Drei Beispiele zum Gauß-Algorithmus

Mögliche Fälle, die beim Lösen eines linearen Gleichungssystems auftreten können
1. Es existiert genau eine Lösung:
Beispiel:
x+2y+2z = 1
2x+2y-z = 8
-2x+2y+z = 0
Gauß-Tableau (am Anfang):
x y z Rechte Seite
1 2 2 1
2 2 -1 8
-2 2 1 0
Gauß-Tableau (Zwischenergebnisse):
x y z RS
1 2 2 1
0 -2 -5 6
0 6 5 2
Gauß-Tableau:
x y z Rechte Seite
1 2 2 1
0 1 2,5 -3
0 0 1 -2
Lösungsmenge L = {(1 ; 2 ; -2)}.
2. Es existieren unendlich viele Lösungen:
Beispiel:
x+2y+2z = 1
2x+2y-z = 8
3x+4y+z = 9
Gauß-Tableau (am Anfang):
x y Z Rechte Seite
1 2 2 1
2 2 -1 8
3 4 1 9

Gauß-Tableau (Zwischenergebnisse):
x y z RS
1 2 2 1
0 -2 -5 6
0 -2 -5 6
Gauß-Tableau:
x y z Rechte Seite
1 2 2 1
0 1 2,5 -3
0 0 0 0
Das System ist nicht eindeutig lösbar.
Wir setzen hier z = t. Damit ergibt sich (mit der 2. Zeile) y + 2,5t = -3, womit y = -2,5t - 3 ist.
Mit der ersten Zeile ergibt sich dann
x + 2ÿ(-2,5t - 3) + 2t = 1
und damit x = 7 + 3t. Damit haben wir die Lösungsmenge gefunden:
Ë= {(7 + 3t; - 3 - 2,5t; t) | tŒÑ}
Bemerkung:
Hätte sich als letztes Tableau
Gauß-Tableau:
x y Z Rechte Seite
1 2 2 1
0 0 0 0
0 0 0 0
ergeben, dann wäre der Lösungsraum sogar zweidimensional gewesen. Wir setzen hier z = t
und y = s, womit wir
x + 2s + 2t = 1
und damit x = 1 - 2s - 2t erhalten. Hier wäre dann Ë= {(1 - 2t - 2s; s; t) | s, tœÑ} die
Lösungsmenge.

3. Es existiert keine Lösung:
Beispiel:
x+2y+2z = 1
2x+2y-z = 8
3x+4y+z = 6
Gauß-Tableau (am Anfang):
x y z Rechte Seite
1 2 2 1
2 2 -1 8
3 4 1 6
Gauß-Tableau (Zwischenergebnisse):
x y z RS
1 2 2 1
0 -2 -5 6
0 -2 -5 3
Gauß-Tableau:
x y z Rechte Seite
1 2 2 1
0 1 2,5 -3
0 0 0 -3
Lösungsmenge ist leer: L = {} (da die letzte Zeile 0 = -3 liefert).