Hochschule Bremerhaven SS 2006 Mathematik: MT ...
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<strong>Hochschule</strong> <strong>Bremerhaven</strong> <strong>SS</strong> <strong>2006</strong><br />
<strong>Mathematik</strong>: <strong>MT</strong> Klausurvorbereitung Nr. 1<br />
Regressions- und Wahrscheinlichkeitsrechnung<br />
<strong>SS</strong> 03.1<br />
1. Aufgabe: Kommissar EINBLICK muß einen Mordfall untersuchen. Der Hergang in Stichworten:<br />
Eifersuchtsdrama im Hause KLEINBLICK<br />
Kopfschuß bei Ehemann Dr. med. KLEINBLICK, Pathologe<br />
Frau Dr. KLEINBLICK hat Alibi, wasserdicht<br />
Lover von Frau Dr. KLEINBLICK, J. AUGENBLICK, ist reich, aber dringend tatverdächtig<br />
Nun behauptet jener J. AUGENBLICK, er könne es nicht gewesen sein, da er zur Tatzeit ( 17.15 Uhr )<br />
bei dem Radiologen Dr. A.Z. TIEFBLICK gewesen sei, und TIEFBLICK dem AUGENBLICK ein zur<br />
Erkennung einer Schilddrüsenkrankeit ein radioaktives Material intravenös gespritzt hat.<br />
Die Praxis Dr. A.Z. TIEFBLICK hat bereits zu, Anrufbeantworter läuft, TIEFBLICK säuft, aber das nur<br />
nebenbei.<br />
EINBLICK muß sofort handeln, Oberschwester E. WEITBLICK nimmt Blutprobe von AUGEN-<br />
BLICKBLICK und beauftragt das Expertenteam DURCHBLICK <strong>MT</strong> mit der radiologischen<br />
Untersuchung.<br />
DURCHBLICK <strong>MT</strong> mißt folgende Daten mit größter Sorgfalt:<br />
t in min<br />
N in Imp<br />
N steht für die Anzahl der radioaktiven Zerfälle, die von<br />
einem Geiger-Müller-Zählrohr erfaßt werden.<br />
30 11800<br />
60 4900<br />
90 1800<br />
120 750<br />
150 300<br />
180 290<br />
210 160<br />
240 145<br />
270 140<br />
300 100<br />
330 75<br />
360 68<br />
390 56<br />
420 55<br />
450 33<br />
1.1. Stellen Sie die Daten auf dem beigelegten<br />
halblogarithmischem Papier dar. (noch ohne<br />
Regressionskurve)<br />
1.2. Bestimmen Sie die Regressionsfunktionen<br />
vollständig. Zeichnen Sie die Regressionsgeraden in<br />
Ihre Zeichnung aus 1.1. mit ein.<br />
Berechnen Sie auch den oder die Pearsonschen<br />
Regressionskoeffizienten und bewerten Sie kurz<br />
Ihre Ergebnisse.<br />
1.3. Wie hoch war die Zählrate nach t = 45 min ?<br />
Wann war die Zählrate genau bei 1000 Impulsen?<br />
1.4. Zum Zeitpunkt der Injektion des radioaktiven<br />
Materials muß die Zählrate bei N = 190000 ± 2500<br />
Impulsen liegen.<br />
Der Meßbeginn für die Blutprobe von J.<br />
AUGENBLICK war um 18.15 Uhr.<br />
Sind denn nun die Angaben von J. AUGENBLICK<br />
richtig, oder war er eventuell doch der Mörder?<br />
Seite 1<br />
KV <strong>SS</strong> <strong>2006</strong>.doc
<strong>Hochschule</strong> <strong>Bremerhaven</strong> <strong>SS</strong> <strong>2006</strong><br />
<strong>Mathematik</strong>: <strong>MT</strong> Klausurvorbereitung Nr. 2<br />
halblogarithmisches Papier<br />
.<br />
1 . 10 5<br />
N<br />
1 . 10 4<br />
1 . 10 3<br />
100<br />
10<br />
0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360 390 420 450<br />
t in min<br />
Seite 2<br />
KV <strong>SS</strong> <strong>2006</strong>.doc
<strong>Hochschule</strong> <strong>Bremerhaven</strong> <strong>SS</strong> <strong>2006</strong><br />
<strong>Mathematik</strong>: <strong>MT</strong> Klausurvorbereitung Nr. 3<br />
<strong>SS</strong> 03.1<br />
2. Aufgabe: Kommissar EINBLICK stürmt in das Labor unserer Experten und fragt nach<br />
Meßgenauigkeiten und Fehlergrenzen. Das Expertenteam DURCHBLICK <strong>MT</strong> hat nichts zu<br />
verbergen und gibt pflichtgemäß Auskunft:<br />
N( t = 30 min ) = ( 11800 ± 500 ) Impulse<br />
t = ( 30 ± 0,5 ) min<br />
λ = – 0,03<br />
Ausgehend von diesen Daten möchte Kommissar EINBLICK folgendes wissen:<br />
2.1. Wie groß ist der Wert N 0 = N ( t = 0 min ) ?<br />
2.2. In welche Fehlergrenzen liegt N 0 ?<br />
2.3. Welche der beiden Meßgrößen muß verbessert werden, um das Ergebnis von N 0 genauer<br />
angeben zu können.<br />
<strong>SS</strong> 03.1<br />
3. Aufgabe: Kommissar EINBLICK entdeckt seine Leidenschaft für <strong>Mathematik</strong>!!!!<br />
Er hat nämlich festgestellt, daß die Zählrate bei t = 30 min von seinem hochverehrten<br />
Expertenteam DURCHBLICK <strong>MT</strong> zeitlich parallel 25 Mal gemessen wurde. Die Experten haben<br />
dann den Mittelwert und die Standardabweichung berechnet:<br />
N (t = 30min) = 11800 Impulse<br />
σ = 500 Impulse<br />
N<br />
Kommissar EINBLICK stellt den Experten folgende Fragen<br />
3.1. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß die Zählrate größer als 12000 Impulse ist?<br />
3.2. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß die Zählrate zwischen 11000 ≤ N ≤ 12000<br />
Impulsen liegt?<br />
3.3. Symmetrisch um den Mittelwert sollen 75 % aller Zählraten liegen. Wie groß sind die untere<br />
und die obere Grenze des dazugehörenden Intervalls ?<br />
3.4. Nicht symmetrisch um den Mittelwert sollen 75 % aller Zählraten liegen. Können Sie die<br />
untere und die obere Grenze des dazugehörenden Intervalls berechnen?<br />
Seite 3<br />
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<strong>Hochschule</strong> <strong>Bremerhaven</strong> <strong>SS</strong> <strong>2006</strong><br />
<strong>Mathematik</strong>: <strong>MT</strong> Klausurvorbereitung Nr. 4<br />
4. Aufgabe:<br />
<strong>SS</strong> 03.2<br />
Aus gesicherter statistischer Quelle sind die Daten für das Wachstum der Weltbevölkerung in der<br />
unten stehenden Tabelle 1 angegeben.<br />
Jahr<br />
Anzahl A<br />
in Mrd.<br />
1960 3,0389<br />
1970 3,706<br />
1980 4,4576<br />
1990 5,2817<br />
1997 5,8124<br />
Tabelle 1<br />
4.1. Stellen Sie die Daten auf dem beigelegten<br />
halblogarithmischem Papier dar (noch ohne<br />
Regressionskurve).<br />
4.2. Bestimmen Sie die Regressionsfunktion<br />
vollständig. Zeichnen Sie die Regressionsgerade<br />
in Ihre Zeichnung aus 1.1. mit ein.<br />
Berechnen Sie auch den Pearsonschen<br />
Korrelationskoeffizienten und bewerten Sie<br />
kurz Ihre Ergebnisse.<br />
4.3. Wie hoch war die Weltbevölkerungszahl im Jahr 1940?<br />
Wie hoch wird die Weltbevölkerungszahl im Jahr 2040 sein?<br />
Wann wird die Weltbevölkerungszahl auf 10.000.000.000 [ 10 Mrd. ] Menschen<br />
angestiegen sein, wenn nichts Einschneidendes passiert?<br />
4.4. In welchem Zeitraum verdoppelt sich die Weltbevölkerung?<br />
War das auch zu Christ Geburt schon so?<br />
4.5. Betrachten Sie nun bitte die Graphik 1 auf Seite 5.<br />
Sie stellt die Geburtenstatistik der Bundesrepublik<br />
Deutschland: Bundesrepublik<br />
[ Anzahl der Lebendgeborenen (1946 - 1999) ]<br />
dar. Die zugehörigen Daten stehen in der Tabelle 2<br />
Quelle: Statistisches Jahrbuch der Bundesrepublik<br />
Deutschland<br />
Welche Aussagen können Sie mit den Ihnen<br />
bekannten statistischen Methoden bezüglich dieser<br />
Graphik machen. Begründen Sie in wenigen Sätzen<br />
Ihre Aussage.<br />
Jahr StJB 2000<br />
1950 812835<br />
1955 820128<br />
1960 968629<br />
1965 1044328<br />
1970 810808<br />
1975 600512<br />
1980 620657<br />
1985 586155<br />
1990 727199<br />
1995 681374<br />
1996 702688<br />
1997 711915<br />
1998 682172<br />
1999 664018<br />
Tabelle 2<br />
Seite 4<br />
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<strong>Hochschule</strong> <strong>Bremerhaven</strong> <strong>SS</strong> <strong>2006</strong><br />
<strong>Mathematik</strong>: <strong>MT</strong> Klausurvorbereitung Nr. 5<br />
halblogarithmisches Papier<br />
1 . 10 11<br />
.<br />
<strong>SS</strong> 03.2<br />
fx ( 1 )<br />
. 10 10<br />
1 . 10 9<br />
1920 1940 1960 1980 2000 2020 2040<br />
x<br />
Geburtenstatistik der Bundesrepublik Deutschland:Bundesrepublik<br />
Anzahl<br />
1100000<br />
1000000<br />
900000<br />
800000<br />
700000<br />
600000<br />
500000<br />
400000<br />
300000<br />
200000<br />
100000<br />
0<br />
1950 1955 1960 1965 1970 1975 1980 1985 1990 1995 2000<br />
Jahr<br />
Graphik 1<br />
Seite 5<br />
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<strong>Hochschule</strong> <strong>Bremerhaven</strong> <strong>SS</strong> <strong>2006</strong><br />
<strong>Mathematik</strong>: <strong>MT</strong> Klausurvorbereitung Nr. 6<br />
<strong>SS</strong> 03.2<br />
5. Aufgabe: Die Herstellung von Dichtungsringen sei bezüglich der Dicke d normalverteilt.<br />
Der 1σ - Bereich für die Dicke der Dichtungsringe lautet [2,12 mm ≤ d ≤ 2,28 mm]. Aus der<br />
laufenden Produktion werden einzelne Stichproben gezogen und vermessen.<br />
5.1. Berechnen Sie die mittlere Dichtungsringdicke d und deren Standardabweichung σ .<br />
Skizzieren Sie dann das Problem (also die Dichtefunktion) und begründen Sie, warum<br />
man von einer normalverteilten Zufallsvariable auf eine standardnormalverteilete<br />
übergehen muß, wenn Sie keinen "großen" Taschenrechner haben.<br />
5.2. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit P 1 , daß die Dichtungsringe kleiner als d = 2,18<br />
mm sind?<br />
5.3. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit P 2 , daß die Dichtungsringe zwischen<br />
2,10 mm ≤ d ≤ 2,32 mm liegen?<br />
5.4. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit P 3 , daß die Dichtungsringe größer als d = 2,34 mm<br />
sind?<br />
5.5. Symmetrisch um den Mittelwert sollen 78,8 % aller Dichtungsringe liegen. Wie groß<br />
sind die untere und die obere Grenze des dazugehörenden Intervalls ?<br />
Seite 6<br />
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<strong>Hochschule</strong> <strong>Bremerhaven</strong> <strong>SS</strong> <strong>2006</strong><br />
<strong>Mathematik</strong>: <strong>MT</strong> Klausurvorbereitung Nr. 7<br />
<strong>SS</strong> 02.2<br />
6. Aufgabe: Die Absorption von β–Strahlung wird in einem kleinen Physiklabor gemessen. Zu<br />
jedem absorbierenden Material gehört eine spezifische Absorptionskonstante k.<br />
Die Schichtdicke des Material sei d in m.<br />
Die Zählrate der β–Teilchen nach Durchgang durch das Material sei Z in Impulsen.<br />
Die Daten sind folgende:<br />
d in m Z in Imp<br />
0,01 42000<br />
0,02 30000<br />
0,03 22000<br />
0,04 16000<br />
0,05 12300<br />
0,06 8000<br />
0,07 7100<br />
0,08 5100<br />
0,09 3300<br />
0,1 2800<br />
6.1. Stellen Sie die Daten auf dem beigelegten<br />
halblogarithmischem Papier dar. Zeichnen Sie<br />
auch später Ihre Regressionsfunktion in diese<br />
Graphik ein.<br />
6.2. Berechnen Sie die Funktion für dieAbsorption<br />
von β–Strahlung. Wie groß ist die<br />
Absorptionskonstante k für das untersuchte<br />
Material?<br />
Berechnen Sie auch den Regressionskoeffizienten<br />
r und bewerten Sie kurz Ihr<br />
Ergebnis.<br />
6.3. Bei welcher Dicke d 1/2 (Halbwertsdicke ) ist<br />
genau die Hälfte der Strahlung absorbiert?<br />
Hängt dies Wert d 1/2 von einem Anfangswert<br />
ab?<br />
Begründen Sie Ihre Antwort<br />
6.4. Bei welcher Dicke d 1 können Sie eine Zählrate von Z 1 = 10000 Impulsen erwarten?<br />
Welche Zählrate Z 2 erwarten Sie bei einer Dicke d 2 = 0,15 m?<br />
6.5. Gegeben sind Ihnen nun 2 Bilder von Datenverteilungen, auf die Sie eine Regression<br />
anwenden sollen. Gegen Sie die zugehörigen Regressionskoeffizienten und die<br />
Regressionsfunktion an.<br />
Bild 1 Bild 2<br />
6<br />
15<br />
5<br />
10<br />
4<br />
5<br />
y<br />
3<br />
2<br />
y<br />
0<br />
-15 -10 -5 0 5 10 15<br />
-5<br />
1<br />
0<br />
0 1 2 3 4 5 6<br />
x<br />
-10<br />
-15<br />
x<br />
halblogarithmisches Papier für Aufgabe 1<br />
Seite 7<br />
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<strong>Hochschule</strong> <strong>Bremerhaven</strong> <strong>SS</strong> <strong>2006</strong><br />
<strong>Mathematik</strong>: <strong>MT</strong> Übungsblatt Nr. 8<br />
.<br />
1 . 10 5 d in m<br />
Z in Imp<br />
1 . 10 4<br />
1 . 10 3<br />
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1<br />
Seite 8<br />
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<strong>Hochschule</strong> <strong>Bremerhaven</strong> <strong>SS</strong> <strong>2006</strong><br />
<strong>Mathematik</strong>: <strong>MT</strong> Übungsblatt Nr. 9<br />
7. Aufgabe: ...."Jetzt reicht´s"<br />
<strong>SS</strong> 02.1<br />
Der Chef hat Ihnen aufgebrummt eine Stichprobe vom Umfang 100 aus der Produktion von<br />
GUMMIBÄRCHEN zu ziehen und diese auf ihren Zuckergehalt zu prüfen.<br />
mg<br />
Die Stichprobe ergibt einen mittleren Zuckergehalt von Z = 30 mit einer<br />
Bärchen<br />
mg<br />
Standardabweichung von σ<br />
Z<br />
= 2<br />
Es ist einfach bodenlos!<br />
Bärchen<br />
7.1. Welche Grundannahme müssen Sie über die Verteilung des Zuckergehaltes Z der<br />
GUMMIBÄRCHEN machen, damit Sie die folgenden Fragen überhaupt beantworten<br />
können?<br />
Zum Eigengebrauch ziehen Sie weitere GUMMIBÄRCHEN aus der Produktion und stellen sich<br />
mit süßem Lächeln die folgenden Fragen:<br />
7.2. Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat ein GUMMIBÄRCHEN einen Zuckergehalt von<br />
mg<br />
weniger als Z = 25 ? [Ein saures Bärchen.]<br />
Bärchen<br />
7.3. Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat ein GUMMIBÄRCHEN einen Zuckergehalt zwischen<br />
mg<br />
mg<br />
Z = 29 und Z = 32 ?<br />
Bärchen<br />
Bärchen<br />
7.4. Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat ein GUMMIBÄRCHEN einen Zuckergehalt von<br />
mg<br />
mg<br />
weniger als Z = 24 oder mehr als Z = 36 ? Was haben Sie hier<br />
Bärchen<br />
Bärchen<br />
eigentlich berechnet? Bitte einen kurzen Antwortsatz.<br />
7.5. Der Chef nervt weiter und verlangt, daß ein besonders schönes GUMMIBÄRCHEN in<br />
Ihre Stichprobe zusätzlich aufgenommen wird. Das 101. Bärchen hat einen<br />
mg<br />
Zuckergehalt von Z 101<br />
= 33 .<br />
Bärchen<br />
Wie wird sich in Ihrer Stichprobe Z und σ Z,neu verändern?<br />
neu<br />
...und jetzt reicht´s wirklich mit dem Chef !!! Sie beenden Ihre Testertätigkeit und<br />
gehen zur nächsten Aufgabe über.<br />
Seite 9<br />
KV <strong>SS</strong> <strong>2006</strong>.doc
<strong>Hochschule</strong> <strong>Bremerhaven</strong> <strong>SS</strong> <strong>2006</strong><br />
<strong>Mathematik</strong>: <strong>MT</strong> Übungsblatt Nr. 10<br />
Funktionen mit zwei Variablen, totales Differential<br />
1. Aufgabe: In einem Stromkreis sind zwei Widerstände in Parallelschaltung und eine<br />
Spannungsquelle geschaltet. (siehe Skizze) Für alle Bauteile sind die Fehlerangrenzen<br />
angegeben.<br />
R 1 = 20 Ω<br />
mit Δ R 1 = ± 0,15 Ω<br />
R 2 = 30 Ω<br />
mit Δ R 2 = ± 0,8 Ω<br />
U = 6 V<br />
mit Δ U = ± 0,25 V<br />
Der Gesamtstrom I wird nach der Formel<br />
R1<br />
+ R<br />
2<br />
I = I(R1,R<br />
2,U)<br />
= ⋅ U berechnet.<br />
R ⋅ R<br />
1<br />
1.1. Berechnen Sie den Strom I für die obige Schaltung.<br />
2<br />
1.2. Berechnen Sie dI für die obige Schaltung und geben Sie für die einzelnen Bauteile die<br />
jeweiligen relativen Fehler an.<br />
1.3. Geben Sie den Gesamtstrom I mit dem Fehlerbereich an.<br />
Seite 10<br />
KV <strong>SS</strong> <strong>2006</strong>.doc
<strong>Hochschule</strong> <strong>Bremerhaven</strong> <strong>SS</strong> <strong>2006</strong><br />
<strong>Mathematik</strong>: <strong>MT</strong> Übungsblatt Nr. 11<br />
Differentialgleichungen<br />
1. Aufgabe: Lösen Sie folgende Differentialgleichungen durch Variation der Konstanten oder<br />
durch Aufsuchen einer partikulären Lösung.<br />
1.1. x ⋅ y′<br />
− y = x<br />
2 + 4<br />
1.2. x ⋅ y′<br />
+ y = x ⋅sin<br />
x<br />
1.3.<br />
y<br />
−x<br />
′ + y = e<br />
1.4. y − 4y = 5 ⋅ sin x<br />
′<br />
<strong>SS</strong> 02.1<br />
2. Aufgabe: Die Abkühlung eines Körpers in bewegter Luft (also z.B. eines Kühlers, der von<br />
Luft durchströmt wird ) hängt von der Temperatur T L der Luft, der Temperatur T K des<br />
Körpers und einer Materialkonstanten ab.<br />
2.1. Stellen Sie diesen Abkühlungsprozeß durch Aufstellen einer geeigneten Differentialgleichung<br />
dar.<br />
2.2. Lösen Sie die Differentialgleichung.<br />
α⋅C⋅t<br />
2.3. Zeigen Sie, daß der Ausdruck TK<br />
(t) = TL<br />
⋅ e keine Lösung Ihrer Differentialgleichung<br />
aus 5.1. sein kann. Sie können diesen Aufgabenteil auch unabhängig davon<br />
lösen, ob Sie 5.1. gelöst haben oder nicht.<br />
3. Aufgabe: Gegeben ist Ihnen ein elektrischer Reihenschwingkreis:<br />
<strong>SS</strong> 03.2<br />
U R U L U C<br />
U a<br />
Weiter sind Ihnen folgende physikalischen Beziehungen gegeben:<br />
U L<br />
dI<br />
= L ⋅<br />
U R<br />
= R ⋅ I<br />
dt<br />
U C<br />
=<br />
1<br />
⋅ Q<br />
C<br />
dQ<br />
I =<br />
dt<br />
Seite 11<br />
KV <strong>SS</strong> <strong>2006</strong>.doc
<strong>Hochschule</strong> <strong>Bremerhaven</strong> <strong>SS</strong> <strong>2006</strong><br />
<strong>Mathematik</strong>: <strong>MT</strong> Übungsblatt Nr. 12<br />
3.1. Stellen Sie hiermit die zugehörige Schwingungsgleichung ( DGL 2. Ordnung ) in<br />
differentieller Form auf.<br />
3.2. Zeigen Sie für den Fall, daß R = 0 ist und keine äußere Spannung am Schwingkreis<br />
anliegt, die Lösung der DGL<br />
I(t)<br />
= A ⋅sin(<br />
ωt<br />
+ ϕ)<br />
lautet.<br />
Für diese Lösung muß eine weitere Bedingung erfüllt sein. Wie lautet diese?<br />
4. Aufgabe: Gegeben ist Ihnen folgende Differentialgleichung mit Randbedingungen:<br />
dy y 1<br />
+ = −<br />
2 2<br />
dx x x<br />
mit y(x = 1) = −1+<br />
e<br />
4.1. Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der Differentialgleichung.<br />
4.2. Bestimmen Sie die spezielle Lösung der Differentialgleichung und markieren Sie Ihre<br />
Lösung in der unten stehenden Graphik.<br />
.<br />
10<br />
8<br />
6<br />
4<br />
2<br />
5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5<br />
2<br />
4<br />
6<br />
8<br />
10<br />
Seite 12<br />
KV <strong>SS</strong> <strong>2006</strong>.doc
<strong>Hochschule</strong> <strong>Bremerhaven</strong> <strong>SS</strong> <strong>2006</strong><br />
<strong>Mathematik</strong>: <strong>MT</strong> Übungsblatt Nr. 13<br />
<strong>SS</strong> 03.1<br />
5. Aufgabe: Gegeben sind folgende Aussagen über Differentialgleichungen. Welche der<br />
Aussagen sind richtig oder falsch? Korrigieren Sie die Aussagen so, daß sie danach richtig<br />
sind.<br />
5.1. Die homogene Lösung der folgenden Differentialgleichung y ′ − y′<br />
− 6y = 0 lautet:<br />
−2x<br />
( C ⋅ x + C ) ⋅ e mit C , C ∈ IN<br />
yho<br />
=<br />
1 2<br />
1 2<br />
5.2. Variation der Konstanten wird bei der Lösung der inhomogenen Differentialgleichung<br />
2. Ordnung angewandt.<br />
5.3. Der Lösungsansatz für die partikuläre Lösung einer DGL 2. Ordnung mit dem<br />
2x<br />
2x<br />
Störglied g (x) = e lautet: y = A ⋅ e .<br />
p<br />
5.4. Die spezielle Lösung einer DGL 2. Ordnung erhält man durch eine Randbedingung.<br />
5.5. Eine allgemeine Lösung heißt allgemein, weil sie sich nur auf den inhomogenen Teil<br />
einer Differentialgleichung bezieht.<br />
5.6. Homogene und spezielle Lösungen unterscheiden sich durch verschiedene C - Werte.<br />
<strong>SS</strong> 03.2<br />
6. Aufgabe: Gegeben sind folgende Aussagen über Differentialgleichungen. Welche der<br />
Aussagen sind richtig oder falsch? Korrigieren Sie die Aussagen so, daß sie danach richtig<br />
sind.<br />
6.1. Variation der Konstanten wird bei der Lösung der homogenen Differentialgleichung<br />
1. Ordnung angewandt.<br />
6.2. Die inhomogene Lösung der folgenden Differentialgleichung y ′ − 2y′<br />
− 8y = 0 lautet:<br />
2x -3x<br />
= C ⋅ e - C ⋅ e mit C , C ∈ IN<br />
yho<br />
1<br />
2<br />
1 2<br />
6.3. Der Lösungsansatz für die partikuläre Lösung einer DGL 2. Ordnung mit dem<br />
2x<br />
2 3x<br />
Störglied g (x) = e lautet: y = A ⋅ x ⋅ e .<br />
p<br />
6.4. Die allgemeine Lösung einer DGL 1. Ordnung erhält man durch eine Randbedingung.<br />
6.5. Variation der Konstanten bedeutet, daß bei einer Differentialgleichung 1. Ordnung die<br />
Integrationskonstante der allgemeinen Lösung variiert werden muß, um auf eine<br />
spezielle Lösung zu kommen.<br />
6.6. Trennung der Variablen führt bei Differentialgleichungen 1. Ordnung zu einer<br />
speziellen Lösung.<br />
Seite 13<br />
KV <strong>SS</strong> <strong>2006</strong>.doc
<strong>Hochschule</strong> <strong>Bremerhaven</strong> <strong>SS</strong> <strong>2006</strong><br />
<strong>Mathematik</strong>: <strong>MT</strong> Übungsblatt Nr. 14<br />
7. Aufgabe: Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der folgenden inhomogenen linearen<br />
DGLen 2.Ordnung:<br />
7.1. y′ + 2y′<br />
− 3y = 3x<br />
2 − 4x<br />
5.2.<br />
& x − 2x&<br />
+ x =<br />
2t<br />
e<br />
7.3. & x<br />
+ 10x&<br />
+ 25x = 3⋅<br />
cos(5t)<br />
7.4. y ′<br />
+ 6y′<br />
+ 10y = cos t mit y(t = 0) = 0 und y ′(t<br />
= 0) = 4<br />
<strong>SS</strong> 02.1<br />
8. Aufgabe: Gegeben sind Ihnen 3 lineare Differentialgleichungen mit konstanten<br />
Koeffizienten:<br />
2<br />
2<br />
a: y′<br />
− k ⋅ y′<br />
= 2x − 3<br />
b:<br />
& x<br />
+ 2a ⋅ x&<br />
+ a<br />
2<br />
⋅ x = e<br />
−a⋅t<br />
c: y′<br />
+ 6y′<br />
+ 18y = 3⋅sin(2x)<br />
8.1. Berechnen Sie für jede Differentialgleichung die homogene Lösung.<br />
8.2. Geben Sie für jede Differentialgleichung den Ansatz für die partikuläre Lösung an.<br />
Sie sollen nicht die allgemeine Lösung der Differentialgleichung angeben.<br />
8.3. Wie unterscheiden sich bei einer Differentialgleichung die allgemeine Lösung von der<br />
speziellen Lösung und wie kommt man zu einer speziellen Lösung? Bitte antworten<br />
Sie möglichst knapp, aber richtig.<br />
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<strong>Hochschule</strong> <strong>Bremerhaven</strong> <strong>SS</strong> <strong>2006</strong><br />
<strong>Mathematik</strong>: <strong>MT</strong> Übungsblatt Nr. 15<br />
9. Aufgabe: Gegeben ist Ihnen der nebenstehende<br />
Versuchsaufbau zu einem<br />
Schwingungsproblem.<br />
<strong>SS</strong> 00.1<br />
Die Daten sind folgende:<br />
Masse des Systems:<br />
Federkonstante:<br />
s -2<br />
m = 7,5 kg<br />
D = 1,875 kg<br />
angreifende Kraft:<br />
F(t) = F o cos(ωt) = 1,5<br />
cos(ωt) N<br />
Kreisfrequenz des Erregers: ω = 0,15 s -1<br />
Graphik 1<br />
9.1.: Stellen Sie die zu diesem Problem zugehörige Differentialgleichung auf und normieren<br />
Sie die Differentialgleichung, damit Sie die folgenden Punkte einfacher<br />
rechnen können.<br />
9.2.: Lösen Sie die homogene Differentialgleichung.<br />
9.3.: Wählen Sie einen geeigneten partikulären Ansatz und bestimmen Sie die allgemeine<br />
Lösung der inhomogen Differentialgleichung.<br />
9.4.: Gegeben sind Ihnen nun folgende Anfangsbedingungen:<br />
x(t=0) = A > 0 und A = 2 m<br />
x& (t=0) = 0<br />
Bestimmen Sie die spezielle Lösung der Differentialgleichung allgemein und dann mit<br />
der oben gegebenen Datenlage.<br />
Die graphische Darstellung der spezielle Lösung der Differentialgleichung ist in der Graphik<br />
2 dargestellt.<br />
Graphik 2:<br />
.<br />
5<br />
x ( t )<br />
0<br />
5<br />
0 50 100 150 200<br />
t<br />
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<strong>Mathematik</strong>: <strong>MT</strong> Übungsblatt Nr. 16<br />
Integralrechnung<br />
1. Aufgabe: Lösen Sie folgende Integrale mit Hilfe einer geeigneten Substitution:<br />
1.1.<br />
∫<br />
(5x + 1) dx<br />
3<br />
2x<br />
1.2. dx 1.3. x ⋅ x + 6 ⋅ dx<br />
∫ 2<br />
1 + x<br />
∫<br />
2. Aufgabe:<br />
1<br />
2.1.<br />
∫−<br />
1<br />
t dt<br />
1+<br />
2<br />
t<br />
4<br />
2.3.<br />
∫ ∫ π 2x<br />
e ⋅<br />
3<br />
(ln x)<br />
2.2. dx<br />
x<br />
1<br />
0<br />
cos(3x) dx<br />
3. Aufgabe: Lösen Sie zunächst<br />
1<br />
dx<br />
∫ x ⋅ ln x<br />
und erklären Sie dann, warum dieses Integral mit den Grenzen a = 0,5 und b = 3 keine<br />
Lösung hat.<br />
4. Aufgabe: Welchen Flächeninhalt schließt die Kurve mit der Funktionsgleichung<br />
y = 6 − 2x mit den beiden Koordinatenachsen ein ?<br />
5. Aufgabe: Lösen Sie folgende Aufgaben durch partielle Integration:<br />
2<br />
5.1. (x − 3) dx<br />
∫<br />
5.2. sin x dx<br />
∫ 2 5.3.<br />
∫ x ⋅ ln xdx<br />
5.4.<br />
∫ x ⋅sin3x<br />
dx<br />
6. Aufgabe: Lösen Sie folgende Aufgaben durch Partialbruchzerlegung:<br />
1<br />
6.1. dx<br />
∫ 2 2<br />
x − a<br />
3<br />
4x<br />
6.2. dx<br />
∫ 3 2<br />
x + 2x − x − 2<br />
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<strong>Hochschule</strong> <strong>Bremerhaven</strong> <strong>SS</strong> <strong>2006</strong><br />
<strong>Mathematik</strong>: <strong>MT</strong> Übungsblatt Nr. 17<br />
7. Aufgabe: Zeigen Sie: Der Flächeninhalt der Ellipse<br />
x<br />
a<br />
2<br />
2<br />
y<br />
+<br />
b<br />
2<br />
2<br />
= 1<br />
beträgt<br />
A = π a b<br />
8. Aufgabe: Wird beim freien Fall der Luftwiderstand durch eine dem Quadrat der<br />
Fallgeschwindigkeit v proportionale Reibungskraft kv 2 berücksichtigt, so erhält man das<br />
folgende Geschwindigkeits - Zeit - Gesetz:<br />
v(t)<br />
=<br />
mg<br />
⋅ tanh(<br />
k<br />
gk<br />
m<br />
⋅ t)<br />
Bestimmen Sie das Weg - Zeit - Gesetz.<br />
<strong>SS</strong> 00.1<br />
9. Aufgabe: Für eine normalverteilte Zufallsvariable X mit der Verteilung N( μ ; σ) lautet die<br />
Dichtefunktion<br />
2<br />
(x−μ)<br />
1 −<br />
2<br />
2σ<br />
f (x) = ⋅ e<br />
σ 2π<br />
Für die Standardnormalverteilung gilt N( 0 ; 1) , also μ = 0 und σ = 1.<br />
Nun kann man den Erwartungswert E(x) einer beliebigen , stetigen Zufallsvariable wie folgt<br />
berechnen:<br />
E (x)<br />
∫ ∞ ∞ −<br />
= x ⋅ f (x) ⋅ dx<br />
Zeigen Sie, daß für eine standardnormalverteilte Zufallsvariable der Erwartungswert<br />
tatsächlich 0 ist.<br />
Seite 17<br />
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<strong>Mathematik</strong>: <strong>MT</strong> Übungsblatt Nr. 18<br />
<strong>SS</strong> 01.1<br />
10. Aufgabe: Gegeben sind Ihnen zwei Funktionen f(x) und g(x) und ein durch beide<br />
Funktionen eingeschlossenes und begrenztes Gebiet. Die Grenzen sind a , b und c . Dieses<br />
Gebiet ist grau markiert.<br />
Weiter sind insgesamt sechs Integrale gegeben. Bestimmen Sie die Integrale, die die<br />
markierte Fläche berechnen und begründen Sie knapp, warum die von Ihnen nicht gewählten<br />
Integrale die Fläche nicht berechnen.<br />
b<br />
b<br />
a. f (x) − g(x) dx − g(x) −<br />
∫ ∫<br />
a<br />
c<br />
b<br />
∫ ∫<br />
−<br />
f (x)<br />
b. ( (x) − g(x) ) dx + ( f (x) g(x) )<br />
a<br />
c<br />
b<br />
dx<br />
f dx<br />
c. f (x) dx − g(x)<br />
∫ ∫<br />
c<br />
a<br />
c<br />
a<br />
dx<br />
b<br />
∫ ∫<br />
−<br />
d. ( (x) − g(x) ) dx − ( g(x) f (x))<br />
a<br />
b<br />
f dx<br />
e. f(x) dx − g(x)<br />
∫ ∫<br />
c<br />
c<br />
a<br />
c<br />
a<br />
dx<br />
0<br />
0<br />
b<br />
f.<br />
∫ f (x) dx + g(x) dx + f (x) dx − g(x) dx − f (x) dx + g(x)<br />
∫ ∫ ∫ ∫ ∫<br />
a<br />
a<br />
0<br />
b<br />
0<br />
c<br />
b<br />
c<br />
b<br />
dx<br />
g. Keine der Aussagen a. - f. sind richtig<br />
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