17 Exponentialfunktion und Logarithmus
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Beispiel. In jeder St<strong>und</strong>e verdopple sich die Population. Ist N 0 = 1000 = N(0), so gilt<br />
N(1) = 2000 = 1000 · 2 1 , N(2) = 4000 = 1000 · 2 2 usw. Man findet<br />
Tatsächlich gilt<br />
N(t) = N 0 · 2 t = N 0 · e t ln(2) für t ≥ 0.<br />
N(t + s)<br />
N(t)<br />
=<br />
1000 · 2t+s<br />
1000 · 2 t = 2 t+s−t = 2 s =⇒ N(t + s) = 2 s N(t).<br />
Der Zunahmefaktor (hier 2 s ) hängt nur von der verstrichenen Zeitspanne s ab, nicht<br />
aber vom Zeitpunkt t.<br />
Beispiel (Fortsetzung). Mit den obigen Daten gilt etwa N(30 min) = N( 1 2 ) ≈ 1414.2,<br />
<strong>und</strong> N(24) = N(1 Tag) ≈ 16.8 · 10 9 also 16.8 Milliarden.<br />
Auch hier haben wir eine Modellierung vorgenommen: Ein Vorgang in der Natur wird<br />
mathematisch beschrieben in der Hoffnung eine tieferes Verständnis für den Vorgang zu<br />
gewinnen, <strong>und</strong> quantitative Voraussagen machen zu können.<br />
(<strong>17</strong>.15) Bemerkung. 1.) N 0 <strong>und</strong> der Faktor sind die Kennzahlen des Systems. Sie<br />
können im Prinzip gemessen werden.<br />
2.) Die Bedingung (1.) charakterisiert die „Natur des Prozesses“. Hier werden Annahmen<br />
gemacht, die meist nicht bewiesen werden können. Selten erfassen sie das betrachtete<br />
System präzise. Oft enthalten sie Ungenauigkeiten wie in unserem Beispiel etwa:<br />
• Die Anzahl der Bakterien ist eine natürliche Zahl (man sagt N(t) sei diskret),<br />
wir habe aber ein kontinuierliches Modell gewählt, N(t) wird als reelle Zahl<br />
angenommen. Bei großen Anzahlen liefert das trotzdem meist gute Resultate.<br />
• Das Wachstum kann nicht lange so weiter gehen! Nimmt man z. B. den Durchmesser<br />
eines Bakteriums mit 2µm an, so hätte man nach einer Woche 1.5 ·<br />
10 24 km 3 Bakterienvolumen. Die Erde hat ein Volumen von ca. 10 12 km 3 . Schon<br />
nach 5 Tagen wäre das Volumen der Bakterien bei 5.6 · 10 9 km 3 .<br />
Das ist offensichtlich nicht möglich. Das Modell kann also nur innerhalb eines<br />
gewissen Zeitintervalls Gültigkeit haben. Dann treten Effekte in den Vordergr<strong>und</strong>,<br />
die wir vernachlässigt haben; etwa ein begrenztes Nahrungsangebot.<br />
3.) Jedes Modell nimmt Vereinfachungen vor, die die Gültigkeit begrenzen. Diese Tatsache<br />
sollte man nie vergessen, wenn uns bestimmte Behauptungen als „wissenschaftlich<br />
erwiesen“ verkauft werden.<br />
Der radioaktive Zerfall verläuft nach einem ähnlichen Muster. In festen Zeiteinheiten<br />
reduziert sich die Menge um einen festen Faktor.<br />
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