17 Exponentialfunktion und Logarithmus
17 Exponentialfunktion und Logarithmus
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Um dieser Vorgehensweise Sinn zu geben, sind mehrere Hilfsaussagen zu beweisen<br />
1. Es muss sichergestellt werden, dass es für jede reelle Zahl x eine Folge rationaler<br />
Zahlen gibt, die gegen x konvergiert.<br />
2. Man muss zeigen, dass der Grenzwert aus der Definition existiert.<br />
3. Es gibt immer (sogar überabzählbar) unendlich viele verschiedene Folgen, die gegen<br />
eine fest reelle Zahl konvergieren. Sind die Grenzwerte aus der Definition alle gleich?<br />
Andernfalls wäre unser Konstrukt nicht wohldefiniert.<br />
4. Was ist mit rationalen Zahlen? Es gibt ja auch Folgen die gegen rationale Zahlen<br />
konvergieren. Man muss zeigen, dass der Grenzwert aus der Definition den früher<br />
definierten Wert liefert. Nur dann ist die Definition konsistent.<br />
5. Schließlich muss die Gültigkeit der Potenzrechengesetze nachgewiesen werden. Dazu<br />
müssen diese Gesetze für die rationalen Zahlen gezeigt werden, dann kann man mit<br />
(15.11) den Beweis relativ leicht führen.<br />
Dieser Weg scheint aufwendiger zu sein, kommt aber ohne eine eigenständige Definition<br />
der <strong>Exponentialfunktion</strong> aus.<br />
Beispiel. Für 2 √2<br />
könnte man die Folge (q n ) aus dem Heron-Verfahren wählen. Bei<br />
einem Startwert 2 ergibt sich<br />
n 1 2 3 4 5 . . . → ∞<br />
q n 2<br />
3<br />
2<br />
<strong>17</strong><br />
12<br />
577<br />
408<br />
665857<br />
. . . → √ 2<br />
470832<br />
2 qn 4 2.828 2.66968 2.665148 2.665144 . . . → 2 √ 2<br />
(<br />
So ist beispielsweise 2 q 5<br />
= 2 √ ) 665857 665857 470832<br />
470832 = 2 ≈ 2.665144.<br />
Vergleichen Sie das mit der Ausgabe Ihres Taschenrechners!<br />
Was passiert, wenn man 470832√ 2 665857 rechnet?<br />
Der allgemeine <strong>Logarithmus</strong><br />
Den <strong>Logarithmus</strong> kann man wie die <strong>Exponentialfunktion</strong> verallgemeinern. Da die Funktion<br />
R → R >0 ; x ↦→ a x für alle a ∈ ]0, 1[ ∪ ]1, ∞[ = R >0 \ {1}<br />
nach (<strong>17</strong>.11.3) bijektiv ist, besitzt sie eine (eindeutig bestimmte) Umkehrfunktion<br />
log a : R >0 → R<br />
für jedes a ∈ ]0, 1[ ∪ ]1, ∞[.<br />
Diese Funktion heißt <strong>Logarithmus</strong> zur Basis a. Jede dieser Funktionen kann durch<br />
jede andere ausgedrückt werden.<br />
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