17 Exponentialfunktion und Logarithmus

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Hieraus folgt auch exp(x) > 0 für x > 0. Wegen (2) folgt das aber jetzt für alle x ∈ R;
d. h. (4) gilt.
Weiter sei 0 < x < 1. Dann ist 1 k! xk ≤ x k und die geometrische Reihe ∑ x k ist gliedweise
größer als die Exponentialreihe, also exp(x) ≤ ∑ ∞
k=0 xk = 1 . 1−x
Sei nun x ∈ ]−1, 0[, dann gilt mit dem eben gezeigten und weil alle Terme positiv sind
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und (5) ist gezeigt. Weiter gilt (3) auf ]−1, ∞[.
Da exp(x) > 0 und 1 + x ≤ 0 für alle x ≤ −1 folgt trivialerweise der Rest von (3).
(6) Sei x < y, dann gilt y = x + u mit u > 0.
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(7) Die Homomorphie-Eigenschaft ist gerade (1). Wegen (6) fehlt nur noch die Surjektivität.
Die zeigen wir später.
(17.2) Bemerkung. 1.) Die Funktionalgleichung der Exponentialfunktion gilt auch für
alle z ∈ C. Deshalb ist exp : (C, +) → (C \ {0}, · ) ein Homomorphismus, der zwar
nicht injektiv, dafür aber surjektiv ist.
2.) Die Funktionalgleichung und die Abschätzung in (17.1.3) legen die Exponentialfunktion
eindeutig fest.
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