Der Hauptsatz der projektiven Geometrie - Fachbereich Mathematik ...
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<strong>Der</strong> <strong>Hauptsatz</strong> <strong>der</strong> <strong>projektiven</strong><br />
<strong>Geometrie</strong><br />
Björn Schmidt<br />
Universität Kassel<br />
<strong>Fachbereich</strong> 10 - <strong>Mathematik</strong> und Naturwissenschaften<br />
Institut für <strong>Mathematik</strong><br />
1
1 Einleitung<br />
<strong>Der</strong> <strong>Hauptsatz</strong> <strong>der</strong> <strong>projektiven</strong> <strong>Geometrie</strong> liefert eine <strong>der</strong> wichtigsten Aussagen zum<br />
Verhalten von speziellen bijektiven Abbildungen zwischen <strong>projektiven</strong> Räumen, den<br />
Kollineationen. <strong>Der</strong> Satz selbst erinnert stark an den <strong>Hauptsatz</strong> <strong>der</strong> affinen <strong>Geometrie</strong>,<br />
nur dass hier anstatt mit Afiinitäten mit Projektivitäten gearbeitet wird. Allerdings<br />
ist die Anzahl <strong>der</strong> Elemente des Körpers, über dem die Vektorräume liegen, an<strong>der</strong>s<br />
als im affinen Fall, irrelevant, nur die Dimension ≥ 2 ist erfor<strong>der</strong>lich. Mit Hilfe des<br />
<strong>Hauptsatz</strong>es <strong>der</strong> <strong>projektiven</strong> <strong>Geometrie</strong> ist es möglich, den Beweis für den affinen Fall<br />
zu vervollständigen. Zunächst werden ein paar grundlegende Begriffe wie<strong>der</strong>holt, die für<br />
das Verständnis des Beweises unerlässlich sind.<br />
Im folgenden seien V , W Vektorräume über einem Körper K. Entsprechend sind P(V ),<br />
P(W ) projektive Räume.<br />
Defintion 1. Eine Abbildung F : V → W heißt semilinear bezüglich eines Automorphismus<br />
α : K → K, wenn gilt:<br />
1. F (a + b) = F (a) + F (b)<br />
2. F (λa) = α(λ)F (a)<br />
Definition 2. f : P(V ) → P(W ) heißt seimprojektiv, wenn es ein semilineares<br />
F : V → W gibt mit f = P(F ). Ist f bijektiv, so heißt f Semiprojektivität.<br />
Definition 3. Eine bijektive Abbildung f : P(V ) → P(W ) heißt Kollineation, wenn die<br />
Bil<strong>der</strong> kollinearer Punkte wie<strong>der</strong> kollinear sind, d.h. für p, p ′ ∈ P(V):<br />
f(p ∨ p ′ ) ⊂ f(p) ∨ f(p ′ ).<br />
Jede Semiprojektivität ist auch eine Kollineation, denn Semiprojektivitäten erhalten<br />
Unterräume.<br />
2 <strong>Der</strong> <strong>Hauptsatz</strong> <strong>der</strong> <strong>projektiven</strong> <strong>Geometrie</strong><br />
Satz 4. Seien P(V ), P(W ) projektive Räume über einem Körper K mit<br />
dim P(V ) = P(W ) ≥ 2. Dann ist jede Kollineation f : P(V ) → P(W ) eine Semiprojektivität<br />
und im Falle von K = R sogar eine Projektivität.<br />
Bemerkung. <strong>Der</strong> Beweis wird in mehrere, handlichere Hilfsaussagen zerlegt. Zunächst<br />
soll gezeigt werden, dass Kollineationen auch höher-dimensionale Unterräume erhalten.<br />
Danach wird eine Abbildung α definiert, die wir als den benötigten Automorphismus<br />
identifizieren werden. Die Voraussetzung dim P(V ) = P(W ) ≥ 2 wird dabei nur für<br />
die Eigenschaften des Automorphismus benötigt. Sie macht aber auch für sich alleine<br />
gesehen Sinn. Ist nämlich dim P(V ) = P(W ) = 1, so existiert nur eine Gerade. Dass<br />
2
diese in sich selbst überführt wird, ist offensichtlich.<br />
Im folgenden sei also f eine Kollineation.<br />
Hilfsaussage 1. Für p 0 . . . p r ∈ P(V ) gilt: f(p 0 ∨ . . . ∨ p r ) ⊂ f(p 0 ) ∨ . . . ∨ f(p r ).<br />
Beweis. Induktion über r: Für r = 1 ist die Aussage klar nach <strong>der</strong> Definition von<br />
Kollineationen, also ist <strong>der</strong> Induktionsanfang ok.<br />
Gelte also die Aussage für ein beliebiges, festes r > 1. Induktionsschritt: r − 1 → r:<br />
Sei p ∈ p 0 ∨. . .∨p r ⇒ ∃ p ′ ∈ p 0 ∨. . .∨p r−1 : p ∈ p ′ ∨p r . Aus <strong>der</strong> Induktionsvoraussetzung<br />
folgt dann: f(p ′ ) ∈ f(p 0 ) ∨ . . . ∨ f(p r−1 ). Da f eine Kollineation ist folgt somit<br />
f(p) ∈ f(p ′ ) ∨ f(p r ) ⊂ f(p 0 ) ∨ . . . ∨ f(p r )<br />
Hilfsaussage 2. Es gibt Basen (v 0 . . . v n ) ⊂ V und (w 0 . . . w n ) ⊂ W mit:<br />
f(K · v i ) = K · w i ∧ f(K · (v o + v i )) = K · (w 0 + w i ).<br />
Beweis. Betrachte (v 0 . . . v n ) ⊂ V Basis. Da<br />
P(W ) = f(P(V )) = f(K · v 0 + . . . + K · v n ) ⊂ f(K · v 0 ) ∨ . . . f(K · v n )<br />
(nach Hilfsaussage 1) erhält man eine Basis W ′ von W mit K · w ′ i := f(K · v i ), w ′ i ∈ W<br />
∀ i = 0, 1,. . . ,n, denn f(K · v 0 ), . . . , f(K · v n ) sind projektiv unabhängig, also folgt <strong>der</strong><br />
erste Teil.<br />
Betrachte jetzt K(v 0 + v i ) ∈ K · v 0 ∨ K · v i ⇒ f(K · (v 0 + v i )) ∈ K · w ′ 0 + K · w ′ i<br />
⇒ ∀ i = 1, . . . , n ∃ µ i , λ i ∈ K* mit:<br />
f(K · (v 0 + v i ) = K · (µ i · w ′ 0 + λ i · w ′ i) = K · (w ′ 0 + λ i · µ −1<br />
i · w i )<br />
Setze w 0 := w ′ 0 und w i = λ i µ −1<br />
i · w ′ i ⇒ Gesuchte Basis (w 0 . . . w n ).<br />
Jetzt wollen wir zeigen, dass f eine Abbildung α induziert, die die Eigenschaften eines<br />
Körperautomorphismus erfüllt, d.h. sie muss die neutralen Elemente 1 und 0 jeweils auf<br />
sich selbst abbilden, sowie den bekannten Bedingungen <strong>der</strong> Additivität und Multiplikativität<br />
genügen. Für die beiden letzteren Eigenschaften benötigen wir noch zusätzliche<br />
Aussagen, so dass wir uns zunächst auf die neutralen Elemente und spezielle Linearkombinationen<br />
innerhalb <strong>der</strong> Basen konzentrieren wollen.<br />
□<br />
□<br />
Hilfsaussage 3. Es existiert eine injektive Abbildung α : K → K mit:<br />
α(0) = 0, α(1) =1 und f(K · v 0 + λv i ) = K · (w 0 + α(λ)w i )<br />
3
∀ λ ∈ K, i=1,. . . ,n.<br />
Beweis. Sei i beliebig aber fest. Jedem λ ∈ K wird <strong>der</strong> Punkt p := K · (v 0 + λv i )<br />
zugeordnet. Da p ≠ K · v i ⇒ f(p) ≠ K · w i ⇒ es existiert ein eindeutiges α i (λ) ∈ K:<br />
f(p) = K · (w 0 + α i (λ)w i )<br />
f bijektiv ⇒ α i : K → K injektiv. Aus Hilfssatz 2 folgt, dass α i (0) = 0 und α i (1) = 1.<br />
Jetzt bleibt noch zu zeigen, dass für alle i, j ∈ {1, . . . , n} gilt: α i = α j . Dazu wählen<br />
wir λ ∈ K* beliebig ⇒ q := K · (v i − v j ) = K · (v 0 + λv i − (v 0 + λv j )) liegt sowohl in<br />
K · v i ∨ K · v j als auch in K · (v 0 + λv i ) ∨ K · (v 0 + λv j ).<br />
⇒ f(p) ∈ K · w i ∨ K · w j und f(p) ∈ K · (w 0 + α i (λ)w i ) ∨ K · (w 0 + α j (λ)w j ).<br />
Wähle w ∈ W so, dass f(p) = K · w ⇒ ∃µ i , µ j , β i , β j ∈ K:<br />
w = µ i w i + µ j w j = β i (w 0 + α i (λ)w i ) + β j (w 0 + α j (λ)w j )<br />
w 0 , w i und w j sind als Basiselemente linear unabhängig, also folgt:<br />
und damit<br />
Setzt man nun λ = 1, so folgt:<br />
β i = −β j , µ i = β i α i (λ), µ j = β j α j (λ)<br />
f(p) = K · (α i (λ)w i − α j (λ)w j ) (⋆)<br />
f(p) = K · (w i − w j ) (⋆⋆)<br />
Koeffizientenvergleich von (⋆) und (⋆⋆) liefert α i = α j und damit die Behauptung.<br />
Die nächsten beiden Hilfssätze zeigen, wie die soeben definierte Abbildung α auf den<br />
bereits vorher definierten Basen arbeitet. Wenn wir dies wissen, können wir Hilfsaussage<br />
3 <strong>der</strong>art fortführen, dass die Abbildung α ein Automorphismus ist.<br />
Hilfsaussage 4. Für 1 ≤ r ≤ n und λ 1 , . . . , λ r ∈ K gilt:<br />
f(K · (v 0 + λ 1 v 1 + . . . + λ r v r )) = K · (w 0 + α(λ 1 )w 1 + . . . + α(λ r )w r ).<br />
Bemerkung. Dies bedeutet nichts an<strong>der</strong>es, als dass λ 0 = 1 gesetzt wird. Dies kann man<br />
sich analog zur Einführung <strong>der</strong> Hyperebene mit <strong>der</strong> Koordinate λ 0 = 1 aus den früheren<br />
Vorträgen vorstellen.<br />
□<br />
Beweis. Induktion über r. <strong>Der</strong> Induktionsanfang r = 1 folgt direkt aus Hilfsaussage 3.<br />
Sei also r ≥ 2 und p := K · (v 0 + λ 1 v 1 + . . . + λ r v r ). Damit gilt für p:<br />
4
p ∈ K · (v 0 + λ 1 v 1 + . . . + λ r−1 v r−1 ) ∨ K · v r<br />
und somit für f(p):<br />
f(p) ∈ K · (w 0 + α(λ 1 )w 1 + . . . + α(λ r−1 )w r−1 ) ∨ K · w r (⋆)<br />
Aber es gilt auch p ∈ K · (v 0 + λ r v r ) ∨ K · v 1 ∨ . . . ∨ k · v r−1 und somit<br />
f(p) ∈ K · (w 0 + α(λ r )w r ) ∨ K · w 1 ∨ . . . ∨ K · w r−1 (⋆⋆)<br />
Dann folgt aus (⋆) und (⋆⋆): ∃ β, β 1 , . . . , β r−1 ∈ K:<br />
f(p) = K · (w 0 + α(λ 1 )w 1 + . . . + α(λ r−1 )w r−1 + βw r ) ∧<br />
f(p) = K · (w 0 + β 1 w 1 + . . . + β r−1 w r−1 + α(λ r )w r )<br />
⇒ β = α(λ r ) und damit die Behauptung.<br />
□<br />
Hilfsaussage 5. Für (λ 1 , . . . , λ n ) ≠ (0, . . . , 0) gilt:<br />
f(K · (λ 1 v 1 + . . . + λ n v n )) = K · (α(λ 1 )w 1 + . . . + α(λ n )w n )<br />
Bemerkung. Bei Hilfsaussage 4 wurde eine feste Hyperebene betrachtet. Hier allerdings<br />
wird λ 0 = 0 gesetzt. Das bedeutet jedoch nichts an<strong>der</strong>es, als dass wir die für die projektive<br />
<strong>Geometrie</strong> so wichtigen unendlich fernen Punkte mit λ 0 = 0 betrachten.<br />
Beweis. Definiere p := K · (λ 1 v 1 + . . . + λ n v n ) ⇒ f(p) ∈ K · w 1 ∨ . . . ∨ K · w n<br />
Man kann aber auch schreiben<br />
f(p) = K · (β 1 w 1 + . . . + β n w n ) mit Skalaren β 1 , . . . , β n (⋆)<br />
An<strong>der</strong>erseits gilt aber auch p ∈ K · v o ∨ K · (v 0 + λ 1 v 1 + . . . λ n v n ) und damit<br />
f(p) ∈ K · w 0 ∨ K · (w 0 + α(λ 1 )w 1 . . . α(λ n )w n )<br />
⇒ ∃ β, β 0 : f(p) = K · (β 0 w 0 + β · (w 0 + α(λ 1 )w 1 + . . . + α(λ n )w n )) (⋆⋆)<br />
EIn Koeffizientenvergleich von (⋆) und (⋆⋆) liefert die Behauptung.<br />
Hilfsaussage 6. α : K → K aus Hilfsaussage 3 ist ein Automorphismus.<br />
□<br />
Beweis. Aus Hilfsaussage 3 folgt sofort, dass α injektiv ist. Beweisen wir also die Surjektivität.<br />
Zu µ ∈ K betrachte dafür q := K · (w 0 + µw 1 ) ∈ P(W ).<br />
5
f surjektiv ⇒ ∃ p := K · (λ 0 v 0 + . . . + λ n v n ) ∈ P(V ) mit f(p) = q<br />
Hilfsaussage 1 ⇒ λ 0 ≠ 0, d.h. wir können o.B.d.A. annehmen, dass λ 0 = 1 (vergleiche<br />
mit Hilfsaussage 4)<br />
⇒ µ = α(λ 1 ) und damit ist α surjektiv. Bleiben also noch die Additivität und die<br />
Multiplikativität. Hier wird auch das einzige Mal die Voraussetzung n ≥ 2 benötigt.<br />
Seien λ, µ ∈ K. Dann gilt:<br />
wobei für die linke Seite aus<br />
und die rechte Seite aus<br />
kommt. ⇒ ∃ β, β ′ ∈ K:<br />
f(K · (v 0 + (λ + µ)v 1 + v 2 ) = K · (w 0 + α(λ + µ)w 1 + w 2 )<br />
K · (v 0 + λv 1 ) ∨ K · (µv 1 + v 2 )<br />
K · (w 0 + α(λ)w 1 ) ∨ K · (α(µ)w 1 + w 2 )<br />
w 0 + α(λ + µ)w 1 + w 2 = β(w 0 + α(λ)w 1 + β ′ (α(µ)w 1 + w 2 )<br />
Hier liefert <strong>der</strong> Koeffizientenvergleich, dass β = β ′ = 1 und damit folgt:<br />
α(λ + µ) = α(λ) + α(µ)<br />
Um die Multiplikativität zu zeigen gelte nun λ ≠ 0. Dann:<br />
wobei hier die linke Seite aus<br />
und die rechte aus<br />
f(K · (v 0 + λµv 1 + v 2 ) = K · (w 0 + α(λµ)w 1 + α(λ)w 2 )<br />
K · v 0 ∨ K · (µv 1 + v 2 )<br />
K · w 0 ∨ K · (α(µ)w 1 + w 2 )<br />
stammt. Mit dem gleichen Argument wie oben folgt, dass α(λµ) = α(λ) · α(µ).<br />
In Hilfsaussage 3 wurde bereits gezeigt, dass α(0) = 0, womit die Behauptung für alle<br />
λ gilt. Also ist α ein Automorphismus.<br />
□<br />
6
Die nächste und letzte Hilfsaussage fasst die Aussagen 3-7 zusammen. Damit erhalten<br />
wir dann endlich die Behauptung des Satzes, da f dann alle Anfor<strong>der</strong>ungen an eine<br />
Projektivität erfüllt.<br />
Hilfsaussage 7. Für Skalare (λ 0 , . . . , λ n ) ≠ (0, . . . , 0) gilt:<br />
f(K · (λ 0 v 0 + λ 1 v 1 + . . . + λ n v n )) = K · (α(λ 0 )w 0 + . . . + α(λ n )w n )<br />
Beweis. Wir betrachten o.B.d.A. den Fall λ 0 ≠ 0 und setzen somit analog zum Beweis<br />
von Hilfsaussage 4 λ 0 =!.<br />
Ist p := K · (λ 0 v 0 + . . . + λ n v n ) = K · (v 0 + λ 1 λ −1<br />
0 v 1 + . . . + λ n λ −1<br />
0 v n )<br />
⇒ f(p) = K · (w 0 + α(λ 1 λ −1<br />
0 )w 1 + . . . + α(λ n λ −1<br />
0 )w n )<br />
= K · (α(λ 0 )w 0 + α(λ 1 )w 1 + . . . + α(λ n )w n ), denn aus Hilfsaussage 6 folgt direkt, dass<br />
α(λ 1 λ −1<br />
0 ) = α(λ 1 ) · α(λ −1<br />
0 )<br />
Wir haben somit eine semilineare Abbildung F : V → W mit F (v i ) = w i und f = P(F ).<br />
Betrachtet man noch den Speziallfall K = R, so bleibt noch zu zeigen, dass die Identität<br />
<strong>der</strong> einzige Automorphismus auf den reellen Zahlen ist. Dann ist nämlich die Abbildung<br />
α linear (anstatt semilinear, wie für allgemeine Körper gefor<strong>der</strong>t) und wir haben eine<br />
stärkere Aussage.<br />
Hilfsaussage 8. Die Identität ist <strong>der</strong> einzige Automorphismus auf den reellen Zahlen.<br />
Beweis. Sei α ein Automorphismus auf den reellen Zahlen. Dann folgt direkt aus <strong>der</strong><br />
Additivität von α, dass α(0) = 0 und α(−λ) = −α(λ) ∀λ ∈ R. Analog folgt aus <strong>der</strong><br />
Multiplikativität, dass α(1) = 1 und demnach α(z) = z ∀z ∈ Z.<br />
Als nächstes betrachten wir α auf Q und zeigen, dass α(r) = r ∀r ∈ Q. Dazu schreibe<br />
r = p/q mit q ≠ 0 und p, q ∈ Z.<br />
⇒ p = α(p) = α(r · q) = α(r) · α(q) = α(r) · q. Teilen durch q liefert die Aussage für die<br />
rationalen Zahlen.<br />
Für ganz R betrachte nun λ ∈ R mit λ > 0. Bekannt ist, dass dann ein µ ∈ R existiert<br />
mit λ = µ 2 , und demnach ist auch α(λ) = α(µ 2 ) = α(µ) 2 > 0 (⋆)<br />
Betrachte nun γ ∈ R mit α(γ) ≠ γ. Wir kümmern uns nur um den Fall, dass α(γ) < γ,<br />
den an<strong>der</strong>en Fall zeigt man analog.<br />
Ist also α(γ) < γ, dann existiert ein r ∈ Q mit α(γ) < r < γ. Dann ist aber α(γ − r) =<br />
α(γ) − α(r) = α(γ) − r < 0. Da aber γ − r ≥ 0 liegt ein Wi<strong>der</strong>spruch zu (⋆) vor.<br />
□<br />
□<br />
3 Literatur<br />
Die Beweisstrukter orientiert sich an<br />
Gerd Fischer: Analytische <strong>Geometrie</strong>. Eine Einführung für Studienanfänger. 7. Auflage,<br />
Vieweg, 2001, Wiesbaden.<br />
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