17 Exponentialfunktion und Logarithmus

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An dieser Stelle machen wir in der Vorlesung eine erste Skizze. Für die Untersuchung beliebiger rationaler Zahlen im Exponenten brauchen wir mn (17.8) Seien n, m ∈ N und a ≥ 0, dann gilt √ a = m√ √ n a. Beweis. Nach Definition sind alle Ausdrücke ≥ 0. Wegen (17.6) können wir rechnen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Die Eindeutigkeitsaussage in (17.6) zeigt die Behauptung. Wir untersuchen nun rationale Zahlen b ∈ Q und beschränken uns auf a > 0. OE. sei b > 0, dann ist b = m , mit m, n ∈ N. Man ist geneigt zu definieren n ( ) a b := n√ m ( ) a und a −b := n√ −m 1 a = ( √ n ) m a Bei dieser Definition muss man aufpassen, dass man keine Widersprüche erhält, denn die Darstellung von b als Bruch m n ist nicht eindeutig. Es gilt m n = u v ⇐⇒ mv = nu. Daher ergibt sich unter Zuhilfenahme von (17.8) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nur deshalb ist die oben gegebene Definition sinnvoll. Man sagt der Ausdruck ist wohldefiniert. Dieses Vorgehen liefert für alle a > 0 bzw. q ∈ Q eine Funktion Q → R ; x ↦→ a x bzw. R >0 → R : x ↦→ x q . 30
Machen Sie sich Skizzen der Graphen dieser Funktionen; auch mit einem Funktionen Plotter, von denen es eine ganze Reihe im Internet gibt. Wir werden jetzt (17.4.2) verallgemeinern. (17.9) Sei a ∈ R >0 und q ∈ Q, dann gilt ln(a q ) = q · ln(a). Beweis. Wir betrachten zunächst den Fall q = 1 n mit n ∈ N. Es gilt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nun ergibt sich die Behauptung leicht aus (17.4.2). Hieraus folgt für alle a ∈ R >0 und q ∈ Q ( ) a q = exp ln(a q ) ( ) = exp q · ln(a) . Diese Formel ist geeignet a x für alle x ∈ R zu definieren. Definition. Für alle a ∈ R >0 und x ∈ R sei ( a x := exp ) x · ln(a) . Die Abbildung R → R ; x ↦→ a x heißt (allgemeine) Exponentialfunktion zur Basis a. Für p ∈ R heißt die Abbildung R >0 → R ; x ↦→ x p (allgemeine) Potenzfunktion mit dem Exponenten p. Dieses Vorgehen ist sinnvoll, weil unser Ausdruck für alle Zahlen, für die es eine unabhängige Beschreibung der Potenzen gibt auch mit dieser übereinstimmt. Die Definition ist also konsistent. Aus (17.3) folgt exp(1) = e, also gilt ln(e) = 1. Daraus ergibt sich e x = exp(x ln(e)) = exp(x). Wir halten erneut einige wichtige Eigenschaften fest, insbesondere die Potenzrechengesetze in voller Allgemeinheit. (17.10) Satz. Seien a, b ∈ R >0 und x, y ∈ R. a x+y = a x · a y , (a x ) y = a xy , a x · b x = (ab) x . 31
Seite 1 und 2: 17 Exponentialfunktion und Logarith
Seite 3 und 4: Wir notieren ein weitere Konsequenz
Seite 5: Für a 1 n wird auch n√ a geschri
Seite 9 und 10: Um dieser Vorgehensweise Sinn zu ge
Seite 11 und 12: Beispiel. In jeder Stunde verdopple

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