17 Exponentialfunktion und Logarithmus

(3) Wir setzen ln(x) in (17.1.3) ein:
(4) ist klar!
(5) folgt direkt aus (17.1.7) und (1).
(17.5) Bemerkung. 1.) Die Funktionalgleichung und die Abschätzung (17.4.3) legen
die ln-Funktion eindeutig fest.
2.) Die Funktionalgleichung des ln (und jeder anderen Logarithmusfunktion) erlaubt es
Produkte von Zahlen durch Summen zu ersetzen. Das wurde bis vor wenigen Jahrzehnten
für Handrechnungen benutzt. Dazu dienten Logarithmentafeln und/oder
Rechenschieber.
3.) In der Tat suchte der schottische Mathematiker John Napier (1550 – 1617) nach
einer „stetigen“ Funktion, die die obige Funktionalgleichung erfüllt und fand den
Logarithmus (nahezu zeitgleich und unabhängig von Jost Bürgi (1552 – 1632)).
4.) Der Eintrag in Wikipedia zum Logarithmus ist sehr lesenswert.
Potenzen
Was ist 2 √2 , oder e π ? Genauer und allgemeiner fragen wir: Wie ist a x definiert?
Diese Frage haben wir für x ∈ Z bereits im ersten Semester beantwortet, und zwar für
beliebige Gruppen. (Welche Gruppe liegt hier zugrunde?)
Wir wiederholen die Definition; dabei seien a ∈ R \ {0} und x ∈ Z.
⎧
⎪⎨ 1 für x = 0
a x := a · a · · · · · a (x Faktoren) für x > 0
( ⎪⎩
) a
−1 −x
für x < 0 .
Das ist auch für a = e, a = π usw. definiert! Und es gelten die Potenzrechengesetze.
Im nächsten Schritt dehnen wir die Definition auf x = 1 , n ∈ N, aus. Dabei muss man
n
a ≥ 0 voraussetzen, wenn man keine Fallunterscheidungen machen will. Wie also ist a 1 n
zu definieren? Damit die Potenzrechengesetze weiter gelten,
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