17 Exponentialfunktion und Logarithmus
17 Exponentialfunktion und Logarithmus
17 Exponentialfunktion und Logarithmus
Sie wollen auch ein ePaper? Erhöhen Sie die Reichweite Ihrer Titel.
YUMPU macht aus Druck-PDFs automatisch weboptimierte ePaper, die Google liebt.
Für a 1 n wird auch n√ a geschrieben. Aber — existiert eine solche Zahl? Die Antwort<br />
liefert<br />
(<strong>17</strong>.6) Satz. Zu jedem n ∈ N <strong>und</strong> a ∈ R ≥0 existiert eine eindeutig bestimmte reelle<br />
Zahl<br />
n √ a mit den Eigenschaften<br />
n√ a ≥ 0 <strong>und</strong><br />
(<br />
n√ a<br />
) n<br />
= a.<br />
Beweis (Skizze). Wir betrachten die Menge W := {u ∈ R ; u n ≤ a}. Diese Menge ist<br />
wegen 0 ∈ W nicht leer <strong>und</strong> durch max{1, a} nach oben beschränkt, besitzt also ein<br />
Supremum s ≥ 0.<br />
Etwas mühsamer ist es, die beiden Annahmen s n < a <strong>und</strong> s n > a zum Widerspruch zu<br />
führen. Schließlich müsste die Eindeutigkeit gezeigt werden.<br />
<br />
Definition. Man nennt n√ a die n-te Wurzel aus a.<br />
(<strong>17</strong>.7) Bemerkung. 1.) Ein anderer Weg n√ a zu definieren ist die Bijektivität der<br />
Funktion R ≥0 → R ≥0 ; x ↦→ x n zu zeigen <strong>und</strong> die Umkehrfunktion zu benutzen. Wir<br />
werden das später etwas genauer untersuchen.<br />
2.)<br />
n √ a ist zunächst nur für a ≥ 0 definiert <strong>und</strong> selbst ≥ 0. Z. B. ist √ 4 = 2 <strong>und</strong> nicht<br />
etwa −2. Völliger Unsinn wäre es √ 4 = ±2 zu schreiben.<br />
3.)<br />
n √ a zu bestimmen ist genau von der Aufgabe zu unterscheiden die Gleichung x n = a<br />
zu lösen. Eine Lösung dieser Gleichung ist n√ a (<strong>und</strong> zwar die einzige positive). Ist<br />
n gerade, so hat diese Gleichung zwei Lösungen, nämlich ± n√ a.<br />
4.) Ist n ungerade, so kann man auch n√ a für a < 0 definieren; nämlich durch<br />
n√ √ ( )<br />
a = −<br />
n<br />
−a. Dann gilt n√ n<br />
a = a.<br />
In vielen Lehrbüchern wird dieser Ausdrucke aber <strong>und</strong>efiniert gelassen. Der Gr<strong>und</strong><br />
dafür ist, dass für a < 0 die Potenzrechengesetze nicht uneingeschränkt gelten!<br />
(Beispiel?) Man handelt sich also viele Fallunterscheidungen ein.<br />
In jedem Fall gilt, dass im Fall a < 0 die Exponentenschreibweise verboten ist!<br />
5.) VORSICHT! Es gilt immer<br />
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .<br />
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .<br />
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .<br />
29