Klausur zur Algebra I - Universität Hamburg

Algebra I
Sommersemester 2007
Prof. Dr. D. Bahns
Prof. Dr. C. Schweigert
Schwerpunkt Algebra und Zahlentheorie
OrgE Mathematik, Universität Hamburg
Klausur zur Algebra I
Name:
Matrikelnummer:
Punkte:
Tragen Sie Ihren Namen und Ihre Matrikelnummer (bitte leserlich) auf diesem Blatt ein.
Beantworten Sie die folgenden Fragen und begründen Sie Ihre Antwort kurz. Schreiben Sie Ihre
Begründung jeweils unter die Antwort auf die jeweilige Frage; gegebenenfalls auf ein gesondertes
Blatt, auf das Sie bitte ebenfalls Ihre Matrikelnummer und Ihren Namen eintragen. Für jede
richtige Antwort gibt es einen Punkt (für jede falsche Antwort 0 Punkte), für jede richtige
Begründung einen weiteren Punkt.
1. Ist die Permutation
σ =
ein Element der alternierenden Gruppe?
( 1 2 3 4 5 6 7 8 9
7 5 8 2 9 1 6 4 3
Lösung:
Nein, denn σ = (176)(259384) = (16)(17)(24)(28)(23)(29)(25), also ist sgn(σ) = −1.
)
2. Sind die beiden Permutationen
( )
1 2 3 4 5
σ 1 =
4 3 5 1 2
σ 2 =
( 1 2 3 4 5
3 4 2 5 1
)
zueinander konjugiert?
Lösung:
Nein, denn σ 1 = (14)(235) und σ 2 = (13245), also sind die Zykellängen der beiden Permutationen
verschieden.
3. Sei p ungerade Primzahl. Kann die alternierende Gruppe A p−1 eine Untergruppe der
Mächtigkeit p besitzen?
Lösung:
Nein. Nach dem Satz von Lagrange gilt für jede Untergruppe H ⊂ A p−1 : die Gruppenordnung
von H teilt die Gruppenordnung von A p−1 . Aber p teilt nicht |A p−1 | = (p − 1)!/2,
da p Primzahl ist.
1

4. Wie viele Abelsche Gruppen der Mächtigkeit 45 gibt es (bis auf Isomorphie)?
Lösung:
2
Denn 45 = 3 2 5 und nach dem Struktursatz über Abelsche Gruppen (Version mit Folgen
von Teilern) gibt es zwei Möglichkeiten: Z 45 und Z 3 × Z 15 , da es genau zwei mögliche
Folgen von Teilern von 45 gibt, deren Produkt gleich 45 ist, nämlich 1|3|3 · 5 und 1|3 2 · 5.
5. Betrachten Sie die Gruppe
{( cos(t) − sin(t)
SO(2) =
sin(t) cos(t)
)
}
| t ∈ R
mit der gewöhnlichen Wirkung auf R 2 , also SO(2) × R 2 → R 2 , (A, x) ↦→ A · x. Ist diese
Wirkung transitiv auf S 1 := {(x 1 , x 2 ) ∈ R 2 | x 2 1 + x2 2 = 1} ⊂ R2 ?
Lösung:
Ja.
Wir zeigen: alle Elemente von S 1 liegen in der Bahn von (1, 0) ∈ S 1 ⊂ R 2 . Sei y = (y 1 , y 2 ) ∈
S 1 , also y 2 = √ 1 − y1 2 oder y 2 = − √ 1 − y1 2 mit −1 ≤ y 1 ≤ 1. Dann gibt es ϕ ∈ [0, 2π), so
dass y 1 = cos(ϕ), also y 2 = √ 1 − cos(ϕ) 2 = sin(ϕ) oder y 2 = − √ 1 − cos(ϕ) 2 = sin(−ϕ).
Somit folgt
( ) ( )
cos(ϕ) − sin(ϕ) 1
y =
sin(ϕ) cos(ϕ) 0
oder (mit cos(−ϕ) = cos(ϕ))
( ) ( )
cos(−ϕ) − sin(−ϕ) 1
y =
sin(−ϕ) cos(−ϕ) 0
6. Seien q und p Primzahlen, p < q, und gelte p ̸ |(q − 1). Sei G eine Gruppe der Ordnung
qp. Kann G einfach sein?
Lösung:
Nein.
Bezeichne m p die Zahl der p-Sylowgruppen von G, dann gilt m p = 1 mod p und m p |q, also
m p = 1, denn wäre m p = q, so müßte gelten: p|(q − 1). Somit gibt es nur eine einzige
p-Sylowgruppe, die somit Normalteiler ist, da sie unter Konjugation mit G in sich selbst
übergeht. Sie ist echte und nicht-triviale Untergruppe von G, da 1 < p < pq.
7. Ist das Polynom f(X) = 2X 2 +4 irreduzibel im Ring Z[X] der Polynome mit ganzzahligen
Koeffizienten?
Lösung:
Nein.
Denn f(X) = 2(X 2 + 2) und 2 ∉ Z × .
2

8. Sei R ein kommutativer Ring, I ein Ideal in R.
Ist dann die Menge √ I := {a ∈ R | ∃ n ∈ Z >0 so dass a n ∈ I} ein Ideal?
Lösung:
Ja.
Für alle r ∈ R, a ∈ √ I (mit a n ∈ I) ist ra ∈ √ I, denn (ra) n = r n a n (da R kommutativ
ist) und mit r n ∈ R ist r n a n ∈ I, da I Ideal ist.
Sei a ∈ √ I mit a n ∈ I und b ∈ √ I mit b m ∈ I, dann ist a + b ∈ √ I mit (a + b) n+m−1 ∈ I,
denn nach der binomischen Formel gilt: (a + b) n+m−1 = ∑ n+m−1
( n+m−1
)
i=0 i a n+m−1−i b i .
Für i < m − 1 ist a n+m−1−i = a n a m−1−i in I, somit ist für i ≤ m − 1 auch das Produkt
von a n+m−1−i mit b i ∈ R und die ( )
n+m−1
i -fache Summe in I (da I Ideal), für i ≥ m ist
b i in I und somit auch die ( )
n+m−1
i -fache Summe von a n+m−1−i b i .
9. Was ist der Körpergrad [Q( 5√ 3 e −2πi/5 ) : Q]?
Lösung:
5.
Denn α = 5√ 3 e −2πi/5 ist Nullstelle von f(X) = X 5 − 3. Nach dem Eisenstein-Kriterium,
angewandt auf die Primzahl 3, ist f irreduzibel.
10. Sei E/K Körpererweiterung vom Grad [E : K] = 2 k für ein k ≥ 1. Sei f ∈ K[X] ein
normiertes Polynom vom Grad 3, das in E eine Nullstelle besitzt. Hat dann f bereits in
K eine Nullstelle?
Lösung:
Ja.
Sei a ∈ E Nullstelle von f. Angenommen, f besitzt keine Nullstelle in K, dann ist f
irreduzibel über K, da ein reduzibles Polynom vom Grad drei immer in ein Produkt mit
wenigstens einem Linearfaktor zerfällt. Somit ist f Minimalpolynom von a über K und
[K(a) : K] = 3. Widerspruch zur Gradformel [E : K(a)][K(a) : K] = 2 k , da 3 kein Teiler
von 2 k ist.
11. Betrachten Sie die reellen Zahlen mit den Verknüpfungen a⊕b = max(a, b) und a◦b = a+b
(also mit der üblichen Addition +). Gilt das Distributivgesetz a ◦ (b ⊕ c) = a ◦ b ⊕ a ◦ c?
Lösung:
Ja.
Denn: a◦b⊕a◦c = max(a+b, a+c) = a+max(b, c). Letztere Gleichheit gilt, denn sei oBdA
a + b ≥ a + c, dann ist b ≥ c und somit max(a + b, a + c) = a + b und a + max(b, c) = a + b.
Die Menge der ganzen Zahlen mit den obigen Verknüpfungen nennt man die tropischen
Zahlen.
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