Hochschule Bremerhaven SS 2006 Mathematik: MT ...

Hochschule Bremerhaven SS 2006 

Mathematik: MT Klausurvorbereitung Nr. 1 

Regressions- und Wahrscheinlichkeitsrechnung 

SS 03.1 

1. Aufgabe: Kommissar EINBLICK muß einen Mordfall untersuchen. Der Hergang in Stichworten: 

Eifersuchtsdrama im Hause KLEINBLICK 

Kopfschuß bei Ehemann Dr. med. KLEINBLICK, Pathologe 

Frau Dr. KLEINBLICK hat Alibi, wasserdicht 

Lover von Frau Dr. KLEINBLICK, J. AUGENBLICK, ist reich, aber dringend tatverdächtig 

Nun behauptet jener J. AUGENBLICK, er könne es nicht gewesen sein, da er zur Tatzeit ( 17.15 Uhr ) 

bei dem Radiologen Dr. A.Z. TIEFBLICK gewesen sei, und TIEFBLICK dem AUGENBLICK ein zur 

Erkennung einer Schilddrüsenkrankeit ein radioaktives Material intravenös gespritzt hat. 

Die Praxis Dr. A.Z. TIEFBLICK hat bereits zu, Anrufbeantworter läuft, TIEFBLICK säuft, aber das nur 

nebenbei. 

EINBLICK muß sofort handeln, Oberschwester E. WEITBLICK nimmt Blutprobe von AUGEN- 

BLICKBLICK und beauftragt das Expertenteam DURCHBLICK MT mit der radiologischen 

Untersuchung. 

DURCHBLICK MT mißt folgende Daten mit größter Sorgfalt: 

t in min 

N in Imp 

N steht für die Anzahl der radioaktiven Zerfälle, die von 

einem Geiger-Müller-Zählrohr erfaßt werden. 

30 11800 

60 4900 

90 1800 

120 750 

150 300 

180 290 

210 160 

240 145 

270 140 

300 100 

330 75 

360 68 

390 56 

420 55 

450 33 

1.1. Stellen Sie die Daten auf dem beigelegten 

halblogarithmischem Papier dar. (noch ohne 

Regressionskurve) 

1.2. Bestimmen Sie die Regressionsfunktionen 

vollständig. Zeichnen Sie die Regressionsgeraden in 

Ihre Zeichnung aus 1.1. mit ein. 

Berechnen Sie auch den oder die Pearsonschen 

Regressionskoeffizienten und bewerten Sie kurz 

Ihre Ergebnisse. 

1.3. Wie hoch war die Zählrate nach t = 45 min ? 

Wann war die Zählrate genau bei 1000 Impulsen? 

1.4. Zum Zeitpunkt der Injektion des radioaktiven 

Materials muß die Zählrate bei N = 190000 ± 2500 

Impulsen liegen. 

Der Meßbeginn für die Blutprobe von J. 

AUGENBLICK war um 18.15 Uhr. 

Sind denn nun die Angaben von J. AUGENBLICK 

richtig, oder war er eventuell doch der Mörder? 

Seite 1 

KV SS 2006.doc



halblogarithmisches Papier 

. 

1 . 10 5 

N 

1 . 10 4 

1 . 10 3 

100 

10 

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360 390 420 450 

t in min 

Seite 2 





2. Aufgabe: Kommissar EINBLICK stürmt in das Labor unserer Experten und fragt nach 

Meßgenauigkeiten und Fehlergrenzen. Das Expertenteam DURCHBLICK MT hat nichts zu 

verbergen und gibt pflichtgemäß Auskunft: 

N( t = 30 min ) = ( 11800 ± 500 ) Impulse 

t = ( 30 ± 0,5 ) min 

λ = – 0,03 

Ausgehend von diesen Daten möchte Kommissar EINBLICK folgendes wissen: 

2.1. Wie groß ist der Wert N 0 = N ( t = 0 min ) ? 

2.2. In welche Fehlergrenzen liegt N 0 ? 

2.3. Welche der beiden Meßgrößen muß verbessert werden, um das Ergebnis von N 0 genauer 

angeben zu können. 


3. Aufgabe: Kommissar EINBLICK entdeckt seine Leidenschaft für Mathematik!!!! 

Er hat nämlich festgestellt, daß die Zählrate bei t = 30 min von seinem hochverehrten 

Expertenteam DURCHBLICK MT zeitlich parallel 25 Mal gemessen wurde. Die Experten haben 

dann den Mittelwert und die Standardabweichung berechnet: 

N (t = 30min) = 11800 Impulse 

σ = 500 Impulse 

N 

Kommissar EINBLICK stellt den Experten folgende Fragen 

3.1. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß die Zählrate größer als 12000 Impulse ist? 

3.2. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß die Zählrate zwischen 11000 ≤ N ≤ 12000 

Impulsen liegt? 

3.3. Symmetrisch um den Mittelwert sollen 75 % aller Zählraten liegen. Wie groß sind die untere 

und die obere Grenze des dazugehörenden Intervalls ? 

3.4. Nicht symmetrisch um den Mittelwert sollen 75 % aller Zählraten liegen. Können Sie die 

untere und die obere Grenze des dazugehörenden Intervalls berechnen? 

Seite 3 




4. Aufgabe: 


Aus gesicherter statistischer Quelle sind die Daten für das Wachstum der Weltbevölkerung in der 

unten stehenden Tabelle 1 angegeben. 

Jahr 

Anzahl A 

in Mrd. 

1960 3,0389 

1970 3,706 

1980 4,4576 

1990 5,2817 

1997 5,8124 

Tabelle 1 


halblogarithmischem Papier dar (noch ohne 

Regressionskurve). 

4.2. Bestimmen Sie die Regressionsfunktion 

vollständig. Zeichnen Sie die Regressionsgerade 

in Ihre Zeichnung aus 1.1. mit ein. 

Berechnen Sie auch den Pearsonschen 

Korrelationskoeffizienten und bewerten Sie 

kurz Ihre Ergebnisse. 

4.3. Wie hoch war die Weltbevölkerungszahl im Jahr 1940? 

Wie hoch wird die Weltbevölkerungszahl im Jahr 2040 sein? 

Wann wird die Weltbevölkerungszahl auf 10.000.000.000 [ 10 Mrd. ] Menschen 

angestiegen sein, wenn nichts Einschneidendes passiert? 

4.4. In welchem Zeitraum verdoppelt sich die Weltbevölkerung? 

War das auch zu Christ Geburt schon so? 

4.5. Betrachten Sie nun bitte die Graphik 1 auf Seite 5. 

Sie stellt die Geburtenstatistik der Bundesrepublik 

Deutschland: Bundesrepublik 

[ Anzahl der Lebendgeborenen (1946 - 1999) ] 

dar. Die zugehörigen Daten stehen in der Tabelle 2 

Quelle: Statistisches Jahrbuch der Bundesrepublik 

Deutschland 

Welche Aussagen können Sie mit den Ihnen 

bekannten statistischen Methoden bezüglich dieser 

Graphik machen. Begründen Sie in wenigen Sätzen 

Ihre Aussage. 

Jahr StJB 2000 

1950 812835 

1955 820128 

1960 968629 

1965 1044328 

1970 810808 

1975 600512 

1980 620657 

1985 586155 

1990 727199 

1995 681374 

1996 702688 

1997 711915 

1998 682172 

1999 664018 

Tabelle 2 

Seite 4 




halblogarithmisches Papier 

1 . 10 11 

. 


fx ( 1 ) 

. 10 10 

1 . 10 9 

1920 1940 1960 1980 2000 2020 2040 

x 

Geburtenstatistik der Bundesrepublik Deutschland:Bundesrepublik 

Anzahl 

1100000 

1000000 

900000 

800000 

700000 

600000 

500000 

400000 

300000 

200000 

100000 

0 

1950 1955 1960 1965 1970 1975 1980 1985 1990 1995 2000 

Jahr 

Graphik 1 

Seite 5 





5. Aufgabe: Die Herstellung von Dichtungsringen sei bezüglich der Dicke d normalverteilt. 

Der 1σ - Bereich für die Dicke der Dichtungsringe lautet [2,12 mm ≤ d ≤ 2,28 mm]. Aus der 

laufenden Produktion werden einzelne Stichproben gezogen und vermessen. 

5.1. Berechnen Sie die mittlere Dichtungsringdicke d und deren Standardabweichung σ . 

Skizzieren Sie dann das Problem (also die Dichtefunktion) und begründen Sie, warum 

man von einer normalverteilten Zufallsvariable auf eine standardnormalverteilete 

übergehen muß, wenn Sie keinen "großen" Taschenrechner haben. 

5.2. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit P 1 , daß die Dichtungsringe kleiner als d = 2,18 

mm sind? 

5.3. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit P 2 , daß die Dichtungsringe zwischen 

2,10 mm ≤ d ≤ 2,32 mm liegen? 

5.4. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit P 3 , daß die Dichtungsringe größer als d = 2,34 mm 

sind? 

5.5. Symmetrisch um den Mittelwert sollen 78,8 % aller Dichtungsringe liegen. Wie groß 

sind die untere und die obere Grenze des dazugehörenden Intervalls ? 

Seite 6 





6. Aufgabe: Die Absorption von β–Strahlung wird in einem kleinen Physiklabor gemessen. Zu 

jedem absorbierenden Material gehört eine spezifische Absorptionskonstante k. 

Die Schichtdicke des Material sei d in m. 

Die Zählrate der β–Teilchen nach Durchgang durch das Material sei Z in Impulsen. 

Die Daten sind folgende: 

d in m Z in Imp 

0,01 42000 

0,02 30000 

0,03 22000 

0,04 16000 

0,05 12300 

0,06 8000 

0,07 7100 

0,08 5100 

0,09 3300 

0,1 2800 


halblogarithmischem Papier dar. Zeichnen Sie 

auch später Ihre Regressionsfunktion in diese 

Graphik ein. 

6.2. Berechnen Sie die Funktion für dieAbsorption 

von β–Strahlung. Wie groß ist die 

Absorptionskonstante k für das untersuchte 

Material? 

Berechnen Sie auch den Regressionskoeffizienten 

r und bewerten Sie kurz Ihr 

Ergebnis. 

6.3. Bei welcher Dicke d 1/2 (Halbwertsdicke ) ist 

genau die Hälfte der Strahlung absorbiert? 

Hängt dies Wert d 1/2 von einem Anfangswert 

ab? 

Begründen Sie Ihre Antwort 

6.4. Bei welcher Dicke d 1 können Sie eine Zählrate von Z 1 = 10000 Impulsen erwarten? 

Welche Zählrate Z 2 erwarten Sie bei einer Dicke d 2 = 0,15 m? 

6.5. Gegeben sind Ihnen nun 2 Bilder von Datenverteilungen, auf die Sie eine Regression 

anwenden sollen. Gegen Sie die zugehörigen Regressionskoeffizienten und die 

Regressionsfunktion an. 

Bild 1 Bild 2 

6 

15 

5 

10 

4 

5 

y 

3 

2 

y 

0 

-15 -10 -5 0 5 10 15 

-5 

1 

0 

0 1 2 3 4 5 6 

x 

-10 

-15 

x 

halblogarithmisches Papier für Aufgabe 1 

Seite 7 



Mathematik: MT Übungsblatt Nr. 8 

. 

1 . 10 5 d in m 

Z in Imp 

1 . 10 4 

1 . 10 3 

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 

Seite 8 




7. Aufgabe: ...."Jetzt reicht´s" 


Der Chef hat Ihnen aufgebrummt eine Stichprobe vom Umfang 100 aus der Produktion von 

GUMMIBÄRCHEN zu ziehen und diese auf ihren Zuckergehalt zu prüfen. 

mg 

Die Stichprobe ergibt einen mittleren Zuckergehalt von Z = 30 mit einer 

Bärchen 

mg 

Standardabweichung von σ 

Z 

= 2 

Es ist einfach bodenlos! 

Bärchen 

7.1. Welche Grundannahme müssen Sie über die Verteilung des Zuckergehaltes Z der 

GUMMIBÄRCHEN machen, damit Sie die folgenden Fragen überhaupt beantworten 

können? 

Zum Eigengebrauch ziehen Sie weitere GUMMIBÄRCHEN aus der Produktion und stellen sich 

mit süßem Lächeln die folgenden Fragen: 

7.2. Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat ein GUMMIBÄRCHEN einen Zuckergehalt von 

mg 

weniger als Z = 25 ? [Ein saures Bärchen.] 

Bärchen 

7.3. Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat ein GUMMIBÄRCHEN einen Zuckergehalt zwischen 

mg 

mg 

Z = 29 und Z = 32 ? 

Bärchen 

Bärchen 

7.4. Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat ein GUMMIBÄRCHEN einen Zuckergehalt von 

mg 

mg 

weniger als Z = 24 oder mehr als Z = 36 ? Was haben Sie hier 

Bärchen 

Bärchen 

eigentlich berechnet? Bitte einen kurzen Antwortsatz. 

7.5. Der Chef nervt weiter und verlangt, daß ein besonders schönes GUMMIBÄRCHEN in 

Ihre Stichprobe zusätzlich aufgenommen wird. Das 101. Bärchen hat einen 

mg 

Zuckergehalt von Z 101 

= 33 . 

Bärchen 

Wie wird sich in Ihrer Stichprobe Z und σ Z,neu verändern? 

neu 

...und jetzt reicht´s wirklich mit dem Chef !!! Sie beenden Ihre Testertätigkeit und 

gehen zur nächsten Aufgabe über. 

Seite 9 




Funktionen mit zwei Variablen, totales Differential 

1. Aufgabe: In einem Stromkreis sind zwei Widerstände in Parallelschaltung und eine 

Spannungsquelle geschaltet. (siehe Skizze) Für alle Bauteile sind die Fehlerangrenzen 

angegeben. 

R 1 = 20 Ω 

mit Δ R 1 = ± 0,15 Ω 

R 2 = 30 Ω 

mit Δ R 2 = ± 0,8 Ω 

U = 6 V 

mit Δ U = ± 0,25 V 

Der Gesamtstrom I wird nach der Formel 

R1 

+ R 

2 

I = I(R1,R 

2,U) 

= ⋅ U berechnet. 

R ⋅ R 

1 

1.1. Berechnen Sie den Strom I für die obige Schaltung. 

2 

1.2. Berechnen Sie dI für die obige Schaltung und geben Sie für die einzelnen Bauteile die 

jeweiligen relativen Fehler an. 

1.3. Geben Sie den Gesamtstrom I mit dem Fehlerbereich an. 

Seite 10 




Differentialgleichungen 

1. Aufgabe: Lösen Sie folgende Differentialgleichungen durch Variation der Konstanten oder 

durch Aufsuchen einer partikulären Lösung. 

1.1. x ⋅ y′ 

− y = x 

2 + 4 

1.2. x ⋅ y′ 

+ y = x ⋅sin 

x 

1.3. 

y 

−x 

′ + y = e 

1.4. y − 4y = 5 ⋅ sin x 

′ 


2. Aufgabe: Die Abkühlung eines Körpers in bewegter Luft (also z.B. eines Kühlers, der von 

Luft durchströmt wird ) hängt von der Temperatur T L der Luft, der Temperatur T K des 

Körpers und einer Materialkonstanten ab. 

2.1. Stellen Sie diesen Abkühlungsprozeß durch Aufstellen einer geeigneten Differentialgleichung 

dar. 

2.2. Lösen Sie die Differentialgleichung. 

α⋅C⋅t 

2.3. Zeigen Sie, daß der Ausdruck TK 

(t) = TL 

⋅ e keine Lösung Ihrer Differentialgleichung 

aus 5.1. sein kann. Sie können diesen Aufgabenteil auch unabhängig davon 

lösen, ob Sie 5.1. gelöst haben oder nicht. 

3. Aufgabe: Gegeben ist Ihnen ein elektrischer Reihenschwingkreis: 


U R U L U C 

U a 

Weiter sind Ihnen folgende physikalischen Beziehungen gegeben: 

U L 

dI 

= L ⋅ 

U R 

= R ⋅ I 

dt 

U C 

= 

1 

⋅ Q 

C 

dQ 

I = 

dt 

Seite 11 




3.1. Stellen Sie hiermit die zugehörige Schwingungsgleichung ( DGL 2. Ordnung ) in 

differentieller Form auf. 

3.2. Zeigen Sie für den Fall, daß R = 0 ist und keine äußere Spannung am Schwingkreis 

anliegt, die Lösung der DGL 

I(t) 

= A ⋅sin( 

ωt 

+ ϕ) 

lautet. 

Für diese Lösung muß eine weitere Bedingung erfüllt sein. Wie lautet diese? 

4. Aufgabe: Gegeben ist Ihnen folgende Differentialgleichung mit Randbedingungen: 

dy y 1 

+ = − 

2 2 

dx x x 

mit y(x = 1) = −1+ 

e 

4.1. Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der Differentialgleichung. 

4.2. Bestimmen Sie die spezielle Lösung der Differentialgleichung und markieren Sie Ihre 

Lösung in der unten stehenden Graphik. 

. 

10 

8 

6 

4 

2 

5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 

2 

4 

6 

8 

10 

Seite 12 





5. Aufgabe: Gegeben sind folgende Aussagen über Differentialgleichungen. Welche der 

Aussagen sind richtig oder falsch? Korrigieren Sie die Aussagen so, daß sie danach richtig 

sind. 

5.1. Die homogene Lösung der folgenden Differentialgleichung y ′ − y′ 

− 6y = 0 lautet: 

−2x 

( C ⋅ x + C ) ⋅ e mit C , C ∈ IN 

yho 

= 

1 2 

1 2 

5.2. Variation der Konstanten wird bei der Lösung der inhomogenen Differentialgleichung 

2. Ordnung angewandt. 

5.3. Der Lösungsansatz für die partikuläre Lösung einer DGL 2. Ordnung mit dem 

2x 

2x 

Störglied g (x) = e lautet: y = A ⋅ e . 

p 

5.4. Die spezielle Lösung einer DGL 2. Ordnung erhält man durch eine Randbedingung. 

5.5. Eine allgemeine Lösung heißt allgemein, weil sie sich nur auf den inhomogenen Teil 

einer Differentialgleichung bezieht. 

5.6. Homogene und spezielle Lösungen unterscheiden sich durch verschiedene C - Werte. 


6. Aufgabe: Gegeben sind folgende Aussagen über Differentialgleichungen. Welche der 

Aussagen sind richtig oder falsch? Korrigieren Sie die Aussagen so, daß sie danach richtig 

sind. 

6.1. Variation der Konstanten wird bei der Lösung der homogenen Differentialgleichung 

1. Ordnung angewandt. 

6.2. Die inhomogene Lösung der folgenden Differentialgleichung y ′ − 2y′ 

− 8y = 0 lautet: 

2x -3x 

= C ⋅ e - C ⋅ e mit C , C ∈ IN 

yho 

1 

2 

1 2 

6.3. Der Lösungsansatz für die partikuläre Lösung einer DGL 2. Ordnung mit dem 

2x 

2 3x 

Störglied g (x) = e lautet: y = A ⋅ x ⋅ e . 

p 

6.4. Die allgemeine Lösung einer DGL 1. Ordnung erhält man durch eine Randbedingung. 

6.5. Variation der Konstanten bedeutet, daß bei einer Differentialgleichung 1. Ordnung die 

Integrationskonstante der allgemeinen Lösung variiert werden muß, um auf eine 

spezielle Lösung zu kommen. 

6.6. Trennung der Variablen führt bei Differentialgleichungen 1. Ordnung zu einer 

speziellen Lösung. 

Seite 13 




7. Aufgabe: Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der folgenden inhomogenen linearen 

DGLen 2.Ordnung: 

7.1. y′ + 2y′ 

− 3y = 3x 

2 − 4x 

5.2. 

& x − 2x& 

+ x = 

2t 

e 

7.3. & x 

+ 10x& 

+ 25x = 3⋅ 

cos(5t) 

7.4. y ′ 

+ 6y′ 

+ 10y = cos t mit y(t = 0) = 0 und y ′(t 

= 0) = 4 


8. Aufgabe: Gegeben sind Ihnen 3 lineare Differentialgleichungen mit konstanten 

Koeffizienten: 

2 

2 

a: y′ 

− k ⋅ y′ 

= 2x − 3 

b: 

& x 

+ 2a ⋅ x& 

+ a 

2 

⋅ x = e 

−a⋅t 

c: y′ 

+ 6y′ 

+ 18y = 3⋅sin(2x) 

8.1. Berechnen Sie für jede Differentialgleichung die homogene Lösung. 

8.2. Geben Sie für jede Differentialgleichung den Ansatz für die partikuläre Lösung an. 

Sie sollen nicht die allgemeine Lösung der Differentialgleichung angeben. 

8.3. Wie unterscheiden sich bei einer Differentialgleichung die allgemeine Lösung von der 

speziellen Lösung und wie kommt man zu einer speziellen Lösung? Bitte antworten 

Sie möglichst knapp, aber richtig. 

Seite 14 




9. Aufgabe: Gegeben ist Ihnen der nebenstehende 

Versuchsaufbau zu einem 

Schwingungsproblem. 


Die Daten sind folgende: 

Masse des Systems: 

Federkonstante: 

s -2 

m = 7,5 kg 

D = 1,875 kg 

angreifende Kraft: 

F(t) = F o cos(ωt) = 1,5 

cos(ωt) N 

Kreisfrequenz des Erregers: ω = 0,15 s -1 

Graphik 1 

9.1.: Stellen Sie die zu diesem Problem zugehörige Differentialgleichung auf und normieren 

Sie die Differentialgleichung, damit Sie die folgenden Punkte einfacher 

rechnen können. 

9.2.: Lösen Sie die homogene Differentialgleichung. 

9.3.: Wählen Sie einen geeigneten partikulären Ansatz und bestimmen Sie die allgemeine 

Lösung der inhomogen Differentialgleichung. 

9.4.: Gegeben sind Ihnen nun folgende Anfangsbedingungen: 

x(t=0) = A > 0 und A = 2 m 

x& (t=0) = 0 

Bestimmen Sie die spezielle Lösung der Differentialgleichung allgemein und dann mit 

der oben gegebenen Datenlage. 

Die graphische Darstellung der spezielle Lösung der Differentialgleichung ist in der Graphik 

2 dargestellt. 

Graphik 2: 

. 

5 

x ( t ) 

0 

5 

0 50 100 150 200 

t 

Seite 15 




Integralrechnung 

1. Aufgabe: Lösen Sie folgende Integrale mit Hilfe einer geeigneten Substitution: 

1.1. 

∫ 

(5x + 1) dx 

3 

2x 

1.2. dx 1.3. x ⋅ x + 6 ⋅ dx 

∫ 2 

1 + x 

∫ 

2. Aufgabe: 

1 

2.1. 

∫− 

1 

t dt 

1+ 

2 

t 

4 

2.3. 

∫ ∫ π 2x 

e ⋅ 

3 

(ln x) 

2.2. dx 

x 

1 

0 

cos(3x) dx 

3. Aufgabe: Lösen Sie zunächst 

1 

dx 

∫ x ⋅ ln x 

und erklären Sie dann, warum dieses Integral mit den Grenzen a = 0,5 und b = 3 keine 

Lösung hat. 

4. Aufgabe: Welchen Flächeninhalt schließt die Kurve mit der Funktionsgleichung 

y = 6 − 2x mit den beiden Koordinatenachsen ein ? 

5. Aufgabe: Lösen Sie folgende Aufgaben durch partielle Integration: 

2 

5.1. (x − 3) dx 

∫ 

5.2. sin x dx 

∫ 2 5.3. 

∫ x ⋅ ln xdx 

5.4. 

∫ x ⋅sin3x 

dx 

6. Aufgabe: Lösen Sie folgende Aufgaben durch Partialbruchzerlegung: 

1 

6.1. dx 

∫ 2 2 

x − a 

3 

4x 

6.2. dx 

∫ 3 2 

x + 2x − x − 2 

Seite 16 




7. Aufgabe: Zeigen Sie: Der Flächeninhalt der Ellipse 

x 

a 

2 

2 

y 

+ 

b 

2 

2 

= 1 

beträgt 

A = π a b 

8. Aufgabe: Wird beim freien Fall der Luftwiderstand durch eine dem Quadrat der 

Fallgeschwindigkeit v proportionale Reibungskraft kv 2 berücksichtigt, so erhält man das 

folgende Geschwindigkeits - Zeit - Gesetz: 

v(t) 

= 

mg 

⋅ tanh( 

k 

gk 

m 

⋅ t) 

Bestimmen Sie das Weg - Zeit - Gesetz. 


9. Aufgabe: Für eine normalverteilte Zufallsvariable X mit der Verteilung N( μ ; σ) lautet die 

Dichtefunktion 

2 

(x−μ) 

1 − 

2 

2σ 

f (x) = ⋅ e 

σ 2π 

Für die Standardnormalverteilung gilt N( 0 ; 1) , also μ = 0 und σ = 1. 

Nun kann man den Erwartungswert E(x) einer beliebigen , stetigen Zufallsvariable wie folgt 

berechnen: 

E (x) 

∫ ∞ ∞ − 

= x ⋅ f (x) ⋅ dx 

Zeigen Sie, daß für eine standardnormalverteilte Zufallsvariable der Erwartungswert 

tatsächlich 0 ist. 

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10. Aufgabe: Gegeben sind Ihnen zwei Funktionen f(x) und g(x) und ein durch beide 

Funktionen eingeschlossenes und begrenztes Gebiet. Die Grenzen sind a , b und c . Dieses 

Gebiet ist grau markiert. 

Weiter sind insgesamt sechs Integrale gegeben. Bestimmen Sie die Integrale, die die 

markierte Fläche berechnen und begründen Sie knapp, warum die von Ihnen nicht gewählten 

Integrale die Fläche nicht berechnen. 

b 

b 

a. f (x) − g(x) dx − g(x) − 

∫ ∫ 

a 

c 

b 

∫ ∫ 

− 

f (x) 

b. ( (x) − g(x) ) dx + ( f (x) g(x) ) 

a 

c 

b 

dx 

f dx 

c. f (x) dx − g(x) 

∫ ∫ 

c 

a 

c 

a 

dx 

b 

∫ ∫ 

− 

d. ( (x) − g(x) ) dx − ( g(x) f (x)) 

a 

b 

f dx 

e. f(x) dx − g(x) 

∫ ∫ 

c 

c 

a 

c 

a 

dx 

0 

0 

b 

f. 

∫ f (x) dx + g(x) dx + f (x) dx − g(x) dx − f (x) dx + g(x) 

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 

a 

a 

0 

b 

0 

c 

b 

c 

b 

dx 

g. Keine der Aussagen a. - f. sind richtig 

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Hochschule Bremerhaven SS 2006 Mathematik: MT ...

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