Leseprobe (PDF) - Merkur Verlag Rinteln

Terme und Gleichungen
2 Terme
2.1 Einführung
In der Fahrschule lernt man zur Berechnung
des Bremsweges (in m) folgende Faustregel:
Dividiere die Geschwindigkeit (in ___ ​ km
h
​ ) durch 10
und multipliziere das Ergebnis mit sich selbst.
a) Ein Auto fährt mit der Geschwindigkeit v = 40 ___ ​ km
h ​.
Berechnen Sie den Bremsweg.
Wie groß ist der Bremsweg bei der doppelten Geschwindigkeit?
b) Erstellen Sie eine Formel zur Berechnung des Bremsweges.
c) Berechnen Sie den Bremsweg für weitere Geschwindigkeiten.
Lösung
a) v = 40 ___ ​ km
h ​ : Dividiere 40 durch 10: __ 40
10 ​ = 4
Multipliziere das Ergebnis mit sich selbst 4 ? 4 = 16
Ergebnis: Bei einer Geschwindigkeit von 40 ___ ​ km
h
​ beträgt der Bremsweg 16 m.
v = 80 ___ ​ km
h ​ : Dividiere 80 durch 10: __ 80
10 ​ = 8
Multipliziere das Ergebnis mit sich selbst 8 ? 8 = 64
Ergebnis: Bei einer Geschwindigkeit von 80 ___ ​ km
h
​ beträgt der Bremsweg 64 m.
Bemerkung: Bei der doppelten Geschwindigkeit vervierfacht sich der Bremsweg.
__ v
b) Allgemein Dividiere v durch 10:
10 ​
Multipliziere das Ergebnis mit sich selbst ​ __ v
10 ​ ? ​ __ v
10 ​ = ___
​ ​v2 ​
100 ​
___
Ergebnis: Formel zur Berechnung des Bremsweges: ​ ​v2 ​
100 ​
c) Einsetzen für v
___ ​
in die Formel ​ ​v2 100 ​
12,2
____
​ ​12,22 100 = 1,49
50
100
​
___
​502 ​ Durch Einsetzen kann man für
100 = 25
jede Geschwindigkeit den Brems-
​
___ ​1002 ​ weg berechnen.
100 = 100
Für v darf man Zahlen einsetzen. v hält somit den Platz frei für Zahlen. Man sagt,
v ist ein Platzhalter bzw. eine Variable.
___
Einen Ausdruck wie z. B. ​ ​v2 ​
100
​ nennt man einen Term.
2 Bohner/Ihlenburg/Ott – ISBN 978-3-8120-0119-9
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Terme und Gleichungen
Beispiele für Terme
v + 10; 2x + 3; 4 – 5x; 3a – 4; a + b; – 5 + 4(x + 3); ​ x 2 ​ + 5x – 4; 9; – 117
Beachten Sie: Ein Term ist ein (sinnvoller) mathematischer Ausdruck. Terme können
Zahlen sein oder Terme können Variable enthalten.
Bemerkung: Ein Term, der keine Variable enthält, ist eine Zahl, z. B.: 5; 7 + 6; 3 – 8.
„23 + ” ist kein Term, da in diesem Fall kein sinnvoller mathematischer
Ausdruck vorliegt.
Aufgaben
1. Setzen Sie für x jeweils die Zahlen 0; 4; 5; 10; 33 ein.
a) 2x + 5 b) 21 – x c) – ​ x__ 2 ​ + 5
2. Setzen Sie in den Term 3a – b + 2c die Zahl 6 für a, 7 für b und 8 für c ein.
3. a) Welche Zahl muss man für x einsetzen, damit der Term 14 + 3x das Ergebnis 29 hat.
b) Geben Sie jeweils eine Zahl für x und y an, sodass der Term x + 3y in
die Zahl 12 übergeht?
4. Ein Unternehmen produziert x Stück einer Ware.
Der Erlös kann mit dem Erlösterm 14x berechnet werden.
Bestimmen Sie den Erlös für drei selbst gewählte Stückzahlen.
Erläutern Sie den Erlösterm.
5. Ein Stromunternehmen berechnet für 1 kWh 0,17 €.
a) Vergleichen Sie den Verbrauch und die Stromkosten verschiedener Kunden.
b) Familie Müller verbraucht pro Monat durchschnittlich 250 kWh.
Wie hoch sind die Stromkosten?
c) Die Variable x beschreibt die Anzahl der verbrauchten kWh.
Geben Sie einen Term zur Berechnung der Stromkosten in Abhängigkeit
vom Verbrauch x an.
d) Das Stromunternehmen verlangt eine monatliche Grundgebühr von 18,00 €.
6. Herr Stuckenburg hat einen Handyvertrag mit folgenden Konditionen abgeschlossen:
Monatliche Grundgebühr 12,00 €, Telefonkosten pro Minute 0,20 €.
Welcher Betrag steht auf seiner Monatsrechnung, wenn er nicht telefoniert, wenn er
40, 60, 120 Minuten telefoniert?
Wie lautet die Formel, wenn er x Minuten telefoniert?
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Terme und Gleichungen
2.2 Berechnen von Termen
2.2.1 Addition
Zunächst beschäftigen wir uns mit den einfachen
Termen, den Zahlen.
Im Alltag muss man mit Zahlen rechnen können.
Für die Addition gibt es Bezeichnungen und Regeln.
5 + 2 = 7
1. Summand plus 2. Summand gleich Summe
Beim Addieren von Zahlen muss man Rechenzeichen und Vorzeichen unterscheiden.
Bemerkung: Die Zahl 3 hat das Vorzeichen „+“ . Man könnte auch schreiben 3 = + 3.
Bei der Addition kann eine positive Zahl als Guthaben (H) und eine negative Zahl als Schulden
(S) aufgefasst werden.
Beispiel
3 + (– 4)
Rechenzeichen Vorzeichen
a) 5 + 2 5,00 € H und 2,00 € H ergeben 7,00 € H. 5 + 2 = 7
b) 5 + (– 2) 5,00 € H und 2,00 € S ergeben 3,00 € H. 5 + (– 2) = 3
c) (– 5) + 2 5,00 € S und 2,00 € H ergeben 3,00 € S. (– 5) + 2 = – 3
d) (– 5) + (– 2) 5,00 € S und 2,00 € S ergeben 7,00 € S. (– 5) + (– 2) = – 7
Betrachtet man nur die „Zahl“, unabhängig von Haben oder Soll, so spricht man vom Betrag
dieser Zahl, z. B. der Betrag von 2 ist 2; der Betrag von – 2 ist auch 2.
Bemerkung: Der Betrag einer Zahl ist immer größer oder gleich null.
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Terme und Gleichungen
5.5.2 Verteilungsrechnung
Beispiel
Bei einem Wettbewerb stehen für die ersten drei Plätze
1 610,00 € Preisgeld zur Verfügung.
Wie ist das Preisgeld zu verteilen, wenn der Sieger dreimal
so viel bekommt wie der Zweite und fünfmal so viel
wie der Dritte?
Lösung
Variable festlegen: Der Anteil des Siegers beträgt x €.
Anteile bestimmen
Bemerkung
Da der Sieger dreimal so viel bekommt
wie der Zweite, erhält der Zweite ein
Drittel des Siegeranteils, d. h. ​ x__ 3 ​.
Sieger
Zweiter
Dritter
Zusammen
Anteile
x
​ x__ 3 ​
​ x__ 5 ​
x + ​ x__ 3 ​ + ​ x__ 5 ​
Gleichung aufstellen: x + ​ x__ 3 ​ + ​ x__ 5 ​ = 1610 | ? 15
Nach x auflösen 15x + 5x + 3 x = 24150
23x = 24150 | : 23
Einfache Gleichung x = 1050
Antwortsatz: Der Sieger bekommt 1050,00 €, der Zweite 350,00 € und der Dritte 210,00 €.
Aufgaben
1. Ein Kapital in Höhe von 42 000,00 € soll an die drei Schwestern Anna, Eva und Ute verteilt
werden. Anna erhält 2 000,00 € mehr als Eva. Ute erhält 2 000,00 € weniger als Eva.
Wie viel € erhält jede Schwester?
2. In einem Testament wird festgelegt, dass Hans 3 000,00 € weniger als Elke bekommt
und Klaus halb so viel wie Elke. Wie viel € erhält jeder, wenn das Vermögen 27 000,00 €
betrug?
3. Eine Berufsschule veranstaltet einen Herbstbasar. Armin, Beate und Denis haben bei der
Tombola ein Los für 3,00 € gekauft. Armin hat 50 Ct, Beate 1,00 € und Denis 1,50 € beigesteuert.
Sie gewinnen den Hauptpreis: ein Handy im Wert von 51,00 €.
Formulieren Sie eine sinnvolle Frage. Lösen Sie die Aufgabe.
4. Das Ergebnis einer Aufgabe lautet: Hans erhält 300,00 €, Karl 500,00 € und Karin
800,00 €.
Erstellen Sie für dieses Ergebnis einen passenden Aufgabentext.
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Terme und Gleichungen
5.5.3 Prozentrechnung
Das Prozentrechnen ist dazu geeignet, Zahlenverhältnisse besser zu durchschauen und zu
vergleichen. Beim Vergleich von Anteilen nimmt man oft die Zahl 100 als gemeinsamen
Nenner.
Beispiele
1) In einer Klasse mit 25 Schüler besitzen 18 Schüler ein Handy.
Wie viel Prozent der Schüler haben ein Handy?
Lösung
18 Schüler von 25 Schülern sind __ ​ 18
25 ​ = ​ ___ 72
100​ = 0,72 = 72 %
Prozentwert P Grundwert G Prozentsatz p % = ​ P__ G ​
Antwortsatz: 72 % aller Schüler haben ein Handy.
Beachten Sie: Prozentwert = Grundwert ? Prozentsatz
P = G ? p %
2) Ein Großhandelsbetrieb erhält eine Lieferantenrechnung über 1 650,00 €.
a) Bei termingerechter Zahlung werden 3 % Skonto eingeräumt.
Wie hoch ist der Skontobetrag?
b) Da der Betrieb zu spät zahlt, muss er 80,00 € Mahngebühren bezahlen.
Welchem Prozentsatz entspricht dies?
Lösung
a) Gegeben: Grundwert: 1650 €; Prozentsatz: 3 %
Gesucht: Prozentwert
Dreisatz 100 % = 1650
1 % = ​ 1 ____ 650
100 ​
3 % = ​ 1 ____ 650
100 ​ ? 3 = 49,50
Antwortsatz: Der Skontobetrag beträgt 49,50 €.
b) Gegeben: Grundwert: 1650 €; Prozentwert: 80 €
Gesucht: Prozentsatz
Dreisatz 1650 = 100 %
1 = ​ _____ 100 %
1650 ​
80 = ​ _____ 100 %
1650 ​ ? 80 = 4,85 %
Antwortsatz: Die Mahngebühren betragen 4,85 %.
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Terme und Gleichungen
3) Wegen kleiner Fehler wird eine Ware mit einem Nachlass von 15 % zum
Sonderpreis von 185,20 € verkauft. Wie viel € betrug der ursprüngliche Preis?
Lösung mit Dreisatz
Gegeben: Prozentsatz 15 %
Gesucht: ursprünglicher Preis (= 100 %)
Verminderter Grundwert: 85 % = 185,20
_____
100 % berechnen: 100 % = ​ 185,20
85 % ​ ?100 % = 217,88
Antwortsatz: Der ursprüngliche Preis betrug 217,88 €.
Lösung mit einer Gleichung: Der ursprüngliche Preis ist x €.
85 % des ursprünglichen Preises x sind 185,20 €, d. h. x ? ___ ​ 85
100 ​ = 185,2
_____
Auflösung nach x x = ​ 185,2
85 ​ ? 100 = 217,88
Antwortsatz: Der ursprüngliche Preis betrug 217,88 €.
4) Die Firma Adler erhöht zum 1. Januar den Preis eines
Flachbildschirms um 10 %. Mitte Januar kommt ein
Konkurrenzprodukt auf den Markt. Daraufhin senkt
die Firma Adler den Preis um 5 %.
Wie hoch war der Preis vor dem 1. Januar?
Lösung
Variable festlegen: Der ursprüngliche Preis sei x €.
Preissenkung!
Nur noch
198,55 €
Preise bestimmen
ursprünglicher Preis
ursprünglicher Preis + 10 % Erhöhung
95 % des erhöhten Preises (5 % Senkung)
x
x + ___ ​ 10
100 ​ x = x ? ​ ___ 110
100 ​
x ? 1,1 ? 0,95
Endpreis 198,55
Gleichung aufstellen: x ? 1,1 ? 0,95 = 198,55 | : (1,1?0,95)
Nach x auflösen x = 190
Antwortsatz: Der Flachbildschirm kostete 190,00 €.
Zum Verständnis
190
209
100 % 110 % von 190 100 %
(neu)
95 % von 209 198,55
Kurzform: 190 ? ​ ___ 110
100 ​ ? ​ ___ 95
100 ​ = 198,55
80