird, Bild 4.6, Bilder F 4.13 und F 4.14:
Brücken- σ
Bild 4.6: Kriterium für die Brückenbildung
eines kohäsiven
1 ’ keine Brücken
σ c bildung
σ 1 ’ > σ c
σ 1 ’
σ
Schüttgutes, siehe Bild F 4.10,
c
'
σ
c
> σ 1
Brückenbildung und
σ c,krit
σ
'
c > σ 1 ’
σ < keine Brückenbildung!
c
σ 1
• minimale Öffnungsweite zur Vermeidung von Brücken:
( m + 1) ⋅ σc,krit
⋅ sin 2( θ + ϕw
)
bmin
= ( 4.15)
ρ ⋅ g
b,krit
m = 0 keilförmiger Trichter
m = 1 konischer Trichter, siehe F 4.8
• Mindestschlitzlänge für den keilförmigen Trichter
lmin = 3⋅
b min
(4.51) Keiltrichter mit senkrechten Stirnwänden
l = 6 ⋅ (4.52) Keiltrichter mit schrägen Stirnwänden, s. F 4.9
min
b min
• Die Materialeigenschaftsfunktionen können als linearen Funktionen, siehe
Bilder F 4.13 und F 4.14, Schüttec_3.doc - sigma_c_sigma_1 und
Schüttec_3.doc - sigma_ct_sigma_1. durch Regression der Meßergebnisse
gewonnen werden. Die Geraden sind folgenden Typs:
σ
c
= a1⋅
σ1
+ σc,0
( 4.53)
c
2 ⋅ ( sin ϕst
− sin ϕi
)
( 1+
sin ϕ ) ⋅ ( 1−
sin ϕ )
st
i
1
2 ⋅ sin ϕst
⋅ ( 1+
sin ϕi
)
⋅ σ0
( 1+
sin ϕ ) ⋅ ( 1−
sin ϕ )
σ =
⋅ σ +
( 4.54)
σ ( 4.55)
ct
= a1,t⋅
σ1
+ σct,0
σ 1,krit
σ 1
a 1 , a 1t Anstiege der Eigenschaftsfunktionen
σ c,0 , σ ct,0 Ordinatenabschnitte der Druckfestigkeitsfunktion für σ 1 = 0
st
i
• Mit dem Fließfaktor ff gemäß Gl.( 4.19) bzw. mit der effektiven (wirksamen)
größten Hauptspannung an der Wand σ 1 ’, die einer Auflagerspannung
der kohäsiven Schüttgutbrücke entspricht:
'
σ = / ff
( 4.56)
1
σ1
und der Verfestigungsfunktion Gl. ( 4.53)
σ
c
= a1⋅σ1
+ σc,0
( 4.53)
ist am Schnittpunkt der Verfestigungsfunktion σ c (σ 1 ) mit der Auflagerspannung
Gl.( 4.56):
Schüttec_4 VO Partikelmechanik und Schüttguttechnik, Trichterauslegung Prof. Dr. Jürgen Tomas, 04.06.2013

'
'
σ
c
= a1⋅σ1⋅ff
+ σc,0
bzw. σ
c
− a1⋅σ1⋅ff
= σc,
0
101
und für
σ = ist σ
c
− a1⋅σ
c⋅ff
= σc,
0
'
c
σ 1
Es folgt die kritische Druckfestigkeit am Schnittpunkt beider Funktionen
σc,0
σ
c,krit
=
( 4.57)
− a ⋅ ff
1
1
und die kritische Hauptspannung mit der Gl.( 4.56):
'
σc,0
⋅ ff
σ
1,krit
= σ1
⋅ ff = σc,krit
⋅ ff =
( 4.58)
1−
a ⋅ ff
1
Mit Gl. ( 4.15) folgt die minimale Trichteröffnungsweite zur Vermeidung
von Brückenbildung bei beginnendem Fließen - nach stationärem
Fließen als vorherige Verfestigung infolge des radialen Spannungsfeldes
b
min
(m + 1) ⋅ σc,0⋅
sin2( θ+ϕw
)
= (4.59)
ρ ⋅g
⋅ (1 − a ⋅ ff )
b,krit
1
oder mit den Fließkennwerten des stationären und beginnenden Fließens
(Reibungswinkel ϕ st , ϕ i , isostatische Zugfestigkeit σ 0 ) ausgedrückt,
b
min
+ 1) ⋅ sin 2( ϕW
+ θ) ⋅ ( 1+
sin ϕi
) ⋅ sin ϕst
⋅ σ0
[ 1−
sin ϕ ⋅ sin ϕ − ( sin ϕ − sin ϕ ) ⋅ ( 2 ⋅ ff −1)
]
2 ⋅ (m
= ( 4.60)
ρ ⋅ g ⋅
b,krit
st
und für das beginnende Fließen nach einer Zeitverfestigung:
b
min,t
i
(m + 1) ⋅ σct,0⋅
sin 2( θ + ϕw
)
= ( 4.61)
ρ ⋅ g⋅
(1 − a ⋅ ff )
b,krit
1t
als Grundlage einer grafische und der partiell analytischen Berechnung.
• Unter Einbeziehung der analytischen Näherung der Funktion H(θ)
⎛ Θ ⎞
H ( θ) = ( m + 1) ⋅⎜1+
0,25⋅
⎟ ( 4.16)
⎝ 40°
⎠
gemäß JENIKE lässt sich mit der Gl. ( 4.17) auch schreiben:
b
b
min
min,t
H( θ)
⋅ σc,0
= ( 4.62)
ρ ⋅g
⋅ (1 − a ⋅ ff )
b,krit
1
H( θ)
⋅ σct,0
= ( 4.63)
ρ ⋅g
⋅ (1 − a ⋅ ff )
b,krit
1
• Diese beiden Auslegungsbeziehungen liefern etwas höhere Rechenwerte
als die Gln. (4.59) und ( 4.61) davor.
• Der Schnittpunkt der Druck- und Festigkeitskennlinie liefert auch die
kritische Verfestigungsspannung σ 1,krit , siehe Gln. ( 4.58) bzw. ( 4.82)
und Bild 4.6:
ρ
⋅ g ⋅ b
⋅ ff
b,krit min krit
σ
1,krit
=
( 4.64)
( m + 1) ⋅ sin 2( θ + ϕw
)
st
i
Schüttec_4 VO Partikelmechanik und Schüttguttechnik, Trichterauslegung Prof. Dr. Jürgen Tomas, 04.06.2013

102
• Für diesen Wert müssen die zugehörigen Fließkennwerte ϕ e (σ 1 ),
ϕ w (σ 1 ), ρ b (σ 1 ), ff(ϕ e (σ 1 ), ϕ w (σ 1 )) herausgesucht werden, Bilder F 4.13
und F 4.14! Da dieser Schnittpunkt bei Beginn der Dimensionierungsrechnung
noch nicht bekannt ist, sind ein oder zwei Iterationen notwendig.
• Die ausgeführte Öffnungsweite zur Vermeidung von Brückenbildung
muß b ≥ b sein !
min
Gelingt dies nicht, muss an dieser kritischen Stelle eine Austragshilfe bzw.
ein Zwangsaustrag eingesetzt werden, siehe Schüttec_6.doc!
4.1.4.3 Analytische Auslegung für beginnendes Fließen mit ρ b,krit
• Für die Beschreibung der Druckabhängigkeit der Schüttgutdichte in der Dimensionierungsgleichung
(4.59) wird die folgende Kompressionsfunktion
ρ b (σ M,st ) benutzt, siehe Schüttec_3.doc - Rhob_SigmaMst:
n
⎛ σM,st
b b,0
1 ⎟ ⎞
ρ =ρ ⋅
⎜ +
( 4.65)
⎝ σ0
⎠
Mit der Beziehung ( 4.66 des stationären Fließortes wird sie auf eine Kompressionsfunktion
ρ b (σ 1 ) umgerechnet:
( σ + σ ) +
st
1
= σ
R,st
+ σ
M,st
= sin ϕst
⋅
M,st 0
σ
M,
σ ( 4.66)
σ
M,st
⋅
( 1+
sin ϕ ) = σ − σ ⋅ sin ϕst
st
1
0
Eingesetzt in die Kompressionsfunktion Gl. ( 4.65) folgt:
ρ
ρ
b
b
=ρ
= ρ
b,0
b,0
⎛
⋅
⎜
⎝
n
1 σ1
− σ0
⋅ sin ϕ ⎞ ⎛
st
σ0
⋅ ( 1+
sin ϕst
) + σ1
− σ0
⋅ sin ϕst
b,0
0
( 1 sin
st
)
0
( 1 sin
st
) ⎟ ⎞
+
⎟ = ρ ⋅
⎜
σ ⋅ + ϕ
σ ⋅ + ϕ ⎠
⎛ σ
⋅
⎜
⎝
0
+ σ
0
⋅ sin ϕ
σ ⋅
0
st
⎠
− σ
0
⋅ sin ϕ
Mit dieser Kompressionsfunktion ρ b (σ 1 )
ρ
ρ
b,krit
b,0
⎛ 1
=
⎜
⎝1+
sin ϕ
st
⎞
⎟
⎠
n
⎝
( 1+
sin ϕ ) ⎟ ⎜ ( 1+
sin ϕ )
⎛ σ
⋅
⎜1+
⎝ σ
st
1,krit
0
⎞
⎟
⎠
n
st
n
+ σ ⎞
1
⎟
⎠
⎛
= ⎜
⎝
σ
0
+ σ1
⋅ σ
und der Gleichung (4.59) für die minimale Trichteröffnungsweite
b
min
st
0
⎞
⎟
⎠
n
(4.67)
(m + 1) ⋅ σc,0⋅
sin2( θ+ϕw
)
= (4.59)
ρ ⋅g
⋅ (1 − a ⋅ ff )
b,krit
1
folgt eine analytische Beziehung zur Berechnung der minimalen Trichteröffnungsweite:
b
min
(m + 1) ⋅ σc,0⋅
sin2( θ+ϕw
) ⋅
=
⎛ σ
ρb,0
⋅ g ⋅ (1 − a1⋅
ff ) ⋅
⎜1+
⎝ σ
( 1+
sin ϕ )
1,krit
0
n
st
n
⎟ ⎞
⎠
n
Schüttec_4 VO Partikelmechanik und Schüttguttechnik, Trichterauslegung Prof. Dr. Jürgen Tomas, 04.06.2013

103
Einsetzen der kritischen Hauptspannung Gl. ( 4.58)
'
σc,0
⋅ ff
σ
1,krit
= σ1
⋅ ff = σc,krit
⋅ ff =
( 4.58)
1−
a ⋅ ff
b
b
b
min
min
min
(m + 1) ⋅ σc,0⋅
sin2( θ+ϕ
=
⎛
ρb,0
⋅ g ⋅ (1 − a1⋅
ff ) ⋅
⎜1+
⎝
=
=
ρ
ρ
b,0
b,0
(m + 1) ⋅ σ
c,0
⋅ sin2(
⎛
⋅ g ⋅ (1 − a1⋅
ff ) ⋅
⎜
⎝
(m + 1) ⋅ σ
c,0
⋅ sin2(
(1 − a1⋅
ff ) ⎛
⋅ g ⋅ ⋅
n
( 1 a1
ff )
⎜
− ⋅ ⎝
w
1
) ⋅
( 1+
sin ϕ )
σ
c,0
⋅ ff
( 1−
a1⋅ff
) ⋅ σ ⎟
0 ⎠
n
θ+ϕw
) ⋅ ( 1+
sin ϕst
)
( 1−
a1⋅ff
) ⋅ σ0
+ σc,0
⋅
( 1−
a1⋅ff
) ⋅ σ0
n
θ+ϕw
) ⋅ ( 1+
sin ϕst
)
( 1−
a ⋅ff
) ⋅ σ + σ ⋅
1
σ
0
0
st
n
⎞
⎟
n
c,0
ff ⎞
⎟
⎠
n
ff ⎞
⎟
⎠
Die minimale Trichteröffnungsweite zur Vermeidung von Brückenbildung
bei beginnendem Fließen ist nun:
b
min
=
ρ
(m + 1) ⋅ σ
b,0
c,0
⋅ g ⋅ (1 − a ⋅ ff )
1
⋅ sin2( θ+ϕ
1−n
w
) ⋅
( 1+
sin ϕ )
c,0
ff ⎞
⎜ ⎛ σ ⋅
⋅ 1−
a1⋅ff
+
⎟
⎝
σ0
⎠
st
n
n
n
( 4.68)
Unter Einbeziehung der analytischen Näherung der Funktion H(θ)
⎛ Θ ⎞
H ( θ) = ( m + 1) ⋅⎜1+
0,25⋅
⎟ ( 4.16)
⎝ 40°
⎠
gemäß JENIKE lässt sich wiederum mit der Gl. ( 4.17) schreiben:
b
min
=
ρ
b,0
H( θ)
⋅ σ
⋅ g ⋅ (1 − a ⋅ ff )
1
c,0
⋅
1−n
( 1+
sin ϕ )
st
⎛ σc,0
⋅ ff ⎞
⋅
⎜1−
a1⋅ff
+
⎟
⎝
σ0
⎠
n
n
( 4.69)
4.1.4.4 Analytische Auslegung für stationäres Fließen
• Im Falle des stationären Fließens sind die größte Hauptspannung und die
einaxiale Druckfestigkeit gleich σ 1 = σ c,st und man erhält die Druckfestigkeit
aus dem kohäsiven stationären Fließort, siehe auch Schüttec_3.doc - sigma_c_Druckfestigkeit_stationä_Fließen:
2 ⋅ sin ϕ
st
σ
1
= σc,st
= ⋅ σ0
( 4.70)
1−
sin ϕst
Bzw. mit der Gl.( 4.53) ist auch:
σc,0
σ
c,krit
= σc,st
=
( 4.71)
1− a
1
• Vergleicht man diese Gl.( 4.71) mit der Gl.( 4.57) folgt, dass der Fließfaktor
ff = 1 beim stationären Ausfließen beträgt!
• Es wird nun angenommen, dass sich eine gleichmäßige Spannungsverteilung
über dem Querschnitt einer stationär fließenden Brücke einstellt, d.h.,
Schüttec_4 VO Partikelmechanik und Schüttguttechnik, Trichterauslegung Prof. Dr. Jürgen Tomas, 04.06.2013

104
die größte Hauptspannung in der Brücke entspricht auch der wirksamen
Hauptspannung an der Trichterwand σ 1 = σ 1 ’.
• Für die minimale Öffnungsweite zur Vermeidung von Brücken während
des stationären Ausfließens ist damit,
b
min,st
(m + 1) ⋅ σc,0⋅
sin2( θ+ϕw
)
= ( 4.72)
ρ ⋅ g ⋅ (1 − a )
b,krit
oder mit der Gl.( 4.70):
b
min,st
1
2 ⋅ (m + 1) ⋅ sin ϕst
⋅σ
0⋅sin2(
θ+ϕw
)
= ( 4.73)
ρ ⋅g ⋅(1
− sin ϕ )
b,krit
st
Diese minimale Öffnungsweite b min,st fällt etwas kleiner aus als das b min für
das beginnende Ausfließen. D.h. während des ständigen Ausfließens würde
auch eine etwas kleinere Trichteröffnungsweite ausreichen, um die Brückenbildung
zu vermeiden. Das dürfte die bekannte Überdimensionierung
mit der JENIKE-Methode erklären.
• Damit entfallen die Iterationen zur Ermittlung der Fließkennwerte ϕ e (σ 1 ),
ϕ w (σ 1 ) und des Fließfaktors ff(ϕ e (σ 1 ), ϕ w (σ 1 )).
4.1.4.5 Analytische Auslegung für stationäres Fließen mit ρ b,krit
• Die Schüttgutdichte ρ b (σ 1 ) beim stationären Ausfließen (etwas geringer als
beim beginnenden Fließen) muß für σ M,st = σ c,st /2 gefunden werden:
n
⎛ σc,st
b b,st b,0
1
2 ⎟ ⎞
ρ = ρ =ρ ⋅
⎜ +
( 4.74)
⎝ ⋅ σ0
⎠
mit der Gl.( 4.70) folgt einfach:
2 ⋅ sin ϕ
st
σ
1
= σc,st
= ⋅ σ0
( 4.70)
1−
sin ϕst
n
n
n
ρ
b,st
b,st
=ρ
b,0
b,0
⎛
⋅
⎜
⎝
sin ϕ
⎞
⎟
⎠
⎛1−
sin ϕ
⎜
⎝
+ sin ϕ
1 st
st
st
+
= ρb,0
⋅
= ρb,0
⋅
1−
sin ϕ ⎟ ⎜
st
1−
sin ϕ ⎟ ⎜
st
1−
sin ϕ ⎟ st ⎠
−
( 1−
sin ϕ ) n
ρ = ρ ⋅
( 4.75)
st
• Zur Übung und Überprüfung der Gleichheit der Verwendung der Kompressionsfunktion
ρ b (σ 1 ) Gl.(4.67):
ρ
ρ
b,krit
b,0
⎛ 1
=
⎜
⎝1+
sin ϕ
Für σ c,st = σ 1 ist
ρ
ρ
ρ
ρ
b,krit
b,0
b,krit
b,0
⎛ 1
=
⎜
⎝1+
sin ϕ
⎛ 1
=
⎜
⎝1+
sin ϕ
st
st
st
⎞
⎟
⎠
⎞
⎟
⎠
n
n
n
⎛ σ
⋅
⎜1+
⎝ σ
⎛ σ
⋅
⎜1+
⎝ σ
1,krit
0
0
c,st
⎞
⎟
⎠
⎞
⎟
⎠
⎞ ⎛1−
sin ϕst
+ 2 ⋅sin
ϕ
⎟
⎜
⎠ ⎝ 1−
sin ϕst
n
n
⎞
⎟
⎠
⎛
⎜
⎝
, (4.67)
⎛ 1
=
⎜
⎝1+
sin ϕ
st
⎞
⎟
⎠
n
st
⎞
⎟
⎠
n
⎛ 1
=
⎜
⎝1+
sin ϕ
1
⎛ 2 ⋅sin
ϕ
⋅
⎜1+
⎝ 1−
sin ϕ
st
n
st
st
⎞
⎞
⎟
⎠
n
⎞ ⎛1+
sin ϕ
⎟
⎜
⎠ ⎝1−
sin ϕ
st
st
⎞
⎟
⎠
n
Schüttec_4 VO Partikelmechanik und Schüttguttechnik, Trichterauslegung Prof. Dr. Jürgen Tomas, 04.06.2013

105
Das gleicht wieder der Beziehung ( 4.75):
−
ρ = ρ ⋅ 1−
sin ϕ q.e.d! ( 4.75)
b,krit
b,0
( ) n
st
• Setzt man Gl. ( 4.75) in Gl. ( 4.72) ein, ist die minimale Öffnungsweite zur
Vermeidung von Brücken während des stationären Ausfließens:
b
min,st
( 1−
sin ϕ )
(m + 1) ⋅ σc,0⋅sin2(
θ+ϕw
) ⋅
st
= ( 4.76)
ρ ⋅ g ⋅ (1 − a )
b,0
Bzw. mit der Gl. ( 4.73) folgt:
b
2 ⋅ (m + 1) ⋅ sin ϕ
1
⋅ σ ⋅ sin2( θ+ϕ
st 0
w
min,st
=
1−n
( 4.77)
ρb,0⋅
g ⋅ (1 − sin ϕst
)
Unter Einbeziehung der analytischen Näherung der Funktion H(θ)
⎛ Θ ⎞
H ( θ) = ( m + 1) ⋅⎜1+
0,25⋅
⎟ ( 4.16)
⎝ 40°
⎠
gemäß JENIKE lässt sich wiederum mit der Gl. ( 4.17) schreiben:
b
min,st
( 1−
sin ϕ )
H( θ)
⋅ σc,0⋅
st
= ( 4.78)
ρ ⋅ g ⋅ (1 − a )
b,0
1
n
)
n
4.1.5 Geometrische Auslegung des Trichters
b/2
D/2
θ
H Tr
Berechnung der Trichterhöhe
D − b
tan θ =
2 ⋅
H Tr
D − b
H Tr
=
( 4.79)
2 ⋅ tan θ
Bild 4.7 und F 4.8: Höhe eines Pyramidenstumpf-Trichters
H Tr
Kehle
θ
H Tr
Diagonale
L
l
Kehlneigung bei Rechtecktrichtern
Bild 4.8: Kehlneigung θ
Kehle
≤ θ( max )!!!
2
2
2 ⎛ L − l ⎞ ⎛ B − b ⎞
Diagonale(unten)
= ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟
⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠
Bild 4.9: Wandneigungen, siehe
F 4.9
b
• θ
B
Schüttec_4 VO Partikelmechanik und Schüttguttechnik, Trichterauslegung Prof. Dr. Jürgen Tomas, 04.06.2013

L − l
tan θ
Wand1
= und
2 ⋅ H
H
Tr
=
Tr
2
( L − l) + ( B − b)
2 tan θ
2
tan θ
Wand2
B − b
=
2 tan θ
Wand2
B − b
=
2 ⋅ H
Tr
106
B − b
tan θ = tan θ
( 4.80)
Wand2
( L − l) 2
+ ( B − b) 2
Für eine Pyramide mit quadratischer Grundfläche
d.h. B = L und b = l folgt:
⎛ 1 ⎞
θWand = arctan⎜
tan θ⎟
( 4.81)
⎝ 2 ⎠
4.1.6 Ermittlung der größten Hauptspannung σ 1 (b) am Auslauf
Das =ˆ dem maximalen Druck, wobei die Richtung infolge ständiger Umorientierung
hier nicht die Rolle spielen soll,
→ grafisch ablesen aus σ c (σ 1 ) -Diagramm ⇒ siehe σ 1,krit Gl.( 4.64)
'
→ analytisch wie folgt: σ
1
= ff ⋅ σ1
= ff ⋅ σc,
krit
→ Einsetzen der Dimensionierungsgleichung ( 4.15) und für den ausgeführten
Auslauf der Breite b ist:
ρb,krit
⋅ g ⋅ b ⋅ ff
σ
1
=
( 4.82)
m + 1 ⋅sin2
θ + ϕ
( ) ( )
W
• für Abschätzungen insbesondere bei kohäsionslosen Schüttgütern ist ff ≈ 1,3
ausreichend bemessen,
• Mittelpunktsspannung σ M,st am Auslauf:
σ
ρ ⋅ ⋅ ⋅
1
− sinϕ
⋅ σ
b,krit
g ff b
st 0
σM,st
=
≈
1 + sinϕ
m + 1 ⋅ 1 + sinϕ
⋅ sin 2 ϕ
st
( ) ( ) ( + θ)
st
W
( 4.83)
• maximal möglicher Vertikaldruck beim Fließen p v,max ≈ σ 1 und
• (minimaler) Horizontaldruck ph,min≈ σ2=λ
E⋅
σ1
mit dem Horizontaldruckverhältnis
für Entleeren (glatte Wand ϕ w ≈ 0) λ
1−sinϕe
E≈
, siehe 4.2.1
1+
sinϕ
e
4.1.7 Kompressibles Pulver und Hauptspannung σ 1 (b) am Auslauf
• Für die Berechnung der dichte- und ortsabhängigen Verfestigungsspannung
wird die größte Hauptspannung σ 1 beim Ausfließen aus dem Trichter
ausgewählt, die beim passiven Spannungsfeld im Wesentlichen auf die
Wand gerichtet ist. Dazu müssen die Gl.( 4.82) und die Kompressionsfunktion
Gl.(4.67) geschickt miteinander kombiniert werden:
Schüttec_4 VO Partikelmechanik und Schüttguttechnik, Trichterauslegung Prof. Dr. Jürgen Tomas, 04.06.2013

ρ
⋅ g ⋅ b ⋅ ff
b,krit
σ
1
=
( 4.82)
( m + 1) ⋅sin 2( θ + ϕW
)
107
ρ
σ
ρ
b,krit
1
b,0
σ
1+
σ
⎛ 1
=
⎜
⎝1+
sin ϕ
⎛ σ
=
⎜1+
⎝ σ
1
0
⎞
⎟
⎠
n
⎛ σ
=
⎜1+
⎝ σ
st
⎞
⎟
⎠
n
⎛ σ
⋅
⎜1+
⎝ σ
ρ
b,0
1,krit
0
⎞
⎟
⎠
n
( m + 1) ⋅ ( 1+
sin ϕ ) sin 2( θ + ϕ )
n
st
n
⋅ g ⋅ b ⋅ ff
⋅ g ⋅ b ⋅ ff
1 1
b,0
+
0
⎛ σ
⎜1+
⎝ σ
⎛
⎜1
⎝
1−n
0
⎞
⎟
⎠
ρ
n
( m + 1) ⋅ ( 1+
sin ϕ ) ⋅ σ ⋅ sin 2( θ + ϕ )
1 b,0
=
+ 1
0
⎞
⎟
⎠
ρ
n
( m + 1) ⋅ ( 1+
sin ϕ ) ⋅ σ ⋅ sin 2( θ + ϕ )
st
st
⋅ g ⋅ b ⋅ ff
n
( m + 1) ⋅ ( 1+
sinϕ
) ⋅ σ ⋅ sin2( θ + ϕ )
0
0
W
W
W
⎛
⎜
⎝
1
σ
+
σ
0
1
0
⎞
⎟
⎠
(4.67)
1
−n
1−n
σ ⎞
1 ⎪⎧
ρb,0
⋅ g ⋅ b ⋅ ff
⎛ σ ⎞
1 ⎪⎫
+ ⎟ =
+ ⎜1+
⎟ (4.84)
σ
0
⎟
⎠
⎨
⎪⎩
Also ist σ 1 = f(b) für ein kompressibles Pulver:
σ
⎪⎧
= σ
⎪⎩
ρ
b,0
1 0 ⎨
1
n
( m + 1) ⋅ ( 1+
sinϕst
) ⋅ σ0
⋅sin2( θ + ϕW
)
⎜
st
⋅ g ⋅ b ⋅ ff
0
W
⎛
+ ⎜
⎝
⎜
⎝
σ
+
σ
1
0
⎞
⎟
⎠
σ
−n
⎟
⎠
⎪⎫
⎬
⎪⎭
1
1−n
−n
⎬
⎪⎭
− σ
0
(4.85)
( ) ( ) ( ) ( )
1 0
st 0
2
Gl.(4.85) läßt sich wegen σ 1,i+1 = f(σ 1,i ) nur iterativ lösen. Für σ 1 > σ 0 und da
1
ρb,0
⋅ g ⋅ b ⋅ ff
<
ist, kann σ
n
n
1 = f(b) ana-
1+ σ / σ m + 1 ⋅ 1+
sinϕ
⋅ σ ⋅sin
θ + ϕ
lytisch berechnet werden:
1
⎧
ρ
1 n
b,0
⋅ g ⋅ b ⋅ ff
⎫ −
σ
1
≈ σ0
⎨
n
⎬
(4.86)
( m + 1) ⋅ ( 1+
sinϕst
) ⋅ σ0
⋅ sin2( θ + ϕW
)
⎩
⎭
W
• Für ρ b = f(b) setzt man Gl.(4.84) in die Kompressionsfunktion Gl.(4.67) ein
⎛ σ ⎞
⎜1+
⎟
⎝ σ0
⎠
n
⎪⎧
⎨
⎪⎩
ρ
⋅ g ⋅ b ⋅ ff
1 b,0
=
+ 1
n
( m + 1) ⋅ ( 1+
sinϕ
) ⋅ σ ⋅ sin2( θ + ϕ )
st
0
W
⎛
⎜
⎝
σ
+
σ
und es folgt mit der Gl.( 4.82) die Ortsabhängigkeit der Schüttgutdichte
eines kompressiblen Pulvers im Auslauftrichter als Iterationsgleichung
ρ b,i+1 = f(b, ρ b,i ):
ρ
ρ
n
⎛
b
1 ⎞ ⎪ ρb,0
⋅ g ⋅ b ⋅ff
⎛ σ1(
ρb,
b)
b,0
=
⎜
⎝1+
sin ϕ
st
⎧
⎟ ⎨
⎠ ⎪⎩
n
( m + 1)( 1+
sin ϕ ) σ sin 2( θ + ϕ )
st
0
W
1
0
⎞
⎟
⎠
−n
+
⎜1+
⎝
(4.87)
Die Plausibilität wird für b = 0 überprüft, siehe Gl.(4.67) für σ 1 = 0, es folgt:
ρ
b,0
ρ
b(b
= 0) =
(4.88)
( 1+
sinϕ
) n
st
−n
Zur Gewinnung einer analytischen Näherung ist mit ( 1+ σ1 / σ0
) → 0
⎪⎫
⎬
⎪⎭
n
1−n
σ
0
:
⎞
⎟
⎠
−n
⎪ ⎬
⎫
⎪⎭
n
1−n
Schüttec_4 VO Partikelmechanik und Schüttguttechnik, Trichterauslegung Prof. Dr. Jürgen Tomas, 04.06.2013

108
ρ
ρ
ρ
ρ
b
b,0
b
b,0
⎛ 1
≈
⎜
⎝1+
sin ϕ
⎛ 1
≈
⎜
⎝1+
sin ϕ
st
st
n
⎞ ⎪
⎧⎛
1
⎟ ⎨
⎜
⎠ 1 sin ⎪⎩ ⎝ + ϕ
n
⎞ ⎛ 1
⎟
⎜
⎠ ⎝1+
sin ϕ
st
st
⎞
⎟
⎠
⎞
⎟
⎠
n
2
n
1−n
ρ
b,0
⋅ g ⋅ b ⋅ff
( m + 1) ⋅ σ ⋅sin 2( θ + ϕ )
⎧
⎨
⎩
ρ
0
b,0
⋅ g ⋅ b ⋅ff
W
⎪
⎫
⎬
⎪⎭
( m + 1) ⋅ σ ⋅sin 2( θ + ϕ )
0
W
n
1−n
⎫
⎬
⎭
n
1−n
Mit den Exponenten:
2
n n
+ n =
1 − n
2
+ n ⋅ (1 − n) n
=
1 − n
2
+ n − n
1 − n
2
n
=
1 − n
Die Ortsabhängigkeit der Schüttgutdichte ρ b = f(b) ist am Trichterauslauf:
ρ
ρ
b
b,0
⎡
≈ ⎢
⎣
Wegen
ρ
b,0
⋅ g ⋅ b ⋅ff
( m + 1) ⋅ ( 1+
sin ϕ ) ⋅ σ ⋅sin 2( θ + ϕ )
b
n
1 n
b −
st
0
W
⎤
⎥
⎦
n
1−n
(4.89)
ρ ∝ nimmt die Schüttgutdichte für ein kompressibles Pulver
deutlich mit der Auslaufbreite zu. Abweichend von Gl.(4.88) ist ρ b (b=0)=0.
4.1.8 Auslegung der Geometrie eines Bunkertrichters
1. Massenfluß (Vermeidung einer stabilen Brückenbildung)
'
• Vorauswahl von ϕ e in der Nähe des erwarteten σ σ ) = σ ( σ ) - Schnittpunktes
für ff ≈ 1, d.h. etwa
σ
ρ
⋅ g ⋅ b
b,krit
1,krit
≈ ≈
( m + 1)
c( 1 1 1
3...5 kPa
⇒ liefert minimale Öffnungsweite einer möglichen Trichtereinschnürung
b min,st während des stationären Fließens, siehe Bild F 4.13,
• Maximale Trichterneigungswinkel θ = f(Wandreibungswinkel ϕ w , effektiver
Reibungswinkel ϕ e ), F 4.6 und F 4.7
• kohäsionsloses Schüttgut, Bild F 4.5:
quadratisch: b = 5 ⋅ d ⋅ k
(4.90)
kreisförmig:
b
min
min
o
= 5 ⋅ d ⋅ 1,08 ⋅ k
(4.91)
o
Schlitzbreite: b = 5 ⋅ d ⋅ 3
(4.92)
min
o
d o ≈ d 95 obere Stück- oder Partikelgröße
k = 0,6...1,4 Partikelform abhängiger Parameter, k↑ wenn Kantigkeit↑
• kohäsives Schüttgut:
• Vorauswahl ff = f(ϕ e ) F 4.11 anhand σ c = f(σ 1 ), F 4.13
'
• Auflagerspannung einer Schüttgutbrücke σ
σ1
1
= mit dem Fließfaktor
ff
ff = f ( ϕe , ϕW
, θ)
F 4.11
• b min ausrechnen, F 4.5
• H Tr berechnen, F 4.8 und F 4.9
• b min,st berechnen, siehe Bild F 4.13
• Zeiteinfluß → siehe Bild F 4.15
• Anordnung von Austraghilfen → siehe Bild F 4.16
Schüttec_4 VO Partikelmechanik und Schüttguttechnik, Trichterauslegung Prof. Dr. Jürgen Tomas, 04.06.2013

109
4.1.9 Berechnungsbeispiel für Kalzitpulver:
geg.:
X
W
= 0,3%, d50
= 3 µ m, AS,m
=
5,5 m
Bestimmung der Trichterneigung θ:
ϕW = 30°
F 4.6 → θ = 14°-2° = 12° kon. Trichter
ϕe ≈ 55°
F 4.7 → θ = 20° keilf. Trichter
Berechnung der Mindestaustragweite für Massenfluß, F 4.5 und F 4.11:
für ϕe ≈ 55°
gewählt: ff = 1,3 kon. Trichter
ff = 1,2 keilf. Trichter
2 ⋅ 2,0kPa ⋅ sin 2( 30° + 12°
)
=
1,22 m konischer Trichter
3
333kg / m ⋅ 9,81m / s
1,9kPa ⋅ sin 2( 30° + 20°
)
=
0,56 m keilförmiger Trichter
3
338kg / m ⋅ 9,81m / s
bmin =
2
bmin =
2
numerisch ausgewertet:
ϕW = 31°
→ θ = 12,4° kon. Tr.
θ = 20,9°
keilf. Tr.
2
/ g
b min = 1,13 m kon. Tr. für ff = 1,37
b min = 0,54 m keilf. Tr. für ff = 1,25
b min,st für stationäres Fließen in einem konischen Trichter, ff = 1:
ϕi = 37°
, ϕ st = 45°, σ 0 = 0,355 kPa, ρ b,0 = 297 kg/m³, n = 0,1
2 ⋅ sin ϕst
2 ⋅ sin 45°
σ
c ,st
= ⋅ σ0=
⋅ 0,355 kPa = 1,714 kPa
1−
sin ϕ 1−
sin 45°
ρ
b,st
st
⎛ 1 ⎞
= ρb,0
⋅
⎜
=
1 sin
⎟
⎝ − ϕst
⎠
(m + 1) ⋅σ
c,st⋅sin2(
θ+ϕ
st
=
ρ ⋅g
n
297kg / m
0,1
3 ⎛ 1 ⎞
⋅⎜
⎟ =
⎝1−
sin 45°
⎠
) (1 + 1) ⋅1,714kPa⋅sin2(12+
31)
=
3
336kg / m ⋅9,81m / s
336 kg / m
w
bmin, =
2
b
3
1,04 m
Bestimmung der Trichterhöhe:
2,75 −1,22
HTr
= = 3,6m kon.Tr.
2⋅
tan12°
2,75 − 0,56
HTr
= = 3,01m keilf.Tr.
2⋅
tan 20°
und Wandneigung eines Pyramidenstumpfes:
⎛ 1 ⎞
θWand
= arctan⎜
tan12°
⎟ = 8, 6°
⎝ 2 ⎠
sowie der größten Hauptspannung im Auslauf:
σ = 1,3 ⋅ 2,0kPa = 2,6kPa kon. Tr.
σ
1,krit
1,krit
= 1,2 ⋅1,9kPa
= 2,28kPa keilf.Tr.
Schüttec_4 VO Partikelmechanik und Schüttguttechnik, Trichterauslegung Prof. Dr. Jürgen Tomas, 04.06.2013

110
4.2 Vermeidung der Schachtbildung in einem Kernflußbunker
− Vermeidung einer stabilen Schachtbildung! → Bilder F 4.17 und F 4.18
− Kennwertefunktionen → siehe Bild F 4.19
− Gewöhnlich ist der Durchmesser konische Trichter zur Vermeidung der
Schachtbildung b S,min > b min,Brücke ; somit ist keine Berücksichtigung der Brückenbildung
notw.!
− Beachte: Beim keilförmigen Trichter entspricht b S,min ≡ d S,min der Diagonalen
des Schlitzauslaufes; deshalb muss die kritische Schlitzbreite b S,min
zur Vermeidung der Brückenbildung überprüft werden, also:
b
S,min
= d − l ≥ b
( 4.93)
2
S,min
2
S,min
min,Brücke
und mit l S,min = 3 . b S,min gemäß Gl.(4.51) folgt
d
b
2
S,min
S,min
= b
2
S,min
S,min
+ l
2
S,min
= b
2
S,min
+ 6⋅
b
S,min
2
S,min
= 7⋅
b
min,Brücke
2
S,min
= d / 7 = 0,38⋅d
≥ b
( 4.94)
− Trotzdem kann in mangelhaft ausgelegten Kernflußbunkern selbstverständlich
auch Brückenbildung auftreten, z.B. → Standard-Baustellensilos für
Zement oder Kalkmehl.
4.2.1 Berechnung des Vertikaldruckes im Schaft
4.2.1.1 JANSSEN-Gleichung des Fülldruckes im Schaft
− Kräftegleichgewicht an einem horizontalen Scheibenelement der Dicke dy
→ Voraussetzung: p v = const. über den Durchmesser D des Schaftes
ρ b = const. F 4.20
( p + dp ) ⋅ A − p ⋅ A + p ⋅dy
⋅ U − ρ ⋅g
⋅dy
⋅ A
∑ F ↑= 0 =
v v
v W
b
( 4.95)
p
p
h
w
= λ ⋅ p
( 4.96)
F
v
= tan ϕ ⋅ p
( 4.97)
w
h
λ F Horizontaldruckverhältnis beim Füllen mit λ F = 0 ... 1, wobei gilt:
λ F = 0 Festkörper
λ F = 1 iso- oder hydrostatischer Zustand (Flüssigkeit)
dp
v
U
+ λ
F
⋅ tan ϕw
⋅ ⋅ pv
= ρb
⋅ g
( 4.98)
dy
A
Lösung: als gemeinsame Übung:
dpv
U dp
v
= ρb
⋅ g − λ
F
⋅ tan ϕw
⋅ ⋅ pv
= ρ
dy
A dy
b
p
⋅ g −
H
Mit einer charakteristischen Höhe:
A
H = 63
λ ⋅ tan ϕ ⋅ U
( 4.99)
F
w
v
63
Schüttec_4 VO Partikelmechanik und Schüttguttechnik, Trichterauslegung Prof. Dr. Jürgen Tomas, 04.06.2013

Trennung der Variablen:
Integration für H = 0 sei p v = p v,0 :
− H
ln
⋅ ln
pv
( ρ ⋅ g⋅
H − p ) H
63 b 63 v
=
pv,0
( ρ ⋅ g⋅
H − p ) − ln( ρ ⋅ g⋅
H − p )
b
63
⎛
b
g H
ln⎜
ρ ⋅ ⋅
⎝ ρb⋅
g⋅
H
63
63
v
− p
− p
v
v,0
b
⎞
⎟
= −
⎠
H
H
63
63
und
v,0
H
H
dp
⋅
dy
= ρ ⋅ g⋅
−
v
63 b
H63
pv
pv
H
dpv
63⋅
∫ =
ρ ⋅ ⋅ −
∫ dy
p b
g H63
p
v,0
v 0
= −
H
H
63
ρb⋅
g⋅
H
ρ ⋅ g⋅
H
b
63
63
− p
− p
v
v,0
⎛ = exp
⎜ −
⎝
H
H
63
⎟ ⎞
⎠
111
⎡ ⎛ H ⎞⎤
⎛ H ⎞
p ⎢
⎜
⎟⎥
+ ⋅
⎜ −
⎟
v = ρ
b ⋅ g ⋅ H63
⋅ 1 − exp − pv,0
exp
( 4.100)
⎣ ⎝ H63
⎠⎦
⎝ H63
⎠
Für p v,0 = 0 folgt nun die sog. JANSSEN-Gleichung 5 :
⎡ ⎛ H ⎤
⎢
⎟ ⎞
p
v = ρ
b ⋅ g ⋅ H63
⋅ 1 − exp
⎜ − ⎥
( 4.101)
⎣ ⎝ H63
⎠⎦
p v
p v∞
ρ
b
⋅g
⋅ H
Bild 4.10: Vertikaldruckverlauf p v
über der Behälterhöhe H
0,63 . p v∞
Es ist pv
∞
( H → ∞) = ρb
⋅ g ⋅ H63
H 63
H
und für H = H 63 ist
1−
exp( −1)
= 1−
0,37
p H = H = 0,63⋅
ρ
v
(
63
)
b
⋅ g ⋅ H63
z.B. für einen zylindrischen Schaft gilt:
A
U
2
π ⋅ D D
= =
( 4.102)
4 ⋅ π ⋅ D 4
ρb
⋅ g ⋅ D ⎡ ⎛
H ⎞⎤
pv =
⋅ ⎢1
− exp⎜−
4 ⋅ λF
⋅ tanϕw
⋅ ⎟
4 ⋅ λ ⋅ tanϕ
⎥
(4.103)
F w ⎣ ⎝
D ⎠⎦
• für Silos ist p v ∼ D, → man baut einen schlanken Schaft mit geringem
Durchmesser aber großer Höhe,
• für Flüssigkeitstanks ist p v ∼ H, da = ρ⋅g
⋅ H , → man baut gedrungene
Tanks mit geringer Höhe aber großem Durchmesser.
p v
4.2.1.2 Kompressibles Pulver und isostatischer Druck σ iso (H)
Für einen Schlankheitsgrad des Siloschaftes von H/D < 1,5 entspricht der
Vertikaldruck p v ≈ σ iso näherungsweise dem isostatischen Druck (beachte jedoch
p h = λ . p v ). Der isostatische Druck nimmt wegen des vernachlässigbaren
5 Janssen, H.A., Versuche über Getreidedrücke in Silozellen, Z. VDI 39 (1895) 1045-1049
Schüttec_4 VO Partikelmechanik und Schüttguttechnik, Trichterauslegung Prof. Dr. Jürgen Tomas, 04.06.2013

112
Wandreibungswiderstandes p w →0 bei diesem Belastungsfall linear mit der
Füllhöhe H zu:
iso
b
( σ ) ⋅ g ⋅ H
σ = ρ
(4.104)
iso
In diese Gl.(4.104) wird die Kompressionsfunktion ρ b = f(σ iso ) mit dem isostatischen
Druck, Gl.(4.105), siehe Schüttec_3.doc#Rhob_Sigmaiso, eingesetzt:
ρ
ρ
b i
1
b,0
⎛ sin ϕ ⎞
=
⎜
sin
st
sin
⎟
⎝ ϕ + ϕi
⎠
n
⎛
⋅
⎜
⎝
σ
+
σ
iso
0
⎞
⎟
⎠
n
(4.105)
σ
= ρ
⎛
⋅⎜
⎝
sin ϕ
⎞
⎟
⎠
n
⎜ ⎛ σ
⋅ 1+
⎝
i
iso
iso b,0 ⎜
:
sin ϕst
+ sin ϕ ⎟ ⎟
i
σ0
n
⎞
⎟
⎠
n
⋅g
⋅ H
σ ρb,0
⎛
iso
sin ϕ ⎞ ⎛
i
σ ⎞
iso
= ⋅
⎜
1 ⋅g
⋅ H + 1
0 0
sin
st
sin
⎟ ⋅
⎜ +
⎟
σ σ ⎝ ϕ + ϕi
⎠ ⎝ σ0
⎠
σ
ρ
⎛
⎜
sin ϕ
⎞
⎟
n
⎛
⎜
1 iso b,0
i
iso
iso
+ = ⋅
⋅ 1 g H 1 : 1
0 0
sin
st
sin ⎜ + ⋅ ⋅ + ⎜ +
σ σ ⎜
⎟ ⎟
⎟ ⎝ ϕ + ϕi
⎠ ⎝ σ0
⎠
⎝ σ0
⎠
1−n
n
−n
⎛ σ
⎜1+
⎝ σ
1
iso b,0
i
g H 1
0
⎞
⎟
⎠
ρ
=
σ
0
⎛ sin ϕ
sin
st
sin ⎟ ⎞
⋅
⎜
⎝ ϕ + ϕi
⎠
⋅
σ
n
⋅
⎞
⎟
n
⎛
+
⎜
⎝
σ
+
σ
1
n
−n
1−n
σ ⎡ρ
iso b,0 ⎛ 1 ⎞ ⎛ σ ⎞ ⎤
iso
+ = ⋅⎜
⎟ ⋅g
⋅ H + ⎜1+
⎟
(4.106)
σ
0
⎢
⎣⎢
σ
0
⎜
⎝1+
sin ϕ
st
/ sin ϕ ⎟
i ⎠
Die Höhenabhängigkeit des isostatischen Druckes σ iso (H) ist damit für ein
kompressibles Pulver:
σ
⎡
= σ ⋅
⎣
ρ
⋅g
⋅ H
⎛
+ ⎜
⎝
b,0
iso 0
⎢
1
n
⎢σ0
⋅( 1+
sin ϕst
/ sin ϕi
)
⎜
σ
+
σ
iso
0
⎜
⎝
⎞
⎟
⎠
−n
⎤
⎥
⎥⎦
σ
0
1
1−n
iso
0
⎟
⎠
⎟ ⎞
⎠
− σ
⎥
⎥⎦
0
σ
0
⎛
⎜
σ
⎞
n
(4.107)
Gl.(4.107) läßt sich wegen σ iso,i+1 = f(σ iso,i ) nur iterativ lösen.
Häufig ist σ iso > σ 0 und deshalb ist der Term ( 1 −
+ σ σ ) n
klein gegenüber
dem linken Term in der [..]-Klammer, so dass man vereinfachend die Höhenabhängigkeit
des isostatischen Druckes σ iso = f(H) auch analytisch berechnen
kann:
1
⎡ ρ
1 n
b,0
⋅g
⋅ H ⎤ −
σ
iso
≈ σ0
⋅ ⎢
n ⎥ (4.108)
σ0
⋅( 1+
sin ϕst
/ sin ϕi
) ⎦
⎣
iso /
0
Für ρ b = f(H) setzt man Gl.(4.106) in die Kompressionsfunktion Gl.(4.105) ein
⎛ σ
⎜1
+
⎝ σ
n
iso b,0
= ⋅
⋅ g ⋅ H + 1
0
⎞
⎟
⎠
⎡ρ
⎢
⎢ σ
⎣
0
⎛ 1 ⎞
⎜
1 sin
st
/sin
⎟
⎝ + ϕ ϕi
⎠
n
⎛
⎜
⎝
σ
+
σ
und mit der Gl.(4.104) erhält man für ein kompressibles Pulver die Höhenabhängigkeit
der Schüttgutdichte in einem Schüttguthaufen oder Halde als
Iterationsgleichung ρ b,i+1 = f(H, ρ b,i ):
iso
0
⎞
⎟
⎠
−n
⎤
⎥
⎥⎦
n
1−n
Schüttec_4 VO Partikelmechanik und Schüttguttechnik, Trichterauslegung Prof. Dr. Jürgen Tomas, 04.06.2013

ρ
ρ
b
b,0
⎛ sinϕ
⎞
i
=
⎜
sin
st
sin
⎟
⎝ ϕ + ϕi
⎠
n
⎡ρ
⋅ ⎢
⎢ σ
⎣
b,0
0
⎛ sinϕi
⋅
⎜
⎝ sinϕst
+ sinϕ
i
n
⎞ ⎛ ρb
⎟ g ⋅ H +
⎜1+
⎠ ⎝
⋅ g ⋅ H ⎞
⎟
σ0
⎠
(4.109)
Die Plausibilität wird für H = 0 überprüft und es folgt
n
⎛ sinϕ
⎞
i
ρ
b( H = 0) =
⎜
⋅ρb,0
sin
st
sin
⎟
(4.110)
⎝ ϕ + ϕi
⎠
siehe auch Gl.(4.105) für σ iso = 0.
Zur Gewinnung einer analytischen Näherung ist mit ( 1+ ρ ⋅ g ⋅ H / σ ) → 0
b
−n
−n
0
⎤
⎥
⎥⎦
n
1−n
113
:
ρ
ρ
b
b,0
⎛ sinϕ
⎞
i
≈
⎜
sin
st
sin
⎟
⎝ ϕ + ϕi
⎠
n
⎡ρ
⋅ ⎢
⎢ σ
⎣
b,0
0
⎛ sinϕ
⎞
i
⋅
⎜
sin
st
sin
⎟
⎝ ϕ + ϕi
⎠
n
⎤
⋅ g ⋅ H⎥
⎥⎦
n
1−n
ρ
ρ
b
b,0
n
⎛ sinϕ
⎞
i
sin ⎞
i
sin
st
sin ⎜ ⎛ ϕ
≈
⎜
⎟ ⋅
i
sin
st
sin
⎟
⎝ ϕ + ϕ ⎠ ⎝ ϕ + ϕi
⎠
2
n n
Mit den Exponenten: + n =
1 − n
2
n
1−n
2
⎡ρb,0
⎤
⋅ ⎢ ⋅ g ⋅ H⎥
⎣ σ0
⎦
+ n ⋅ (1 − n) n
=
1 − n
n
1−n
2
+ n − n
1 − n
2
n
=
1 − n
Die Höhenabhängigkeit der Schüttgutdichte ρ b = f(H) ist für H/D < 1,5:
ρ
ρ
b
b,0
Wegen
⎛ sinϕi
≈
⎜
⎝ sinϕst
+ sinϕ
b
n
1 n
H −
i
ρ
⋅
b,0
⋅ g ⋅ H ⎞
⎟
σ0
⎠
n
1−n
(4.111)
ρ ∝ nimmt die Schüttgutdichte für ein kompressibles Pulver
deutlich mit der Schütthöhe zu. Abweichend von Gl.(4.110) ist durch die Vereinfachung
ρ b (H=0) = 0.
4.2.1.3 Kompressibles Pulver und Vertikaldruck p v (H) im Schaft
Für die Berechnung der höhen- und dichteabhängigen Verfestigungsspannung
wird der Vertikaldruck p v bzw. die größte Hauptspannung σ 1 bei Füllen ausgewählt,
denn beim aktiven Spannungsfeld gilt zumindest in der Hauptachse
des vertikalen Schaftes p v = σ 1 . Dazu müssen die Gl.(4.103) und die Kompressionsfunktion
Gl.(4.67) miteinander kombiniert werden:
⎡ ⎛ H ⎞⎤
p
v = ρ
b ⋅ g ⋅ H63
⋅ ⎢1
− exp
⎜ −
⎟⎥
(4.103)
⎣ ⎝ H63
⎠⎦
n
n
ρb,krit
⎛ 1 ⎞ ⎛ σ1,krit
⎞
=
⎜
1
b,0
1 sin
⎟ ⋅
⎜ +
⎟
(4.67)
ρ ⎝ + ϕst
⎠ ⎝ σ0
⎠
Nach Einsetzen von Gl.(4.67) in Gl.(4.103) gilt mit p v ≈ σ 1 :
n
⎛ p ⎞ ρ ⎡
⎤
b,0
⋅ g ⋅ H
⎢
⎥
( )
⎟ ⎞
⎜ ⎛
v
63
H
p
v
=
⎜1+
⎟
1
n − exp −
⎝ σ0
⎠ 1+
sinϕst
⎣ ⎝ H63
⎠ ⎦
Schüttec_4 VO Partikelmechanik und Schüttguttechnik, Trichterauslegung Prof. Dr. Jürgen Tomas, 04.06.2013

p
1+
σ
⎛ p
⎜1+
⎝ σ
⎛
⎜1
⎝
⎛ p
=
⎜1+
⎝ σ
⎞
⎟
⎠
n
ρ
⋅ g ⋅ H
⎡ ⎛ H
⎢1
− exp
⎜ −
⎣ ⎝ H
⎞⎤
⎟
⎠⎦
v v b,0 63
⎟
n
⎥ +
0
0 σ0
⋅ ( 1+
sinϕst
)
⎟
63
v
0
⎞
⎟
⎠
1−n
ρ
=
σ ⋅
0
b,0
⋅ g ⋅ H
63
( 1+
sin ϕ )
st
n
⎡ ⎛
⎢1
− exp
⎜ −
⎣ ⎝
H
H
63
1
⎞⎤
⎛ p
⎟⎥
+
⎜1+
⎠⎦
⎝ σ
1
−n
1−n
p ⎞
v ⎪⎧
ρb,0
⋅ g ⋅ H ⎡
63 ⎛ H ⎞⎤
⎛ p ⎞
v ⎪⎫
+ ⎟ = ⎨
1 exp
1
n ⎢ −
⎥ + ⎬
0 0
( 1 sin
st
)
⎜ −
H
⎟
⎜ +
⎟ (4.112)
σ σ ⋅ + ϕ
63
σ0
⎠
⎪⎩
⎣
⎝
Die Höhenabhängigkeit des Fülldruckes p v (H) ist somit für ein kompressibles
Pulver:
p
v
⎪⎧
ρ
= σ0
⎨
⎪⎩
σ0
⋅
b,0
⋅ g ⋅ H
63
( 1 + sinϕ
)
st
n
⎡ ⎛
⎢1
− exp
⎜ −
⎣ ⎝
H
H
63
⎠⎦
⎝
⎞⎤
⎛ p
⎟⎥
+
⎜1
+
⎠⎦
⎝ σ
v
0
⎞
⎟
⎠
−n
⎠
v
0
⎪⎫
⎬
⎪⎭
⎞
⎟
⎠
−n
⎪⎭
1
1−n
− σ
0
(4.113)
Gl.(4.113) läßt sich wegen p v,i+1 = f(p v,i ) nur iterativ lösen. Praktisch ist in Silos
p v >> σ 0 und deshalb ist der rechte Term ( 1 p /
−
+ ) n
v
σ klein gegenüber dem
linken Term in der [..]-Klammer, so dass man die Höhenabhängigkeit des Fülldruckes
p v = f(H) auch analytisch berechnen kann:
p
1
1−n
⎪⎧
ρb,0
⋅ g ⋅ H ⎡
63 ⎛ H ⎞⎤⎪⎫
v
≈ σ0
⋅ ⎨ 1 exp
n ⎢ −
⎥
0
( 1 sin
st
)
⎜ − ⎬
H
⎟
(4.114)
σ ⋅ + ϕ
63 ⎦
⎪⎩
Der Horizontaldruck ist dann wegen p h = λ . p v :
⎣
⎝
⎠
⎪⎭
0
114
p
h
1
1−n
⎪⎧
ρb,0
⋅ g ⋅ H ⎡
63 ⎛ H ⎞⎤⎪⎫
≈ λ0
⋅ σ0
⋅ ⎨
1 exp
n ⎢ − − ⎥⎬
0
( 1 sin
st
)
H
⎟
(4.115)
σ ⋅ + ϕ
63
⎪⎩
⎣
⎜ ⎜ ⎝
⎠⎦⎪⎭
Für ρ b = f(H) setzt man Gl.(4.112) in die Kompressionsfunktion Gl.(4.67) ein
n
−n
⎛ p ⎞
v ⎪⎧
ρb,0
⋅ g ⋅ H ⎡
63 ⎛ H ⎤ p ⎞
v ⎪⎫
1 ⎨
1 exp
1
n
⎬
0
0
( 1 sin
st
)
H ⎜ ⎛
⎢ ⎟ ⎞
⎜ +
⎟ =
−
⎜ − ⎥ + +
⎟
⎝ σ ⎠ ⎪⎩
σ ⋅ + ϕ ⎣ ⎝ 63 ⎠⎦
⎝ σ0
⎠ ⎪⎭
und es folgt mit p v (ρ b , H), Gl. (4.103), die Höhenabhängigkeit der Schüttgutdichte
eines kompressiblen Pulvers in einem Siloschaft als Iterationsgleichung
ρ b,i+1 = f(H, ρ b,i ):
ρ
ρ
⎧
n
⎛
b
1 ⎞ ⎪ ρb,0
⋅ g ⋅ H ⎡
63 ⎛ H ⎞⎤
⎛ pv(
ρb,
H)
=
⎜ ⎨
1 exp
1
n
b,0
1 sin
⎟
⎢ − ⎥ +
st 0( 1 sin
st
)
⎜ −
H
⎟
⎜ +
+ ϕ σ + ϕ
63 ⎦ σ0
⎝
⎠
⎪⎩
Die Plausibilität wird wiederum für H = 0 überprüft und es folgt
ρ
⎣
⎝
⎠
⎝
n
1−n
⎞
⎟
⎠
(4.116)
b,0
ρ
b(H
= 0) =
(4.117)
( 1+
sinϕ
) n
st
siehe auch Gl. (4.67) für p v = σ 1 = 0.
−n
⎪
⎫
⎬
⎪⎭
n
1−n
Schüttec_4 VO Partikelmechanik und Schüttguttechnik, Trichterauslegung Prof. Dr. Jürgen Tomas, 04.06.2013

−n
0
Zur Gewinnung einer analytischen Näherung ist mit ( 1+
p / σ ) → 0
ρ
ρ
ρ
ρ
b
b,0
b
b,0
⎛ 1
=
⎜
⎝1+
sin ϕ
st
⎞
⎟
⎠
n
n
⎪⎧
ρ
⋅ ⎨
⎪⎩ σ0
⋅
b,0
⋅ g ⋅ H
63
( 1+
sin ϕ )
2
n
1−n
⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎪⎧
ρ
=
⎜
⋅ ⎨
1 sin
⎟
⎜
st
1 sin
⎟
⎝ + ϕ ⎠ ⎝ + ϕst
⎠ ⎪⎩
2
n n
Mit den Exponenten: + n =
1 − n
st
n
⎡ ⎛
⎢1
− exp
⎜ −
⎣ ⎝
b,0
H
H
63
v
⎞⎤⎪⎫
⎟⎥⎬
⎠⎦⎪⎭
n
1−n
:
n
1−n
⋅ g ⋅ H ⎡
63 ⎛ H ⎞⎤⎪⎫
⎢1
− exp
⎜ − ⎥⎬
0 ⎣ H
⎟
σ
⎝ 63 ⎠⎦⎪⎭
2
2
+ n ⋅ (1 − n) n + n − n n
=
=
1 − n 1 − n 1 − n
Die Höhenabhängigkeit der Schüttgutdichte ρ b = f(H) ist für H/D > 1,5:
ρ
ρ
b
b,0
⎪⎧
ρ
≈ ⎨
⎪⎩
σ0
⋅
b,0
⋅ g ⋅ H
63
( 1+
sin ϕ )
st
⎡ ⎛
⎢1
− exp
⎜ −
⎣ ⎝
H
H
63
2
⎞⎤⎪⎫
⎟⎥⎬
⎠⎦⎪⎭
n
1−n
(4.118)
Die Schüttgutdichte nimmt für ein kompressibles Pulver deutlich mit der Füllhöhe
zu. Abweichend von Gl.(4.117) ist durch die Vereinfachung ρ b (H=0) = 0.
115
4.2.1.4 Berechnung des Horizontaldruckverhältnisses λ
(1) Das Horizontaldruckverhältnis λ kennzeichnet die Druckanisotropie eines
Schüttgutes gegenüber dem isostatischen Druckverhalten eines Fluides mit
p v = p h und λ = 1, siehe Bild F 4.21, da gilt:
ph 0 < = λ < 1
( 4.119)
p
v
(2) Voraussetzung p v = σ 1 und p h = σ 2 sind Hauptspannungen, d.h. nur in der
Achse des Schaftes erfüllt!
σR
σ1
− σ2
Es ist sin ϕ
e
= =
( 4.8)
σM
σ1
+ σ2
σ
1
sin ϕe
− σ1
= −σ2
− σ2
⋅ sin ϕe
σ
1
⋅ ( 1−
sin ϕe
) = σ2
⋅ ( 1+
sin ϕe
)
im aktiven Spannungszustand p v ≈ σ 1 bzw. p h ≈ σ 2 , siehe Bild F 4.21
σ2
1−
sin ϕe
ph
= λ = ≈
( 4.120)
σ 1+
sin ϕ p
1
e
v
(3) allgemeiner Fall der Berücksichtigung der Wandreibung → für den aktiven
Spannungszustand
1−
sin
ϕ
− ∆
2
2
2
( 1- sin ϕ ) ⋅ ( sin ϕ − sin ϕ )
2
w
λ =
wenn ∆ =
2
1+
sin ϕw
+ ∆
w
e
w ( 4.121)
Liefert kleine λ und großes p v → daher Verwendung von gewöhnlich λ (3) für
Berechnung von Trichterlasten, Drücke auf Austragsgeräte usw.
(4) Um einen großen Horizontaldruck p h (aktiv) zu erhalten, Bild F 4.21, Verwendung
eines empirischen sog. Ruhedruckbeiwertes
λ = ,2 ⋅ (1 − sin )
( 4.122)
0
1 ϕe
Schüttec_4 VO Partikelmechanik und Schüttguttechnik, Trichterauslegung Prof. Dr. Jürgen Tomas, 04.06.2013

Liefert große λ → daher zur Bemessung von Stahlbetonwänden geeignet
(siehe dazu die Baustatik)
116
4.2.1.5 Ringspannungen im stabilen Schacht
Aus den Spannungsfeldgleichungen des rotationssymmetrischen Spannungszustandes
Gl.(3.5) Schüttec_3.doc - Spannungsfeld_x und Gl.(3.6) Schüttec_3.doc
- Spannungsfeld_y folgt analog der Vorgehensweise von Gl.(3.221)
Schüttec_3.doc - Spannungsfeld_Lösung eine nichtlineare Differentialgleichung
erster Ordnung für die Verteilung der Ringspannung in der stabilen
(stehenden) Schachtwand n x (ψ) mit der dimensionslosen Koordinatentransformation
jenseits (außerhalb) des Schachtdurchmessers b S (JENIKE 1961,
MOLERUS 1985) 6, 7 :
2
⎛ x ⎞
n
x
= ⎜ ≥1
bS
/ 2
⎟
( 4.123)
⎝ ⎠
1
( 1−sinϕi
) −sinϕi⋅
cos2ψ+
⋅ ( 1+
sinϕi
)
dψ
nx
sin2ψ
=
⋅
( 4.124)
dnx
4⋅
( cos2ψ−sinϕi
) nx−1
Mit der Randbedingung
ψ ( n x
= 1) = 0 , ( 4.125)
dψ
... sin 2ψ
... 0
die aber wegen (nx
= 1) = ⋅ = ⋅ singulär ist. Für den stabilen
dnx
... nx−1
... 0
Schacht mit seiner Druckfestigkeit σ c kann auch folgende Grenzwertbetrachtung
angestellt werden:
ρ
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
b⋅
g⋅
bS
1 sin2ψ
dψ
0<
= ⋅ lim⎜
⎟ = lim⎜
⎟
( 4.126)
4⋅
σ
n →1
⎝ − n →1
c
2 x nx
1
x
⎠ ⎝ dnx
⎠
und der nun formell in der Funktion G(ϕ i ) kurz gefaßt werden soll:
G
⎛ dψ
⎞
⎝ dnx
⎠
( ϕ ) = 4 ⋅ lim⎜
⎟
i
n →1
x
( 4.127)
Für die Gln.( 4.124) und ( 4.127) lassen sich nun folgende Gültigkeitsbereiche
abgrenzen, siehe Bild F 4.22:
1
1) 0≤ sinϕi ≤ , d.h. 0 ≤ ϕi
≤ 19, 5°
3
Jede Lösung führt zu begrenzten plastischen Feldern.
6 Jenike, A. W., Gravity flow of bulk solids, p. 148ff, Eng. Exp. Station Bull. No. 108, Univ.
Utah, 1961
7 Molerus, O., Schüttgutmechanik - Grundlagen und Anwendungen in der Verfahrenstechnik,
S. 215ff, Springer Verlag, Berlin 1985
Schüttec_4 VO Partikelmechanik und Schüttguttechnik, Trichterauslegung Prof. Dr. Jürgen Tomas, 04.06.2013

G
⎛ dψ
⎞
⎜ dn ⎟ =
⎝ x ⎠
( ϕ ) = 4⋅
lim⎜
⎟ 0
i
n →1
x
117
( 4.128)
Es sind keine stabilen Schächte möglich!
1 1
2) ≤ sinϕ i
≤ , d.h. 19,5° ≤ϕi
≤30°
3 2
Mit der Transformation ζ = 1/n x , wobei für 1 ≤ n x < ∞ der Wertebereich 0
≤ ζ ≤ 1 wird, sowie mit den zusätzlichen Startbedingungen
cos
1−sinϕ
i
ψ
1=
und ( 4.129)
2sinϕi
dψ
1+
sinϕi
2
lim = − ⋅ 3sin ϕ
i+
2sinϕi−1
( 4.130)
ζ 0
2
dζ
2cos ϕ
ψ →
→ψ1
i
läßt sich die transformierte Differentialgleichung
dψ
( 1−sinϕi ) −sinϕi⋅
cos2ψ+ζ⋅
( 1+
sinϕi
)
=
⋅ sin2ψ
( 4.131)
dζ
4ζ(
ζ−1)
⋅ cos2ψ−sinϕ
( )
numerisch lösen.
1
3) sin 1
2
≤ ϕ < , d.h. 30° ≤ϕ < 90°
i i
Mit den adäquaten Startbedingungen
i
ζ = ⋅sin
ϕ 1
und ( 4.132)
2
2
i−
lim
ζ →ζ2
π ϕi
ψ→ −
4 2
dψ
=
dζ
8 ⋅
cos ϕ
( )
i
( 2 sin 1) ( 1 sin ) sin sin 2
⋅ ϕ 8 sin 4
i−
ϕi+
⋅ ϕi−
⋅ ϕ − ⋅ − ϕ
i
i
( 4.133)
läßt sich die transformierte Differentialgleichung ( 4.131) ebenfalls numerisch
lösen.
Diese Lösungen sind in der Funktion G(ϕ i ) zusammengefasst und im Bild F
4.22 aufgetragen worden.
4.2.1.6 Analytische Näherung der Funktion G(ϕ i )
Wie beim Fließfaktor ff siehe Gln.( 4.24) bis ( 4.28), lässt sich die Funktion
G(ϕ i ) vereinfacht auch analytisch annähern (innerer Reibungswinkel ϕ i in grd):
Für ϕ i < 19,5°: G(ϕ i ) = 1 ( 4.134)
Für ϕ i ≥ 19,5°: G(
ϕ ) ≈ 0,143⋅
ϕ − 2
( 4.135)
i
i
4.2.2 Maximaler Trichterneigungswinkel und Spannungsspitze
Siehe auch Bild F 4.17:
• Der Trichterneigungswinkel zur Horizontalen α
KF
= 90° − θKF
> ϕw
muss
größer sein als der Rutschwinkel bzw. kinematische Wandreibungswinkel.
Diese Fließbedingung soll sicherstellen, dass sich kein Rückstand auf der
Schüttec_4 VO Partikelmechanik und Schüttguttechnik, Trichterauslegung Prof. Dr. Jürgen Tomas, 04.06.2013

118
geneigten Trichterwand bildet, → Bild F 4.2 Kernfluß, schraffierter Bereich
im Volumenelement 8.
• Nach JENIKE 8 (Bull. 123, S. 68. Gl.(20)) ist der Trichterneigungswinkel
zur Vertikalen θ KF einschließlich eines Sicherheitsabzuges:
θ
KF
≤ 65° − ϕ W
( 4.136)
• Zur Vermeidung des nicht entleerbaren Restgutes (Bild F 4.2) muss der
Trichterneigungswinkel zur Horizontalen α KF = 90° - θ KF für ein kohäsives
Schüttgut deutlich größer sein als der Rutschwinkel auf einer glatten
Wand (≈ kinematischer Wandreibungswinkel φ W ) bzw. der Rutsch- oder
Böschungswinkel der rauen Wand (≈ effektiver innerer Reibungswinkel
φ e ). Deshalb kann man mit einem gewissen Sicherheitszuschlag von etwa
10° (freifließendes Schüttgut 9 ) bis 25° (kohäsives Schüttgut) folgende Bereiche
für die Auslegung des Trichterneigungswinkels bei Kernfluß nutzen:
ϕw + 10°
...25° ≤ 90° − θKF
≤ ϕe
+ 15°
( 4.137)
D oder B
p h
H G, KF
θ G, KF
p h
Bild 4.11: Horizontaldruckspitze
bei Bildung eines stabilen Kernflusstrichters
b S
Grenzwinkel und Grenzhöhe des Kernflußtrichters im Schaft:
• θ G,KF näherungsweise wie bei Massenfluß ermitteln, siehe F 4.6 und F 4.7
• Trichterhöhe bei der eine Spannungsspitze (sog. „Switch load“) des Horizontaldruckes
p h möglich ist:
H
(D oder B) − (b
oder b
)
Smin S
G,KF
= ( 4.138)
2 ⋅ tan θG,KF
4.2.3 Minimale Öffnungsweite zur Vermeidung eines Schachtes
Ziel: Vermeidung einer stabilen Schachtbildung im Trichter und Schaft.
4.2.3.1 Mit maximaler Verfestigungsspannung
Auslegungsmethode:
8 Jenike, A. W., Storage and flow of bulk solids, p. 68, Eng. Exp. Station Bull. No. 123, Univ.
Utah, 1964
9 Schulze, D., Pulver und Schüttgüter: Fließeigenschaften und Handhabung, S. 311, Springer
Berlin, 2006
Schüttec_4 VO Partikelmechanik und Schüttguttechnik, Trichterauslegung Prof. Dr. Jürgen Tomas, 04.06.2013

119
1) freifließendes Schüttgut b S,min = f(d o ) → wie Massenfluß, siehe Gl.(4.92)
2) kohäsives Schüttgut
Aus der Gl.( 4.126) folgt dann auch, siehe F 4.17
b
S,min
( σ ) ⋅G( ϕ bzw. ϕ )
σc,krit
1 i
it
= ( 4.139)
ρ ⋅g
b,krit
‣ G(innerer Reibungswinkel ϕ i bzw. ϕ it ) siehe Funktion im Bild F 4.22
‣ σ 1 ≈ p v = f(ϕ e , ϕ w , ρ b , Schaftquerschnitt, Bunkerhöhe am Auslauf) nach
Gl.( 4.101)
‣ Voraussetzung: aktives Spannungsfeld = maximale Fülldrücke 10
‣ Berechnungsmethode liegt auf der sicheren Seite, da größte Hauptspannung
σ 1 in vertikaler Richtung in Bezug zur geringeren quergerichteten
Ringspannung und der daraus resultierenden Druckfestigkeit des Schachtes
σ c,krit gebracht wird. D.h. Verfestigung in vertikaler Richtung, Bruch
aber in horizontaler Umfangsgrichtung → man beachte die Anisotropie
11 kohäsiver Schüttgüter!
‣ Das kann jedoch zu einer Überdimensionierung führen.
4.2.3.2 Anisotropie zwischen Verfestigung und Fließen
‣ Um deshalb eine Überdimensionierung zu vermeiden, wird neuerdings
die Anisotropie zwischen der Richtung der Verfestigungsspannung und
der Richtung der wirksamen Druckspannung innerhalb der ringförmigen
Oberfläche eines Schachtes berücksichtigt 12 !
‣ Die größte Hauptspannung σ 1 wirkt beim Füllen und Verfestigen näherungsweise
in vertikaler Richtung. Nahezu horizontal wirkt dagegen die
kleinere Hauptspannung σ 2 , siehe F 4.18.
‣ Nach dem anschließenden konzentrischen Fließen innerhalb einer näherungsweise
zylindrischen Fließzone wirkt die effektive größte Hauptspannung
σ 1 ’’ nahezu in horizontaler Umfangs- oder Ringrichtung am
Rand (Oberfläche) der stabilen verfestigten Schachtwand.
‣ Neu: Berechnung der Ringdruckspannung σ 1 ’’ ≈ p h = f(ϕ e , ϕ w , ρ b ,
Schaftquerschnitt, Bunkerhöhe), d.h. Abschätzung des Seiten- oder Horizontaldruckes
des Schachtes mit den Gln.( 4.96) und ( 4.101).
‣ Voraussetzung: aktives Spannungsfeld = maximale Ringdruckspannung
nach dem Füllen im verfestigten zylindrischen Schacht
10 Arnold, P.C., McLean, A.G., Roberts, A.W., Bulk Solids: Storage, Flow and Handling,
TUNRA Bulk Solids Handling Research Associates, p. 3.30, Univ. Newcastle, 1980
11 Schwedes, J., Schulze, D., Lagern von Schüttgütern, in Schubert, H. (Ed.) Handbuch der
Mechanischen Verfahrenstechnik, WILEY-VCH Verlag, Weinheim, 2003
12 Ittershagen, T., Schwedes, J. and A. Kwade, Investigation of anisotropic behaviour of bulk
solids, p. 48-61 , Proceedings RELPOWFLO IV, Tromsö 2008
Schüttec_4 VO Partikelmechanik und Schüttguttechnik, Trichterauslegung Prof. Dr. Jürgen Tomas, 04.06.2013

120
‣ Mit dieser Ringdruckspannung σ 1 ’’ wird die kritische Druckfestigkeit
σ c,krit,Aniso mittels der Verfestigungsfunktion Gl.( 4.53) berechnet:
σ = a ⋅σ ''
+ σ
( 4.140)
c ,krit,Aniso
1
1
c,0
‣ Der Ringdruck σ 1 ’’ ≥ σ c,krit,Aniso muss mindestens der Festigkeit entsprechen,
um den Schacht zum Einsturz zu bringen!
b
S,min,Aniso
( σ '') ⋅G( ϕ bzw. ϕ )
σc,krit,Aniso
1
i
it
= ( 4.141)
ρ ⋅g
b,krit
4.2.3.3 Auslegung mittels Fließfaktor ff d nach JENIKE
‣ Voraussetzung: Gültigkeit des radialen Spannungsfeldes im Schacht, das
unabhängig von der Füllhöhe H ist. Durch das vorherige Ausfließen einer
Teilmenge des Schüttgutes im konvergenten Fließkanal sollte sich dieses
passive radiale Spannungsfeld eingestellt haben.
‣ Die Ringspannung σ 1 ’’(Druckspannung) an der Schachtoberfläche 13 ist:
σ1
σ
1'
' =
( 4.142)
ff
d
σ 1 ’’ kennzeichnet die wirksame größte Hauptspannung am Rand der trichterförmigen
rauen Wand des kohäsiven Pulvers als Folge des konvergenten
Fließens, siehe Bild F 4.18 Mitte. Wegen der freien Schüttgutoberfläche
ist die Querspannung σ 2 ’’ = 0, d.h. es entsteht wiederum ein einaxialer
Spannungszustand.
‣ Der dimensionslose Fließfaktor der Schachtbildung 8 ist:
ff
d
1+
sinϕe
= ⋅ G( ϕi
) ≥ 1, 7
( 4.143)
4 ⋅sinϕ
e
Es ist ff d > ff, als Mindestwert wird gewöhnlich ff d ≥ 1,7 gesetzt!
‣ Berechnung von σ c,krit wie beim Massenfluß, d.h. die Versagens- oder
Fließbedingung für einen instabilen Schacht lautet σ 1 ’’ ≥ σ c :
Der Schnittpunkt der Verfestigungsfunktion σ
c
= a1⋅
σ1
+ σc,
0
Gl.( 4.53), des
kohäsiven Pulvers mit der Ringspannungsfunktion, Gl.( 4.142), ist:
σ
c,0
σ
c,krit
=
( 4.144)
1−
a1
⋅ ffd
‣ Und gemäß Gln.(4.59) und ( 4.139), Bilder F 4.17 und F 4.22
σc,0
⋅ G( ϕi
)
bS,min
= ( 4.145)
ρ ⋅ g ⋅ 1−
a ⋅ ff
b,krit
( )
1
d
‣ Diese Berechnungsmethode liegt eher auf der unsicheren Seite.
13 Schwedes, J., Schulze, D., Lagern von Schüttgütern, in Schubert, H. (Ed.) Handbuch der
Mechanischen Verfahrenstechnik, S. 1205, WILEY-VCH Verlag, Weinheim, 2003
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121
Beispiel Kalzitpulver
geg.: kreisrundes Silo D i = 2,75 m und H = 12 m
90°
− θ = ϕ + 25°
→ θ = 65°
ϕ
w
-
ϕw
= 30°
→ θ = 35°
→ meist für hohes σ
1
= pv
vorgewählt
→ ϕe ≈ ϕst
+ 1°
... 3°
in der Nähe von ϕ st gewählt
ϕe
≈ 44°
oder 46°
+1°
...3°
→ ϕe
≈ 47°
Horizontaldruckverhältnis λF → Füllen → aktives Spannungsfeld
λ
∆ =
F
2
2
2
( 1−
sin ϕ )( sin ϕ − sin ϕ )
1−
sin
=
1+
sin
2
2
ϕ
ϕ
w
w
w
e
− ∆
= 0,168
+ ∆
w
w
= 0,462
1. Variante: über Vertikaldruckberechnung
D
H63 =
= 7,09 m
4 ⋅ tanϕ
⋅ λ
p
p
v
v
= ρ
b
⋅g
⋅ H
63
w
= 23,84 kPa
⋅
F
[ 1−
exp( − H H )]
63
( ϕ ) 3, 2
ϕ
i
≈ 37°
= const. → G
i
= F 4.22
σ
c
=
a1
⋅ σ1
+ σc,
0
σ
=
⋅G
= 0,277 ⋅ 23,84 kPa +1,3 kPa = 7,9 kPa
( ϕ )
7,9 kPa ⋅3,2
=
3
420 kg m ⋅9,81m s
c,krit i
bmin =
2
ρb
⋅ g
6,14 m
b min = 6.14 m ⇒ damit >> D i und praktisch unsinnig groß!!
→ Vermeidung von Kernfluß bzw. Schachtbildung durch Massenfluß notw.
ρ
b
für σ
= 420 kg
1
m
3
≈ 25 kPa vorgewählt
2.Variante: mittels ff d -Berechnung
ff
σ
b
d
min
1+
sinϕ
=
4 ⋅ sinϕ
c,krit
σc,0
=
1−
a ⋅ ff
σ
=
c,krit
ρ
b
1
e
e
⋅ g
⋅ G
d
( )
⋅ σ ϕ
i
1+
sin47°
4 ⋅ sin47°
( ϕ ) = ⋅ G( ϕ = 37°
)
i
1,3 kPa
=
= 2,74 kPa
1- 0,277 ⋅1,9
2,74 kPa ⋅ 3,2
=
3
372 kg m ⋅ 9,81m s
i
2
= 1,9
= 2,4 m
b min = 2,4 m → im Allgemeinen b min (p v ) > b min (ff d )
→ ansonsten Massenfluß auch damit notw.!
Trichterhöhe:
D − b 2,75 m - 2,4 m
H Tr
= =
= 0,25 m
2 ⋅ tan θ 2 ⋅ tan 35°
Größter Druck:
σ = ff ⋅ σ = 1,9
1 d c, krit
⋅
2,74 kPa = 5,2 kPa
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122
4.3 Berechnung des minimalen Schaftdurchmessers
− Vermeidung von Brückenbildung durch hohe Vertikaldrücke und Schüttgutfestigkeiten
im meist zylindrischen Schaft, F 4.23
2 ⋅ σc,krit
⋅sin 2( ϕw
+ θ)
− aus bmin
≅ Dmin
=
für θ = 0 und
ρ ⋅ g
σ folgt:
c
= a1
⋅ σ1
+ σc,0
2sin2ϕw
⋅ a
D −
ρ ⋅ g
b
1
⋅ σ
1
b
2 ⋅sin2ϕw
⋅ σ
=
ρ ⋅ g
b
c,0
Darin wird die JANSSEN-Gleichung für das aktive Spannungsfeld bei vertikaler
Verdichtung eingesetzt:
ρb
⋅ g ⋅ D ⎡ ⎛
H ⎞⎤
σ1 = pv
=
⎢1
− exp⎜−
4 ⋅ λ ⋅ tanϕw
⋅ ⎟
4 ⋅ λ ⋅ tanϕ
⎥
(4.103)
w ⎣ ⎝
D ⎠⎦
2sin2ϕ
H 2 sin2
w
⋅ a1
ρb
⋅ g ⋅ D ⎡ ⎛
⎞⎤
⋅ ϕw
⋅ σ
D −
⋅
1 exp 4 tan
w
=
b
g 4 tan
⎢ − ⎜−
⋅ λ ⋅ ϕ ⋅ ⎟
ρ ⋅ ⋅ λ ⋅ ϕw
D
⎥
⎣ ⎝
⎠⎦
ρb
⋅ g
a
2 sin2
1
⋅ sin2ϕw
⎡ ⎛
H ⎤ ⋅ ϕw
⋅ σc,0
D − D ⋅
1 exp 4 tan
w
=
2 tan
⎢ − ⎜−
⋅ λ ⋅ ϕ ⋅
⎞ ⎟
⋅ λ ⋅ ϕw
D
⎥
⎣ ⎝
⎠⎦
ρb
⋅ g
sinϕW
Mit sin2ϕ W
= 2 ⋅sinϕW
⋅ cosϕW
und tanϕ W
= folgt:
cosϕ
a1
⋅ 2 ⋅sinϕw
cosϕ
D − D ⋅
sinϕw
2 ⋅ λ ⋅
cosϕ
2
a1
⋅ cos ϕ
D − D ⋅
λ
2
⎧ a1
⋅ cos ϕ
D ⋅ ⎨1
−
⎩ λ
W
W
w
W
⎡ ⎛
⎢1
− exp⎜−
4 ⋅ λ ⋅ tanϕ
⎣ ⎝
⎡ ⎛
⎢1
− exp⎜−
4 ⋅ λ ⋅ tanϕ
⎣ ⎝
⎡ ⎛
⎢1
− exp⎜−
4 ⋅ λ ⋅ tanϕ
⎣ ⎝
w
w
w
W
H ⎞⎤
2 ⋅sin2ϕw
⋅ σ
⋅ ⎟ =
D
⎥
⎠⎦
ρb
⋅ g
H ⎞⎤
2 ⋅sin2ϕw
⋅ σc,0
⋅ ⎟ =
D
⎥
⎠⎦
ρb
⋅ g
H ⎞⎤⎫
2 ⋅ sin2ϕw
⋅ σ
⋅ ⎟ ⎬ =
D
⎥
⎠⎦⎭
ρb
⋅ g
Somit folgt:
2 ⋅ sin2ϕw
⋅ σc,0
D
min
=
( 4.146)
⎪⎧
2
a ⎡ ⎛
⎞⎤⎪⎫
1
⋅ cos ϕw
H
ρb
⋅ g ⋅ ⎨1
− ⎢1
− exp⎜−
4 ⋅ λ ⋅ tanϕw
⋅ ⎟⎥⎬
⎪⎩
λ ⎣ ⎝
Dmin
⎠⎦⎪⎭
als Iterationsgleichung mit dem Startwert D min,0 = A/U bzw. b min,kon .
Wenn der {...}-Klammer-Ausdruck negativ wird, bedeutet dies Brückenbildung,
d.h. die Füllhöhe H muß bei gegebenen Schaftdurchmesser D begrenzt
werden, um die Verfestigungsspannung zu vermindern. D.h., die obige Gl.(
4.146) muß nach H umgestellt werden:
⎡ 2 ⋅ σc,0
⋅sin 2ϕw
⎤
⎢ 1 −
− D
ρ ⋅ ⋅
⎥
b
g D
H < H =
⋅ ⎢ −
⎥
max
ln 1
2
( 4.147)
4 ⋅ λ ⋅ tanϕw
⎢ a1⋅
cos ϕw
⎥
⎢
⎣ λ ⎥
⎦
− beide Gln.( 4.146) und ( 4.147) liegen auf der sicheren Seite.
c,0
c,0
c,0
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Berechnungsbeispiel Kalksteinmehl:
→ D min,0 = b min für kon. Tr. als Startwert nehmen, d.h.
0,5465
Dmin,1
=
⎧ ⎡ ⎛
12m ⎞⎤⎫
⎨1
−1,237
⋅ ⎢1
− exp⎜−
4 ⋅ 0,168 ⋅ tan30° ⋅ ⎟⎥⎬
⎩ ⎣ ⎝
1,22m ⎠⎦⎭
0,5465
D =
{ 1 −1,237[ 1 − exp( − 4,656/1,22m)
]} =
min,1
− 0,209 ⇒ Iteration beendet, keine Konvergenz
{ }
→ Dafür D min,0 = D Schaft = 2,75 m nehmen und die Höhe H von 12 m auf 10 m
verkürzen:
D
D
D
min,1
min,2
min,3
=
{ 1−1,237
⋅[ 1−
exp( − 3,88 m / 2,75 m)
]}
= 1,00 m
⇒
0,5465 m
{- 0,211} keine Konvergenz!
Daher Brückenbildung im Schaft möglich!
= 8,44 m
→ Begrenzung der Füllhöhe notwendig:
⎡ 2 ⋅1,3 kPa ⋅sin60°
⎤
⎢
1-
3
2
− 2,75 m
420 kg/m ⋅ 9,81m/s ⋅ 2,75 m ⎥
H =
⋅ ln⎢1-
2
⎥
4 ⋅ 0,168 ⋅ tan30°
⎢ 0,277 ⋅ cos 30°
/ 0,167 ⎥
⎢⎣
⎥⎦
H= 7,32 m als Füllhöhenbegrenzung
numerisches Ergebnis H = 7,49 m
→ gewöhnlich auf der sicheren Seite, d.h. größere Füllhöhen sind möglich ⇒
müssen aber praktisch überprüft werden
⇒ weitere Erfahrungen mit der Anwendung noch notwendig!
123
Schüttec_4 VO Partikelmechanik und Schüttguttechnik, Trichterauslegung Prof. Dr. Jürgen Tomas, 04.06.2013

124
4.4 Beispiel einer Trichter- u. Schaftauslegung für Kalksteinmehl
geg. Bunkerschaft: D = 2,75 m H = 12 m
D min < 0 → Brückenbildung, dafür H max = 7,32 m
Tabelle 4.2: Auslegungswerte für ein Kalksteinmehl
Bunkertrichter:
θ
ff bzw.
b min
H tr
σ 1 o. p v
grd
G(ϕ i )
m
m
kPa
über p v
35
3,2
6,14
Unsinn
23,8
Kernfluß
num.
32,6
3,33
6,0
-2,55
21,55
über ff d
35
1,9
2,4
0,25
5,2
num.
34,5
1,92
2,38
0,27
5,04
kon. Tr.
12
1,3
1,22
3,6
2,6
Massenfluß
num.
12,4
1,37
1,13
3,68
2,65
keilf. Tr.
20
1,2
0,56
3,01
2,28
num.
20,9
1,25
0,54
2,9
2,24
Diskussion der techn. Realisierbarkeit der Werte der Tabelle 4.2 anhand eines
Normsilos, siehe auch Bild F 4.37
→ sehr problematisch θ < 15° → riesige Trichterhöhen notwendig !!!
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125
4.5 Kinematik eines Schüttgutelementes auf einer geneigten Wand
4.5.1 Gleitbedingung und Geschwindigkeit auf einer Schurre
4.5.1.1 Geschwindigkeitsgesetze
Das Kräftegleichgewicht beinhaltet das Schüttgutgewicht als treibende Kraft,
den Reibungswiderstand und die Trägheitskraft 14 :
m . b g . sinα
y
x α
α
α
F R
F N
Bild 4.12: Kräfte an einem steifen
Schüttgut-Blockelement mit seiner
Masse m b auf einer um den Winkel α
geneigten Wand oder Schurre.
m b . g
∑
F
x
= 0 = mb
⋅g
⋅sin
α − FR
− FT
( 4.148)
∑ F
y
= 0 = −mb
⋅g
⋅cosα
+ FN
( 4.149)
Aus letzterem und ersterem folgen:
FN = mb
⋅g
⋅cosα
( 4.150)
F
T
= m ⋅ x
= m
b
b
⋅g
⋅sin
α − F
R
Für den Fall dass der Neigungswinkel der Schurre größer ist als der Wandreibungswinkel
α ≥ ϕ W (Gleitreibung auf der Schurrenwand), folgt mit dem
Stoffgesetz für die Gleitreibung eines kohäsiven Schüttgutes 15 - hier für den
allgemeinen Fall einschließlich mit einer gewissen Wandadhäsion F A (für ein
kohäsionsloses, freifließendes rieselfähiges Schüttgut ist F A = 0):
R
W
( F + F ) = tan ϕ ⋅( F F )
F = µ ⋅
+
N
A
W
N
A
⎛ F ⎞
FR = tan ϕW
⋅
(4.151)
m
b
⋅ x
= m
b
A
( cosα⋅
m + ) = ϕ ⋅ α⋅ ⋅
⎜ + ⎟ bg
FA
tan
W
cos mbg
1
⎝ cosα⋅
mbg
⎠
⋅g
⋅sin
α − tan ϕ
W
⋅cosα⋅
m
b
⎛ FA
⋅g
⋅
⎜1+
⎝ cosα⋅
m
Daraus folgt die Bewegungsgleichung des Schüttgut-Blockelementes auf der
geneigten Schurre:
b
⎞
⎟
g ⎠
14 Tomas, freifließendes Schüttgut, 2011
15 Tomas, kohäsives Schüttgut, ergänzt 5_2013
Schüttec_4 VO Partikelmechanik und Schüttguttechnik, Trichterauslegung Prof. Dr. Jürgen Tomas, 04.06.2013

126
⎡
⎛ F ⎞⎤
A
x
= g ⋅ ⎢sin
α − tan ϕW
⋅cosα⋅
⎜1+
⎟⎥
( 4.152)
⎣
⎝ cosα⋅
mbg
⎠⎦
Das Geschwindigkeits-Zeit-Gesetz folgt aus der ersten Integration mit der
Anfangsbedingung v = 0 für t = 0:
v
∫
0
⎡
d x = v = g ⋅ ⎢sin
α − tan ϕ
⎣
W
⎛ FA
⋅cosα⋅
⎜1+
⎝ cosα⋅
m
b
⎞⎤
⎟⎥
⋅
g ⎠⎦
⎡
⎛ F ⎞⎤
A
v = g ⋅ ⎢sin
α − tan ϕW
⋅cosα⋅
⎜1+
⎟⎥
⋅ t
⎣
cos mbg
( 4.153)
⎝ α⋅ ⎠⎦
Die erneute Integration liefert das Weg-Zeit-Gesetz:
x
∫
0
⎡
dx = g ⋅ ⎢sin
α − tan ϕ
⎣
W
⎛ FA
⋅cosα⋅
⎜1+
⎝ cosα⋅
m
b
⎞⎤
⎟⎥
⋅
g ⎠⎦
t
∫
0
t
∫
0
t dt
2
⎡
⎛ F ⎞⎤
A
t
x = g ⋅ ⎢sin
α − tan ϕW
⋅cosα⋅
⎜1+
⎥ ⋅
⎣
cos mbg
⎟
( 4.154)
⎝ α⋅ ⎠ ⎦ 2
Umstellen nach t liefert die Zeit-Weg-Funktion
2
2⋅
x
t =
⎡
⎛ F ⎞⎤
A
g ⋅ ⎢sin
α − tan ϕW
⋅cosα⋅
⎜1+
⎟⎥
⎣
⎝ cosα⋅
mbg
⎠⎦
t =
⎡
g ⋅ ⎢sin
α − tan ϕ
⎣
W
2⋅
x
⎛ FA
⋅cosα⋅
⎜1+
⎝ cosα⋅
m
b
⎞⎤
⎟⎥
g ⎠⎦
dt
( 4.155)
und Einsetzen in das Geschwindigkeits-Zeit-Gesetz, Gl.( 4.153), liefert das
Geschwindigkeits-Weg-Gesetz:
⎡
v = g⎢sin
α − tan ϕ
⎣
W
⎛ F ⎞⎤
A
cosα
⎜1+
⎟⎥ ⋅
⎝ cosα⋅
mbg
⎠⎦
⎡
g⎢sin
α − tan ϕ
⎣
W
2⋅
x
⎛ F ⎞⎤
A
cosα
⎜1+
⎟⎥
⎝ cosα⋅
mbg
⎠⎦
v =
⎡
⎤
2
⎛ F ⎞
A
2⋅
x ⋅g
⋅ ⎢sin
α − tan ϕW
⋅cosα⋅
⎜1+
⎟⎥
⎣
⎝ cosα⋅
mbg
⎠⎦
⎡
⎛ F ⎞⎤
A
g ⋅ ⎢sin
α − tan ϕW
⋅cosα⋅
⎜1+
⎟⎥
⎣
⎝ cosα⋅
mbg
⎠⎦
2
v =
⎡
⎛ F ⎞⎤
A
2⋅g
⋅ x ⋅ ⎢sin
α − tan ϕW ⋅cosα⋅
⎜1+
⎟⎥
( 4.156)
⎣
⎝ cosα⋅
mbg
⎠⎦
Deutlich bequemer und kürzer: Dieses Geschwindigkeits-Weg-Gesetz (
4.156) erhält man auch direkt aus dem Bewegungsgesetz ( 4.152), wenn man
das Zeitinkrement dt durch das Weginkrement dx ersetzt 15
Schüttec_4 VO Partikelmechanik und Schüttguttechnik, Trichterauslegung Prof. Dr. Jürgen Tomas, 04.06.2013

dx
dt = (4.157)
v
dv ⎡
⎛ F ⎞⎤
A
v ⋅ = g ⋅ ⎢sin
α − tan ϕW ⋅cosα⋅
⎜1+
⎟⎥
( 4.158)
dx ⎣
⎝ cosα⋅
mbg
⎠⎦
und zwischen 0 bis v sowie von 0 bis x integriert:
v
⎡
⎛ F ⎞⎤
A
∫ v ⋅dv
= g ⋅ ⎢sin
α − tan ϕW
⋅cosα⋅
⎜1+
⎟⎥
⋅
⎣
⎝ cosα⋅
m
0
bg
⎠⎦
2
v ⎡
= g ⋅ ⎢sin
α − tan ϕ
2 ⎣
Es ist also wiederum:
W
⎛ F ⎤
A
cos 1
⎥ ⋅ x
cos mbg
⎟ ⎞
⋅ α⋅
⎜ +
⎝ α⋅ ⎠⎦
x
∫
0
dx
127
v =
⎡
⎛ F ⎞⎤
A
2⋅g
⋅ x ⋅ ⎢sin
α − tan ϕW ⋅cosα⋅⎜
1+
⎟
⎥
( 4.156)
⎣
⎝ cosα⋅
mbg
⎠⎦
4.5.1.2 Gleitbedingung auf der Wand
Für die Gleitgeschwindigkeit v in Abhängigkeit von der Höhe h folgt gemäß
h
Bild 4.12 mit sin α =
x
v =
h ⎡
2⋅g
⋅ ⋅ ⎢sin
α − tan ϕ
sin α ⎣
W
⎛ FA
⋅cosα⋅⎜
1+
⎝ cosα⋅
m
b
⎞⎤
⎟
⎥
g ⎠⎦
v =
⎡ tan ϕ
2⋅g
⋅ h ⋅ ⎢1
−
⎣ tan α
W
⎛ FA
⋅
⎜1+
⎝ cosα⋅
m
b
⎞⎤
⎟⎥
g ⎠⎦
( 4.159)
F A = 0: Für ein kohäsionsloses, freifließendes rieselfähiges Schüttgut muss also
der Neigungswinkel der Schurren α > φ w werden, damit Fließen oder Gleiten
einsetzt und die Abgleitgeschwindigkeit v > 0 wird!
tan ϕ ⎛ F ⎞
F A > 0: W A
1
1
tan
⎜
cos mbg
⎟ < FA
tan α
⋅ +
, < −1
α ⎝ α⋅ ⎠ cosα⋅
mbg
tan ϕW
Mit einem Additionstheorem der Winkelfunktionen ist:
FA
sin α sin α⋅cosϕW
cosα⋅sin
ϕW
sin α − ϕ
< − cosα =
−
=
m g tan ϕ
sin ϕ sin ϕ sin ϕ
b
sin
W
F
A
( − ϕW
) > ⋅sin
ϕW
α mbg
, A
⎜
⎟ W
W
⎝ mbg
⎠
W
α − ϕ
W
⎛ F
> arcsin ⎜
⋅sin
ϕ
( )
Gleiten tritt mit merkbarer Geschwindigkeit v > 0 nur dann ein, wenn der
Schurrenneigungswinkel groß genug ist 15 :
α > ϕ
W
⎛ F ⎞
A
+ arcsin ⎜ ⋅sin
ϕW
⎟
( 4.160)
⎝ mbg
⎠
⎞
W
W
Schüttec_4 VO Partikelmechanik und Schüttguttechnik, Trichterauslegung Prof. Dr. Jürgen Tomas, 04.06.2013

128
Diese Bedingung gilt für die notwendige Restentleerung des Silos bei vergleichsweise
flach geneigten Trichterwänden θ KF = 90° - α im Kernflußregime,
siehe Bild 4.13. Außerdem geht die allgemeine Gl.( 4.160) für F A = 0 in
die vorstehende Bedingung α > ϕ über.
W
4.5.2 Gleitbedingung und Geschwindigkeit auf einer Böschung
→ Siehe „Füllen und Entleeren eines Bechers mit freifließendem Schüttgut“
Bild F 4.24
4.5.2.1 Geschwindigkeitsgesetze
Beim stationären Abgleiten eines kohäsiven Schüttgutes auf einer geneigten
Böschung mit innerer Reibung gehen, wie bei einer rauen Wand 15 ,
(1) der Schurrenneigungswinkel α → φ B in den Böschungswinkel,
(2) der kinematische Wandreibungswinkel φ w → φ st in den stationären (inneren)
Reibungswinkel und
(3) die Wandhaftung F A → F H0,b in die Haftkraft unverfestigter Partikelkontakte
des kohäsiven Schüttgut-Blockelementes über, siehe Gl..
Analog zur Gl.( 4.152) ergibt sich die Bewegungsgleichung des kohäsiven
Schüttgut-Blockelementes auf der geneigten Böschung:
⎡
⎛ F ⎤
H0,b ⎞
x
= g ⋅ ⎢sin
ϕB
− tan ϕst
⋅cosϕB
⋅⎜
1+
⎟⎥
( 4.161)
⎣
⎝ cosϕB
⋅ mbg
⎠⎦
Das Geschwindigkeits-Weg/Höhe-Gesetz ( 4.156) erhält man aus dem Bewegungsgesetz
( 4.161), siehe Gl.( 4.159):
v =
⎡ tan ϕ
2⋅g
⋅ h ⋅ ⎢1
−
⎣ tan ϕ
st
B
⎜ ⎛ F
⋅ 1+
⎝ cosϕ
H0,b
B
⋅ m
b
⎤
⎟ ⎞
⎥
g ⎠⎦
( 4.162)
Das Geschwindigkeits-Zeit-Gesetz folgt aus der ersten Integration mit der
Anfangsbedingung v = 0 für t = 0, siehe auch Gl.( 4.153):
⎡
⎛ FH0,b
⎞⎤
v = g ⋅ ⎢sin
ϕB
− tan ϕst
⋅cosϕB
⋅
⎜1+
⎥ ⋅ t
⎣
cos
B
mbg
⎟
( 4.163)
⎝ ϕ ⋅ ⎠⎦
Die erneute Integration liefert das Weg-Zeit-Gesetz:
2
⎡
⎛ FH0,b
⎞⎤
t
x = g ⋅ ⎢sin
ϕB
− tan ϕst
⋅cosϕB
⋅
⎜1+
⎥ ⋅
⎣
cos
B
mbg
⎟
( 4.164)
⎝ ϕ ⋅ ⎠⎦
2
Umstellen nach t liefert die Zeit-Weg-Funktion
t =
⎡
g ⋅ ⎢sin
ϕ
⎣
B
− tan ϕ
st
2⋅
x
⋅cosϕ
B
⎛ F
⋅
⎜1+
⎝ cosϕ
H0,b
B
⋅ m
b
⎞⎤
⎟⎥
g ⎠⎦
( 4.165)
Schüttec_4 VO Partikelmechanik und Schüttguttechnik, Trichterauslegung Prof. Dr. Jürgen Tomas, 04.06.2013

129
4.5.2.2 Gleitbedingung auf einer Schüttgutböschung
Gleiten tritt mit merkbarer Geschwindigkeit v > 0 nur dann ein, wenn der Böschungswinkel
groß genug ist, siehe auch Gl.( 4.160):
ϕ
B
> ϕ
st
⎛ FH0,b
⎞
+ arcsin ⎜ ⋅sin
ϕst
⎟
( 4.166)
⎝ mbg
⎠
Diese Fließbedingung läßt sich ebenfalls für das erforderliche Fließen am Rand
der rauen Schüttgutwand der inneren Kernflusszone des Silos eines vergleichsweise
flach geneigten Trichters θ KF = 90° - φ B anwenden, Bild 4.13:
Θ
KF
Fließzone
tote
Zone
Bild 4.13: Schüttgutreibung an geneigten Wänden
im Kernflußsilo, innere Reibung zwischen
Fließ- und Totzone und an der raue Wand im
resultierenden Schüttguttrichter des Flachbodens
(links), Wandreibung an der flachen Wand
(rechts, wie auf einer Schurre).
ϕ
B
α = ϕ
w
Darüber hinaus geht die allgemeine Gl.( 4.166) für F H0,b = 0 in die vorstehende
Bedingung ϕ > ϕ über.
B
st
Der Term F H0,b /(m . b g) kennzeichnet darüber hinaus das Verhältnis der gesamten
Haftkraft zur Gewichtskraft des kohäsiven Schüttgut-Blockelementes mit
einer Höhe h 0 . Mit seiner Scherfläche A 0 , der isostatischen Zugfestigkeit σ 0 und
der Schüttdichte ρ b,0 der lockeren Packung unverfestigter Partikelkontakte läßt
sich abschätzen:
F
F
A
A
H0,b H0,b 0
0
0
≈ ⋅ = σ0
⋅
=
( 4.167)
bg
A0
mpg
ρb,0
⋅ A0
⋅ h0
⋅g
ρb,0
⋅g
⋅ h0
m
Gemäß Schüttec_3.doc#Haftkraftverhältnis_Abschätzung läßt sich das auch als
Verhältnis der Haftkraft/Gewichtskraft eines einzelnen Partikels mit seiner Anzahl
n p in einer angenommenen Wirkungskette interpretieren, mit F H0 /F G,p = 1
bis 10 8 , siehe Tabelle 3.1 in Schüttec_3.pdf:
n
F
( 100 µ m)
2
H0,b FH0
FH0
p
= ≈
= ≈
( 4.168)
3
2
mpg
ρs
⋅π / 6⋅d
⋅g
FG,p
d
σ
4.5.3 Freier Fall eines Schüttgutelementes
Man beachte, dass für α = 90° aus der Bewegungsgleichung eines Schüttgut-
Blockelementes auf einer geneigten Schurre, Gl.( 4.152), die Gesetze des freien
Falls folgen:
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130
a) Bewegungsgleichung:
x = g
( 4.169)
b) Geschwindigkeits-Zeit-Gesetz:
v = g ⋅ t
( 4.170)
c) Weg-Zeit-Gesetz:
2
t
x = g ⋅
( 4.171)
2
d) Zeit-Weg-Funktion:
2 ⋅ x
t = ( 4.172)
g
e) Geschwindigkeits-Weg-Gesetz mit dt = dx/v:
dv v 2
v ⋅ = g = g ⋅ x
( 4.173)
dx 2
v = 2 ⋅ g ⋅ x
( 4.174)
Diese kinematischen Gesetze müssen nun im folgenden Abschnitt 4.6 für den
ungleich komplizierteren und komplexeren Fall des gleichmäßig beschleunigten,
reibungsbehafteten Ausfließens eines kohäsiven Schüttgutes aus einem
konvergenten Trichter hergeleitet werden:
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131
4.6 Berechnung des Trichterauslaufmassenstromes
Neben den technologischen Reservefunktionen und Störreserven dienen
Schüttgutbehälter, wie z.B. Befülltrichter, Bunker oder Silos, der Vergleichmäßigung
von Mengenströmen, Partikelgrößenverteilungen, Dichten und chemisch-mineralogischer
Zusammensetzungen. Um also für die mengenmäßige
Vergleichmäßigung den Aufwand an Fördertechnik und Automatisierungstechnik
(Dosiertechnik) zu minimieren, muss die zu erwartende Schwankungsbreite
des Massenstroms resultierend aus den möglichen Veränderungen der Schüttguteigenschaften
geklärt werden. Speicher sollen bekanntlich Schwankungen
glätten und nicht noch mehr Störungen hervorrufen, als ohnehin in einer verfahrenstechnischen
Anlage auftreten.
4.6.1 Vergleich bisheriger Modelle
4.6.1.1 Stationäres Ausfließen einer Flüssigkeit
Für das stationäre Ausfließen von Flüssigkeiten (= viskose Reibung!) aus
Tanks gilt mit der Energiestrombilanz (Leistungsbilanz) bezogen auf den Massenstrom
m , svw. spezifische Energiebilanz oder BERNOULLI-Gleichung
(u Fluidgeschwindigkeit, p statischer Druck, y Höhenkoordinate):
2
u p
+ + g ⋅ y = const.
( 4.175)
2 ρ
l
A 1
u 1
Bild 4.14: Ausströmen einer Flüssigkeit
aus einem Tank
p 1
A 2
y 1
h
y
g
u 2
y 2
p 2
u p u p
+ ( 4.176)
2
2
2
1 1
2 2
+ g ⋅ y1
= + + g ⋅ y2
ρl
2 ρl
und der Volumenstrombilanz
u
1
A1
= u
2
⋅ A
2
⋅ ( 4.177)
u
2
2
1
2 ⋅ p
+
ρ
l
1
+ 2 ⋅ g ⋅ y
1
2 ⋅ p
−
ρ
l
2
− 2 ⋅ g ⋅ y
2
= u
2
2
2
u
2
⋅ A
−
A
2
1
2
2
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u
2 ⋅ g ⋅
( y − y ) + 2 ⋅ ( p − p )
/ ρ
1 2
1 2 l
2
= ( 4.178)
2 2
1−
A
2
/ A1
Da nun ∆y = y 1 – y 2 = h die Behälterfüllhöhe darstellt, der Auslaufquerschnitt
A 2

4.6.2 Allgemeines Prozessmodell einer gleichmäßig beschleunigten kohäsiven
Schüttgutbrücke
• Beim Ausfließen eines feinkörnigen Schüttgutes aus einem Trichter dehnt
sich dieses aufgrund der abnehmender Spannungen zur Trichterspitze hin
aus (Dilatanz), siehe Bild 4.4. Dadurch wird ein Unterdruck in den
Partikelporenräumen erzeugt, der eine Fluidströmung entgegen der
Austragsrichtung in das Gut hinein bewirkt.
• Außerdem muß man häufig gegen einen leichten Überdruck der Umgebung
(oder Unterdruck im geschlossenen Behälter) austragen - man denke dabei
an die Blasenbildung und Luftrückströmung beim Ausgießen von Getränken
aus geschlossenen Flaschen.
4.6.2.1 Modellbildung
4.6.2.1.1 Kräftegleichgewicht an einer gleichmäßig beschleunigten Brücke
Das Kräftegleichgewicht der Gewichtskraft F G , Trägheitskraft F T und Auflagerkraft
F V einer gleichmäßig beschleunigten, dynamischen Brücke eines
kohäsiven Schüttgutes unter Berücksichtigung der Fluid-Widerstandkraft F F
einer Fluidgegenströmung durch das fließende Schüttgutbett innerhalb des
Trichters liefert (dh B inkrementelle Schicht- oder Brückenhöhe, F 4.4:
dF
dF
dF
G
V
T
= ρ ⋅ g ⋅ A ⋅ dh
( 4.182)
b
1
B
B
= σ′ ⋅ cos δ ⋅ sin δ ⋅ U ⋅ dh
( 4.183)
b
B
B
B
B
= a ⋅ρ ⋅ A ⋅ dh
( 4.184)
dp
dFF
= ⋅ AB
⋅ dh
B
( 4.185)
dh
B
∑ dF ↓= 0 und damit 0 = dFG
− dFV
− dFT
− dFF
Einsetzen der obigen Gln.( 4.182) bis ( 4.185 liefert:
sin 2δ
U
B
dp
0 = ρb
⋅g
⋅A
B
⋅dh
B
− σ′
1
⋅ ⋅ ⋅ A
B
⋅dh
B
− a ⋅ρb
⋅ A
B
⋅dh
B
− ⋅ A
B
⋅dh
B
2 A
dh
B
Für σ 1 ’ = σ c,krit und δ = θ + ϕ w ist bekanntlich, siehe Gl. ( 4.15):
(m + 1) ⋅ σc,krit⋅
sin 2( ϕw
+ θ)
bmin
= ( 4.15)
ρ ⋅ g
Einsetzen:
b
B
133
m + 1
0 = ρb
⋅g
− σ′
1
⋅sin 2δ⋅
− a ⋅ρb
−
b
dp
dh
B
1
⋅
ρ b
⋅ g
b
b
min
a 1 dp
= 1 − − ⋅
(4.186)
g ρ ⋅ g dh
b
B
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Die vertikale Beschleunigung a der Schüttgutströmung aus der Ruhelage, z.B.
durch Öffnung des Schiebers oder kurzzeitige Brückenbildung, setzt sich sowohl
aus dem Anteil
(1) durch die Querschnittsverengung des Trichters, svw. Trichterkonvergenz
∂A/∂h, als auch aus
(2) der Bremswirkung infolge der reinen Trägheitswirkung der dynamischen
Schüttgutbrücke (Anlaufvorgang) ∂v/∂t zusammen
dv(h,t) ⎛ V(t) ⎞ ∂V
V
∂A
a = = d dt − ⋅
2
dt
⎜
=
A(h,t)
⎟
, ( 4.187)
⎝ ⎠ ∂t⋅
A A ∂dt
∂A
∂A
∂h
∂A
mit: = ⋅ = ⋅ v
∂t
∂h
∂t
∂h
wobei der Volumenstrom im gesamten Trichter konstant bleibt, d.h. für die
Kontinuitätsbedingung wird näherungsweise ein inkompressibles Schüttgut ρ b
≈ const. angenommen, V
(t) ≠ f (h)
. Einsetzen liefert:
dv V
dA dv 2 dA
a = − ⋅ ⋅ v = − v ⋅
2
dt A dh dt A⋅
dh
b/2
θ
y, h
x
( 4.188)
Nebenrechnungen:
b = 2⋅
h⋅
tan θ
( 4.189)
A
A
A
2
= b = 4h
tan
θ
π 2 2 2
= b = πh
tan θ
4
= l ⋅ b= l ⋅ 2htanθ
2
2
( 4.190)
134
Bild 4.15: Trichtergeometrie
Wenn die Höhenkoordinate h von oben beginnend angesetzt wird, nimmt die
Trichterquerschnittsfläche A nach unten ab. Diese Flächenabnahme dA/dh muß
dann mit einem - Vorzeichen versehen werden. Aus Bild 4.15 folgt für einen
quadratischen Auslauf
2
1 dA 8htan θ 2 4⋅
tan θ
⋅ = − = − = − ,
2 2
A dh 4h tan θ h b
runden Auslauf
2
1 dA 2πytan
θ 2 4⋅
tan θ
⋅ = − = − = −
2 2
A dh πy
tan θ h b
und schlitzförmigen Auslauf:
1 dA 2ltanθ
1 2⋅
tan
⋅ = − = − = −
θ
( 4.191)
A dh 2lytanθ
h b
Allgemeingültig liest man aus den obigen Gln.( 4.191) nun mit dem Trichterformfaktor
m ab:
1 dA m + 1 2⋅
(m + 1) ⋅ tan θ
⋅ = − = −
( 4.192)
A dh h
b
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Damit folgt schließlich für die Beschleunigung des beginnenden Fließens einer
kohäsiven Schüttgutbrücke im konvergenten Trichter:
a
dv
dt
2(m+
1)tan θ
b
2
= + ⋅ v
( 4.193)
Die Auslaufgeschwindigkeit v(t) ≠ f(x) wird hier über dem Trichterquerschnitt
als konstant vorausgesetzt, siehe Bild 4.15. Eingesetzt in Gl.(4.186) ergibt sich
nun die folgende inhomogene, nichtlineare Differentialgleichung erster Ordnung
für die Auslaufgeschwindigkeit v(t) des beginnenden Fließens der kohäsiven
Schüttgutbrücke:
dv 2 ⋅ (m+
1) ⋅ tan θ
+
⋅ v
dt b
2
+
dp
dh
B
1
ρ
b
⎜
⎛ b = g ⋅ 1 −
⎝ b
min
⎟ ⎠
⎞
( 4.194)
Wegen der Geschwindigkeitsabhängigkeit des Druckverlustes während der
Durchströmung der fließenden Schüttgutbrücke (-bettes) dp/dh B = f(u) ist auch
für v ≡ u :
dv 2 ⋅ (m+
1) ⋅ tan θ ⎡ b dp 1 ⎤ ⎛ ⎞
⎢
⋅ ⋅ ⎥ ⋅ 2 b
⋅ +
= ⋅ ⎜ − min
+
1
v g 1 ⎟ ,
2
dt b ⎣ 2 ⋅ (m+
1) ⋅ tan θ dhB
ρb
⋅ u ⎦ ⎝ b ⎠
( 4.195)
Der Term (1- b min /b) erfasst den Fließwiderstand bzw. die Trägheitswirkung
einer kohäsiven Brücke in dem konvergenten Fließkanal, d.h. die Behinderung
des Trichterausflusses aufgrund der kohäsiven Schüttguteigenschaften. Die
minimale Trichteröffnungsweite zur Vermeidung der Brückenbildung b min ist
im Wesentlichen ein apparatives Äquivalentmaß der inneren Haftkräfte im kohäsiven
Schüttgut.
135
4.6.2.1.2 Druckverlust während der homogenen Durchströmung
Der Druckverlust dp/dh B der nach unten fließenden, statistisch homogen
durchströmten Schüttgutbrücke hängt selbstverständlich von der Durchströmungsgeschwindigkeit
der Luft in den Poren u ε und damit von der
Austragsgeschwindigkeit v ab. Infolge der Druckabnahme dehnt sich die
Schüttgutbrücke beim Ausfließen aus (Dilatanz). In den Poren der Brücke
wird ein Unterdruck erzeugt. Deshalb wird Luft „ansaugt“ und folglich das
Fließen der Schüttgutbrücke durch diese Luftgegenströmung abgebremst.
Wenn sich die Schüttgutbrücke beim Ausfließen durch ein umgebendes ruhendes
Fluid hindurchbewegt wird der Betrag der Relativgeschwindigkeit zwischen
Fluid und Brücke u r (kein Schlupf und zusätzliche Anströmung u = 0)
der Brückenaustraggeschwindigkeit v entsprechen:
= u − v ≅ v , ( 4.196)
u r
Folglich wären alle nachfolgenden Kennzahlen mit der Relativgeschwindigkeit
u r zu bilden. Anstelle dieser Sichtweise kann auch strömungstechnisch
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analog die homogene Durchströmung einer ruhenden Brücke v = 0 betrachtet
werden:
= u − v ≅ u
( 4.197)
u r
Somit ist der Zusammenhang zwischen der sog. Anströmgeschwindigkeit
(Leerrohrgeschwindigkeit) u und der mittleren Geschwindigkeit u
ε
der durchströmten
Kanäle des Durchmessers d ε , wie folgt darstellbar:
u = u ε
( 4.198)
ε
/
Die mittlere Porengröße (= sog. hydraulischer Durchmesser charakteristischer
zylindrischer Kanäle d h ) Schüttec_3.doc - hydraulischerDurchmesser
Gl.(3.142), sei
2 ⋅ ε ⋅ dST
dε =
( 4.199)
3⋅
(1 − ε)
Dabei ist d ST die gemittelte oberflächengleichwertige Partikelgröße oder der
sog. SAUTER-Durchmesser der durchströmten Schüttgutbrücke, Gl.(1.70)
MVT_e_1neu.doc#SAUTER_Durchmesser_M:
1 1
d
ST
= =
( 4.200)
M
−1,3
do
∫ − 1
d
du
q
3
(d)d(d)
Es ist nun zweckmäßig, den Druckverlust mit Hilfe der EULER-Zahl (=
Druckkraft/Trägheitskraft) als dimensionslose Kennzahl für das Durchströmungsproblem
einer Partikelschüttung auszudrücken 16 :
Eu
ε
F W,ε
2⋅
F / A
= ( 4.201)
ρ
W, ε
2
f⋅
uε
Widerstandskraft in den Kanälen
ρ f Fluiddichte
Mit der homogen durchströmten Querschnitts- bzw. Porenfläche
136
Aε = ε⋅
A und
der charakteristischen Abmessung des Strömungsprofils in Form des Porendurchmessers
V ε /A ε ⇒ d ε folgt mit dem Druckverlust der Schüttschicht (Index
B für eine Schüttgutbrücke oder Festbett)
( dp / dh
B
) ⋅
2
⋅ ( u / ε) ⋅ ε
2 ⋅ dε
Eu
B
= (4.202)
ρ
f
und mit der Gl.( 4.199):
( dp / dh )
2
4 ⋅
B
⋅ ε ⋅ dST
Eu
B
=
2
( 4.203)
3⋅ρ
⋅ u ⋅ (1 − ε)
f
Der Druckverlust des Festbettes ist somit:
16 MOLERUS, O., Principles of Flow in Disperse Systems, p. 10, Chapman & Hall, London
1993
Schüttec_4 VO Partikelmechanik und Schüttguttechnik, Trichterauslegung Prof. Dr. Jürgen Tomas, 04.06.2013

dp
dh
3⋅
ρ
⋅ u ⋅ (1 − ε)
2
f
= ⋅ Eu
2
B
( 4.204)
B
4 ⋅ ε ⋅ dST
Die EULER-Zahl hängt von der Partikel-REYNOLDS-Zahl (MOLERUS, p.
17) und somit vom mittleren Porendurchmesser d ε ab, Gl. ( 4.199):
(u
r
/ ε)
⋅ dST⋅
ρf
3⋅
u
r
⋅ d
ε⋅ρf
⋅ (1 − ε)
Re =
=
( 4.205)
2
η
2 ⋅ ε ⋅ η
η f
f
dynamische Fluidviskosität
f
Der Durchströmungswiderstand Eu = f(Re) wird nun wie folgt quantifiziert:
137
4.6.2.1.3 Durchströmungsbedingungen
Für die im Allgemeinen laminaren bis turbulenten Durchströmungsbedingungen
beim Ausfließen muss Re < 10 4 erfüllt sein (man beachte die Analogie, bei
der Umströmung soll Re < 2⋅10 5 sein). Nach MOLERUS (1982) folgt für
‣ das Festbett Schüttec_3.doc - Druckverlust_Festbett_Molerus
2
1,5
24 ⎪
⎧ ⎡d
1 d ⎪
⎫
⎛ ⎞ ⎤ 4 ⎪⎧
⎛ d ⎞ ⎪⎫
⎛ d ⎞
Eu
B
= ⋅ ⎨1
+ 0,692⋅
⎢ + ⋅⎜
⎟ ⎥ ⎬ + ⋅ ⎨1
+ 0,12⋅⎜
⎟ ⎬ + 0,4 + ⎜ ⎟
Re
a 2 a Re
a
0,95
⎪⎩ ⎝ ⎠0,95
⎪⎭ ⎝ a ⎠
⎪⎩
⎢⎣
⎝ ⎠ ⎥⎦
⎪⎭
( 4.206)
für die Porositätsfunktion (Partikelgrößen-Abstandsverhältnis), siehe dazu
das Würfelzellenmodell ../VO_MVT_Neu/MVT_e_1neu.doc#a_phis
0,95
0,891
⋅
0,1
Re
⎛ d ⎞
⎜ ⎟
⎝ a ⎠
=
3
0,95
0,95 − 1
3
1− ε
− ε
mit ( 4.207)
3
( 1 ε ) 0, 95
− d.h. (1-ε) max = 0,8574 ( 4.208)
max =
‣ und für eine homogene Wirbelschicht (expandierendes Festbett)
Der Druckverlust läßt sich in diesem Falle aus der um den statischen Auftrieb
verminderten Gewichtskraft der schwebenden Schüttung berechnen:
dp
dh
WS
( ρ − ρ ) ⋅ g
= (1 − ε ) ⋅ , ( 4.209)
WS
s
f
wobei die Feststoffdichte wesentlich größer als die Fluid- oder gewöhnlich
Gasdichte ρ s >> ρ f ist:
dp
dh
ρ b,WS
ρ
⋅
( ρ − ρ ) ⋅ g ≈ ρ ⋅ g
b,WS
=
s f
b,WS
( 4.210)
WS
ρs
Schüttgutdichte im Wirbelschichtzustand (Index WS)
Damit ist die EULER-Zahl im Wirbelschichtzustand
Eu
4⋅
( ρ − ρ )
⋅ g ⋅ ε
⋅ d
2
s f
ST
WS= ( 4.211)
2
3⋅
ρf
⋅ u
Es folgt Schüttec_3.doc - Druckverlust_Wirbelschicht_Molerus:
Schüttec_4 VO Partikelmechanik und Schüttguttechnik, Trichterauslegung Prof. Dr. Jürgen Tomas, 04.06.2013

Eu
WS
=
2
24 ⎪⎧
⎡d
1 ⎛ d ⎞ ⎤⎪⎫
⋅⎨1
+ 0,341⋅
⎢ + ⋅⎜
⎟ ⎥⎬
+
Re ⎪⎩ ⎢⎣
a 2 ⎝ a ⎠ ⎥⎦
⎪⎭
4 ⎪⎧
⎛ d ⎞
⋅ ⎨1
+ 0,07⋅⎜
⎟
Re ⎪⎩ ⎝ a ⎠
mit der Porositätsfunktion (Partikelgrößen-Abstandsverhältnis)
⎛ d ⎞
⎜ ⎟
⎝ a ⎠
3
=
3
1− ε
3
0,9
0,9 − 1
( 1 ε ) 0, 9
max =
− ε
1,5
138
⎪⎫
d 0,907
⎬ + 0,4 + ⋅
0,1
⎪⎭
a Re
( 4.212)
und (4.213)
− d.h. (1-ε) max = 0,729 ( 4.214)
Man beachte die Plausibilität dieser Gleichungen, d.h., als Grenzwert der expandierenden
Wirbelschicht (Flugstaubwolke) muss sich der Widerstand der
Umströmung der Einzelpartikel (ideal glatte Kugeln) lim ⎜ ⎛ Eu ⎟⎞
⎠
= c ergeben:
ε→1
⎝
24 4
EuWS ( ε = 1) = EuKugel=
cW
= + + 0,4 ,
Re Re
( 4.215)
wobei sich die folgenden Einflüsse auf die Durchströmungs- bzw. Umströmungsbedingungen
abgrenzen lassen:
⇒ {...}
Re
Term für laminare Durchströmung
⇒ {...}
Re
Übergangsterm und
⇒ 0,4 + ... Term für turbulente Durchströmung
WS
W
4.6.2.2 Differentialgleichung des Ausfließens
Aus der Differentialgleichung ( 4.195)
dv 2 ⋅ (m+
1) ⋅ tan θ ⎡ b
+
⋅ ⎢1
+
⋅
dt b ⎣ 2 ⋅ (m+
1) ⋅ tan θ
dp
dh
B
1
⋅
ρ ⋅ u
b
2
⎤
⎥ ⋅ v
⎦
2
⎜
⎛ b = g ⋅ 1 −
⎝ b
min
⎞
⎟
⎠
folgt mit den Gln. ( 4.195), ( 4.197) und ( 4.204)
dp
dh
B
dp
dh
B
dp
dh
B
2
3⋅ρf
⋅ u ⋅ (1 − ε)
= ⋅ Eu
B
(u
r
)
( 4.204)
2
4 ⋅ ε ⋅ d
ST
1 3⋅ρf
⋅ (1 − ε)
⋅ =
⋅ Eu
B
(u
r
) und
2
2
ρ ⋅ u 4 ⋅ ρ ⋅ ε ⋅ d
b
1
3⋅ρ
b
⋅ Eu
ST
(u
)
1− ε ρb
=
ρ ρ ⋅ ρ
b
s
b
1
=
ρ
⋅ f B r
=
2
2
ρb
⋅ u 4 ⋅ρs
⋅ ε ⋅ d
( 4.216)
ST
s
die grundlegende Differentialgleichung erster Ordnung des beginnenden, instationären
oder beschleunigten Ausfließens kohäsiver Schüttgüter aus einem
konvergenten Trichter:
dv 2(m+
1) ⋅ tan θ ⎡ 3⋅
b ⋅ ρ
⎤
f
⋅ Eu
B
(v(t))
+
⋅ ⎢1
+
⎥ ⋅ v
2
dt b ⎣ 8 ⋅ d
ST⋅
ε ⋅ ρs⋅
(m+
1) ⋅ tan θ⎦
2
⎞
⎜
⎛ b = ⋅ − min
g 1 ⎟
⎝ b ⎠
( 4.217)
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139
Für den einfachen Fall des stationären Fließens dv/dt = 0 läßt sich die obige
Differentialgleichung einfach auflösen:
⎞
⎜ ⎛ b
min,st
g ⋅ b ⋅ 1 −
⎟
⎝ b
v
⎠
st
(b) =
( 4.218)
⎡ 3⋅
b ⋅ρ ⋅
⎤
f
Eu
B
(vst
)
2 ⋅ (m+
1) ⋅ tan θ ⋅ ⎢1
+
2
⎥
⎣ 8⋅
d
ST⋅
ε ⋅ ρs⋅
(m+
1) ⋅ tan θ⎦
Für das stationäre Fließen sollte nun statt b min die etwas kleinere minimale
Öffnungsweite des stationäres Ausfließen b min,st gemäß Gl. ( 4.72) eingesetzt
werden. Man erkennt unmittelbar, daß bei einer ausgeführten Öffnungsweite
von exakt b = b min,st sich Brückenbildung ergeben würde - zumindest mit einer
50%igen Wahrscheinlichkeit. Die Auslaufgeschwindigkeit ist folglich v st = 0.
Die Reduzierung der stationären Auslaufgeschwindigkeit mit zunehmender
Druckdifferenz dp/(dh . B ρ . b u 2 ) lässt sich anhand des Durchströmungsterms mit
der EULER-Zahl Eu B (v st ) als Widerstand ebenfalls abschätzen. Wollte man
eine mögliche Sogwirkung eines äußeren Unterdruckes unterhalb des Ausflusses
berücksichtigen, wäre statt des (+dp) ein (-dp) Vorzeichen zu schreiben.
Diese inhomogene, nichtlineare Differentialgleichung erster Ordnung, Gl.(
4.217), lässt sich wegen der komplizierten nichtlineare Abhängigkeit von den
Durchströmungsbedingungen der Partikelschichten Eu B = Re(v(t)) nur numerisch
lösen, z.B. mit der RUNGE-KUTTA-Methode:
4.6.2.3 Numerische Lösung mit der RUNGE-KUTTA-Methode
Gleichung ( 4.217) wird unter Verwendung von Gl.( 4.241) umgeschrieben
dv
2(m+
1) ⋅ tan θ
( ) [ ] ⎞
⎜
⎛ ⋅ + ⋅
2 b
= = −
+ ⋅ − min
f (v,t)
1 cEu
v (t) g 1 ⎟ ( 4.219)
dt
b ⋅ 1−k
b⋅
d / b
⎝ b ⎠
mit dem Parameter c Eu , EULER-Zahl und REYNOLDS-Zahl:
3⋅
ρf
⋅ Eu
B(Re)
⋅ b ⋅ ( 1−
k
b⋅
d / b)
cEu =
( 4.220)
2
8⋅
d ⋅ε ⋅ ρ ⋅ (m+
1) ⋅ tan θ
ST
s
Eu
B
2
3
3
24
⎧
1 1 1
⎫
⎪
⎡ − ε ⎛ − ε ⎞ ⎤
⎪ 4
= ⋅ ⎨1
+ 0,692⋅
⎢
+ ⋅⎜
⎟ ⎥
3
3 ⎬ + ⋅
Re
⎢0,95
− 1− ε 2
0,95 1
Re
⎪⎩ ⎣
⎝ − − ε ⎠ ⎥
⎦⎪⎭
⎧
1,5
3
3
⎪ ⎛ 1− ε ⎞ ⎪
⎫ ⎛ 1− ε ⎞ 0,891
⋅ ⎨1
+ 0,12⋅⎜
⎟ + 0,4 + ⎜
⎟
⋅
3 ⎬
3
0,1
0,95 1
0,95 1
⎝ − − ε ⎠ Re
⎪⎩ ⎝ − − ε ⎠ ⎪⎭
( 4.221)
Re
v(t) ⋅ d ST
⋅ ρf
= ( 4.222)
ε ⋅ η
f
Für festzulegende Startwerte t 0 , v 0 , Endwerte t max , sowie der Anzahl der Funktionswerte
n und einer sich selbststeuernden Schrittweite (0 < α < 1
Schrittweitenfaktor, gewöhnlich α ≈ 0,9)
h= t / n
( 4.223)
max
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140
h := h ⋅ α
( 4.224)
t
k + 1=
t
k
+ h
( 4.225)
wird die Differentialgleichung mit den Hilfswerten k 0(k) bis k 3(k) in k = 1 ... n
Schritten gelöst:
k = f (t , v ) ⋅ h
k
k
k
0(k)
1(k)
2(k)
3(k)
k
= f (t + 0,5 ⋅ h,v
k
= f (t + 0,5 ⋅ h,v
k
= f (t + h, v
k
k
k
k
k
+ k
+ 0,5 ⋅ k
+ 0,5 ⋅ k
2(k)
) ⋅ h
0(k)
1(k)
) ⋅ h
) ⋅ h
( 4.226)
Die Genauigkeit und der Rechenaufwand werden im Algorithmus mit der
k
2(k)
− k1(k)
Schranke < 0,01...0, 1
( 4.227)
k − k
1(k)
0(k)
geregelt. Die Funktionswerte der Auslaufgeschwindigkeit sind dann:
1
v
k+ 1=
vk
+ ⋅ [ k
0+
2 ⋅ k1+
2 ⋅ k
2+
k
3]
( 4.228)
6
Programmausschnitt mit RUNGE-KUTTA-Algorithmus aus Borland-PAS-
CAL-Unit „SZTr.Pas“ der eigenen Berechnungssoftware „SZNeu.Exe“ zur
Auswertung von Scherzellenmeßergebnissen und Bunkerdimensionierung 17 :
with TR[k]^ do begin {Variablenvektor mit Index k}
alfa:=0.9;
{selbst kontrollierende Schrittweite 0

141
4.6.2.4 Näherungslösungen für die turbulente Durchströmung
4.6.2.4.1 Das Geschwindigkeits-Zeit-Gesetz
Eine analytische Näherungslösung der Auslaufgeschwindigkeit kann man für
die turbulente Durchströmung nur gewinnen, wenn man während der Beschleunigungsphase,
d.h. beim Durchlaufen des laminaren und des Übergangsbereiches
der Bettdurchströmung voraussetzt, dass der Druckverlustterm
dp/(dh . B ρ . b u 2 ) abschnittsweise konstant sei. Das entspricht einem konstanten
Widerstandsbeiwert c W bei der Partikelumströmung, siehe dazu auch ../VO_-
MVT_Neu/MVT_e_4neu.doc#Widerstandsbeiwert_kaskas bzw. ..\VO_MVT_-
Neu\MVT_e_4neu.pdf.
Folglich soll unter der vereinfachenden Annahme einer zumindest abschnittsweisen
Konstanz der Eulerzahl Eu B ≈ const. ≠ f(v(t)) die Differentialgleichung
( 4.195) analytisch gelöst werden, um sich über die wesentlichen Zusammenhänge
der Auslaufkinetik Klarheit zu verschaffen:
dv 2 ⋅ (m+
1) ⋅ tan θ ⎡ b dp 1 ⎤
⎞
⎢
⋅ ⋅ ⎥ ⎜
⎛ ⋅ 2 b
⋅ +
= ⋅ − min
+
1
v g 1
2
⎟
dt b ⎣ 2 ⋅ (m+
1) ⋅ tan θ dhB
ρb
⋅ u ⎦ ⎝ b ⎠
( 4.195)
Zunächst wird als wesentlicher Prozessparameter und kennzeichnender Stoffwert
(Stoffeigenschaftsfunktion), svw. Eigenwert der Differentialgleichung, die
stationäre Auslaufgeschwindigkeit v st berechnet:
⎛ dv ⎞ 2 ⋅ (m+
1) ⋅ tan θ ⎡ b dp 1 ⎤
⎞
⋅ ⎢ +
⋅ ⋅ ⎥ ⎜
⎛ ⋅ 2 b
⎟ +
= ⋅ − min
⎜ = 0
1
v g 1
2 st
⎟
⎝ dt ⎠ b ⎣ 2 ⋅ (m+
1) ⋅ tan θ dhB
ρb
⋅ u ⎦ ⎝ b ⎠
⎞
⎜
⎛ b ⋅ − min
g 1 ⎟
2
⎝ b
v
⎠
st
=
2 ⋅ (m+
1) ⋅ tan θ ⎡ b dp 1 ⎤
⋅ ⎢1
+
⋅ ⋅
2
b
⎥
⎣ 2 ⋅ (m+
1) ⋅ tan θ dhB
ρb
⋅ u ⎦
Im Vergleich zur Gl.( 4.218) ergibt sich die stationäre Auslaufgeschwindigkeit
in einer etwas veränderten Schreibweise:
⎛ b ⎞
⋅ ⋅ ⎜ −
min
b g 1 ⎟ ⎝ b
v =
⎠
( 4.229)
st
⎡ b dp 1 ⎤
2 ⋅ (m+
1) ⋅ tan θ ⋅ ⎢1
+
⋅ ⋅
2 ⎥
⎣ 2 ⋅ (m+
1) ⋅ tan θ dhB
ρb
⋅ u ⎦
Zur Lösung mittels Trennung der Variablen wird die Differentialgleichung (
4.195) zweckmäßig umgeformt:
dv(t) ⎛ bmin
⎞ 2 ⋅ (m+
1) ⋅ tan θ ⎡ b dp 1 ⎤ =
2
g ⋅ ⎜1
− ⎟ −
⋅ 1
v
2
dt
b b
⎢ +
⋅ ⋅
2 (m 1) tan dhB
b
u
⎥ ⋅
⎝ ⎠ ⎣ ⋅ + ⋅ θ ρ ⋅ ⎦
Einsetzen von Gl.( 4.229)
2 ⋅ (m+
1) ⋅ tan θ ⎡ b dp 1 ⎤ 1 − bmin
/ b
⋅ 1
g
2
2
b
⎢ +
⋅ ⋅ = ⋅
2 (m 1) tan dhB
b
u
⎥
⎣ ⋅ + ⋅ θ ρ ⋅ ⎦ vst
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142
in Gl. ( 4.195):
2
dv(t) ⎛ bmin
⎞ ⎛ bmin
⎞ v
= g ⋅ ⎜1
− ⎟ − g ⋅ ⎜1
− ⎟ ⋅
2 und ausklammern:
dt ⎝ b ⎠ ⎝ b ⎠ v
liefert eine deutlich übersichtlichere Differentialgleichung
dv(t)
dt
⎛ b
g ⋅ ⎜1
−
⎝ b
⎞ ⎛ v
⎟ ⋅
⎜1
−
⎠ ⎝ v
2
=
min
2
st
⎞
⎟
⎠
st
( 4.230)
Die Integration dieser nichtlinearen Differentialgleichung liefert nach Trennung
der Variablen mit der Anfangsbedingung v(t = 0) = 0 für Werte v(t) ≤ v st
v
∫
v = 0
dv
v − v
2
st
2
g =
2
v
st
⎜
⎛ b ⋅ 1 −
⎝ b
min
⎞
⎟ ⋅
⎠
t
∫
t = 0
dt
auf der linken Seite der Integralgleichung die folgende Lösung 18 :
(4.231)
v
v
dv 1 ⎛ v ⎞ ⎡ ⎛ ⎞ ⎛
st
+ v 1 vs
+ v vst
∫ = ⋅ ln
⎜
⎟ = ⋅ ⎢ln
⎜
⎟ − ln
⎜
2 2
v − ⋅ ⎝ − ⎠ ⋅ ⎣ ⎝ −
v = 0 st
v 2 vst
vst
v 2 v
0 st
vs
v ⎠ ⎝ vst
Die rechte Seite der Integralgleichung (4.331) ergibt:
g
2
v
st
⎛ b ⋅ ⎜1
−
⎝ b
min
⎟ ⎠
⎞ ⋅
t
∫
t = 0
g
dt =
2
v
st
⎛ b ⋅ ⎜1
−
⎝ b
min
⎞
⎟ ⋅
⎠
Beide Integrale ergeben zusammen:
1 ⎛ vs
+ v ⎞ g ⎛ bmin
⎞
⋅ ln
1 t
2
2 v
⎜ = ⋅ ⎜ − ⎟ ⋅
st
vs
v
⎟
⋅ ⎝ − ⎠ vst
⎝ b ⎠
Auflösen nach v:
⎛ vst
+ v ⎞ 2 ⋅ g ⎛ b
ln
⎜ = ⋅ ⎜1
−
vst
v
⎟
⎝ − ⎠ vst
⎝ b
v
v
v
st
st
st
min
+ v ⎡2
⋅ g
= ⎢ ⎜
⎛ b
exp ⋅ 1 −
− v ⎣ v ⎝ b
st
min
⎞
⎟ ⋅ t
⎠
⎞ ⎤
⎟ ⋅ t⎥
⎠ ⎦
⎡
+ v =
st ⎢ ⎜ ⎟ ⋅ t
⎣ vst
⎝ b ⎠
2 ⋅ g ⎛ b ⎞ ⎤
( − ) ⋅ ⋅ 1 −
min
v v exp
⎥ ⎦
⎡2
⋅ g ⎛ b
v + v ⋅ exp⎢
⋅ ⎜1
−
⎣ vst
⎝ b
min
⎞
⎟ ⋅
⎠
⎤
t⎥
= v
⎦
st
t
⎡2
⋅ g b
⋅ exp⎢ ⎜
⎛ ⋅ 1 −
⎣ v ⎝ b
st
min
⎞ ⎤
⎟ ⋅ t⎥ − v
⎠ ⎦
⎧ ⎡2
⋅ g ⎛ b ⎞ ⎤⎫
⎬ ⎫
⎩ ⎨⎧
⎡ ⋅ ⎛ ⎞ ⎤
⎨ ⎢ ⋅ ⎜ −
min
2 g b
⎟ ⋅ ⎥⎬
= ⋅ ⎢ ⋅ ⎜ −
min
v ⋅ 1+
exp 1 t vst
exp 1 ⎟ ⋅ t⎥
−1
⎩ ⎣ vst
⎝ b ⎠ ⎦ ⎭ ⎣ vst
⎝ b ⎠ ⎦ ⎭
Das ergibt die Zeitabhängigkeit der instationären Auslaufgeschwindigkeit:
⎡2
⋅ g ⎛ bmin
⎞ ⎤
exp⎢
⋅ ⎜1
− ⎟ ⋅ t 1
v b
⎥ −
st
v(t) v
⎣ ⎝ ⎠
=
st
⋅
⎦
⎡2
⋅ g ⎛ b ⎤
min ⎞
exp⎢ ⋅ ⎜1
− ⎟ ⋅ t + 1
vst
b
⎥
⎣ ⎝ ⎠ ⎦
Dies lässt sich mit der tanh-Funktion 19 deutlich vereinfachen:
⎞⎤
⎟⎥
⎠⎦
st
18 Siehe Ruge, P., Mathematik, S. A 47, in Czichos, H., Hütte, Springer Berlin 1991.
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( 2x)
( 2x)
exp −1
y = = tanh( x) mit −1
< y < 1
(4.232)
exp + 1
Schließlich erhält man die folgenden Geschwindigkeits-Zeit-Gesetze für das
beginnendes Ausfließen eines kohäsiven Schüttgutes aus einem konvergenten
Trichter:
⎡2
⋅ g ⎛ b ⎞ ⎤
⎢ ⋅ ⎜ −
min
v(t)
= vst ⋅ tanh 1 ⎟ ⋅ t⎥
oder
⎣ vst
⎝ b ⎠ ⎦
v
exp(2t / t76)
−1
=
st
76
= vst⋅
, ( 4.233)
exp(2t / t ) + 1
( t) v ⋅ tanh( t / t )
Mit der stationären Auslaufgeschwindigkeit Gl.( 4.229):
76
⎞
⎜
⎛ b ⋅ ⋅ − min
b g 1 ⎟
⎝ b
v =
⎠
( 4.229)
st
⎡ b dp 1 ⎤
2 ⋅ (m+
1) ⋅ tan θ ⋅ ⎢1
+
⋅ ⋅
2 ⎥
⎣ 2 ⋅ (m+
1) ⋅ tan θ dhB
ρb
⋅ u ⎦
Die tanh-Funktion ist typisch für diesen Schwerkraft-getriebenen Auslaufprozess.
Sie enthält einen kennzeichnenden Kinematikparameter bzw. eine charakteristischen
Auslaufzeit t 76 :
t
76
vst
=
⎜
⎛ b
g 1 −
⎝ b
min
1
=
⎞
⎟ ⎜
⎛ b
g 1 −
⎠ ⎝ b
min
⎞
⎟
⎠
⎞
⎜
⎛ b ⋅ ⋅ − min
b g 1 ⎟
⎝ b ⎠
⎡ b
2(m+
1) tan θ ⋅ ⎢1
+
⋅
⎣ 2(m+
1) tan θ
dp
dh
B
1
⋅
ρ u
b
2
⎤
⎥
⎦
(4.234)
b
t =
(4.235)
76
⎛ b ⎞ ⎡
⎤
⋅ + ⋅ θ⋅ ⋅ ⎜ −
min
b dp 1
2 (m 1) tan g 1 ⎟ ⋅ ⎢1
+
⋅ ⋅
2 ⎥
⎝ b ⎠ ⎣ 2 ⋅(m+
1) ⋅ tan θ dh
B
ρb
⋅ u ⎦
Der Index 76 der charakteristischen Auslaufzeit wurde gewählt, weil für t = t 76
die Funktion
v(t
( 1) = 0,76 ⋅
st
= t
(4.236)
76)
= vst
⋅ tanh v
ergibt. Die stationäre Auslaufgeschwindigkeit wird für
v(t
v(t
( 2) = 0,964 ⋅
st
( 3) = 0,995 ⋅
st
96
2 ⋅ t
76)
= vst
⋅ tanh v
99
3⋅
t
76)
= vst
⋅ tanh v
= (4.237)
= (4.238)
mit weniger als 4%-iger bzw. 0,5%-iger Abweichung erreicht.
d
d
Der aus dem konvergenten Trichter ausfließende momentane Volumenstrom
V und Massestrom m sind mit der Gl.( 4.233) für die Auslaufgeschwindigkeit
(A d Querschnittsfläche des Trichterauslaufes, ρ b,d = f(σ 1,krit ) Schüttgutdichte
am Auslauf):
143
19 Bronstein, I.E. und R.A. Semendjajev, Taschenbuch der Mathematik, B.G. Teubner Verlagsgesellschaft,
Leipzig 1968; neu: S. 88, 7. Aufl., Verlag Harri Deutsch, Frankfurt a.M. 2008.
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d
d
( t) = A ⋅ v ⋅ tanh( t / t )
V (t) = A ⋅ v
, ( 4.239)
d
b,d
d
d
st
( t) = ρ ⋅ A ⋅ v ⋅ tanh( t / t )
b,d
d
st
76
m (t) = ρ ⋅ A ⋅ v
( 4.240)
76
144
4.6.2.4.2 Mit Wandkollisionen und EULER-Zahl
In einer früheren Arbeit des Verfassers 20 wurde zusätzlich die Behinderung des
Partikelstromes durch Kollisionsereignisse gröberer Partikel am Rand des
Trichterauslaufes berücksichtigt:
( 1 − k d / b)
b : = b ⋅
( 4.241)
b ⋅
k b = 1 ... 3 Kollisionskonstante, abhängig von der Partikelform
d ≈ d 95 obere Stück- oder Partikelgröße, siehe auch Dimensionierungsgleichung
(4.92) zur Vermeidung des Verkeilens der Auslauföffnung
durch grobe Stücke
Diese Partikel-Wand-Kollisionen erzeugen eine gewisse „Einschnürung“ des
ausgetragenen Partikelstromes am Auslauf (siehe auch BEVERLOO 1961).
Die stationäre Auslaufgeschwindigkeit v st ist dann für stationäres Fließen
vst =
⎛ d ⎞ ⎛ b ⎞
⎜ −
min,st
g ⋅ b ⋅ ⎜1−
k
b
⋅ ⎟⋅ 1 ⎟
⎝ b ⎠ ⎝ b ⎠
⎡ 3⋅
ρ ⋅ ⋅ ⋅
( )
( − ⋅ ) ⎤
f
b Eu
B
1 k
b
d / b
2⋅
m + 1 ⋅ tan θ ⋅ ⎢1
+
2
⎥
⎣ 8 ⋅ ρs
⋅ dST
⋅ ε ⋅ ( m + 1) ⋅ tan θ ⎦
( 4.242)
und dem Kinematik- oder Zeitparameter t 76 für das beginnende Fließen:
t
76
=
b⋅
⎛ b
2 ⋅ (m + 1) ⋅ tan Θ ⋅ g ⋅ ⎜1
−
⎝ b
( 1−
k ⋅d / b)
min,st
b
⎞ ⎡ ⋅ρ ⋅ ⋅
⋅ 3
f
b Eu
⎟ ⎢1
+
⎠ ⎣ 8⋅ρs
⋅dST
⋅ε
B
2
⋅
⋅
( 1−
k ) ⎤
b
⋅d / b
⎥
( m + 1) ⋅ tan Θ ⎦
( 4.243)
Mit dem Geschwindigkeits-Zeit-Gesetz Gl.( 4.233) folgen die entsprechenden
Auslaufvolumen- und -massenströme:
V (t) = A ⋅ v(t)
( 4.244)
d
d
m (t) = ρ ⋅ A ⋅ v(t)
( 4.245)
d
b
d
⎛ t ⎞
V d(t)
= Ad
⋅ vst
⋅ tanh
⎜
⎟
⎝ t76
⎠
( 4.246)
⎛ t ⎞
m
d(t)
= ρb
⋅ Ad
⋅ vst
⋅ tanh
⎜
⎟
⎝ t76
⎠
( 4.247)
20 Tomas, J., Modellierung des Fließverhaltens von Schüttgütern auf der Grundlage der Wechselwirkungskräfte
zwischen den Partikeln und Anwendung bei der Auslegung von Bunkeranlagen,
S. 114, Diss. B (Habilitation), TU Bergakademie Freiberg 1991
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145
Infolge der Partikel-Wand-Kollisionen grober Partikel wird der Auslaufstrom
etwas eingeschnürt. Deshalb werden die Dimensionen der Auslauffläche A d
1− k ⋅ b
d / b reduziert und zwar für die
jeweils um den Betrag ( )
• kreisförmige Trichteröffnung:
A
2
π ⎛ d ⎞ 2
d
= ⋅ ⎜1−
kd
⋅ ⎟ ⋅ b
( 4.248)
4
⎝
b ⎠
• quadratische Trichteröffnung:
A
2
⎛ d ⎞ 2
d
= ⎜1−
kd
⋅ ⎟ ⋅ b
( 4.249)
⎠
⎝
b
• und schlitzförmige Trichteröffnung (Schlitzlänge l):
A
d
⎛ d ⎞ ⎛ d ⎞
= ⎜1
− kd
⋅ ⎟ ⋅ b ⋅ ⎜1
− kd
⋅ ⎟ ⋅ l
( 4.250)
⎝ b ⎠ ⎝ l ⎠
Die berechnete instationäre Auslaufgeschwindigkeit ist unter Berücksichtigung
des Luftwiderstandes eines kohäsiven, teilweise nicht fluidisierbaren Kalksteinpulvers
im Bild 4.16 dargestellt:
Bild 4.16: Berechnete instationäre Auslaufgeschwindigkeit v eines konischen
(b min = 1,127 m, b = 1,14 m, l Ad = 0) und keilförmigen (b min = 0,5378 m, b =
0,538 m, l Ad = 1,614 m) Trichters in Abhängigkeit von der Zeit t für ein kohäsives
Kalksteinpulver (d 50 = 3 µm)
Je geringer der Unterschied zwischen der ausgeführten Öffnungsweite b des
großtechnischen Silos und der aufgrund der Fließeigenschaften des Schüttgutes
ermittelten minimalen Öffnungsweite b min ist, desto größer ist die Zeitspanne
zum Erreichen des stationären Fließens im Auslauf und desto störanfälliger
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wird die Funktionskette Auslauftrichter und Austraggerät. Dies stimmt auch
sehr gut mit den praktischen Erfahrungen überein.
146
4.6.2.4.3 Das Weg-Zeit-Gesetz
Um das Weg-Zeit-Gesetz h = f(t) zu erhalten, siehe Bild 4.15, muss die Zeitfunktion
der instationären Auslaufgeschwindigkeit, Gl.( 4.233), erneut integriert
werden:
dh(t) ⎛ t ⎞
v (t) = = vst
⋅ tanh
⎜
⎟ , (4.251)
dt
⎝ t76
⎠
Zur Vereinfachung wird vorausgesetzt, dass nur der Bereich der Auslauföffnung
betrachtet wird. Deshalb können die beiden Parameter stationäre Auslaufgeschwindigkeit
v st , Gl.( 4.242), und der Zeitparamer t 76 , Gl.( 4.243), als
mittlere Größen aufgefasst werden, die weitestgehend unabhängig von der
Höhenänderung während der Beschleunigungsphase sind (für die Trichterhöhe
gilt gemäß Bild 4.15:
h = b /(2 ⋅ tan θ)
bzw. ( 4.79)
b = 2 ⋅ h ⋅ tan θ
( 4.189) )
Somit folgt die Integralgleichung mit der Anfangsbedingung h(t = 0) = 0:
h(t)
∫
h=
0
t
⎛ t ⎞
dh = h(t) = v ⋅ ∫
⎜
⎟
st
tanh dt
(4.252)
t=
0 ⎝ t
76 ⎠
Das rechte Integral wird mit Hilfe folgender Substitutionen analytisch gelöst:
∫
∫
x = t / t 76
abgeleitet: dt / t76
⎛ t ⎞
tanh ⎜
⎟ dt = t76
⋅∫
tanh( x)
dx = t76
⋅
⎝ t76
⎠
sinh
cosh
( x)
( x)
dx
dx = d.h.: dt = t dx
∫
sinh
cosh
( x)
( x)
f
entspricht dem Integralkern 21 f’(x)/f(x), also: ∫ ′ (x)
dx .
f (x)
Die Substitution u = cosh( x)
ergibt abgeleitet:
( x) ⋅ dx
du = sinh d.h.:
Das unbestimmte Integral wird umgeformt zu:
∫
( x)
dx
du
dx =
sinh( x)
⎛ t ⎞ sinh du du
tanh ⎜ dt t
t t ln u
t
⎟ =
76
⋅∫
⋅ =
76
⋅
76
76
u sinh( x)
∫ = ⋅
⎝ ⎠
u
Das rückwärtige Einsetzen liefert:
t
∫
⎛
tanh
⎜
⎝
t
t
⎞
⎟ dt = t
⎠
⋅ ln cosh(x)
76
u=
1 76
t 0 76
t
=
76
u
= t
ln cosh⎜ ⎛
⋅
⎝
t
⎞
⎟
⎠
t
76 ⋅
t = 0
21 Leupolt, W. u.a., Analysis, S. 254 und 256, Fachbuchverlag Leipzig 1968.
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t
∫
⎛
tanh
⎜
⎝
t
t
t = 0 76
⎞
⎟ dt = t
⎠
76
⎢ ⎢ ⎡ ⎛
⋅ ln cosh
⎜
⎣ ⎝
t
t
76
⎟ ⎞
⎠
− ln cosh
( 0)
⎤
⎥
⎥⎦
147
t
∫
⎛ t ⎞
⎞
⎜ ⎛ t
tanh ⎜
⎟ dt = t76
⋅ ln cosh
⎟
(4.253)
⎝ t ⎠
⎝ ⎠
t = 0 76
t76
Damit ergibt sich die Weg-Zeit-Funktion des Ausfließens kohäsiver Schüttgüter
aus einem konvergenten Trichter im turbulenten Durchströmungsbereich:
⎛ t ⎞
h (t) = vst
⋅ t76
⋅ ln cosh
⎜
⎟ , (4.254)
⎝ t76
⎠
wobei mit der Gl.(4.234) gilt:
v
st
2
vst
⋅ t76
=
(4.255)
g ⋅
( 1−
b / b)
min
Mit dieser Weg-Zeit-Funktion lassen sich folgende charakteristische Höhen
oder vertikale Positionen der Schüttgutbrücke während des beschleunigten
oder beginnenden Ausfließens ermitteln:
h(t
76
2
0,433⋅
vst
) = vst
⋅ t76
⋅ ln cosh( 1)
= 0,433⋅
vst
⋅ t76
=
(4.256)
g ⋅
( 1−
b / b)
min
t
t
= 2 ⋅ , d.h.
96
t 76
= 3⋅
, d.h.
99
t 76
h(t
h(t
96
99
2
1,33⋅
vst
) = 1,33⋅
vst
⋅ t76
=
(4.257)
g ⋅
( 1−
b / b)
2
2,31⋅
vst
) = 2,31⋅
vst
⋅ t76
=
(4.258)
g ⋅
min
( 1−
b / b)
min
4.6.2.4.4 Berechnung der Auslaufzeit t d = f(h)
Wenn eine Trichterfüllhöhe h(t d ) = h* gegeben ist, kann die zugehörige Auslaufzeit
t d durch Umstellung der Weg-Zeit-Funktion, Gl.(4.254), die zugehörige
Umkehrfunktion berechnet werden:
⎛ t ⎞
h (t) = vst
⋅ t76
⋅ ln cosh
⎜
⎟
(4.254)
⎝ t76
⎠
⎛ h ⎞ ⎛ t ⎞
exp ⎜ ⎟
= cosh⎜
⎟
(4.259)
⎝ vst
⋅ t76
⎠ ⎝ t76
⎠
Die cosh-Funktion lässt sich durch exp-Funktionen ausdrücken 22 :
exp(x) + exp( −x)
1 ⎡ 1 ⎤
y = cosh(x) =
= ⎢exp(x)
+
2 2
⎥ (4.260)
⎣ exp(x) ⎦
1 ⎡ 1 ⎤ 1 ⎡ exp(x) ⋅ exp(x) + 1⎤
⎢exp(x)
+ ⎥ =
2
⎢
⎥
⎣ exp(x) ⎦ 2 ⎣ exp(x) ⎦
22 Bronstein, I.E. und R.A. Semendjajev, Taschenbuch der Mathematik, S. 88 und 91, 7. Aufl.,
Verlag Harri Deutsch, Frankfurt a.M. 2008.
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1 exp(2x) + 1
y = cosh(x) = ⋅
2 exp(x)
Damit folgt aus der Gl.(4.254):
( t / t ) + exp( −t
/ t ) ⎡exp( 2t / t )
h(t
d
) ⎡exp
d 76
d 76 ⎤
d 76
+
= ln
⎢
⎥
= ln⎢
vst
⋅ t
76 ⎣
2
⎦ ⎣ 2 ⋅ exp(t
d
/ t
76)
⎛ h(t ) ⎞
d
exp( 2t
d
/ t
76
) + 1
exp
⎜
v t
⎟ =
⎝ st
⋅
76 ⎠ 2 ⋅ exp(t
d
/ t
76)
⎛ h(t ) ⎞
d
2 ⋅ exp
⎜ exp(t
d
/ t
76)
= exp( 2t
d
/ t
76
) + 1
vst
t
⎟ ⋅
⎝ ⋅
76 ⎠
exp t /
Damit folgt eine quadratische Gleichung bezüglich ( )
d
t 76
1⎤
⎥
⎦
148
⎛ h(t ) ⎞
d
exp( 2t
d
/ t
76
) − 2 ⋅ exp
⎜ exp(t
d
/ t
76)
+ 1 = 0
vst
t
⎟ ⋅
(4.261)
⎝ ⋅
76 ⎠
mit ihrer Lösung:
exp
h(t ) ⎞ ⎛ 2 ⋅ h(t )
vst
t
76
vst
t ⎟ ⎞
⎜ ⎛
= ⎟ ⎜
(4.262)
⎝ ⋅ ⎠ ⎝ ⋅
76 ⎠
d
d
( t / t ) exp ⎟ + exp⎜
−1
d
76
Diese Formulierung wird noch umgewandelt und vereinfacht:
⎡
⎞ ⎤
( )
⎢ ⎢⎢ ⎜ ⎛ 2 ⋅ h(t
d
)
exp
⎟ −1
⎛ h(t ⎞ ⎝ ⋅
d
)
⎠
⋅ vst
t
76
exp t
⎜ ⎟
d
/ t
76
= exp 1+
⎝ vst
⋅ t
76 ⎠
⎛ ⎞
⎢
2 ⋅ h(t
d
)
exp
⎢
⎜
⎟
⎥ ⎥⎥⎥⎥ ⎣ ⎝ vst
⋅ t
76 ⎠ ⎦
⎛ h(t ⎞
( )
⎥ ⎥ ⎤
⎢ ⎢ ⎡ ⎛ ⎞
d
)
⋅
⋅
2 h(t
d
)
exp t =
⎜ ⎟ + −
⎜−
⎟
d
/ t
76
exp 1 1 exp
⎝ vst
⋅ t
76 ⎠ ⎣ ⎝ vst
⋅ t
76 ⎠⎦
⎪
⎧ ⎛ h(t ⎞ ⎡ ⎛ ⎞⎤
⎫
d
)
⋅ ⎪
⎨
⋅
2 h(t
d
)
t
⎜ ⎟ ⎢ + −
⎜−
⎟
d
= t
76
⋅ ln exp 1 1 exp
⎥⎬
⎪⎩ ⎝ vst
⋅ t
76 ⎠ ⎢
⎣ ⎝ vst
⋅ t
76 ⎠⎥
⎦⎪⎭
h(t ⎡
⎤
⎢
⎟
⎥
⎢
⎞
⎜ ⎛
d
)
2 ⋅ h(t
d
)
t
d
= t
76
⋅ + t
76
⋅ ln 1+
1−
exp −
vst
⋅ t
76
⎣ ⎝ vst
⋅ t
76 ⎠⎥
⎦
Daraus ergibt sich eine vergleichsweise übersichtliche Umkehrfunktion der
Auslaufzeit t d = f(h*):
* ⎡
*
h
⎛ 2 ⋅ h ⎞⎤
t ⎢
⎜
⎟
d
= + t
76
⋅ ln 1+
1−
exp − ⎥
(4.263)
vst
⎢
⎣ ⎝ vst
⋅ t
76 ⎠⎥
⎦
Für große Füllhöhen (-mengen) h*, schnelle Kinetik (kleine charakteristische
Auslaufzeit) t 76 und geringe stationäre Auslaufgeschwindigkeit v st kann der
letzte Term in der Gl.(4.263) vernachlässigt werden. D.h. es gilt unter der Bedingung
*
h
v ⋅ t
st
76
> 2, (4.264)
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die auch in vielen Fällen erfüllt wird, 1− exp( −4)
= 0,98 ≈ 1 und damit
149
*
h
≈ + t ⋅ ln 2
(4.265)
v
t
d
76
st
4.6.2.4.5 Das Geschwindigkeits-Weg-Gesetz
Um die Geschwindigkeits-Weg-Funktion der Schicht- oder Zonensedimentation
im turbulenten Durchströmungsbereich zu erhalten, muß in der Geschwindigkeits-Zeit-Funktion,
Gl.( 4.233),
⎛ t ⎞
v (t) = vst
⋅ tanh
⎜
⎟
( 4.233)
⎝ t76
⎠
die Zeit durch eine Weg-Funktion ersetzt werden, Gl.(4.259):
⎛ t ⎞ ⎛ h ⎞
cosh ⎜
⎟ = exp
⎜
⎟
(4.259)
⎝ t76 ⎠ ⎝ vst
⋅ t76
⎠
Die tanh-Funktion, Gl.( 4.233), lässt sich mit der cosh-Funktion ausdrücken 22 :
v (t)
= v
st
⎛
⋅ tanh
⎜
⎝
t
t
76
⎞
⎟ = v
⎠
st
⋅
2⎛
cosh
⎜
⎝
⎛
cosh
⎜
⎝
t
t
76
t
t
76
⎞
⎟ −1
⎠
⎞
⎟
⎠
= v
st
⋅
1−
cosh
Einsetzen der Gl. (4.259) liefert die Geschwindigkeits-Weg-Funktion während
des Ausfließens im turbulenten Durchströmungsbereich:
⎛ 2⋅
h ⎞
v (h) = vst
⋅ 1−
exp
⎜−
⎟
(4.266)
⎝ vst
⋅ t76
⎠
−2
⎛
⎜
⎝
t
t
76
⎞
⎟
⎠
4.6.2.5 Analytische Lösungen für die laminare Durchströmung
Die feinen adhäsiven Partikel der somit kohäsiven Pulver werden gewöhnlich
laminar umströmt, Re < 0,25 - 1, und es gilt das STOKES-Gesetz für die
stationäre Sinkgeschwindigkeit v s,St , siehe ../VO_MVT_Neu/MVT_e_4neu.-
doc#Sinkgeschwindigkeit_STOKES bzw. ..\VO_MVT_Neu\MVT_e_4neu.pdf:
2
( ρs−ρf
) ⋅d
⋅ g
vs ,St
=
(4.267)
18η
bzw. der relevante Partikelgrößenbereich ( v ⋅ d ⋅ρ / η ≤ Re 1)
d
18⋅
η
⋅ Re
s f
St
=
2
3
St
St
≤ . (4.268)
ρf
⋅ ( ρs−ρf
) ⋅ g
Beispielsweise liegt dieser Grenzwert für die Sedimentation von Quarzpartikel
(ρ s = 2650 kg/m 3 ) in ruhender Luft (ρ f = 1,2 kg/m 3 , η = 18 . 10 -6 Pa . s) bei d St <
57 µm.
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150
Damit dürfte für die Durchströmung der Poren einer feinen Pulverschicht
auch die laminare Durchströmung zutreffen. Deren Durchströmungswiderstand
wird entweder mit Ansätzen nach DARCY, CARMAN und KOZENY
u.a., oder - wie nachfolgend beschrieben - nach MOLERUS quantifiziert.
Neben der allgemein gültigen Form der Gln.( 4.195) bis ( 4.243) sollen nun die
Geschwindigkeits-Zeit- und Weg-Zeit-Gesetze des Ausfließens einer kohäsiven
Brücke aus einem konvergenten Trichter bei deren laminarer Durchströmung
analytisch hergeleitet werden:
4.6.2.5.1 Differentialgleichung des Ausfließens
Das Kräftegleichgewicht an einer kohäsiven Schüttgutbrücke mit Berücksichtigung
der Druckverluste in der Schüttung infolge Dilatanz oder Bettausdehnung
dp und äußerem Überdruck dp a , siehe Diss. SCHEIBE (1997) liefert:
∗
⎛ a dp / dh +
( )
⎟ ⎞
B
dpa
/ dH
(m+
1) ⋅ σ ⋅ ϕ +θ = ρ ⋅ ⋅ ⋅
⎜
c ,st
sin 2
w
b
g b 1−
−
( 4.269)
⎝ g ρbg
⎠
Die gesamte Beschleunigung eines dynamischen Scheibenelementes einer kohäsiven
Schüttgutbrücke im Auslauftrichter besteht nach Gl.( 4.193) aus zwei
Anteilen, siehe Bild F 4.4:
a
dv 2(m+
1)tan θ
+
⋅ v
dt b
2
= ( 4.193)
∗
dv/dt
Auslaufbeschleunigung infolge Trägheitswirkung der
2(m+
1)tan θ
b
Masse der Schüttgutbrücke
2
⋅ v Geschwindigkeitszunahme infolge Trichterkonvergenz
∗
(Abnahme der Brückenquerschnittsfläche bei konstantem
Volumenstrom V= const.
)
Die Mindestweite einer stationären Brücke ergibt sich gemäß der allgemeinen
Auslegungsgleichung für die instationäre oder beginnende Brückenbildung
ohne Fluiddurchströmung Gl. ( 4.15)
b
min,st
wobei
( ϕ +θ)
(m+
1) ⋅σ
c,st⋅
sin 2
w
= , ( 4.72)
ρ ⋅g
b
b
min, st
bmin
=
< b kleiner ist als die ausgeführte Trichteröffnungsweite b
σ c,st Druckfestigkeit des stationären Fließortes, d.h. für ff = 1 bzw. σ 1 =
σ c,stat folgt aus der allgemeinen Druckfestigkeitsfunktion σ = ( σ ) Gl.(
c
f
1
4.53) im Falle einer linearen Materialeigenschaftsfunktion
σ
c=
a1⋅
σ1
+ σc,0
( 4.53)
σ
c,0
σ
c,krit
= σc,stat
=
( 4.70)
1− a1
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Charakteristische Weite b* einer stationären Brücke analog der allgemeinen
Auslegungsgleichung für die instationäre Brückenbildung nach Gl. ( 4.14) unter
Berücksichtigung der Fluiddurchströmung
∗
(m+
1) ⋅ σc,st⋅sin 2
w
b =
≈
⎛ dp / dhB+
dpa
/ dH ⎞
ρb⋅
g ⋅
⎜1
−
b
g
⎟
⎝ ρ ⋅ ⎠
( ϕ +θ) (m+
1) ⋅ σ ⋅sin 2( ϕ +θ)
g ⋅
c,st
( ρ − ρ )
b
b,B
w
, ( 4.270)
ρ b,B < ρ b charakteristische Dichte des durchströmten Bettes
wobei allerdings hier auch b* > b ≥ b min größer sein kann als die ausgeführte
Trichteröffnungsweite b. Dies bedeutet ein Aufwärtswandern der stationären
Brücke im Trichter infolge:
dp a /dH
151
Zusatzdruckverlust über der gesamten Silohöhe H ⇒ bei Anliegen
eines äußeren Überdruckes dp a
dp/dh B Druckunterschied durch ⇒ Auflockerung des Schüttgutes im
Trichter durch Spannungsabnahme:
u = v Die Auslaufgeschwindigkeit des Schüttgutes v sei betragsmäßig
dp
dh
B
d K > d ST
d
d
K
gleich der Leerrohrgeschwindigkeit des Fluides u
3 ρf
1−ε
2
= ⋅ Eu
B⋅
⋅ ⋅ u
( 4.204)
2
4 d ε
K
Der charakteristische Durchmesser der inhomogenen Durchströmungskanäle
bei kohäsiven kanalbildenden Schüttgütern
gemäß Wirbelschichtverhalten der C-Gruppe nach GELDART
ist wesentlich größer als ein hydraulische Durchmesser d h , der
sich über den oberflächengleichwertigen Durchmesser der Partikel
d ST nach Gl.( 4.199) berechnen läßt.
= f (d , ff , ε...)
noch zu bestimmende Funktion der Durchströmungs-
ST
c
kanäle, wobei als erste Näherung
≈ 100 ⋅ eine brauchbare Abschätzung liefert;
K
d ST
Besser ist die Messung des Fluidisierverhaltens und daraus entweder mit einer
modifizierten HAGEN-POISEUILLE-Gleichung (3.134) Schüttec_3.doc -
Druckverlust_Schüttung_HAGEN die Abschätzung des Kanaldurchmessers d K ,
h
b
η ⋅ u
d
K
= 32 ⋅ ⋅
( 4.271)
∆p
ε
b
oder mit einer Berechnungsmethode nach SCHEIBE 23 Gl.( 4.274):
Am Punkt der sog. Mindest- oder Minimalfluidisation, das ist bei der Hysterese
der erste gemeinsame Punkt beider Druckverlustkurven, siehe Bild 4.17,
dp(u↑) = dp(u↓) ( 4.272)
( dp / dh ) const. ≠ f (u)
b
WS
= ( 4.273)
23 Scheibe, M.: Die Fördercharakteristik einer Zellenradschleuse unter Berücksichtigung der
Wechselwirkung von Silo und Austragorgan, S.117, Diss. TU Bergakademie Freiberg 1997
Schüttec_4 VO Partikelmechanik und Schüttguttechnik, Trichterauslegung Prof. Dr. Jürgen Tomas, 04.06.2013

152
ist der Druckverlust weitestgehend konstant und unabhängig von der Durchströmungsgeschwindigkeit
u L < u min ≤ u.
Aus Gl.( 4.279) folgt der charakteristische Kanaldurchmessers d K,min :
d
K,min
18 ⋅ η⋅ B( ε
) ⋅ (1 − ε
)
min
min
= ⋅ u
2 min
( 4.274)
( dp / dh
B
) ⋅ ε
WS,min min
Übergangsbereich
Haftkräfte
Lockerungspunkt
1
Minimalfluidisation
ρ
∆p
⋅ g ⋅
WS
h WS
kanalbildende
Wirbelschicht
u
u L
u min
Bild 4.17: Hysterese des gewichtsbezogenen Druckverlustes in Abhängigkeit
von der Leerrohrgeschwindigkeit für kohäsive Pulver
Die Minimalfluidisationsgeschwindigkeit u min ≈ u* entspricht näherungsweise
der Leerrohrgeschwindigkeit am Punkt des sog. „freien Fließens“, siehe Bild F
3.39 im Kapitel Schüttec_3.doc - Fluidisierbarkeit. Für die Wirbelschicht- oder
Fließdichte ρ WS * am Punkt der Minimalfluidisation bzw. des sog. „freien Fließens“
läßt sich die gleiche Annäherung treffen.
*
ε = − ρ / ρ ≈ 1− ρ / ρ = ε *
( 4.275)
min
1
WS,min s
WS s
Ausgehend von Gl.( 4.206) sei die EULER-Zahl des laminar durchströmten
Festbettes
Eu
B
2
24 ⎪⎧
⎡⎛
d ⎞ 1 ⎛ d ⎞ ⎤⎫⎪
24
= ⋅ ⎨1
+ 0,692⋅
⎢⎜
⎟ + ⋅ ⎜ ⎟ ⎥⎬
≡ ⋅ B( ε)
( 4.276)
Re ⎪⎩ ⎢⎣
⎝ a ⎠0,95
2 ⎝ a ⎠0,95
⎦⎥
⎪⎭
Re
mit dem Porositätsterm B(ε) in der EULER-Zahl für laminare Durchströmung,
der gegenüber der Partikelumströmung eine deutliche Zunahme des
Widerstandes um mehr als eine Größenordnung bewirkt
2
⎡⎛
d ⎞ 1 ⎛ d ⎞
⎥ ⎥ ⎤
B ( ε)
= 1+
0,692⋅
⎢⎜
⎟ + ⋅ ⎜ ⎟
( 4.277)
⎢⎣
⎝ a ⎠0,95
2 ⎝ a ⎠0,95
⎦
und mit der Porositätsfunktion der Festbettes (Index B):
⎛ d ⎞
⎜ ⎟
⎝ a ⎠
=
3
0,95
0,95 − 1
3
1− ε
− ε
( 4.207)
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2
⎡ 3
⎛
3
1− ε 1 1− ε ⎞ ⎤
B ( ε)
⎢
+ ⋅ ⎜
⎟ ⎥
B
= 1+
0,692⋅
3
⎢ − − ε
3
( 4.278)
0,95 1 2
⎥
⎣
⎝ 0,95 − 1− ε ⎠ ⎦
Mit der Partikel-REYNOLDS-Zahl [alt(< 5/2010): Re = d . K u . ρ f /η]
(ur
/ ε)
⋅ dST⋅ρf
3⋅
ur
⋅ dε ⋅ρf
⋅ (1 − ε)
Re = =
( 4.205)
2
η
2 ⋅ ε ⋅ η
f
f
und Gl.( 4.278) erhält man für den Druckverlust des Festbettes, Gl. ( 4.204):
dp
dh
dp
dh
3⋅ρ
⋅ u ⋅ (1−ε
)
2
f r
=
2
B
4 ⋅ ε ⋅ dST
⋅ EuB
( 4.204)
B
dp
dh
B
2
3⋅ρf⋅
ur
⋅ (1−ε
) 24 ⋅ B( ε)
=
⋅ =
2
4 ⋅ ε ⋅ d Re
2
ST
ST
3 24 ⋅ ε ⋅ η
⋅
4 d ⋅ u ⋅ρ
ST
r
f
ρ
⋅
d
f
ST
1 − ε
⋅ ⋅ u
2
ε
18 ⋅ η⋅ B( ε)
⋅ (1 − ε)
= ⋅ ur
. ( 4.279)
d ⋅ ε
Aus dem Kräftegleichgewicht an einer Schüttgutbrücke Gl.( 4.269) und der
minimale Trichteröffnungsweite Gl. ( 4.15) folgt die Beschleunigung:
a
⎛ b
⎞
min
dp / dh
B
+ dpa
/ dH
g
⎜1−
−
⎟ . ( 4.280)
⎝ b ρbg
⎠
=
∗
Einsetzen der Gl. ( 4.193) für die Beschleunigung in die Gl.( 4.280) ergibt:
a
dv 2(m+
1)tan θ
+
⋅ v
dt b
2(m+
1)tan θ 2
⎜ ⎛ b
⋅ v = g 1−
∗
b
⎝ b
2
= ( 4.193)
∗
dv
dt
min
+
∗
−
dp / dh
+ dp
ρ g
B
b
a
/ dH
Damit folgt die allgemeine Differentialgleichung für die Auslaufgeschwindigkeit
eines kohäsiven Pulvers aus einem konvergenten Trichter:
dv
dt
2(m+
1)tan θ
⋅ v
∗
b
dp / dh
+
ρ
⎛ b
= g
⎜1−
⎝ b
2
B
min
+
∗
b
dpa
−
ρ g
/ dH
b
⎞
⎟
⎠
⎞
⎟
⎠
2
r
(4.281)
Das Einsetzen der Gl.( 4.279) für den Druckverlustterm der laminare Durchströmung
der kohäsiven Schüttgutbrücke als „Festbett“
dp
dh
B
1
⋅
ρ
b
18 ⋅ η⋅ B( ε)
⋅ (1 − ε)
=
⋅ u
ρ ⋅ d ⋅ ε
b
2
ST
r
mit der Packungsdichtefunktion des Festbettes bzw. der Wirbelschicht:
1 − ε
=
ρ
b
folgen
dp
dh
B
ρ
b
=
1
( ρs
− ρf
) ⋅ρb
ρs
− ρf
b
2 r
( ρ − ρ ) ⋅ d ⋅ ε
s
f
ST
(4.282)
1 18⋅
η⋅ B( ε)
⋅ =
⋅ u
(4.283)
ρ
Der Druckverlust lässt sich auch mit Hilfe des mikroskopischen Beitrages der
Partikelumströmung als stationäre Sinkgeschwindigkeit der Einzelpartikel
153
Schüttec_4 VO Partikelmechanik und Schüttguttechnik, Trichterauslegung Prof. Dr. Jürgen Tomas, 04.06.2013

2
( ρs−ρf
) ⋅d
⋅ g
vs ,St
=
(4.267)
18η
und des makroskopischen Widerstandes der Packung als Porositätsfunktion
B(ε)/ε ausdrücken:
dp
dh
B
1
⋅
ρ
b
=
2
r
r
( ρ − ρ ) ⋅ d ⋅ g ε
ε
s
18⋅
η⋅ g
f
ST
B( ε)
⋅ ⋅ u
=
g
v
s,St
B( ε)
⋅ ⋅ u
154
18 ⋅ η
=
g
v
2
( ρs
− ρf
) ⋅ dST
s, St
(4.284)
dp
dh
B
1 g B( ε)
⋅ = ⋅ ⋅ ur
(4.285)
ρ v ε
b
s,St
Es folgt die Differentialgleichung:
dv 2(m+
1)tan θ 2 18⋅
η⋅ B( ε)
⎛ b
+ ⋅ v +
⋅ u = g
⎜1−
∗
∗
dt b
min
dp
−
/ dH ⎞
( ) ⎟ 2 r
ρs
− ρf
⋅ dST⋅
ε ⎝ b ρbg
⎠
u r
Wenn man ruhende Luft u = 0 voraussetzt, sind die relative Anströmgeschwindigkeit
des Fluides u
r
(im Leerrohr) und die Auslaufgeschwindigkeit v des
Schüttgutes = u − v betragsmäßig gleich u r = v, folgt die Differentialgleichung
für die Auslaufgeschwindigkeit eines kohäsiven Pulvers aus einem
konvergenten Trichter für laminare Durchströmung eines Festbettes, siehe Bild
F 4.26 (und beachte d K ≡ d ST und wegen Re = f(u/ε) folgt nun ε statt ε 2 ):
a
dv
dt
2(m+
1)tan θ 2 18 ⋅ η⋅ B( ε)
⎛ b
+ ⋅ v +
⋅ v = g⎜
1−
∗
∗
b
min
dp
−
/ dH ⎞
( ) ⎟ 2
ρs
− ρf
⋅ dST⋅
ε ⎝ b ρbg
⎠
bzw. mit der Sinkgeschwindigkeit nach STOKES:
a
(4.286)
dv
dt
2(m+
1)tan θ
⋅ v
∗
b
g ⋅ B( ε)
⎛ b
+ ⋅ v = g⎜
1−
vs,St⋅
ε ⎝ b
2
min
+
∗
dpa
−
ρ g
/ dH
b
⎞
⎟
⎠
(4.287)
4.6.2.5.2 Das Geschwindigkeits-Zeit-Gesetz
Die stationäre Auslaufgeschwindigkeit v ⇒ v st ergibt sich für dv/dt = 0 mittels
Lösung der quadratischen Gleichung:
2(m+
1)tan θ 2 18⋅
η⋅ B( ε)
⎛ b dp / dH ⎞
min a
⋅ vst +
⋅ vst
− g 1
= 0
2
b (
s f
) d
⎜ − −
ST
b
bg
⎟
∗
∗
ρ − ρ ⋅ ⋅ ε ⎝ ρ ⎠
∗
∗
2 18⋅
η⋅ b ⋅ B( ε)
g ⋅ b ⎛ b dp / dH ⎞
min a
vst + ⋅ vst
−
⋅ 1
⎟ = 0
2
2(m 1)tan (
s f
) dST
2(m 1)tan
⎜ − −
∗
+ θ ⋅ ρ − ρ ⋅ ⋅ ε + θ b
bg
⎝ ρ ⎠
v
v
2
∗
∗
∗
⋅ B( ε)
9 ⋅ η⋅ b ⋅ B( ε)
g ⋅ b
min
st
= +
+
∗
9 ⋅ η⋅ b
−
2(m+
1)tan θ ⋅
∗ ⎡
b
⋅ ⎢
2(m+
1)tan θ ⎢
⎣
⎜ ⎛
⎝
⎛ b
⋅
⎜1
−
dp
−
/ dH ⎞
( ) ( ) ⎟ 2
2
ρs
− ρf
dSTε
2(m+
1)tan θ ⋅ ρs
− ρf
dSTε
⎠ 2(m+
1)tan θ ⎝ b ρbg
⎠
⎛
⎜
⎝
9 ⋅ η⋅ B( ε)
⎞
⎟
g ⋅ 2(m+
1)tan θ ⎛ b
+
⋅
⎜1−
= min
st
∗
2
( ) ( ) ⎥ ⎥ 2
∗
2
ρs
− ρf
⋅ dST⋅
ε ⎠ b ⎝ b ρbg
⎠ ρs
− ρf
dSTε
⎦
⎞
⎟
dp
−
a
/ dH ⎞
⎟ −
Nur die positive Wurzel liefert sinnvolle positive Werte der stationären Aus-
⎤
9 ⋅ η⋅ B( ε)
a
Schüttec_4 VO Partikelmechanik und Schüttguttechnik, Trichterauslegung Prof. Dr. Jürgen Tomas, 04.06.2013

laufgeschwindigkeit. Wie wir später sehen werden, entspricht der Wurzelterm
einem reziproken Zeitparameter t 76,lam Gl.(4.300).
Damit ergibt sich die stationäre Auslaufgeschwindigkeit eines feinen Pulvers
bei laminarer Durchströmung der kohäsiven Brücke:
∗
b ⎡ 1 9 ⋅ η⋅ B( ε)
⎤
v
st,lam
=
⋅ ⎢ −
2 ⎥ bzw. ( 4.288)
2(m+
1)tan θ ⎣ t76,lam
( ρs
− ρf
) ⋅ dST⋅
ε⎦
∗
b ⎡ 1 g ⋅ B( ε)
⎤
v
st,lam
=
⋅ ⎢ − ⎥
( 4.289)
2(m+
1)tan θ
⎣t
76,lam
2 ⋅ vs,St⋅
ε
⎦
Zur Lösung der Differentialgleichung (4.286) werden die Variablen getrennt
dv ⎛ bmin
dpa
/ dH ⎞ 18 ⋅ η⋅ B( ε)
2(m+
1)tan θ 2
= g 1
v
v
2
dt
⎜ − −
⋅ −
⋅
b
bg
⎟ −
∗
∗
⎝ ρ ⎠ ( ρs
− ρf
) ⋅ dST⋅
ε b
und mit der Rand- bzw. Anfangsbedingung, für t = 0 ist v = 0, integriert:
v
∫ =∫
⎛ b
g
⎜1
−
⎝ b
dp ⎞
a
/ dH
−
⎟ −
ρbg
⎠
dv
18⋅
η⋅ B( ε)
2(m+
1)tan θ
v −
⋅ v
2
∗
⋅ d ⋅ ε b
0 min
2
∗
( ρs
− ρf
)
ST
t
0
dt
4.290)
Für eine bequeme analytische Lösung ist etwas rechnerischer Aufwand notwendig.
Bezüglich der obigen Integralgleichung 4.290) sollen zwei Lösungsvarianten
vorgestellt werden:
155
Lösungsvariante 1:
Die linke Seite entspricht einem Grundintegral, siehe BRONSTEIN 24 , dessen
Lösung die Umkehrfunktion (Area Tangens hyperbolicus) Artanh(x) der
tanh(x)-Funktion - entsprechend der bekannten Lösung ( 4.233) für die turbulente
Durchströmung der kohäsiven Brücke - enthält:
dx 2
⎛ 2ax + b ⎞
2
∫ = − ⋅ Ar tanh
wenn 4ac − b 0
ax
2 bx c
2
⎜
2
⎟
b − 4ac b 4ac
< ( 4.291)
+ +
⎝ − ⎠
Die Parameter a, b, c ergeben sich durch Koeffizientenvergleich:
2(m+
1)tan θ
a = −
( 4.292)
∗
b
18 ⋅ η⋅ B( ε)
b −
( 4.293)
c
=
2
s f ST
( ρ − ρ ) ⋅ d ⋅ ε
⎛ b
⎞
min
dpa
/ dH
g
⎜1−
−
⎟
( 4.294)
⎝ b ρbg
⎠
=
∗
Da beide Summanden negativ sind, ist die obige Bedingung 4ac − b
2 < 0 erfüllt:
24 Bronstein, I.E. und R.A. Semendjajev, Taschenbuch der Mathematik, B.G. Teubner Verlagsgesellschaft,
Leipzig 1968; neu: S. 1077, 7. Aufl., Verlag Harri Deutsch, Frankfurt a.M.
2008.
Schüttec_4 VO Partikelmechanik und Schüttguttechnik, Trichterauslegung Prof. Dr. Jürgen Tomas, 04.06.2013

8(m+
1)tan θ ⎛ b
−
⋅ g 1
b
⎜ −
∗
⎝ b
Die Integration ergibt also:
v
∫
0
av
2
dv
= −
+ bv + c
b
2
dp / dH ⎞ ⎡
a
− −
bg
⎟
ρ
⎢
⎠ ⎣
18 ⋅ η⋅ B( ε)
⎤
2
s f
⋅ d
⎥
ST⋅
ε⎦
min
<
∗
2
⎛
⋅ Ar tanh
⎜
− 4ac ⎝
( ρ − ρ )
2av + b ⎞
2
⎟
b − 4ac ⎠
v
dv
2 ⎧ ⎛ 2av + b ⎞ ⎛
∫
= − ⋅ ⎨Ar
tanh
⎜
⎟ − Ar tanh
⎜
2
av + bv + c
2
2
0
b − 4ac ⎩ ⎝ b − 4ac ⎠ ⎝ b
1 ⎛1+
x ⎞
mit y = Ar tanh(x) = ⋅ ln⎜
⎟ im Bereich −1
< x < 1
2 ⎝1−
x ⎠
Beide Seiten der Integralgleichung 4.290) ergeben zusammen:
2 ⎧ ⎛ 2av + b ⎞ ⎛ b ⎞⎫
− ⋅ ⎨Ar
tanh
Ar tanh
⎬ = t
2
⎜
2
⎟ −
⎜
2
⎟
b − 4ac ⎩ ⎝ b − 4ac ⎠ ⎝ b − 4ac ⎠⎭
⎛ 2av + b ⎞ ⎛ b ⎞ t 2
Ar tanh
⎜
Ar tanh
= − ⋅ b − 4ac
2
⎟ −
⎜
2
⎟
⎝ b − 4ac ⎠ ⎝ b − 4ac ⎠ 2
v
0
2
0
2
b ⎞⎫
⎟⎬
− 4ac
⎠⎭
Mit der Summe der Artanh-Funktionen, siehe BRONSTEIN 25
⎛ x − z ⎞
Ar tanh(x) − Ar tanh(z) = Ar tanh⎜
⎟
( 4.295)
⎝1
− zx ⎠
und mit dem Parameter f folgt:
f = b
2 − 4ac
( 4.296)
⎛ 2av + b b
⎛ x − z ⎞
t
Ar tanh(x) − Ar tanh(z) = Ar tanh⎜
⎟ Ar tanh f f ⎟ ⎟ ⎞
−
= − ⋅ f
⎝1
− zx ⎠
2av b b
1
2
⎜ ⎜⎜ +
− ⋅
⎟
⎝ f f ⎠
2av + b − b 2av
f
f
2av ⋅ f
=
=
2
2
( 2av + b) ⋅ b f ( 2av b) 1
b f − ( 2av + b) −
− + ⋅
⋅ b
2
2
f
f
⎛ 2av ⋅ f ⎞ t
Ar tanh⎜
⎟ = − ⋅ f
2
⎝ f − ( 2av + b)
⋅ b ⎠ 2
Umformen in eine tanh-Funktion:
2av ⋅ f
⎞
⎜ ⎟
( )
⎛ t
= tanh − ⋅ f
2
f − 2av + b ⋅ b ⎝ 2 ⎠
Vorzeichenwechsel des Argumentes der tanh-Funktion gemäß BRONSTEIN 26
tanh( − x) = − tanh(x)
( 4.297)
f
2av ⋅ f
−
( 2av + b)
⎛ t ⎞
= − tanh⎜
⋅ f ⎟
⋅ b ⎝ 2 ⎠
2
,
156
25 Bronstein, I.E. und R.A. Semendjajev, Taschenbuch der Mathematik, S. 94, Verlag Harri
Deutsch, Frankfurt a.M. 2008.
26 Bronstein, I.E. und R.A. Semendjajev, Taschenbuch der Mathematik, S. 90, Verlag Harri
Deutsch, Frankfurt a.M. 2008.
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157
Umstellen nach v:
2 ⎛ t ⎞
⎛ t ⎞
− 2av ⋅ f = f ⋅ tanh⎜
⋅ f ⎟ − ( 2av + b) ⋅ b ⋅ tanh⎜
⋅ f ⎟
⎝ 2 ⎠
⎝ 2 ⎠
⎛ t ⎞
2 ⎛ t ⎞ 2 ⎛ t ⎞
2av ⋅ b ⋅ tanh⎜
⋅ f ⎟ − 2av ⋅ f = f ⋅ tanh⎜
⋅ f ⎟ − b ⋅ tanh⎜ ⋅ f ⎟
⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠
⎡ ⎛ t ⎞ ⎤ 2 ⎛ t ⎞ 2 ⎛ t ⎞
v ⋅ ⎢2a
⋅ b ⋅ tanh⎜
⋅ f ⎟ − 2a ⋅ f ⎥ = f ⋅ tanh⎜
⋅ f ⎟ − b ⋅ tanh⎜
⋅ f ⎟
⎣ ⎝ 2 ⎠ ⎦ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠
⎡ ⎛ t ⎞ ⎤ 2 2 ⎛ t ⎞
v ⋅ 2a ⋅ ⎢b
⋅ tanh⎜
⋅ f ⎟ − f ⎥ = ( f − b ) ⋅ tanh⎜
⋅ f ⎟
⎣ ⎝ 2 ⎠ ⎦
⎝ 2 ⎠
2 2
( f − b )
⎛ t ⎞
⋅ tanh⎜
⋅ f ⎟
⎝ 2
v =
⎠
⎡ ⎛ t ⎞ ⎤
2a ⋅ ⎢b
⋅ tanh⎜
⋅ f ⎟ − f ⎥
⎣ ⎝ 2 ⎠ ⎦
Jetzt müssen die Koeffizienten a, b, c
( 4.298)
2(m+
1)tan θ
a = −
( 4.292)
∗
b
18 ⋅ η⋅ B( ε)
b −
( 4.293)
c
=
2
s f ST
( ρ − ρ ) ⋅ d ⋅ ε
⎛ b
⎞
min
dpa
/ dH
g
⎜1−
−
⎟
( 4.294)
⎝ b ρbg
⎠
=
∗
ersetzt werden. Zweckmäßig fängt man mit dem Parameter f an:
f = b
2 − 4ac
( 4.296)
f
⎛
⎜
⎝
18 ⋅ η⋅ B( ε)
⎞
⎟
2
2(m+
1)tan θ ⎛ b
+ 4 ⋅
⋅ g
⎜1
−
min
=
∗
dp
−
/ dH ⎞
( ) ⎟ 2
∗
ρs
− ρf
⋅ dST⋅
ε ⎠ b ⎝ b ρbg
⎠
a
(4.299)
Daraus folgt der Kinematik- oder Zeitparameter der tanh-Funktion t 76,lam ,
siehe auch Gl.(4.235), hier jedoch für die laminare Durchströmung:
2
2
t76,lam
= =
f
2
⎛ 18⋅η⋅
B( ε)
⎞ 2(m+
1)tan θ ⎛ b
⎞
min
dpa
/ dH
⎜
⎟ + 4⋅
⋅g
⎜1−
−
2
∗
∗
⎝ ρs
− ρf
⋅dST⋅ε
⎠ b ⎝ b ρbg
( ) ⎟ ⎟ ⎠
1
t76 ,lam
=
(4.300)
2
⎛ 9 ⋅ η⋅ B( ε)
⎞ 2g(m+
1)tan θ ⎛ b
( ) ⎟ ⎞
min
dpa
/ dH
⎜
⎟ +
⋅
⎜1
− −
2
∗
∗
⎝ ρs
− ρf
⋅ dST⋅
ε ⎠ b ⎝ b ρbg
⎠
Bzw. mit der Gl.(4.284) lässt sich auch schreiben:
1
t
76 ,lam
=
(4.301)
2
⎛ ⎞
⎛
⎞
⎜
g ⋅ B( ε)
⎟
2g(m+
1)tan θ bmin
dpa
/ dH
+
⋅
⎜ − −
⎟
1
∗
∗
⎝ 2 ⋅ vs,St⋅
ε ⎠ b ⎝ b ρbg
⎠
Die Auslaufgeschwindigkeit v(t) ergibt sich aus folgenden Umrechnungen:
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⎛ ⎞
⎛ ⎞
2 2
( ) ⎜
t
2
2
⎟ ( ) ⎜
t
f − b ⋅ tanh
⎟
b − 4ac − b ⋅ tanh
⎝ t
76,lam ⎠
=
⎝ t
76,lam
v =
⎠
⎡ ⎛ ⎞ ⎤ ⎡ ⎛ ⎞ ⎤
⋅ ⎢ ⋅ ⎜
t
⎟ − ⎥ ⋅ ⎢ ⋅ ⎜
t
⎟
2
2a b tanh
f 2a b tanh
− ⎥
⎢⎣
⎝ t
76,lam ⎠ ⎥⎦
⎢⎣
⎝ t
76,lam ⎠ t
76,lam ⎥⎦
⎛ t ⎞
⎛ t ⎞
− 4ac ⋅ tanh⎜
⎟
2c tanh⎜
⎟
t
− ⋅
76,lam
t
76,lam
v =
⎝ ⎠
=
⎝ ⎠
⎡ ⎛ t 2 ⎤ ⎛ t ⎞ 2
2a ⎢b
tanh
⎥ b ⋅ tanh⎜
⎟ −
t ⎟ ⎞
⋅ ⋅ ⎜
−
t
76,lam
t
⎢
76,lam ⎥ ⎝ 76,lam ⎠ t
⎣ ⎝ ⎠ ⎦
76,lam
⎛ t ⎞ ⎛ bmin
dpa
/ dH ⎞ ⎛ t ⎞
− 2c ⋅ tanh⎜
⎟ 2g 1
tanh⎜
⎟
t
−
⎜ − −
76,lam
b
bg
⎟ ⋅
∗
t
⎝ ρ ⎠
76,lam
v =
⎝ ⎠
=
⎝ ⎠
⎛ t ⎞ 2 18 ⋅ η⋅ B( ε)
⎛ t ⎞ 2
b ⋅ tanh⎜
⎟ −
⋅ tanh⎜
⎟
−
2
t
−
76,lam
t76,lam
( ρs
− ρf
) ⋅ d
ST⋅
ε t
⎝ ⎠
⎝ 76,lam ⎠ t76,
lam
Schließlich erhält man mittels der recht aufwändigen analytischen Lösung der
Differentialgleichung (4.286) folgendes Geschwindigkeits-Zeit-Gesetz für das
beginnendes Ausfließen eines feinen kohäsiven Pulvers aus einem konvergenten
Trichter bei laminarer Durchströmung:
158
v(t) =
⎛ bmin
dpa
/ dH ⎞ ⎛
g⋅
⎜1−
− tanh
b
bg
⎟ ⋅ ⎜
∗
⎝ ρ ⎠ ⎝ t
9 ⋅ η⋅ B( ε)
⎛
⋅ tanh⎜
t ⎞
⎟ +
⎝ ⎠
t ⎞
⎟
⎠
1
76,lam
2
( ρs
− ρf
) ⋅dST⋅
ε ⎜ t ⎟
76,lam
t76,
lam
bzw. ( 4.302)
⎛ bmin
dpa
/ dH ⎞ ⎛ t
g⋅⎜1
tanh⎜
− −
b
bg
⎟ ⋅
∗
⎝
ρ ⎠ t
v(t) =
⎝
g ⋅ B( ε)
⎛ t ⎞ 1
⋅ tanh⎜
⎟ +
2 ⋅ v
s,St⋅
ε t
⎝ 76,lam ⎠ t
76,lam
76,lam
⎞
⎟
⎠
( 4.303)
Die Porositätsfunktion B(ε), Gl.( 4.278), stammt von der modifizierten
EULER-Zahl (svw. Widerstandsbeiwert) und ergibt sich für die homogene
laminare Durchströmung der kohäsiven Brücke als Festbett:
2
⎡ 3
⎛
3
1− ε 1 1− ε ⎞
⎥ ⎥ ⎤
B ( ε)
= 1+
0,692⋅
⎢
+ ⋅ ⎜
⎟
3
⎢ − − ε
3
( 4.304)
0,95 1 2
⎣
⎝ 0,95 − 1− ε ⎠ ⎦
Zur Vollständigkeit wird hier nochmals die stationäre Auslaufgeschwindigkeit
eines feinen Pulvers bei homogener laminarer Durchströmung der kohäsiven
Brücke angegeben, siehe Gl.( 4.289):
∗
b ⎡ 1 g ⋅ B( ε)
⎤
v
st,lam
=
⋅ ⎢ − ⎥
( 4.289)
2(m+
1)tan θ
⎣t
76,lam
2 ⋅ vs,St⋅
ε
⎦
Durch Umstellen der Gl. ( 4.289) folgt ebenfalls der Zeitparameter t 76,lam :
2(m+
1)tan θ 1 g ⋅ B( ε)
⋅ v = −
∗
st,lam
b
t 2 ⋅ v ⋅ ε
76,lam
s,St
Schüttec_4 VO Partikelmechanik und Schüttguttechnik, Trichterauslegung Prof. Dr. Jürgen Tomas, 04.06.2013

2(m+
1)tan θ
⋅ v
∗
b
st,lam
g ⋅ B( ε)
+
2 ⋅ v ⋅ ε
s,St
=
t
1
76,lam
159
1
t
76,lam
=
( 4.305)
2(m+
1)tan θ g ⋅ B( ε)
⋅ v +
∗
st,lam
b
2 ⋅ v ⋅ ε
s,St
Mit dem Geschwindigkeits-Zeit-Gesetz, Gl.( 4.303), folgen die zugehörigen
Auslaufvolumen- und -massenströme:
V (t) = A ⋅ v(t)
( 4.244)
d
d
m (t) = ρ ⋅ A ⋅ v(t)
( 4.245)
d
b
d
Diese neuen Rechenergebnisse vervollständigen die früheren Herleitungen 27 .
Lösungsvariante 2:
Als 2. Lösungsmöglichkeit des Grundintegrales 4.290), siehe Formelsammlung
28 ,
dx 1 ⎡
2
2ax + b − b − 4ac ⎤
2
∫
= ⋅ ln⎢
⎥ wenn 4ac − b 0
ax
2 + bx + c
2
2
b − 4ac 2ax b b 4ac
<
⎢⎣
+ + − ⎥⎦
( 4.306)
ergibt die Integration:
v
∫
0
v
∫
0
=
av
av
2
2
b
dv
=
+ bv + c
dv
=
+ bv + c
2
b
b
1 ⎡2av
+ b −
⋅ ln⎢
− 4ac ⎢⎣
2av + b +
2
2
1 2av b
ln
4ac ⎢ ⎢ ⎡ + −
⋅
− ⎣2av
+ b +
1 ⎪⎧
⎡2av
+ b −
⎨ln⎢
− 4ac ⎪⎩ ⎢⎣
2av + b +
b
b
2
2
− 4ac b +
⋅
− 4ac b −
b
b
b
b
2
2
2
2
b
b
− 4ac ⎤
⎥
− 4ac ⎥⎦
v
0
− 4ac ⎤ ⎡b
−
⎥ − ln⎢
− 4ac ⎥⎦
⎢⎣
b +
2
2
− 4ac ⎤
⎥
− 4ac ⎥⎦
Beide Seiten der Integralgleichung 4.290) ergeben zusammen:
1 ⎡
2
2
2av + b − b − 4ac b + b − 4ac
ln
= t
2
2
2
b 4ac 2av b b 4ac b b 4ac ⎥ ⎥ ⎤
⋅ ⎢
⋅
− ⎢⎣
+ + − − − ⎦
b
b
2
2
− 4ac ⎤⎪⎫
⎥⎬
− 4ac
⎥⎦
⎪⎭
Mit einer zweckmäßigen Nebenrechnung (Vorsicht bei den Umrechnungen!):
2
2av + b − b − 4ac b +
⋅
2
2av + b + b − 4ac b −
2
b − 4ac 2a ⋅
=
2
b − 4ac 2a ⋅
2
2 2 2
mit ( )( )
q − s q + s = q + qs − sq − s = q − s d.h.
2
2
2
b + b −
⋅ v +
b − b −
⋅
b + b −
2
2
2
( b − b − 4ac) ⋅ v + ( b + b − 4ac) ⋅ ( b − b − 4ac)
2
2
2 2
( b − b − 4ac) ⋅ ( b + b − 4ac) = b − b + 4ac = 4ac
27 Tomas, J., Modellierung des Fließverhaltens von Schüttgütern auf der Grundlage der Wechselwirkungskräfte
zwischen den Partikeln und Anwendung bei der Auslegung von Bunkeranlagen,
S. 128, Diss. B (Habilitation), TU Bergakademie Freiberg 1991
28 Papula, L. Mathematische Formelsammlung, S. 441, Vieweg, Wiesbaden 2003.
Schüttec_4 VO Partikelmechanik und Schüttguttechnik, Trichterauslegung Prof. Dr. Jürgen Tomas, 04.06.2013

2a ⋅
=
2a ⋅
2
b + b − 4ac
2
( b − b − 4ac )
Das Integral ergibt:
v
∫
0
av
2
dv
=
+ bv + c
2 2
⋅ v + b − b + 4ac 2a ⋅
=
2 2
⋅ v + b − b + 4ac 2a ⋅
b
2
1
⎢ ⎢ ⎡
⋅ ln
− 4ac ⎣
2
b + b −
2
( b − b − 4ac)
⋅ v + 4ac
=
⋅ v + 4ac
2
b + b − 4ac
⋅ v + 2c
( ) ⎥ ⎥ ⎤
2
b − b − 4ac ⋅ v + 2c⎦
Beide Seiten der Integralgleichung 4.290) ergeben zusammen:
1 ⎡
2
b + b −
⋅ v + 2c⎤
⋅ ln⎢
⎥ = t
2
2
b − 4ac ⎢⎣
( b − b − 4ac)
⋅ v + 2c⎥⎦
Auflösen nach v mit dem Parameter f
⎡( b + f ) ⋅ v + 2c⎤
ln⎢
= t ⋅ f
( b f ) v 2c
⎥
⎣ − ⋅ + ⎦
( b + f ) ⋅ v + 2c
= exp( t ⋅ f )
b − f ⋅ v + 2c
160
2
b + b −
⋅ v + 2c
2
( b − b − 4ac) ⋅ v + 2c
= b
2 − 4ac
nach Gl.( 4.296):
( )
( b + f ) ⋅ v + 2c = [( b − f ) ⋅ v + 2c] ⋅ exp( t ⋅ f )
( b + f ) ⋅ v − ( b − f ) ⋅ v ⋅ exp( t ⋅ f ) = 2c ⋅ exp( t ⋅ f ) − 2c
v ⋅ [( b + f ) − ( b − f ) ⋅ exp( t ⋅ f )] = 2c ⋅ [ exp( t ⋅ f ) −1]
2c ⋅ [ exp( t ⋅ f ) −1]
v =
( b + f ) − ( b − f ) ⋅ exp( t ⋅ f )
2c ⋅[ exp( t ⋅ f ) −1]
2c ⋅[ exp( t ⋅ f ) −1]
v =
=
f + f ⋅ exp( t ⋅ f ) + b − b ⋅ exp( t ⋅ f ) f ⋅[ exp( t ⋅ f ) + 1] + b ⋅[ 1−
exp( t ⋅ f )]
−1
[ exp( t ⋅ f ) + 1]
Zweckmäßiges Erweitern des Bruches mit
liefert:
−
[ exp( t ⋅ f ) + 1] 1
exp( t ⋅ f ) −1
exp( t ⋅ f ) −1
2c ⋅
2c ⋅
exp( t ⋅ f ) + 1 exp( t ⋅ f ) + 1
v =
1 exp ( t f )
=
− ⋅ exp( t ⋅ f ) −1
f + b ⋅
− b ⋅
+ f
exp( t ⋅ f ) + 1 exp( t ⋅ f ) + 1
Mit der tanh-Funktion Gl.(4.232) und ihrem Argument t ⋅ f / 2
( 2x)
( 2x)
exp −1
= tanh( x)
exp + 1
exp( t ⋅ f ) −1
2c ⋅
exp( t ⋅ f ) + 1
v =
exp( t ⋅ f ) −1
− b ⋅
+ f
exp( t ⋅ f ) + 1
c ⋅ tanh( t ⋅ f / 2)
v =
b
f
− ⋅ tanh( t ⋅ f / 2)
+
2
2
( t ⋅ f / 2)
( t ⋅ f / 2)
folgt (4.232)
2c ⋅ tanh
=
− b ⋅ tanh
( t ⋅ f / 2)
( t ⋅ f / 2)
+
c ⋅ tanh
=
f b
− ⋅ tanh
2
( t ⋅ f / 2)
( t ⋅ f / 2)
c ⋅ tanh
v = ( 4.307)
b
f
− ⋅ tanh +
2
2
Jetzt müssen wiederum die Koeffizienten f, b und c
+
f
2
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18 ⋅ η⋅ B( ε)
b −
( 4.293)
c
=
2
s f ST
( ρ − ρ ) ⋅ d ⋅ ε
⎛ b
⎞
min
dpa
/ dH
g
⎜1−
−
⎟
( 4.294)
⎝ b ρbg
⎠
=
∗
ersetzt werden. Man fängt wiederum mit dem Parameter f an. Der charakteristische
Kinematik- oder Zeitparameter der tanh-Funktion t 76,lam ergibt sich für
die laminare Durchströmung:
2
1
t76,lam
= =
f
2
⎛ 9⋅η⋅
B( ε)
⎞ 2(m+
1)tan θ ⎛ b
⎜
⎟ +
⋅g
⎜1−
2
∗
⎝ ρs
− ρf
⋅dST⋅ε
⎠ b ⎝ b
dp
−
/ dH ⎞
( ) ⎟ ∗
ρbg
⎠
Dieser Kinematikparameter t 76,lam der tanh-Funktion ist wiederum identisch mit
der Gl. (4.300) der Lösungsvariante 1:
1
t76 ,lam
=
(4.300)
2
⎛ 9 ⋅ η⋅ B( ε)
⎞ 2g(m+
1)tan θ ⎛ b
( ) ⎟ ⎞
min
dpa
/ dH
⎜
⎟ +
⋅
⎜1−
−
2
∗
∗
⎝ ρs
− ρf
⋅ dST⋅
ε ⎠ b ⎝ b ρbg
⎠
Das ergibt wiederum ein der Gl.( 4.302), siehe auch Variante 1, identisches
Geschwindigkeits-Zeit-Gesetz der Auslaufgeschwindigkeit - q.e.d.
min
a
161
v(t) =
⎛ bmin
dpa
/ dH ⎞ ⎛
g⋅
⎜1−
− tanh
b
bg
⎟ ⋅ ⎜
∗
⎝ ρ ⎠ ⎝ t
9 ⋅ η⋅ B( ε)
⎛
⋅ tanh⎜
t ⎞
⎟ +
⎝ ⎠
t ⎞
⎟
⎠
1
76,lam
2
( ρs
− ρf
) ⋅dST⋅
ε ⎜ t ⎟
76,lam
t76,
lam
Charakteristische Auslaufgeschwindigkeiten sind wiederum:
⎛ bmin
dpa
/ dH ⎞
0,76 ⋅ g⋅
⎜1−
−
b
bg
⎟
∗
v(t t
76,lam)
⎝
ρ
= =
⎠
6,84 ⋅ η ⋅ B( ε)
1
+
2
ρ − ρ ⋅ d ⋅ ε t
v(t = 2 ⋅ t
v(t = 3⋅
t
76,lam
76,lam
(
s f
)
ST 76, lam
bmin
dpa
/ dH
0,964 g 1
b
bg
⎟ ⎞
⎜ ⎛
⋅ ⋅ − −
∗
)
⎝
ρ
=
⎠
8,676 ⋅ η ⋅ B( ε)
1
+
2
( ρs
− ρf
) ⋅ dST⋅
ε t
76, lam
⎛ bmin
dpa
/ dH ⎞
0,995 ⋅ g⋅
⎜1−
−
b
bg
⎟
∗
)
⎝
ρ
=
⎠
8,955 ⋅ η ⋅ B( ε)
1
+
2
( ρs
− ρf
) ⋅ dST⋅
ε t
76, lam
( 4.302)
(4.308)
(4.309)
(4.310)
4.6.2.5.3 Das Weg-Zeit-Gesetz
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Um das Weg-Zeit-Gesetz h = f(t) zu erhalten muss die obige Zeitfunktion der
instationären Auslaufgeschwindigkeit v(t) für laminare Durchströmung, Gl.(
4.302), erneut integriert werden
v(t) =
dh(t)
dt
=
⎛ bmin
dpa
/ dH ⎞ ⎛
g⋅
⎜1
− − tanh
b
bg
⎟ ⋅ ⎜
∗
⎝ ρ ⎠ ⎝ t
9 ⋅ η⋅ B( ε)
⎛
⋅ tanh⎜
t ⎞
⎟ +
⎝ ⎠
76,lam
2
( ρs
− ρf
) ⋅ dST⋅
ε ⎜ t ⎟
76,lam
t76,
lam
und zwar mit der Anfangsbedingung h(t = 0) = 0:
h(t)
∫
h=
0
t ⎞
⎟
⎠
, (4.311)
1
⎛ b
⎞ ⎛ ⎞
min
dpa
/ dH
∗
⋅ t
g⋅
⎜1−
− ⎟ tanh⎜
⎟
t
⎝ b ρbg
⎠ ⎝ t76,lam
dh = h(t) =
⎠
∫
dt (4.312)
⎛ ⎞
t = 0 9 ⋅ η⋅ B( ε)
t 1
⋅ tanh⎜
⎟ +
2
( ρ − ρ ) ⋅ ⋅ ε
s f
dST
⎝ t76,lam
⎠ t76,lam
Das rechte Integral wird mit den Parametern c, siehe Gl.( 4.294), und b’, siehe
auch Gl.( 4.293), umgeschrieben
9 ⋅ η ⋅ B( ε)
⋅ (1−ε
)
' = = −b / 2
(4.313)
ρ ⋅ d ⋅ ε
b
2
b ST
t
tanh( t / t
76,lam
)
( t / t )
c
h (t) = ⋅ ∫
dt
(4.314)
b'
1
t= 0tanh
76,lam
+
t b'
76,lam
Die Lösung dieser schwierigen Integralgleichung auf analytischem Wege erscheint
ziemlich problematisch. Man könnte es numerisch integrieren.
162
Variante 1:
Um jedoch eine überschaubare analytische Lösung der obigen Integralgleichung
(4.314) zu erhalten, kann man zunächst folgende Vereinfachung vornehmen,
und zwar wird zur Abschätzung angenommen 29 , dass
t
1
>> tanh( t / t
76,lam
) sei. (4.315)
b'
76,lam
Damit folgt:
t
c tanh t / t
h (t) ≈ ⋅
b'
∫ 1
t=
0
t b'
( )
76,lam
76,lam
dt = c ⋅ t
76,lam
⋅
t
∫
t=
0
tanh
( t / t )
76,lam
Unter Nutzung der bequemen und übersichtlichen Lösung des Integrals für turbulente
Umströmung Gl.(4.254)
t
∫
⎛ t ⎞
tanh (4.254)
( t / t ) = ⋅
⎜
⎟ 76
dt t
76
ln cosh
⎝ t ⎠
t= 0
76
ergibt sich mit den Gln. ( 4.294) und (4.300):
dt
29 ein Verfahrenstechniker darf das – ein Mathematiker natürlich nicht.
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c
⎛ b
g
⎜1−
⎝ b
min
=
∗
h(t) ≈ c ⋅ t
2
76,lam
dpa
−
ρ g
/ dH
b
⎛
⋅ ln cosh⎜
⎝ t
⎞
⎟
⎠
t
76,lam
⎞
⎟
= g ⋅ t
⎠
2
76,lam
⎛ b
⋅
⎜1−
⎝ b
min
∗
dpa
−
ρ g
/ dH
b
⎞ ⎛
⎜
⎟ ⋅ ln cosh
⎠ ⎝ t
Die angenäherte Weg-Zeit-Funktion des Ausfließens kohäsiver Pulver aus
t
76,lam
einem konvergenten Trichter im laminaren Durchströmungsbereich lautet:
⎛ ⎞
2
⎛ b
⎞
min
dpa
/ dH
≈ ⋅ ⋅
⎜ ⎟
⎜ − −
⎟ ⋅ t
h (t) g t
76,lam
1
ln cosh
(4.316)
∗
⎝ b ρbg
⎠ ⎝ t
76,lam ⎠
Mit dieser Weg-Zeit-Funktion, Gl.(4.316), lassen sich folgende charakteristische
Auslaufhöhen ermitteln:
2
⎛ b
⎞
min
dpa
/ dH
h(t ) ≈ 0,433⋅
g ⋅ t ⋅
⎜1−
−
⎟
(4.317)
76 ,lam
76,lam
∗
⎝ b ρbg
⎠
163
⎞
⎟
⎠
t
t
= 2 ⋅ , d.h.
96
t 76,lam
= 3⋅
, d.h.
99
t 76,lam
2
⎛ b
⎞
min
dpa
/ dH
h(t ) ≈ 1,33⋅
g ⋅ t ⋅
⎜1−
−
⎟ (4.318)
96 76,lam
∗
⎝ b ρbg
⎠
2
⎛ b
⎞
min
dpa
/ dH
h(t ) ≈ 2,31⋅
g ⋅ t ⋅
⎜1−
−
⎟ (4.319)
99 76,lam
∗
⎝ b ρbg
⎠
Variante 2:
MATLAB 30 bietet für diese schwierige Integralgleichung (4.314)
t
c tanh( t / t
76,lam
)
h (t) = ⋅ ∫
dt
(4.314)
b'
1
t= 0tanh( t / t
76,lam
) +
t b'
76,lam
folgende komplizierte analytische Lösung an:
c / b' ⋅t
⎡ ⎛ ⎞ ⎤
⎡ ⎛
76,lam
t
c / b' ⋅t76,lam
h(t) = −
ln⎢tanh⎜
⎟
⎢ ⎜
+ 1⎥
−
ln tanh
⎛ 1 ⎞
⎢⎣
⎝ t76,lam
⎠ ⎥⎦
⎛ 1 ⎞
⎟
⎢⎣
⎝ t
2⎜
⎟
⎜
−1
2
+ 1
⎝ t76,lam
⋅ b' ⎠
⎝ t76,lam
⋅ b' ⎠
1
c / b' ⋅t76,lam
⋅
t ⋅ ⎡ ⎛ ⎞ 1 ⎤
76,lam
b'
t
+
⋅ ln⎢tanh⎜
⎟
+ ⎥
⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎢⎣
⎝ t76,lam
⎠ t76,lam
⋅ b'
⎜
⎟ ⎜ ⎟
⎥
⋅
⎦
+ 1
−1
⎝ t76,lam
⋅ b' ⎠ ⎝ t76,lam
⋅ b' ⎠
t
76,lam
(4.320)
Die Koeffizienten lassen sich zusammenfassen:
2
c / b' ⋅t76,lam
c / b' ⋅t76,lam
c ⋅ t76,lam
=
=
⎛ 1 ⎞ ⎛1−
t b' 2( 1−
t76,lam
⋅ b' )
76,lam
⋅ ⎞
2⎜
1⎟
2⎜
⎟
−
t76,lam
b'
t76,lam
b'
⎝ ⋅ ⎠ ⎝ ⋅ ⎠
⎞ ⎤
⎟
−1⎥
+
⎠ ⎥⎦
30 MATLAB, The Math Works Inc., Version 7, siehe auch: Beucher, O., MATLAB und
Simulink, Pearson Studium, München 2008
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c / b' ⋅t76,lam
c / b' ⋅t
=
⎛ 1 ⎞ ⎛1+
t
2⎜
1⎟
2⎜
+
t76,lam
b'
⎝ ⋅ ⎠ ⎝ t
c ⋅ t
⎛
⎜
⎝ t
76,lam
76,lam
76,lam
76,lam
c ⋅ t
=
⋅ b' ⎞ 2 1
⎟
⋅ b'
⎠
76,lam
b' ⋅t76,lam
⋅ b'
=
1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛
+ 1⎟
⋅ ⎜ 1⎟
⎜
b'
−
⋅
t76,lam
b'
⎠ ⎝ ⋅ ⎠ ⎝ t
2
76,lam
2
76,lam
( + t ⋅ b' )
c
2
b'
1
⋅ b'
2
76,lam
c
= b'
⎞ ⎛1−
t
−1⎟
⎜
⎠ ⎝ t
Umordnen der Terme und mit Gl.( 4.294) für c:
2
c ⋅ t76,lam
c ⋅ t
h(t) = −
⋅ ln[ tanh( t / t76,lam
) + 1]
−
2 1 − t ⋅ b'
2 1 + t
c ⋅ t
+
2
1 − t
h(t) = c ⋅ t
( )
2
76,lam
76,lam
2
76,lam
76,lam
⋅ b'
2
⎡ ⎛
ln⎢tanh⎜
⎢⎣
⎝ t
−
2 1
⎡
⋅ ln⎢tanh
⎣
⎧ ⎡ ⎛ t
⎪ln⎢tanh⎜
⎪ ⎢⎣
⎝ t
⎨
⎪ 1−
t
⎪
⎩
t
76,lam
( + t b' )
76,lam
⎞ ⎤ ⎫
⎟
−1⎥
⎪
⎠ ⎥⎦
⎪
⎬
⎪
⎪
⎭
1 ⎤
( t / t ) + ⎥
⎦
76,lam
2
76,lam
76,lam
⎞
⎟
+
⎠ t
2
b'
t
76,lam
2
2
76,lam
2
76,lam
⋅
( ⋅ b' )
⋅ b'
2
76,lam
76,lam
1 ⎤ ⎡ ⎛
⎥ ln⎢tanh⎜
b'
⎥⎦
⎢⎣
⎝ t
−
2 1
76,lam
t
76,lam
c ⋅ t
=
2
⋅ b' ⎞ 1−
t
⎟
2
b'
⎠
⋅ ln
( − t b' )
76,lam
2
76,lam
2
76,lam
⋅
164
b'
[ tanh( t / t ) −1]
⎞ ⎤
⎟
+ 1⎥
⎠ ⎥⎦
Schließlich ergibt die Rechnung folgende, ziemlich komplizierte analytische
Weg-Zeit-Funktion des Ausfließens kohäsiver Pulver aus einem konvergenten
Trichter bei homogener laminarer Durchströmung:
2
⎛ b
h(t) = g ⋅ t ⋅⎜
76,lam
1 −
∗
⎝ b
76,lam
1 ⎡ ⎞ ⎤
⎡ ⎞ ⎤⎪⎫
⎢
−
( ) ( ) ⎟
⎜ ⎛
⎢
⎟
⎜ ⎛ t
1
t
⋅ ln tanh + 1⎥
−
⋅ ln tanh 1 ⎬
− t b' t
2 1 + t b' t ⎪ ⎭
2 1
76,lam
min
⎢⎣
dp
a
−
ρ g
⎝
/ dH
b
76,lam
⎞⎪⎧
1
⎟
⎨ 2
⎠⎪⎩
1 − t
⎠
⎥⎦
76,lam
Das kann man auch wie folgt schreiben:
⎧
⎪ ⎡ ⎛
2 ⎛ b
⎞
min
dpa
/ dH
h(t) = g ⋅ t ⋅
⎜ − −
⎟⎨
⎢ ⎜
76,lam
1
ln tanh
∗
⎝ b ρbg
⎠⎪
⎢⎣
⎝ t
⎩
⎡ ⎛
ln⎢tanh⎜
⎢⎣
⎝ t
t
76,lam
b'
2
76,lam
⎡ ⎛
⋅ ln⎢tanh⎜
⎢⎣
⎝ t
76,lam
⎞
⎟
+
⎠ t
76,lam
⎢⎣
t
76,lam
1
1
( ) ( )
⎫
⎤ 2 1−t
⎞
76,lamb'
⎡
⎤
2 1+
t
⎛ ⎞
76,lamb'
t
⎟
⎪
+ ⎥ − ⎢ ⎜ ⎟
1 ln tanh
−1⎥
⎬
⎠ ⎥⎦
⎢⎣
⎝ t76,lam
⎠ ⎥⎦
⎪
⎭
t
1 ⎤
⎥
b' ⎥⎦
⎝
⎞
⎟
+
⎠ t
76,lam
1
2 2
1−t
76, lam b'
⎠
⎥ ⎥ ⎦
2
+
1 ⎤
⎥ −
b' ⎥⎦
76,lam
(4.321)
−
Schüttec_4 VO Partikelmechanik und Schüttguttechnik, Trichterauslegung Prof. Dr. Jürgen Tomas, 04.06.2013

h(t) = gt
2
76,lam
⎛ b
⎜1−
⎝ b
min
∗
⎧
⎪
⎪
dp ⎞
a
/ dH
−
⎟ ⋅ ln⎨
ρbg
⎠ ⎪⎡
⎛
⎪⎢tanh⎜
⎪
⎩⎢⎣
⎝ t
76,lam
165
1
⎫
2 2
⎡ ⎛ ⎞ ⎤1−t
b'
t 1
76,
lam
⎪
⎢tanh⎜
⎟
+ ⎥
⎪
⎢⎣
⎝ t76,lam
⎠ t76,lamb'
⎥⎦
1
1 ⎬
⎞ ⎤
2( 1−t
76,lamb'
) ⎡ ⎛ ⎞ ⎤
2( 1+
t 76,lamb'
)
t
t
⎪
⎟ + ⎥ ⋅ ⎢ ⎜ ⎟ − ⎥ ⎪
1 tanh
1
⎠ ⎥⎦
⎢⎣
⎝ t76,lam
⎠ ⎥⎦
⎪⎭
(4.322)
Mit den Gln.(4.300) und (4.313) lautet der dimensionslose Parameter t b lam
'
( ) ⎟ 2
∗
∗
ρs
− ρf
⋅ dST⋅
ε ⎠ b ⎝ b ρbg
⎠
76 ,
:
9 ⋅ η⋅ B( ε)
2
( ρs
− ρf
) ⋅ dST⋅
ε
t76 ,lamb'
=
(4.323)
2
⎛ 9 ⋅ η⋅ B( ε)
⎞ 2g(m+
1)tan θ ⎛ b dp / dH ⎞
min a
⎜
⎟ +
⋅
⎜1
− −
⎝
Trotz ihres komplizierten Aussehens kann man dieser analytischen Lösung eine
gewisse Eleganz nicht absprechen.
Variante 3:
t
c tanh( t / t
76,lam
)
Lösungsversuch für: h (t) = ⋅ ∫
dt
b' tanh( t / t ) +
t= 0
76, lam
e
1
Mit e = , t 76,lam = t* und der Substitution:
t
76,lamb'
dt
u = tanh( t / t*) ) abgeleitet: du =
2
t * cosh (t / t*)
2
tanh( t / t *)
t * cosh (t / t*) ⋅ u ⋅ du
=
tanh( t / t *) + e u + e
1
mit cosh(t / t*) = 2
1−
tanh (t(t*)
siehe BRONSTEIN S. 91
tanh( t / t *)
t * ⋅u
⋅ du
t * ⋅u
⋅ du
=
=
=
2
2
tanh t / t * + e 1−
tanh (t / t*) ⋅ u + e 1−
u ⋅ u + e
tanh( t / t *)
u
∫ dt = *
+
∫
du
tanh t / t * e
t 1−
u ⋅ 1+
u ⋅ u + e
⋅u
⋅ du
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1−
u) ⋅ ( 1+
u) ⋅ ( u + e)
( ) ( ) ( ) ( )
mit der Partialbruchzerlegung, siehe BRONSTEIN S. 1080:
1
A B C
= + +
( a + x) ⋅ ( b + x) ⋅ ( c + x) a + x b + x c + x
tanh( t / t *)
⎪⎧
u
u
∫
dt = t * ⎨−
A du + B +
⎪⎩
− +
∫ du C
tanh t / t * e
a u b + u
x x b
∫ dx = − ln ax
ax + b a a
….ggf. später ausrechnen (lassen)…
u ⎪⎫
( ) ( ) ( ) ( ) ⎬
+
∫ ∫ du
c + u ⎪ ⎭
und mit dem Grundintegral S. 1074: ( b)
2
+
t *
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166
4.6.3 Plausibilitätsprüfung und Spezialfälle
Die allgemeine Differentialgleichung für die Auslaufgeschwindigkeit eines
durchströmten kohäsiven Pulvers aus einem konvergenten Trichter lautet
dv
dt
2(m+
1)tan θ
⋅ v
∗
b
dp / dh
+
ρ
⎛ b
= g
⎜1−
⎝ b
2
min
+
∗
b
und für laminare Durchströmung
dv
dt
dpa
−
ρ g
/ dH
2(m+
1)tan θ 2 18 ⋅ η⋅ B( ε)
⎛ b
+ ⋅ v +
⋅ v = g
⎜1−
∗
∗
b
( ) ⎟ 2
ρs
− ρf
⋅ dST⋅
ε ⎝ b ρbg
⎠
b
min
⎞
⎟
⎠
dp
−
a
/ dH ⎞
(4.281)
(4.286)
Für den Fall das der entgegen gerichteten Fluidstrom bei laminarer Durchströmung
während des Ausfließens eine homogene Auflockerung bewirkt, muss
die EULER-Zahl einer Wirbelschicht Gl.( 4.212)
2
24 ⎪⎧
⎡d
1 ⎛ d ⎞ ⎤⎪⎫
Eu
WS
= ⋅⎨1
+ 0,341⋅
⎢ + ⋅⎜
⎟ ⎥⎬
( 4.212)
Re ⎪⎩ ⎢⎣
a 2 ⎝ a ⎠ ⎥⎦
⎪⎭
und die zur Gl.( 4.304) analoge Funktion B(ε) WS benutzt werden:
2
⎡ 3
⎛
3
1− ε 1 1− ε ⎞ ⎤
B ( ε)
⎢
+ ⋅ ⎜ ⎟ ⎥
WS
= 1+
0,341⋅
3
⎢ − − ε
3
( 4.324)
0,9 1 2
⎥
⎣
⎝ 0,9 − 1− ε ⎠ ⎦
Für die Sedimentation einer laminar durchströmten, kohäsiven Pulverschicht
in einem Behälter mit vertikale Wänden θ = 0 und tanθ = 0 mit b min →
D min und b* → D sowie ohne äußerem Überdruck dp a = 0 folgt aus der Gl.
(4.286) die Differentialgleichung:
dv 18⋅
η⋅ B( ε)
WS
⎛ D ⎞
⋅ = ⎜ −
min
+
v g 1 ⎟
( 4.325)
2
dt ( ρs
− ρf
) ⋅ dST⋅
ε ⎝ D ⎠
Für ein reibungsfreies freifließendes Schüttgut ist näherungsweise D min ≈ 0:
dv
dt
18⋅
η⋅ B( ε)
WS
+ ⋅ v = g
( 4.326)
2
⋅ d ⋅ ε
( ρ − ρ )
s
f
ST
Für die Sedimentation einzelner, laminar umströmter Partikel folgt mit
ε→1 und deshalb B(ε) WS = 1
dv
dt
+
18 ⋅ η
⋅ d
( ρ − ρ )
s
f
2
ST
⋅ v = g
Mit der stationären Sinkgeschwindigkeit Gl.(4.45) in ../VO_MVT_Neu/MVT_-
e_4neu.doc#Sinkgeschwindigkeit_STOKES ist (d ST = d):
2
( ρs−ρf
) ⋅ d ⋅ g
vs ,St
=
(4.267)
18⋅
η
dv
dt
= g −
18 ⋅ η
⋅ v = g −
18 ⋅ η
⎛ ⋅ v = g ⋅ 1 −
( ) ( ) ⎜ ⎟ 2
2
ρs− ρf
⋅ dST
ρs− ρf
⋅ dST
⎝ s,St ⎠
⋅
g
g
v
v
⎞
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Das entspricht wiederum der Differentialgleichung der beschleunigten Sedimentation
feiner, laminar umströmter Partikel in einem ruhenden Fluid, siehe
dazu Gl.(4.59) im Manuskript ../VO_MVT_Neu/MVT_e_4neu.doc#Partikelbeschleunigung_Stokes:
dv(t)
dt
⎛
g ⋅ ⎜
1 −
⎝
v
=
v s, St
⎞
⎟
⎠
(4.327)
Damit lassen sich die Differentialgleichungen des Ausfließens und der simultanen
Durchströmung kohäsiver Pulver (makroskopische Kontinua) mit der
Sedimentation mikroskopisch kleiner Partikel vergleichen und umrechnen.
Der Plausibilitätstest ist somit gelungen – q.e.d.
167
4.6.4 Auslaufzeit aus einem Trichter und Verweilzeit
Die experimentelle Überprüfung bisheriger Modellgleichungen wurde gewöhnlich
mit Hilfe der Messung der Auslaufzeit t d in Abhängigkeit vom Speicherbzw.
Füllvolumens des Bunkers V Füll vorgenommen. Daraus wurden Durchsatz
und die Auslaufgeschwindigkeiten ermittelt. Der instationäre Anlaufvorgang
blieb bisher (außer mit Einschränkungen bei Johanson /3/ und Keller /4/) unberücksichtigt
31 . Im Folgenden soll deshalb die Auslaufzeit des beginnenden
Ausfließens in Abhängigkeit von den Fließeigenschaften der Schüttgüter hergeleitet
werden.
Ausgangspunkt ist die allgemeine Formulierung eines Modells verfahrenstechnischer
Prozesse in Form einer Komponentenmassenbilanz /63, 64/ für beliebige
Stoffsysteme:
Änderung der in einem Volumenelement gespeicherten Masse einer beliebigen
Komponente i = Gesamtzufluss dieser Komponente – Gesamtabfluss
+ durch Reaktion (oder andere Quellen) entstandene Komponentenmasse
– Senken der Komponente i
Damit folgt die Gesamtmassenbilanz des Speicherbehälters:
dm
dt
Füll
= ∆m
= m
− m
(4.328)
A
d
Die zeitliche Änderung der Speichermasse m Füll ist gleich der Differenz zwischen
dem Aufgabe- oder Einlaufmassenstromes m
A
und dem Auslaufmassenstrom
m . Bei angenommen konstanter Schüttgutdichte ρ b lässt sich damit die
d
zeitliche Änderung des Füllvolumens V F bestimmen:
dV
dt
F
= V
− V
(4.329)
A
d
31 Tomas, J., Modellierung…, S. 135ff, Diss. B, TU Bergakademie Freiberg 1991
Schüttec_4 VO Partikelmechanik und Schüttguttechnik, Trichterauslegung Prof. Dr. Jürgen Tomas, 04.06.2013

168
In diese einfache Differentialgleichung (4.329) wird die Zeitfunktion des Auslaufvolumenstromes
gemäß Gl.( 4.244) eingesetzt:
dV ⎞
⎜ ⎛
F(t)
t
= V − ⋅ ⋅
⎟
A
(t) Ad
vst
tanh
(4.330)
dt
⎝ t
76 ⎠
Das ergibt die zeitliche (inkrementelle) Änderung des Bunkerfüllstandes bei
ständigem Zu- und Abfluss.
Zur Berechnung der gesamten Auslaufzeit während des Auslaufens eines Bunkers
mit gegebenem Füllstand muss die Gl.(4.330) integriert werden. Dazu
werden die folgenden Anfangs- und Randbedingungen formuliert:
- für t = 0 ist V F = V F,max gleich dem gesamten Füllvolumen des Bunkers,
- nach der Auslaufzeit t = t d hat der Bunker einen Mindestfüllstand V F =
V F,min ,
- der Einlaufstrom wird V A
= 0 gesetzt, d.h., der Bunker wird diskontinuierlich
(satzweise) befüllt.
Damit folgt die Integralgleichung
V
V
F,min
∫ = VF,min
− VF,max
= −∫
F,max
t
d
dV V (t) dt
(4.331)
und mit der Gl.( 4.244) folgt für die rechte Seite:
td t d
∫
0
0
d
⎛ t
∫ ⎟ ⎞
V = ⋅ ⋅
⎜
d
(t) dt Ad
vst
tanh dt
(4.332)
0 ⎝ t
76 ⎠
Das rechte Integral entspricht der Summe aller Höheninkremente des Auslaufstromes
Gl. (4.252)
h(t)
∫
h=
0
t
⎛ t ⎞
dh = h(t) = v ⋅ ∫
⎜
⎟
st
tanh dt
(4.333)
t=
0 ⎝ t
76 ⎠
und ist schon im Abschnitt 4.6.2.4.3 gelöst worden, siehe dazu den Lösungsweg
der erhaltenen Weg-Zeit-Funktion Gl. (4.254):
⎛ t ⎞
h (t) = vst
⋅ t76
⋅ ln cosh
⎜
⎟
(4.254)
⎝ t76
⎠
Die zeitliche Änderung des Füllvolumens lässt sich ebenfalls mit dieser Funktion
berechnen:
V
F,max
− V = ∆V
= A ⋅ ∆h(t
)
(4.334)
F,min
F
d
d
⎛ t ⎞
d
∆V = ⋅ ⋅ ⋅
⎜
⎟
F(t
d
) Ad
vst
t
76
ln cosh
(4.335)
⎝ t
76 ⎠
Diese Gleichung muss nun für ΔV F (t d ) ≡ V F (t d ) nach der Auslaufzeit t d umgestellt
werden. Die Methode ist schon im Abschnitt 4.6.2.4.4 angewandt worden.
Dazu wird die cosh-Funktion in exp-Funktionen umgewandelt:
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( t / t ) + exp( −t
/ t ) ⎡exp( 2t / t )
V
⎤
F
(t
d
) ⎡exp
d 76
d 76 ⎤
d 76
+ 1
= ln⎢
⎥ = ln⎢
⎥
Ad
⋅ vst
⋅ t
76 ⎣
2
⎦ ⎣ 2 ⋅ exp(t
d
/ t
76)
⎦
⎛ V ⎞
F
exp( 2t
d
/ t
76
) + 1
exp
⎜
A v t
⎟ =
⎝ d
⋅
st
⋅
76 ⎠ 2 ⋅ exp(t
d
/ t
76)
exp t / umgewandelt:
Das wird in eine quadratische Gleichung bezüglich ( )
d
t 76
⎛ V ⎞
F
exp( 2t
d
/ t
76
) − 2 ⋅ exp⎜
exp(t
d
/ t
76)
+ 1 = 0
Ad
vst
t
⎟ ⋅
(4.336)
⎝ ⋅ ⋅
76 ⎠
mit ihrer Lösung:
exp
= ⎛ V ⎞ 2 V
Ad
vst
t
76
Ad
vst
t ⎟ ⎞
⎜ ⎛ ⋅
⎜ ⎟
⎝ ⋅ ⋅ ⎠ ⎝ ⋅ ⋅
(4.337)
76 ⎠
F
F
( t / t ) exp⎜
⎟ + exp
−1
d
76
Diese Formulierung soll noch umgewandelt und vereinfacht werden:
⎡ ⎛ 2 ⋅ V ⎞ ⎤
F
⎢ exp
⎜
⎟ −1⎥
⎛ V ⎞ ⎢
⎥
( )
⎝ ⋅ ⋅ ⎠
⋅ Ad
vst
t
F
76
exp t
⎜ ⎟
d
/ t
76
= exp
⎢1
+
⎛ ⎞
⎥
⎝ Ad
⋅ vst
⋅ t
76 ⎠ ⎢
2 ⋅ VF
exp
⎥
⎢
⎜
⎟
⎥
⎣ ⎝ Ad
⋅ vst
⋅ t
76 ⎠ ⎦
⎛ V ⎞ ⎡ ⎛
⎞
( )
⎥ ⎥ ⎤
F
⋅
⋅
2 VF
exp t
⎜ ⎟ ⎢ + −
⎜−
⎟
d
/ t
76
= exp
1 1 exp
⎝ Ad
⋅ vst
⋅ t
76 ⎠ ⎢
⎣ ⎝ Ad
⋅ vst
⋅ t
76 ⎠⎦
⎪
⎧ ⎛ V ⎞ ⎡
⎞ ⎪
⎫
⎨
⎬
⎪⎩
⎥ ⎥ ⎤
⎢
⎜ ⎟
⎢
⎛
F
⋅
⋅
2 VF
t
⎜ ⎟
d
= t
76
⋅ ln exp
1+
1−
exp −
⎝ Ad
⋅ vst
⋅ t
76 ⎠ ⎣ ⎝ Ad
⋅ vst
⋅ t
76 ⎠⎦⎪ ⎭
V
⎡ ⎛
⎥ ⎥ ⎤
⎢
⎟
⎢
⎞
F
2 ⋅ VF
t
⎜
d
= t
76
⋅
+ t
76
⋅ ln 1+
1−
exp −
Ad
⋅ vst
⋅ t
76
⎣ ⎝ Ad
⋅ vst
⋅ t
76 ⎠⎦
Daraus ergibt sich analog zur Funktion t d = f(h*), Gl.(4.263), wiederum eine
* ⎡
*
h
⎛ 2 ⋅ h ⎞⎤
t ⎢
⎜
⎟
d
= + t
76
⋅ ln 1+
1−
exp − ⎥
(4.263)
vst
⎢
⎣ ⎝ vst
⋅ t
76 ⎠⎥
⎦
vergleichweise übersichtliche Umkehrfunktion der Auslaufzeit t d = f(V F ):
V ⎡ ⎛
⎞⎤
F
2 ⋅ VF
t ⎢
⎜
⎟
d
= + t
76
⋅ ln 1+
1−
exp −
⎥
(4.338)
Ad
⋅ vst
⎢
⎣ ⎝ Ad
⋅ vst
⋅ t
76 ⎠⎥
⎦
mit der stationären Auslaufgeschwindigkeit
⎞
⎜
⎛ b ⋅ ⋅ − min
b g 1 ⎟
⎝ b
v =
⎠
, ( 4.229)
st
⎡ b dp 1 ⎤
2 ⋅ (m+
1) ⋅ tan θ ⋅ ⎢1
+
⋅ ⋅
2 ⎥
⎣ 2 ⋅ (m+
1) ⋅ tan θ dhB
ρb
⋅ u ⎦
der charakteristischen Auslaufzeit t 76
b
t =
(4.234)
76
⎛ b ⎞ ⎡
⎤
⋅ + ⋅ θ⋅ ⋅ ⎜ −
min
b dp 1
2 (m 1) tan g 1 ⎟ ⋅ ⎢1
+
⋅ ⋅
2 ⎥
⎝ b ⎠ ⎣ 2 ⋅(m+
1) ⋅ tan θ dh
B
ρb
⋅ u ⎦
169
Schüttec_4 VO Partikelmechanik und Schüttguttechnik, Trichterauslegung Prof. Dr. Jürgen Tomas, 04.06.2013

170
und mit dem charakteristischen Produkt im Argument der exp-Funktion:
v
st
2
vst
⋅ t
76
=
(4.255)
g ⋅
( 1−
b / b)
min
Anhand der Gl. (4.338) kann unmittelbar abgelesen werden, dass sich die Auslaufzeit
aus einem Anteil beim stationären Fließen und einem instationären
Anteil infolge des beginnenden (beschleunigten) Ausfließens zusammensetzt.
Für große Füllmengen V F , schnelle Kinetik (kleine charakteristische Auslaufzeit)
t 76 und geringe stationäre Auslaufgeschwindigkeit v st kann der letzte Term
in der Gl. (4.338) vernachlässigt werden. D.h. es gilt unter der Bedingung
A
d
V
⋅ v
F
>
st
⋅ t
76
2 , (4.339)
die auch in vielen Fällen erfüllt wird, 1− exp( −4)
= 0,98 ≈ 1 und damit
VF
≈ + t ⋅ ln 2
(4.340)
A ⋅ v
t
d
76
d st
Der Term V F /(A . d v st ) entspricht der mittleren Verweilzeit t V,st während des
stationären Ausfließens:
VF
A ⋅ v
d
st
V
=
V
F
st
= t
V,st
(4.341)
≈ t + t ⋅ ln 2
(4.342)
t
d V,st 76
Diese Abschätzung lässt sich auch als Beweis der Plausibilität der rechnerisch
sehr aufwändigen Herleitung auffassen.
Beim praktischen Bunkerbetrieb mit Massenfluss bestimmen die Auslaufzeit t d ,
wobei hier die stationäre Auslaufgeschwindigkeit v st des Austraggerätes einzusetzen
ist, und die Lagerzeit t L bei Stillstand der Abförderung die mittlere Verweilzeit
t V,m des Schüttgutes (siehe auch Abschnitt 2).
t = t + t
(4.343)
V,m
d
L
Zur Berechnung der Auslaufzeit t d des instationären Auslaufprozesses bei laminarer
Durchströmung muss die Geschwindigkeits-Zeit-Funktion der instationärer
Auslaufgeschwindigkeit
⎛ bmin
dpa
/ dH ⎞ ⎛ t ⎞
g⋅
1
tanh⎜
⎟
⎜ − −
b
bg
⎟ ⋅
∗
t
⎝
ρ ⎠
76,lam
v(t) =
⎝ ⎠
g ⋅ B( ε)
⎛ t ⎞ 1
⋅ tanh⎜
⎟ +
2 ⋅ v
s,St⋅
ε t
⎝ 76,lam ⎠ t
76,lam
in das Integral der Gl.(4.331) eingesetzt werden:
t d
∫
( 4.303)
V − V = A ⋅ v(t) dt
(4.331)
F,max
F,min
d
0
Dieses Integral Gl.(4.314) wurde schon im Abschnitt 4.6.2.5.3 gerechnet,
Schüttec_4 VO Partikelmechanik und Schüttguttechnik, Trichterauslegung Prof. Dr. Jürgen Tomas, 04.06.2013

t
tanh( t / t
76,lam
)
( t / t )
c
h (t) = ⋅ ∫
dt
(4.314)
b'
1
t= 0tanh
76,lam
+
t b'
76,lam
um die Weg-Zeit-Funktion, Gln.(4.321) und (4.323), zu erhalten:
⎪⎧
⎡ ⎛ ⎞
2
⎛ b
⎞
min
dp
a
/ dH 1
⎨ ⋅ ⎢ ⎜
t
h(t) = g ⋅ t ⎜
⎟
⎟
76,lam
⋅
1 − −
ln tanh
+
∗
2 2
⎝ b ρ
b
g ⎠⎪⎩
1 − t
76,lamb'
⎣⎢
⎝ t
76,lam ⎠ t
1 ⎡ ⎛ ⎞ ⎤
⎡ ⎛ ⎞ ⎤⎪⎫
⎢
⎢
− ⎥
( ) ⎟ ⎥ −
⋅
( ) ⎟
⎜ t
1
+
⎜ t
⋅ ln tanh 1
ln tanh 1 ⎬
− t b' t
2 1 + t b' t ⎭ ⎪
2 1
76,lam
⎢⎣
⎝
76,lam
⎠
⎥⎦
76,lam
( ) ⎟ 2
∗
∗
ρs
− ρf
⋅ dST⋅
ε ⎠ b ⎝ b ρbg
⎠
⎣⎢
⎝
76,lam
⎠
⎥⎦
171
1 ⎤
⎥ −
b' ⎥⎦
76,lam
(4.321)
9 ⋅ η⋅ B( ε)
2
( ρs
− ρf
) ⋅ dST⋅
ε
t76 ,lamb'
=
(4.323)
2
⎛ 9 ⋅ η⋅ B( ε)
⎞ 2g(m+
1)tan θ ⎛ b dp / dH ⎞
min a
⎜
⎟ +
⋅
⎜1
− −
⎝
∆V
F
= A
d
⋅g
⋅ t
⎛ b
⋅
⎜1−
⎝ b
1 ⎡ ⎞ ⎤
⎡ ⎞ ⎤⎪⎫
⎢
− ⎥
( ) ( ) ⎟
⎜ ⎛
⎢
⎟
⎜ ⎛ t
1
t
⋅ln
tanh + 1⎥
−
⋅ln
tanh 1 ⎬
− t b' t 2 1+
t b' t ⎪ ⎭
2 1
2
76,lam
76,lam
⎢⎣
min
∗
dp ⎞⎪⎧
a
/ dH 1
−
⎟⎨
2
ρbg
⎠ 1−
t ⎪⎩
⎝
76,lam
⎠
⎥⎦
76,lam
b'
2
76,lam
⎡ ⎛
⋅ln⎢tanh⎜
⎢⎣
⎝ t
⎢⎣
⎝
t
76,lam
⎞
⎟
+
⎠ t
76,lam
⎠
1 ⎤
⎥ −
b' ⎥⎦
76,lam
⎥⎦
(4.344)
Allerdings ist hier die Berechnung der Umkehrfunktion t d = f(V F ), wie beispielsweise
von der Gl.(4.334) zur Gl.(4.338), auf analytischem Wege nicht
mehr möglich, d.h. es müssen Iterationsrechnungen durchgeführt werden:
∆V
⎡ ⎛ ⎞ ⎤
F
1
t 1
= ⋅ln⎢tanh⎜
⎟
+ ⎥ −
2 2
2 ⎛ b
⎞ 1−
t b'
⋅ ⋅ ⋅
⎢⎣
⎝ t ⎠ t b'
min
dpa
/ dH
76,lam
76,lam 76,lam
A
⎦⎥
d
g t76,lam
⎜1−
−
⎟
∗
⎝ b ρbg
⎠
1
2
1−
t
76,lam
⎞ ⎤
⎟ + 1⎥
−
⎦
⎤
⎥ =
b' ⎥⎦
A
⎡ ⎛
⋅ln⎢tanh⎜
⎣
⎞ ⎤
⎟ −1
( − t ) ⎜ ⎟ ( ) ⎜ ⎟
⎢
⎥ + ⎢
⎥ ⎥ 76,lamb'
⎝ t76,lam
⎠ 2 1 t76,lamb'
⎝ t76,lam
⎠ ⎦
2 1
b'
1 ⎡ ⎛
⋅ln⎢tanh⎜
⎣
t
⎡ ⎛ t ⎞ 1
⋅ln⎢tanh⎜
⎟
+
⎢⎣
⎝ t76,lam
⎠ t
⎡ ⎛
⋅ln⎢tanh
t
⎞ ⎤
⎟ + 1⎥
+
⋅g
⋅ t
( − t ) ⎜ ⎟ ( ) ⎜ ⎟
⎢
⎥ + ⎢
⎥ ⎥ 76,lamb'
⎣ ⎝ t76,lam
⎠ ⎦
2 1 t76,lamb'
⎣ ⎝ t76,lam
⎠ ⎦
2 1
2
1
76,lam
d
1
2
76,lam
1
∆VF
⎛ b
⋅
⎜1−
⎝ b
min
∗
⎡ ⎛
⋅ln⎢tanh⎜
t
+
dp ⎞
a
/ dH
−
⎟
ρbg
⎠
t
⎞ ⎤
⎟ −1
…usw.
Diese Rechnung lässt sich für laminare Umströmung näherungsweise auch mit
der Gl. (4.338) durchführen.
Allerdings sind die charakteristischen Auslaufzeiten t 76 des beginnenden Ausfließens
oftmals so gering (siehe Tab. 9.3) 32 , dass die Berücksichtigung des
32 Tomas, J., Modellierung…, S. 129, Diss. B, TU Bergakademie Freiberg 1991
Schüttec_4 VO Partikelmechanik und Schüttguttechnik, Trichterauslegung Prof. Dr. Jürgen Tomas, 04.06.2013

172
instationären Anteils bei Messungen der Auslaufzeiten in den meisten Fällen
praktisch nicht notwendig ist. Eine Ausnahme bilden hierbei die beschleunigten
Auslauf- und Füllvorgänge in schnell laufenden Verpackungsmaschinen (s.
Bild 9.2 ebenda).
Die wesentlichen Prozessgrößen zur Modellierung der Dynamik des instationären
Auslaufverhaltens kohäsiver Schüttgüter aus konvergenten Trichtern
während ihrer homogenen Durchströmung wurden in der Tabelle 4.3 und in
den Folien F 4.27 und F 4.28 zusammengefasst:
Schüttec_4 VO Partikelmechanik und Schüttguttechnik, Trichterauslegung Prof. Dr. Jürgen Tomas, 04.06.2013

173
Tabelle 4.3: Das instationäre Auslaufverhalten kohäsiver Schüttgüter aus konvergenten Trichtern und ihre homogene Durchströmung (TOMAS 1991, 2010)
Prozessgrößen Laminare Durchströmung Turbulente Durchströmung
Reynolds-Zahl Umströmung: Re < Re St = 0,25 ... 1, c W = 24/Re Umströmung: 10 3 < Re N < Re c = 2⋅10 5 , c W = 0,44
2
( ρs−ρf
) ⋅d
⋅ g
vs ,St
=
für Partikelumströmung
18η
Partikelgrößenber
2
18⋅
η ⋅ Re
3
St
eich dSt
≤ für Partikelumströmung
ρ ⋅ ( ρ −ρ ) ⋅ g
Stationäre Sinkgeschwindigkeit
Durchströmungswiderstand
Differentialgleichung
Geschwindigkeits-Zeit-Gesetz
Stationäre Auslaufgeschwindigkeit
Charakteristische
Auslaufzeit
dv
dt
B ( ε)
WS
f
s
f
⎢ ⎢ ⎡ 3
1− ε
= 1+
0,341⋅
+
3
0,9 − 1− ε
⎣
2(m+
1)tan θ
⋅ v
∗
b
1
2
g ⋅ B( ε)
⎛ b
+ ⋅ v = g
⎜1−
vs,St⋅
ε ⎝ b
2
min
+
∗
⎛ b
min
dpa
/ dH ⎞ ⎛ t
g⋅
1
tanh⎜
⎜ − −
b
bg
⎟ ⋅
∗
⎝ ρ ⎠ t
v(t) =
⎝
g ⋅ B( ε)
⎛ t ⎞ 1
⋅ tanh⎜
⎟ +
2⋅
v
s,St⋅ε
t
⎝ 76,lam ⎠ t
76,lam
v
t
st
∗
b ⎡ 1
=
⋅ ⎢
2(m+
1)tan θ
⎣t
76,lam
=
⎛ ⎞
⎜
g ⋅ B( ε)
⎟
⎝ 2 ⋅ vs,St⋅
ε ⎠
2
76,lam
76,lam
⎛
3
1− ε
⎟ ⎞
⋅ ⎜
3
⎝ 0,9 − 1− ε ⎠
⎞
⎟
⎠
g ⋅ B( ε)
⎤
− ⎥
2 ⋅ vs,St⋅
ε
⎦
1
2g(m+
1)tan θ ⎛ b
+
⋅
⎜1−
∗
b ⎝ b
min
∗
dpa
−
ρ g
2
⎤
⎥ ⎥ ⎦
/ dH
b
dpa
−
ρ g
/ dH
b
⎞
⎟
⎠
⎟ ⎞
⎠
(4.267)
(4.268)
( 4.324)
(4.287)
( 4.303)
( 4.289)
(4.301)
v
d
4 ⋅(
ρ
−ρ ) ⋅d
⋅ g
s f
s,N
= für Partikelumströmung
3⋅cW
⋅ρf
3⋅
c
⋅ η ⋅ Re
2 2
3
W
N
N
≥ für Partikelumströmung
4 ⋅ρf
⋅ ( ρs
−ρf
) ⋅ g
dp
dh
B
⋅
ρ
b
1
⋅ u
2
3⋅ρf
⋅ Eu
B
(u
r
)
=
2
4 ⋅ρ
⋅ ε ⋅ d
s
ST
dv 2 ⋅ (m+
1) ⋅ tan θ ⎡ b dp 1 ⎤
⎢
⎥ ⋅
2
+
⋅ 1+
⋅ ⋅ v =
2
dt b ⎣ 2 ⋅ (m+
1) ⋅ tan θ dh
B
ρb
⋅ u ⎦
⎞
⎜
⎛ b
g ⋅ 1 − min
⎟
⎝ b ⎠
v (t)
v
t
st
76
=
=
= v
st
⎛
⋅ tanh
⎜
⎝
t
t
76
⎞
⎟
⎠
⎞
⎜
⎛ b ⋅ ⋅ − min
b g 1 ⎟
⎝ b ⎠
⎡ b
2 ⋅ (m+
1) ⋅ tan θ ⋅ ⎢1
+
⋅
⎣ 2 ⋅ (m+
1) ⋅ tan θ
⎛ b
2 ⋅ (m + 1) ⋅ tan θ⋅ g ⋅ ⎜1
−
⎝ b
min
⎞
⎟ ⋅
⎠
dp
dh
B
1
⋅
2
ρ ⋅ u
b
⎡ b
⎢1
+
⋅
⎣ 2 ⋅(m+
1) ⋅ tan θ
b
⎤
⎥
⎦
dp
dh
B
1
⋅
ρ ⋅ u
b
2
⎤
⎥
⎦
(4.345)
(4.346)
( 4.216)
( 4.195)
( 4.233)
( 4.229)
(4.234)
Schüttec_4 VO Partikelmechanik und Schüttguttechnik, Trichterauslegung Prof. Dr. Jürgen Tomas, 04.06.2013

Schüttec_4 VO Partikelmechanik und Schüttguttechnik, Trichterauslegung Prof. Dr. Jürgen Tomas, 04.06.2013
174
Charakteristische
Auslaufgeschwindigkeiten
76,lam
s,St
b
a
min
76,lam
t
1
v
)
B(
g
0,38
g
dH
/
dp
b
b
1
g
0,76
)
t
v(t
+
ε
⋅
ε
⋅
⋅
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
ρ
−
−
⋅
⋅
=
=
∗
76,lam
s,St
b
a
min
76,lam
t
1
v
)
B(
g
0,482
g
dH
/
dp
b
b
1
g
0,964
)
t
2
v(t
+
ε
⋅
ε
⋅
⋅
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
ρ
−
−
⋅
⋅
=
⋅
=
∗
(4.308)
(4.309)
( ) st
s
76 v
0,76
tanh 1
v
)
t
(t
v
⋅
=
⋅
=
=
( ) st
s
76
96 v
0,964
2
tanh
v
)
t
2
(t
v
⋅
=
⋅
=
⋅
=
(4.236)
(4.237)
Differentialgleichung
76,lam
76,lam
s,St
76,lam
b
a
min
t
1
t
t
tanh
v
2
)
B(
g
t
t
tanh
g
dH
/
dp
b
b
1
g
dt
dh(t)
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⋅
ε
⋅
⋅
ε
⋅
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟ ⋅
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
ρ
−
−
⋅
=
∗
(4.311)
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⋅
=
76
st
t
t
tanh
v
dt
(t)
dh (4.251)
Weg-Zeit-Gesetz
( ) ( ) ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⋅
+
−
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⋅
−
−
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⋅
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
ρ
−
−
⋅
⋅
= ∗
1
t
t
tanh
ln
b'
t
2 1
1
1
t
t
tanh
ln
b'
t
2 1
1
b'
t
1
t
t
tanh
ln
b'
t
1
1
g
dH
/
dp
b
b
1
t
g
h(t)
76,lam
76,lam
76,lam
76,lam
76,lam
76,lam
2
2
76,lam
b
a
min
2
76,lam
(4.321)
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⋅
⋅
=
76
76
st
t
t
ln cosh
t
v
(t)
h
(4.254)
Charakteristische
Auslaufhöhen
⎟ ⎟ ⎠
⎞
⎜ ⎜ ⎝
⎛
ρ
−
−
⋅
⋅
⋅
≈
∗
g
dH
/
dp
b
b
1
t
g
0,433
)
h(t
b
a
min
2
76,lam
76,lam
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
ρ
−
−
⋅
⋅
⋅
≈
∗
g
dH
/
dp
b
b
1
t
g
1,33
)
h(t
b
a
min
2
76,lam
96
(4.317)
(4.318)
( )
b
/
b
1
g
v
0,433
t
v
0,433
)
h(t
min
2
st
76
st
76
−
⋅
⋅
=
⋅
⋅
=
( )
b
/
b
1
g
v
1,33
t
v
1,33
)
h(t
min
2
st
76
st
96
−
⋅
⋅
=
⋅
⋅
=
(4.256)
(4.257)
Auslaufzeit nur numerisch lösbar -
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⋅
⋅
⋅
−
−
+
⋅
+
⋅
=
76
st
d
F
76
st
d
F
d
t
v
A
V
2
exp
1
1
ln
t
v
A
V
t
(4.338)
Geschwindigkeits-Weg-Gesetz
nur numerisch rechenbar -
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⋅
⋅
−
−
⋅
=
76
st
st
t
v
h
2
exp
1
v
(h)
v
(4.266)

175
4.6.5 Experimentelle Überprüfung der Trichterauslaufmodelle
Diese Modelle lassen sich mit dem Flüssigkeitsbrückenmodell [7]
b
35⋅
( m + 1) ⋅sin 2( φw
+ Θ)
⋅ σlg
ρ ⋅ g ⋅ b ⋅d
⋅ ( 1−
sin φ )
⋅sin
φ
min
i s
= ⋅ ⋅ XW
( 4.347)
b
s
i
ρl
(m Trichterformfaktor, σ lg Grenzflächenspannung, φ i inneren Reibungswinkel,
ρ l Flüssigkeitsdichte, X W Wassergehalt) kombinieren und anhand Meßdaten
von Johanson [3] bei Vernachlässigung von Anlaufvorgängen und Luftwiderstand
überprüfen:
...................... Zusätze:
Bild xx: Stationärer Austragsvolumenstrom V in Abhängigkeit von der ausgeführten
Öffnungsweite b eines konischen Trichters (m = 1) und des
Feuchtegehalts X W des Eisenerzkonzentrates; err. - errechnet mit
Gl. ( 4.242) V = a ⋅ v s ; gem. - gemessen [3]
Bild xx: Stationärer Austragsvolumenstrom V in Abhängigkeit von ausgeführten
Öffnungsweite b eines Trichters (m = 0) und des Feuchtegehaltes
X W des Eisenerzkonzentrates; errechnet mit Gl. ( 4.242) V = A
⋅v s ; gem. - gemessen
In Anbetracht der Komplexität der Problemstellung und der Stochastik des
Fließverhaltens des feinkörnigen Eisenerzes (d ≈ d 50 ≈ 400 µm angenommen,
ρ s = 5200 kg⋅m -3 , ρ b = 2510 kg⋅m -3 , φ i = 33°, ff = 1,3 [3]) kann die Anpassung
als gut eingeschätzt werden.
.........................
ρ
4.6.6 Einfluß der kohäsiven Fließeigenschaften
Generell lassen sich im Term b min /b bzw. b min,st /b die gemessenen oder die mit
den Haftkraftmodellen [7] abgeschätzten Fließeigenschaften der Schüttgüter
berücksichtigen (φ st stationärer innerer Reibungswinkel, σ 0 dreiaxiale Zugfestigkeit
der unverfestigten Partikelkontakte, φ w Wandreibungswinkel, ρ b Schüttgutdichte,
siehe auch Schüttec_3.doc#sigma_c_sigma_1):
b
b
b
min
min,st
b
( m + 1) ⋅sin 2( φw
+ Θ) ⋅ ( 1+
sin φi
) ⋅sin
φst
⋅ σ0
⋅ b ⋅[ 1−
sin φ ⋅sin
φ − ( sin φ − sin φ ) ⋅ ( 2 ⋅ ff −1)
]
2
= ( 4.348)
ρ ⋅ g
b
st
( m + 1) ⋅ sin φst
⋅ σ0
⋅ sin 2( φw
+ Θ)
g b ( 1 sin ) 1 −
ρ ⋅ ⋅ ⋅ − φ
n
b,0
i
st
st
2 ⋅
= ( 4.349)
Hinsichtlich des Einflusses des instationären Anlaufvorganges soll auch auf
den Beitrag von Keller [4] verwiesen werden, bzw. siehe auch [7].
Ein Vergleich mit Meßwerten für freifließenden Sand [5] zeigt, daß ab etwa
Partikelgrößen d < 500 µm der Luftwiderstand bei der voraussetzungsgemäß
laminaren Durchströmung zunehmend in Rechnung gestellt werden muß, Bild
i
Schüttec_4 VO Partikelmechanik und Schüttguttechnik, Trichterauslegung Prof. Dr. Jürgen Tomas, 04.06.2013

176
F 4.29 (Stationärer Austragsvolumenstrom v s in Abhängigkeit von der Partikelgröße
d für Sand; errechnet mit Gl.(4.286); gemessen [5] konischer Massenflußtrichter
k b = 3, ε = 1, ff c > 10)
Die Vorteile der vorgestellten Modelle gegenüber bisher bekannten sind ihre
vielseitige Anwendungsmöglichkeiten, wie z.B. die Beschreibung der instationären
Fließgeschwindigkeit kohäsiver Güter bei der Wirkung eines Luftwiderstandes
in senkrechten Rohren bzw. Schurren [7] oder hinsichtlich der Auslegung
von Dosier- und Portioniergeräten.
[1] Neddermann, R. M., u.a.: Chem. Engng. Sci. 37 (1982) 11, 1597-1609;
Chem. Engng. Sci. 37 (1982) 12; 1691-1709; Chem. Engng. Sci. 38
(1983) 1, 189-195.
[2] Beverloo, W. A., u.a.: Chem. Engng. Sci. 15 (1961) 260-269.
[3] Johanson, J. R.: Trans. Amer. Inst. Min. Metallurg. Petrol. Engrs. 232
(1965) 3, 69-79.
[4] Keller, H., u. Gjacek, L. V.: Freiberger Forsch.-H., Reihe A 703 (1985)
129-139.
[5] Carleton, A. J.: Powder Technology 6 (1972) 91-96.
[6] Crewdson, J. B., u.a.: Powder Technology 16 (1977) 197-207.
[7] Tomas, J.: Dissertation B, Bergakademie Freiberg 1991.
[8] Molerus, O.: Fluid-Feststoff-Strömungen, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg,
New York 1982.
[9] Kache, G., Verbesserung des Schwerkraftflusses kohäsiver Pulver durch
Schwingungseintrag, docupoint Verlag, Magdeburg 2010
4.7 Zusammenfassung wesentlicher Dimensionierungsgleichungen
⇒ siehe Bilder F 4.30, F 4.31
Schüttec_4 VO Partikelmechanik und Schüttguttechnik, Trichterauslegung Prof. Dr. Jürgen Tomas, 04.06.2013

Zusatzkapitel:
177
4.8 Wärmetransportprobleme in Silos
4.8.1 praktische Probleme
• Nachtrocknung von Schüttgütern, die aus Trocknern eingefüllt werden, in
den Silos verbunden mit Brüdenkondensation an den kalten Wänden,
• dem folgen Aufbau von Anbackungen oder Verhärtungen von Schüttgütern
mit leichtlöslichen Inhaltsstoffen,
• oder Ansammlung größerer kondensierter Wassermengen am Auslauf;
• Berücksichtigung von Zusatzlasten (passiver Wandnormaldruck) notwendig
bei Abkühlung (Kontraktion) der Wand
∆l(T)
∆ pn,T
= E ⋅ ε(T)
= E ⋅ = E ⋅ αl
⋅ ∆T
( 4.350)
l
0
und folgender Verdichtung des sich durch die Temperaturwechsel - eine
Wandausdehnung bewirkt das Nachrutschen des Schüttgutes, eine Wandkontraktion
die Schüttgutverdichtung - zunehmend versteifenden Schüttgutes;
4.8.2 Wärmeübergang zwischen Wand und ruhendem Schüttgut
Gewöhnlich ist hier ein scharfer Unterschied zwischen der Wandtemperatur T w
und der Guttemperatur an der Wand zu beobachten. Stark vereinfacht lassen
sich die möglichen Temperaturdifferenzen über eine quasi-stationäre Wärmebilanz
aus dem von einer Quelle abfließenden Wärmestrom (Wärmedurchgang
zwischen Schüttgut und Außenwand) abschätzen:
dQ
≈ −Q
= −k⋅
A⋅
∆T
, ( 4.351)
dt
mit dem Durchgangswiderstand als Summe der Teilwiderstände
1 1 sw
1 1
= + + +
( 4.352)
k α λ α
g,aw
w
w,b+ g
αb+
g
α g,aw Wärmeübergangskoeffizient, Außenluft - Außenwand, ≈ 23 W/(m 2 K)
(siehe MARTENS 1987)
λ w Wärmeleitkoeffizient der Wand, ≈ (30...60) W/(m K) für Stahl
α w,b+g Wärmeübergangskoeffizient, Schüttgut und Porenluft - Innenwand,
α b+g Wärmeeindringkoeffizient in das Schüttgut (und Porenluft),
Problematisch sind die Wärmeübergangskoeffizienten von Schüttgut und Porenluft
(jeweils parallel geschaltet) zur Innenwand und im Inneren der Schüttung.
Wenn nur der Anteil der Porenluft betrachtet wird, läßt sich etwa α w,g ≈ 8
W/(m 2 K) abschätzen (siehe MARTENS 1987).
Schüttec_4 VO Partikelmechanik und Schüttguttechnik, Trichterauslegung Prof. Dr. Jürgen Tomas, 04.06.2013

178
4.8.3 Modellierung des Wärmeüberganges zwischen Wand und Schüttgut
Es soll hier auf ein zweckmäßiges Modell von TSOTSAS (1988) zurückgegriffen
werden.
Für die modifizierte freie Weglänge der Gasmoleküle zwischen den Partikel-
Wand-Kontaktflächen gilt:
2−γ
2πRT
λg
lg ,mod=
2⋅
⋅ ⋅
( 4.353)
γ M ⎛ R ⎞
p⋅
⎜2c
p,g−
⎟
⎝ M ⎠
M Molmasse des Gases
R allgemeine Gaskonstante
T Temperatur
γ Anpassungskoeffizient (sog. Akkomodationskoeffizient), 1-γ ist der
Anteil an Gasmolekülen mit vollelastischer Wandreflexion ohne molekulare
Energieübertragung, ≈ 0,9
c p,g spezifische Wärmekapazität des Gases bei konstantem Druck, ≈1,006
J/(g K) für Luft
Der lokale Wärmeübertragungskoeffizient im Partikel-Wand-Kontakt (Index
pwk,lok) ist definitionsgemäß mit der KNUDSEN-Zahl Kn = l / a :
( 1+
Kn)
g,mod
λg
λg
α
pwk,lok
= =
( 4.354)
a + l a ⋅
lok
g,mod
lok
Bei großen lokalen Partikelabständen a lok und kleinen KNUDSEN-Zahlen (Kn
< 1, Kontinuumsbereich) überwiegen die Molekülkollisionen; bei kleinen
Partikelabständen und großen KNUDSEN-Zahlen (KNUDSEN-Bereich) die
Molekül-Wand-Kollisionen.
Nach Integration unter Berücksichtigung der Kugel-Platte-Kontaktgeometrie
wird erhalten:
( d )
4λ
⎪⎧
⎡
⎤ ⎪⎫
g ⎡ 2 lg,mod+
r ⎤
α = ⎨⎢
+ ⎥ ⎢ + ⎥ −
( ) ⎬
⎪⎩ ⎣
⎦
⋅ d
pwk
1
ln 1
1
( 4.355)
d d ⎣ 2 lg,mod+
dr
⎦ ⎪ ⎭
d r
d
mittlere Rauhigkeitsabmessung
Partikelgröße
Für den Wärmeübertragungskoeffizienten zwischen Wand und Schüttung gilt
nun mit Berücksichtigung der Wärmestrahlung α rad :
2λ
/ d
α = α ⋅ ϕ +
( 4.356)
wb
pwk
HF
g
( 1−ϕ
HF)
⋅
+ αrad≈ αpwk⋅
ϕHF
2+
2⋅
(lg,mod+
dr
) / d
ϕ HF Bedeckungsgrad der Heizfläche mit Schüttgut, ≈ 0,8
Der zweite Summand berücksichtigt die Wärmeleitung von der Wand an die
zweite Partikelschicht.
lok
Schüttec_4 VO Partikelmechanik und Schüttguttechnik, Trichterauslegung Prof. Dr. Jürgen Tomas, 04.06.2013

4.8.3.1 Partikel-Partikel-Wärmeübergang in ruhender Schüttung
Mit dem sog. Plattenmodell nach KRISCHER (siehe TSOTSAS 1988) läßt sich
insbesondere der Einfluß der
1 1 1
Porosität ε der Schüttung darstellen.
= + bzw.
kges
k1
k1+
k2
−1
Es gilt für parallel ( k1+ k
2
) und
−1
kges
in Reihe ( 1/ k1+ 1/ ...) geschaltete
Durchflußkoeffizienten k k
⎜ 1+
k ⎟
k1
1
1
1 ⎟ ⎟ ⎞
⎜ ⎜ ⎛
⎛ ⎞
= ⎜ + ⎟ = +
k1
⎝ k1+
k2
⎠ ⎜ k2
⎟
⎝
1 ⎠
oder reziprok für die Widerstände
1/k k der festen und Porengasphase:
−1
⎛ ⎞
⎜ ⎟
λb ⎜1−ξ
ξ
= +
⎟ mit ( 4.357)
λ ⎜ λ ⎟
g I
λII
⎜ ⎟
⎝ λg
λg
⎠
λ
λ
I
= ε+ (1−ε
)
g
λ
⋅
λ
s
g
−1
und ( 4.358)
⎛ ⎞
⎜ ⎟
λII ⎜ 1−ε
= ε+
⎟
( 4.359)
λ ⎜ λ ⎟
g
s
⎜ ⎟
⎝ λg
⎠
ξ Anteil der Reihenschaltung (= Maximalwiderstand), ≈ 0,2 gute Anpassung,
1-ξ = Anteil der Parallelschaltung (= Minimalwiderstand)
λ s Wärmeleitfähigkeit des Feststoffpartikels, ≈ 1,2 W/(m K) für Silikate
u.ä. mineralische Stoffe
λ g Wärmeleitfähigkeit des Gases, ≈ 0,245 W/(m K) für Luft T = 273 K,
−7 / 6
wobei λ ∝ T⋅
M
g
Problematisch für praktische Aufgaben ist allerdings hier die Quantifizierung
des Anteiles ξ.
179
4.8.3.2 instationärer Partikel-Partikel-Wärmeübergang in ruhender Schüttung
Für den instationären Energietransport gilt in Zylinderkoordinaten:
dT 1 ∂
[( )
]
( rq
) ∂q
r y ∂T
1−ε
⋅ρscp,s+ε ⋅ρgcp,g
⋅ = − ⋅ − − m
0cp,
g
dt r ∂r
∂y
∂y
( 4.360)
mit den kinetischen Ansätzen für die Wärmestromdichten q in radialer und
axialer Richtung
∂T
∂T
q r= −Λ
r
( 4.361) und q y= −Λax
( 4.362)
∂r
∂y
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180
Λ r , Λ ax radialer und axialer Transportkoeffizient (effektive Wärmeleitfähigkeit)
erhält man die allgemeine Bilanz
2
2
dT ⎛ 1 ∂T
∂ T ⎞ ∂ T ∂T
[( 1−
ε)
⋅ρscp,s+ ε ⋅ρgcp,g
] ⋅ = Λ
r⋅
⎜ ⋅ + ⎟ +Λax⋅
− u0ρgc
2
2
p, g
dt ⎝ r ∂r
∂r
⎠ ∂y
∂y
( 4.363)
sowie analog dazu für den Stofftransport in der Gasphase
2
2
dc ⎛ 1 ∂c
∂ c ⎞ ∂ c ∂c
ε ⋅ = Dr⋅⎜
⋅ + ⎟ + Dax⋅
− u
( 4.364)
2
2 0
dt ⎝ r ∂r
∂r
⎠ ∂y
∂y
D r , D ax radialer und axialer Dispersionskoeffizient
Die gewöhnlich unter Beachtung bestimmter Randbedingungen numerisch gelöst
werden.
Vereinfachend gilt für den zeitlich gemittelten Wärmeübergang aus Messungen
in einer Schüttung, siehe TSOTSAS S. 167 ff:
q
αb=
= 2⋅
∆T
ρ
b
c
p,b
π ⋅ t
t Kontaktzeit
c p,b
ρ b
λ
b
spezifische Wärmekapazität der Schüttung
Schüttgutdichte
( 4.365)
λ b wirksame Wärmeleitfähigkeit der Schüttung, z.B. nach Gl.( 4.357)
4.9 Befüllung und Füllstandsmessung
Befülleinrichtungen
Die Einspeisung von Schüttgütern in Bunker geschieht gewöhnlich durch Abwurf
von Stetigförderern. Bei geringeren Füllständen sollte das Gut als Folge
der Abwurfparabel nicht auf die Bunkerwand auftreffen, da dann dort starker
Verschleiß auftreten kann. Weiterhin können größere Abwurfhöhen infolge der
kinetischen Energie der fallenden Partikeln zu einer erhöhten Schüttgutverfestigung
führen.
Den in Abschnitt 1.4 Schüttec_1.doc beschriebenen Entmischungserscheinungen
am aufgeworfenen Schüttgutkegel kann einerseits durch reversierbaren
Bandabwurf, wobei das Schüttgut lagenweise eingespeichert wird, oder andererseits
durch Mehrpunktbeschickung mittels einfacher Einbauten begegnet
werden. Dadurch entstehen mehrere kleinere Schüttgutkegel, und die Entmischungen
halten sich Grenzen, siehe Bild F 4.32.
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181
Bunkerfüllstandsmessung
Im Zusammenhang mit der Automatisierung verfahrenstechnischer Prozesse
kommt der Bunkerfüllstandsmessung wachsende Bedeutung zu. Vielfach genügen
Grenzstandsmessungen. Es kann aber auch ein periodisches oder kontinuierliches
Messen des tatsächlichen Füllstandes erforderlich sein. In
Abgängigkeit von der Art des Bunkers, den Schüttguteigenschaften und von
meßtechnischen Erfordernissen ist eine größere Zahl von Meßmethoden und -
geräten entwickelt worden, Bild F 4.33:
1) Die wahrscheinlich genaueste Messung wird erreicht, wenn der gesamte
Bunker auf Druckmeßdosen gestellt wird, wodurch das Bunkergesamtgewicht
unmittelbar gemessen wird.
2) Die einfachste Methode ist das Ausloten der Füllhöhe entweder elektromechanisch
oder von Hand.
3) Elektromechanische Drehflügelgeräte werden als Grenzschalter zur Volloder
Leeranzeige benutzt. Diese einfache Meßmethode ist sehr robust und
preiswert, Bild F 4.34.
4) Zur Grenzstandsüberwachung dienen auch Membranschalter, die in der
Silowand eingesetzt auf den Schüttgutdruck ansprechen.
5) Bei der konduktiven Füllstandsmessung dienen Sonden zur Signalisierung
von Grenzzuständen elektrisch leitfähiger Schüttgüter.
6) Bei der kapazitiven Messung bilden eine in den Behälter eingebaute Stabsonde
oder eingehängte Teilsonde mit der Behälterwand einen Kondensator.
7) Die Absorption von β- oder γ-Strahlen kann für alle Schüttgüter zur Kontrolle
von Grenzfüllständen oder zur kontinuierlichen radiometrischen Messung
benutzt werden. Diese Methoden sind unempfindlich, aber vergleichsweise
aufwendig und kostspielig.
8) Die Echolotung mit Ultraschall bietet sich zu Kontrolle von Grenzzuständen
sowie zur kontinuierlichen Messung von Füllständen feinkörniger und
auch belüfteter Schüttgüter an.
4.10 Bunkerverschlüsse
− wesentliche Bauarten, Bild F 4.35
a) waagerechter Flachschieber
b) senkrechter Flachschieber
c) waagerechter Drehschieber
d) Doppeldrehschieber
e) Kugelbahn
f) Drehklappe
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182
g) Austragschurre mit Klauenhebelverschluß
h) Stauverschluß mit Schwenkschurre
− Anwendung
• a) bis f) für mittel- bis feinkörnige Schüttgüter, z.B. Zement, Sand, Kies
• e) Kugelhahn für feinkörnige Güter in Druck- bzw. pneumatische Förderanlagen
(Richtpreis 23000.- DM!)
• g) und h) für grobstückiges Gut, z. B. Rohhaufwerke
− Beispiel: Absperrschieber mit Handrad bzw. Elektroantrieb, F 4.36
− grundsätzliche Forderungen
• keine Steuerung des Massenstromes durch halbgeöffnete Schieber, Klappen
oder Hähne bei kohäsiven Gütern ⇒ Kernflußgefahr!, d.h. kein
"Wasserhahn-Prinzip"
• Verschlüsse vollständig öffnen bzw. schließen
• Mengenstromsteuerung bzw. -regelung ist Aufgabe der Austrags- bzw.
Dosiergeräte!
4.11 Normsilos
kurze Diskussion der Abmessungen und Einzelheiten siehe Bild F 4.37
....
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