17 Exponentialfunktion und Logarithmus
17 Exponentialfunktion und Logarithmus
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Beweis. Übung!<br />
<br />
Wir formulieren einige Eigenschaften der allgemeinen <strong>Exponentialfunktion</strong>.<br />
(<strong>17</strong>.11) Satz. Es seien a ∈ R >0 <strong>und</strong> f : R → R ; x ↦→ a x .<br />
(1) f(x) = a x > 0 für alle x ∈ R<br />
{<br />
fallend falls 0 < a < 1<br />
(2) f ist streng monoton<br />
wachsend falls a > 1<br />
<strong>und</strong> damit injektiv in diesen Fällen. Der Fall a = 1 ist trivial.<br />
(3) f : (R, +) → (R >0 , · ) ; x ↦→ a x ist für a ∈ R >0 \ {1} ein Gruppenisomorphismus.<br />
Beweis. (1) <strong>und</strong> (3) direkt aus (<strong>17</strong>.1.4) bzw. (<strong>17</strong>.1.7) mit (<strong>17</strong>.10).<br />
(2) Im Fall a > 1 ist a x = exp(x · ln(a)) die Verkettung zweier streng monoton wachsender<br />
Funktionen x ↦→ x · ln(a) <strong>und</strong> exp, also selbst streng monoton wachsend.<br />
Im Fall 0 < a < 1 ist ln(a) < 0, also x ↦→ x · ln(a) fallend. Dann gilt das auch für die<br />
Verkettung.<br />
<br />
Schließlich einige Eigenschaften der allgemeinen Potenzfunktion.<br />
(<strong>17</strong>.12) Satz. Es seien p ∈ R <strong>und</strong> f : R >0 → R ; x ↦→ x p .<br />
(1) f(x) = x p > 0 für alle x ∈ R >0 .<br />
{<br />
fallend falls p < 0<br />
(2) f ist streng monoton<br />
wachsend falls p > 0<br />
<strong>und</strong> damit injektiv in diesen Fällen. Der Fall p = 0 ist trivial.<br />
(3) f : (R >0 , · ) → (R >0 , · ) ; x ↦→ x p ist für p ∈ R \ {0} ein Gruppenisomorphismus.<br />
Beweis. (1) folgt direkt aus (<strong>17</strong>.11.1).<br />
(2) Im Fall p > 0 ist x p = exp(p·ln(x)) die Verkettung zweier streng monoton wachsender<br />
Funktionen x ↦→ p · ln(x) <strong>und</strong> exp, also selbst streng monoton wachsend.<br />
Im Fall p < 0 ist x ↦→ p · ln(x) fallend. Dann gilt das auch für die Verkettung mit exp.<br />
(3) Die Homomorphie steht in (<strong>17</strong>.10). Nach (2) ist f injektiv. Die Surjektivität wird<br />
später bewiesen.<br />
<br />
(<strong>17</strong>.13) Bemerkung. Wir beschreiben eine alternative Vorgehensweise, die manchmal<br />
auch in Schulbüchern vorgestellt wird.<br />
Wie oben beschrieben werden Potenzen mit rationalen Exponenten definiert. Das ist<br />
zwingend, wenn die Potenzrechengesetze gelten sollen. Um die „Lücken“ zu füllen, werden<br />
Folgen betrachtet. Genauer: Um a x , a > 0, x ∈ R, zu definieren nimmt man eine Folge<br />
(q n ) rationaler Zahlen, die gegen x konvergiert, <strong>und</strong> setzt<br />
a x := lim<br />
n→∞<br />
a qn falls lim<br />
n→∞<br />
q n = x.<br />
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