17 Exponentialfunktion und Logarithmus

Beispiel. Nach je einer Stunde werde die Menge N(t) gedrittelt. Es gilt dann
Wir bestimmen die Halbwertszeit T :
N(t) = N 0
( 1
3) t
= N 0 · e −t·ln(3) .
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Prozesse wie in unseren Beispielen haben allgemein die Form N(t) = N 0 · e αt mit einer
Konstanten α.
Ist α > 0, so liegt Wachstum vor, im Fall α < 0 handelt es sich um einen Zerfallsprozess.
Entsprechend nennt man |α| Wachstums- bzw. Zerfallskonstante.
Vorsicht:
Die Zerfallskonstante λ ist positiv und es gilt N(t) = N 0 · e −λt
Man spricht von exponentiellem Wachstum bzw. exponentiellem Zerfall.
(17.16) Zwischen Zerfallskonstante λ und Halbwertszeit T besteht der Zusammenhang
T · λ = ln(2).
Entsprechend gilt für die Wachstumskonstante α und die Verdoppelungszeit T die Beziehung
T · α = ln(2).
Bemerkung. Siehe auch den Artikel bei Wikipedia zum Thema Halbwertszeit.
(17.17) Beispiele. 1.) Jährliche Verzinsung eines Kapitals K bei Zinssatz p mit Zinseszins
führt auf die Folge K(1 + p
100 )n (n = Anzahl der Jahre). Das ist diskretes
exponentielles Wachstum.
2.) Bei kontinuierlicher Verzinsung ergibt sich K(t) = Ke p
100 t (t = verstrichene Zeit
in Jahren). Somit liegt (kontinuierliches) exponentielles Wachstum vor. Die Wachstumskonstante
beträgt
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