Mathematik für Studierende der Lehrämter Primarstufe und ...

Mathematik für Studierende der
Lehrämter
Primarstufe und Sekundarstufe I
sowie Sonderschulen
Grundbildung Lineare Algebra und
Analytische Geometrie
SoSe 13
Hubert Kiechle
hubert.kiechle[at]uni-hamburg.de
Danksagung
Dieser Text basiert wesentlich auf einem Skript von Herrn Prof. Dr. Hans-Joachim Samaga,
der mir sogar seine LaTeX-Quellen zur Verfügung gestellt hat. Ich habe seine
Ausarbeitung in großen Teilen nur umgearbeitet und ergänzt.
Vielen herzliche Dank, lieber Hans-Joachim, für deine stets großzügige Unterstützung.
Teile das Skripts basieren auf Ausarbeitungen von Frau Dr. Susanne Koch, der ich
ebenfalls herzlich danken möchte.
1

Inhaltsverzeichnis
9 Komplexe Zahlen 3
10 Lineare Gleichungssysteme 17
11 Vektorräume 32
12 Basen und Dimension 45
13 Lineare Abbildungen 54
14 Skalarprodukt — Abstände und Winkel 64
2

9 Komplexe Zahlen
Die komplexen Zahlen bilden eine Erweiterung der reellen Zahlen, die sowohl für die
mathematische Theorie als auch in vielen Anwendungen eine zentrale Rolle spielt. Man
kann sagen, dass moderne Mathematik ohne komplexe Zahlen nicht möglich ist. Vieles
findet man in [SS09, 6.5].
Wie schon im letzten Semester muss die Erweiterung eines bekannten Zahlenbereich gut
motiviert sein. Dabei sollte es mit dem Bekannten verträglich sein. Wir werden sehen,
dass die komplexen Zahlen es erlauben Gleichungen zu lösen, die in R keine Lösung
haben. Darüberhinaus bilden sie einen Körper. Es gelten also die von den rationalen
und den reellen Zahlen her bekannten Rechenregeln.
Der historische Zugang, seine Kritik und wie man’s richtig macht
Bereits auf den natürlichen Zahlen bestehen die zwei binäre Verküpfungen „ +“ und „ ·“
und es gelten die grundlegenden Rechengesetze: Assoziativgesetze, Kommutativgesetze,
und das Distributivgesetz.
Im letzten Semester haben wir sukzessive den Zahlbereich erweitert, stets motiviert
durch die Lösbarkeit weiterer Gleichungen.
Daraus ergibt sich die Hierarchie der Zahlen, die nochmals zusammengefasst sei
N ⊆ Z ⊆ Q ⊆ R.
Neben den Verknüpfungen besitzen diese Mengen alle die verträgliche Ordnungsrelation
„ ≤“. Das drückt sich auch in der geometrischen Interpretation von R als Zahlengerade
aus.
Bekanntlich gibt es keine reelle Zahl mit x 2 = −1. Schon im 16. Jahrhundert wurde
dieser Mangel dadurch behoben, dass man eine imaginäre (eingebildete, nicht wirklich
existente) Zahl i postulierte, die diese Gleichung löst. Es soll also i 2 = −1 gelten. Die
Einführung von i als neuer Zahl und die Verwendung des Buchstabens wird Leonhard
Euler (1707–1783) zugeschrieben.
Als Lösung der quadratischen Gleichung x 2 + px + q ergibt sich bekanntlich
x 1/2 = − p 2 ± √
p
2
Ist p2
4 − q < 0, so setzt man x 1/2 = − p 2 ± i √
man zieht also gewissermaßen i 2 aus der Wurzel.
4 − q
q − p2
4 ,

Die komplexen Zahlen werden definiert zu
C := {a + bi ; a, b ∈ R} .
So ist dann jede quadratische Gleichung über R lösbar in C.
Wie addiert und multipliziert man komplexe Zahlen? Für a + bi, c + di ∈ C setze
(a + bi) + (c + di) := a + c + (b + d)i
(a + bi) · (c + di) := ac − bd + (ad + bc)i.
Wenn man will, dass die grundlegenden Rechengesetze weiter gelten, und außerdem,
dass i 2 = −1 gilt, so sind beide Definitionen zwingend!!
Beispiel. (5 + 2i) + (3 − 7i) = 8 − 5i und (5 + 2i) · (3 − 7i) =
Man rechnet mit viel Schreibarbeit nach, dass die Körperaxiome erfüllt sind. Wir geben
nur das multiplikative Inverse von a + bi ∈ C \ {0} an:
(a + bi) −1 =
a − bi
(a + bi)(a − bi) = a
a 2 + b + −b
2 a 2 + b i 2
Das ist wohldefiniert, denn a 2 + b 2 = 0 ⇐⇒ a = b = 0.
Bemerkung. Merke Sie sich nicht die Formel für das Inverse, sondern die Art wie sie
hergeleitet wird.
Beispiel. (3 − √ 2i) −1 =
Wo ist das Problem?
1
3 − √ 2i =
Die „Zahl“ i fällt vom Himmel. Es ist nicht klar, wo sie herkommt und ob sich evtl.
Widersprüche ergeben. Dass man nicht beliebig definieren kann zeigt folgender Versuch.
Wir wollen die Gleichung 0 · j = 1 lösen. Geht das? Wenn das Distributivgesetz gelten
soll, dann hat man
Das ist ein Widerspruch!
1 = 0 · j = (0 + 0) · j = 0 · j + 0 · j = 1 + 1 = 2.
Auch mit Kommutativ- und Assoziativgesetz ergibt sich ein Widerspruch:
1 = 0j = (0a)j = 0(aj) = 0(ja) = (0j)a = 1a = a für alle a ∈ R.
Aus diesem Grund muss man vorsichtiger vorgehen:
4

(9.1) Definition. Man setzt C := R × R und definiert
(a, b) + (c, d) := (a + c, b + d)
(a, b) · (c, d) := (ac − bd, ad + bc).
(C, +, · ) heißt Körper der komplexen Zahlen.
Bemerkung. Hier ist klar, dass „ +“ und „ ·“ Verknüpfungen auf C sind, also Abbildungen
C × C → C.
Man erkennt, dass (0, 0) das neutrale Element der Addition und (1, 0) das neutrale
Element der Multiplikation ist. Außerdem gilt (0, 1) 2 = (0, 1) · (0, 1) = (−1, 0).
Die Elemente (u, 0) verhalten sich genau wie reelle Zahlen. Präziser:
(u, 0) + (v, 0) = (u + v, 0) und (interessanter) (u, 0) · (v, 0) = (uv, 0)
Bemerkung. Noch genauer: Die Abbildung R → C; u ↦→ (u, 0) ist ein injektiver Ring-
Homomorphismus. Was bedeutet das?
Daher wird das Element der Form (u, 0) mit der reellen Zahl u identifiziert. Etwas
plakativ ausgedrückt: Wir schreiben statt (u, 0) kurz u. Setzt man weiter i := (0, 1)
(wir haben i jetzt definiert!!), so erhält man
(a, b) = (a, 0) + (0, b) = a + (b, 0) · (0, 1) = a + bi.
Damit haben wir die historische Darstellung wiedergefunden und gleichzeitig das anfanges
beschriebene Vorgehen gerechtfertigt.
Wir fassen zusammen
(9.2) (C, +, · ) bildet einen Körper, der den Körper der reellen Zahlen enthält.
Beweis. Die neutralen Elemente wurden oben angegeben, ebenso das Inverse bezüglich
der Multiplikation. Wie sieht das Inverse bezüglich der Addition aus?
Die Kommutativgesetze für Addition und Multiplikation sind offensichtlich.
Assoziativgesetz der Addition (in der Paar-Schreibweise):
(
)
(a 1 , a 2 ) + (b 1 , b 2 ) + (c 1 , c 2 )
) (
)
=
((a 1 + b 1 ) + c 1 , (a 2 + b 2 ) + c 2 = a 1 + (b 1 + c 1 ), a 2 + (b 2 + c 2 )
(
)
= (a 1 , a 2 ) + (b 1 , b 2 ) + (c 1 , c 2 ) .
Dabei wird nur das Assoziativgesetz der Addition in R benutzt.
5

Assoziativgesetz der Multiplikation:
(
)
(a 1 + a 2 i)(b 1 + b 2 i) (c 1 + c 2 i)
= a 1 b 1 c 1 − a 2 b 2 c 1 − a 2 b 1 c 2 − a 1 b 2 c 2 + (a 1 b 1 c 2 + a 1 b 2 c 1 + a 2 b 1 c 1 − a 2 b 2 c 2 )i
(
)
= (a 1 + a 2 i) (b 1 + b 2 i)(c 1 + c 2 i) .
Das Distributivgesetz kann analog nachgerechnet werden. Wir werden später einen eleganteren
Beweis sehen.
Bemerkung. Die Definition der Menge C als R 2 führt direkt auf eine geometrische
Deutung der komplexen Zahlen. Man kann komplexe Zahlen als Punkte der Anschauungsebene
interpretieren. Insbesondere ist die Addition komplexer Zahlen genau die
Addition der „Vektoren“.
Wichtige Grundbegriffe
(9.3) Definition. Gegeben sei die komplexe Zahl z = a + bi.
◦ a heißt Realteil, b heißt Imaginärteil von z . Man schreibt a = Re z und b = Im z .
◦ z := a − bi heißt die komplex Konjugierte von z .
◦ Die Abbildung
: C → C ; z ↦→ z wird komplex Konjugieren genannt.
◦ |z| := √ a 2 + b 2 heißt der (Absolut-)Betrag von z .
VORSICHT. Der Imaginärteil ist eine reelle Zahl! Im(a + bi) = b nicht etwa bi.
(9.4) Bemerkung. 1.) In der „richtigen“ Definition sind Real- und Imaginärteil einfach
die x- bzw. y-Koordinate. Eine komplexe Zahl z ist genau dann reell, wenn der
Imaginärteil Im z = 0 ist.
2.) Geometrisch ist das komplex Konjugieren eine Spiegelung an der x-Achse.
Insbesondere ist eine komplexe Zahl z genau dann reell, wenn z = z .
3.) Es gilt offenbar z · ¯z = |z| 2 (Nachrechnen!).
4.) Der Betrag |z| gibt den Abstand von z ∈ C vom Nullpunkt an (Satz des Pythagoras).
5.) Allgemeiner ist |z 2 − z 1 | der Abstand zwischen den komplexen Zahlen z 1 und z 2 .
6.) Ist z ∈ C eine reelle Zahl, so stimmt die Definition des Betrags aus § 8 mit der hier
gegeben überein. Es ist ja z = a + 0i, also |z| = √ a 2 = |a|.
7.) Sei x 2 + px + q eine Polynom mit nicht-reeller Nullstelle α, dann ist ᾱ die andere
Nullstelle. Komplexe Nullstellen treten also in Paaren komplex Konjugierter auf.
Das komplex Konjugierte hat eine wichtige Eigenschaft, die wir schon in § 5 kennengelernt
haben.
6

(9.5) Für alle z, w ∈ C gilt
z = z, z + w = z + w und z · w = z · w.
Beweis. Wir rechnen nur die dritte Formel nach. Dabei scheiben wir z = x + yi und
w = a + bi
z · w = (xa − yb) + (xb + ya)i = (xa − yb) − (xb + ya)i
= (x − yi)(a − bi) = z · w.
(9.6) Bemerkung. Der Satz besagt, dass komplexes Konjugieren ein Homomorphismus
bezüglich der Addition und der Multiplikation ist. Außerdem ist es eine bijektive
Abbildung. Welches ist die inverse Abbildung?
Man spricht von einem Automorphismus des Körpers. Diese Abbildung erhält nämlich
die Struktur von C.
Homomorphismen (also „Strukturerhaltende“ Abbildungen) sind uns im letzten Semester
schon öfter begegnet, und sie werden uns auch in Zukunft immer wieder begegnen, z. B.
auch im folgenden Satz — an welcher Stelle?
Wir notieren wichtige Eigenschaften des absoluten Betrags für komplexe Zahlen. Es sind
dieselben Eigenschaften, die wir für reelle Zahlen in (8.4) kennengelernt haben.
(9.7) Für alle z 1 , z 2 ∈ C gilt:
(1) |z 1 | ≥ 0; |z 1 | = 0 gilt genau dann, wenn z 1 = 0.
(2) |z 1 z 2 | = |z 1 | |z 2 |
∣ (3)
z 1 ∣∣∣
∣ = |z 1|
(z 2 ≠ 0)
z 2 |z 2 |
(4) |z 1 + z 2 | ≤ |z 1 | + |z 2 | (Dreiecksungleichung)
(5) |z 1 − z 2 | ≥ |z 1 | − |z 2 |.
Beweis. (1) ist klar.
(2) Mit (9.4.3) rechnet man
|z 1 z 2 | = √ z 1 z 2 z 1 z 2 =
√
z 1 z }{{} 1 · z 2 z }{{} 2
∈R ≥0
∈R ≥0 !
(3) und (5) wie im Beweis zu (5.24) und (8.4).
= √ z 1 z 1
√
z2 z 2 = |z 1 | |z 2 | .
(4) soll hier nicht ausgeführt werden.
7

(9.8) Bemerkung. 1.) Der Name Dreiecksungleichung hat einen geometrischen Hintergrund.
In einem Dreieck ist die Summe der Längen zweier Seiten immer mindestens
so groß wie die Länge der dritten Seite. Daher findet man die Dreiecksungleichung
auch in der Gestalt
|z 1 − z 3 | ≤ |z 1 − z 2 | + |z 2 − z 3 | für alle z 1 , z 2 , z 3 ∈ C.
2.) Die Aussagen (1) – (3) kann man auch so ausdrücken:
Die Abbildung C → R ≥0 ; z ↦→ |z| ist ein Homomorphismus.
Wie wir wissen, sind Q und R angeordnete Körper. Dies gilt für C nicht:
(9.9) Es gibt keine Ordnungsrelation auf C, die die Monotoniegesetze erfüllt.
Beweis. Angenommen, ≤ ist eine Ordnungsrelation auf C, die die Montoniegesetze
erfüllt. Aus (8.3.3) folgt 0 < i 2 = −1. Da aber nach (6.3.4) auch 0 < 1 gilt, folgt
0 + 0 < (−1) + 1 = 0 — ein Widerspruch.
Polarkoordinaten
Wir haben gesehen, dass wir die komplexen Zahlen als Punkte der Anschauungsebene
auffassen können. Carl Friedrich Gauß (1777–1855) war der erste, der diese Interpretation
benutzt hat, daher spricht man von der Gaußschen Zahlenebene.
Weil i die Einheitsstrecke auf der imaginären Achse (d. i. die y-Achse) definiert, wird
i auch imaginäre Einheit genannt. Die x-Achse heißt dann auch reelle Achse.
Das nächste Ziel ist eine geometrische Deutung der Multiplikation komplexer Zahlen.
Beispiel. Wir betrachten die Abbildung δ : C → C; z ↦→ iz . Es stellt sich heraus, dass
δ eine Drehung um 90 ◦ um den Ursprung ist.
Es sei z = a + ib ≠ 0 eine komplexe Zahl, r = |z| sei der Betrag von z , d. h. der
Abstand von z zum Koordinatenursprung. Mit ϕ bezeichnen wir den Winkel zwischen
der positiven x-Achse und dem „Vektor“ z , gemessen im mathematisch positiven Sinn,
d. h. entgegen des Uhrzeigersinns. Wir können ϕ in Grad oder im Bogenmaß angeben.
Falls Sie es nicht aus Ihrer Schulzeit wissen: Das Bogenmaß eines Winkels α ∈ [0 ◦ , 360 ◦ [
ist die Länge des zugehörigen Einheitskreisbogens.
Beispiel. Zum Winkel 90 ◦ gehört das Bogenmaß π . Welche Gradzahl gehört zu 2π?
2
Ab jetzt werden wir Winkel weitgehend im Bogenmaß angeben.
Zwischen ϕ, r, a und b besteht der Zusammenhang 1
cos ϕ = a r
und sin ϕ = b r
=⇒ z = a + ib = r cos ϕ + i r sin ϕ = r(cos ϕ + i sin ϕ)
1 Wir verzichten auf eine exakte Einführung der Winkelfunktionen und benutzen die in der Schule
übliche Definition.
8

Diese Beziehung gilt für alle a, b ∈ R (nicht beide Null).
(9.10) Beispiele. 1.) z = 4 − 3i: Es ist r = 5, cos ϕ = 4, sin ϕ = − 3 5 5
bzw. ϕ ≈ 5.637.
2.) ϕ = 3π, r = 2√ 2: Dann ist
4
a = r cos ϕ = 2 √ ( √ )
2
2 · − = −2 und
2
b = r sin ϕ = 2 √ √
2
2 ·
2 = 2
Damit ist z = −2 + 2i.
=⇒ ϕ ≈ 323◦
Definition. Man nennt das Paar (r, ϕ) die Polarkoordinaten des Punktes bzw. der
komplexen Zahl z , wenn z = r(cos ϕ + i sin ϕ).
Der Winkel ϕ wird auch das Argument von z genannt.
Man beachte, dass ϕ im Fall z = 0 beliebig ist!
Bemerkung. Koordinatenangaben durch Winkelgrößen sind beispielsweise in der Geografie
üblich, die Lage eines Ortes wird durch zwei Winkel festgelegt.
Hamburg hat z. B. die Koordinaten 9 ◦ 59 ′ östlicher Länge und 53 ◦ 33 ′ nördlicher Breite;
Berlin hat 13.4 ◦ östliche Länge und 52.5 ◦ nördliche Breite.
Da der Einheitskreis in beiden Richtungen auch mehrfach durchlaufen werden kann
(Winkel werden „modulo 2π“ gemessen), sind die Winkelfunktionen Sinus und Cosinus
für jede reelle Zahl definiert, als Bilder kommen nur Werte aus dem Intervall [−1, 1] in
Frage, also
sin : R → [−1, 1] und cos : R → [−1, 1].
y
1
-1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-1
x
9

Fragen: Welche der beiden Kurven stellt die Sinusfunktion dar? Ist sie injektiv oder
surjektiv?
Wir fassen einige (bekannte) Eigenschaften der Funktionen sin und cos zusammen, die
wir brauchen werden. Bewiesen werden sie im nächsten Semester.
(9.11) Für alle x, y ∈ R gilt
(1) sin(−x) = − sin x und cos(−x) = cos x.
(2) sin(x + y) = sin x cos y + cos x sin y und cos(x + y) = cos x cos y − sin x sin y.
Die Formeln in (2) werden Additionstheoreme für Sinus und Cosinus genannt.
Zurück zur Multiplikation komplexer Zahlen!
(9.12) Es sei z 1 = r 1 (cos ϕ 1 + i sin ϕ 1 ) und z 2 = r 2 (cos ϕ 2 + i sin ϕ 2 ). Für das Produkt
z 1 · z 2 gilt dann:
)
z 1 z 2 = r 1 r 2
(cos(ϕ 1 + ϕ 2 ) + i sin(ϕ 1 + ϕ 2 ) .
Beweis. Das folgt direkt aus den Additionstheoremen:
z 1 z 2 = r 1 (cos ϕ 1 + i sin ϕ 1 ) · r 2 (cos ϕ 2 + i sin ϕ 2 )
)
= r 1 r 2
(cos ϕ 1 cos ϕ 2 − sin ϕ 1 sin ϕ 2 + i(cos ϕ 1 sin ϕ 2 + sin ϕ 1 cos ϕ 2 )
)
= r 1 r 2
(cos(ϕ 1 + ϕ 2 ) + i sin(ϕ 1 + ϕ 2 )
Formuliert man das Ergebnis in Worten, so erhält man die
.
Geometrische Interpretation der Multiplikation komplexer Zahlen: Bei der Multiplikation
komplexer Zahlen werden die Beträge multipliziert und die Winkel addiert.
Nochmal das
Beispiel. δ : C → C ; z ↦→ iz : Ist z = r(cos ϕ + i sin ϕ), so folgt
( (
iz = r cos ϕ + π ) (
+ i sin ϕ + π ) ) .
2
2
Das ist tatsächlich eine Drehung um π 2
Frage: Wie kann man eine Drehung um π 3
um 0.
realisieren?
Wir schreiben jetzt zur Abkürzung (und als Vorgriff auf Erkenntnisse des kommenden
Semesters)
e iϕ = cos ϕ + i sin ϕ für ϕ ∈ R.
Mit z ↦→ e z ist wirklich die Exponentialfunktion gemeint, die Sie aus der Schule für
reelle Argumente kennen (sollten!). Bei richtiger Definition aller beteiligter Funktionen
lässt sich diese Eulersche Formel beweisen.
Mit dieser Bezeichnung folgt direkt aus (9.12)
10

(9.13) e i(ϕ+ψ) = e iϕ · e iψ .
Diese Formel kennen Sie für die reelle Exponentialfunktion in der Form e iϕ+iψ = e iϕ ·e iψ .
Beachten Sie, dass diese Schreibweise noch keinen Sinn macht!
Wir untersuchen jetzt wie komplex Konjugieren, Invertieren und Bilden von Potenzen
in Polarkoordinaten aussehen.
(9.14) Sei z = re iϕ ∈ C und k ∈ Z. Dann gilt
¯z = re i(−ϕ) , z −1 = r −1 e i(−ϕ) , und z k = r k e ikϕ .
Beweis. ¯z = ¯r · (cos ϕ − i sin ϕ) ! = r · (cos(−ϕ) + i sin(−ϕ)) = re i(−ϕ) mit (9.11.1).
z −1 = 1 z = 1
z¯z ¯z = 1 r 2 rei(−ϕ) = r −1 e i(−ϕ) .
Für k = 0 und k = 1 ist die Behauptung klar; k ≥ 2 folgt sie mit Induktion aus (9.12).
Es sei nun k < 0. Dann gilt mit dem bereits gezeigten
z k =
(z −1 ) −k
=
(
r −1 e i(−ϕ) ) −k
= r (−1)(−k) e i(−k(−ϕ)) = r k e ikϕ .
Mit Hilfe des letzten Satzes können wir alle komplexen Lösungen der Gleichung z n = 1
konstruieren: Man zeichne in den Einheitskreis ein regelmäßiges n–Eck mit einer Ecke
in (1, 0). Genau jede der n Ecken liefert uns eine Lösung.
Beispiel. n = 4 =⇒ z 1 = 1, z 2 = i, z 3 = −1, z 4 = −i.
Algebraisch ausgedrückt, sieht die Menge E n der Lösungen der Gleichung z n = 1 wie
folgt aus
{
}
E n = e i k n 2π ; k ∈ {0, . . . , n − 1} .
Vgl. das mit dem Beispiel.
(9.15) Bemerkung. (E n , · ) bildet eine Gruppe, die Gruppe der n-ten Einheitswurzeln.
Vgl. dazu die Übungen.
In analoger Weise können auch Gleichungen der Art z n = a + ib gelöst werden.
Aufgabe : Sei n ∈ N und z = a + ib ∈ C gegeben, gesucht sind alle z k mit z n k = a + ib.
Lösung : Wir suchen z k = r k e iϕ k mit z
n
k = r n k einϕ k = a + ib = re iϕ .
1. Alle Lösungen haben die gleiche Länge r k = n√ r.
2. Eine Lösung ist einfach anzugeben: z 0 = n√ re i 1 n ϕ .
11

3. Sämtliche Lösungen sind Ecken eines regelmäßigen n–Ecks, eingezeichnet in den Kreis
um den Ursprung mit Radius n√ r und einer Ecke in z 0 .
4. Die Lösungen sind z k = z 0 e i k n 2π = n√ re i( ϕ n +k 2π n ) für k = 0, . . . , n − 1.
(
)
Beispiel. z 3 = 2i = 2 cos π + i sin π . Gemäß 2. ist
2 2
z 0 = 3√ (
2 cos π 6 + i sin π )
= 3√ ( ) 1 √ 1
2 3 +
6 2 2 i .
Als weitere Lösungen erhält man
z 1 = 3√ 2
(cos( π 6 + 2π 3 ) + i sin(π 6 + 2π )
3 ) = 3√ (
2 − 1 )
√ 1 3 +
2 2 i
z 2 = 3√ 2
(cos( π 6 + 2 · 2π 3 ) + i sin(π 6 + 2 · 2π )
3 ) = − 3√ 2 · i
(9.16) Bemerkung. Man nennt die Gleichung (cos ϕ+i sin ϕ) m = cos(mϕ)+i sin(mϕ),
m ∈ Z auch Moivresche Formel. In unserer abkürzenden Schreibweise lautet sie
(
e
iϕ ) m
= e i(mϕ) .
Polynome
Wir befassen uns im Folgenden mit Polynomen über einem beliebigen Körper K . Sie
sollten dabei vor allem an Q, R und C denken. Die Aussagen gelten aber (im Wesentlichen)
auch z.B. für Z p mit einer Primzahl p.
Ein Polynom über dem Körper K (es darf auch ein Ring sein!) ist ein Ausdruck der
Form
n∑
f = a n x n + a n−1 x n−1 + · · · + a 1 x + a 0 = a k x k mit a k ∈ K .
Dabei wird x als Variable aufgefasst, für die man beliebige Elemente aus K (oder
auch Elemente eines K umfassenden Körpers) einsetzen kann. Die a k werden Koeffizienten
des Polynoms genannt. Sind alle Koeffizienten = 0, so spricht man vom
Nullpolynom und schreibt f = 0.
Im Fall a n ≠ 0 nennt man n den Grad von f . Wir schreiben kurz Grad(f) = n.
Der Koeffizient a n heißt dann auch Leitkoeffizient. Der Grad des Nullpolynoms wird
−∞ gesetzt. Einen Leitkoeffizienten besitzt das Nullpolynom nicht. Ein Polynom heißt
konstant, wenn der Grad 0 oder −∞ ist. Es ist dann f = a 0 und Einsetzen liefert in
jedem Fall a 0 , eben eine Konstante.
Die Menge aller Polynome über K wird mit K[x] bezeichnet.
Bemerkung. Gelegentlich benutzen wir auch andere Namen für die Variable, z.B. z
oder t. Dann schreiben wir auch K[z] oder K[t].
k=0
12

(9.17) Beispiele. 1.) f := 2x 3 + 4x 2 + x − 7 ∈ R[x] ist ein Polynom über R mit
Grad(f) = 3 und Leitkoeffizient 2. Es kann aber sogar als Polynom über Z aufgefasst
werden. Wir setzen einige Werte ein:
f(1) = . . . , f( √ 2) = . . . , f(i) = . . .
2.) g := z 2 +2(1+i)z+i ist ein Polynom über C. Es gilt Grad(f) = 2. Der Leitkoeffizient
ist 1.
3.) Sei K = Z 5 , dann ist x 3 + [3]x 2 + [2]x + [4] ein Polynom über K .
Zu einem Polynom f ∈ K[x] mit K ∈ {Z, Q, R, C} heißt jedes Element α ∈ C Nullstelle,
wenn f(α) = 0. An dieser Stelle sei betont, dass α nicht aus K stammen muss.
Beispiel (Fortsetzung von (9.17)). 1.) Man erkennt, dass 1 Nullstelle des Polynoms
f ist. Eine einfache Rechnung zeigt, dass auch − 3 √
5
2 ± i Nullstellen sind. Gibt es
2
weitere?
2.) Wir bestimmen die Nullstellen von g mit quadratischer Ergänzung:
z 2 + 2(1 + i)z + i = z 2 + 2(1 + i)z + (1 + i) 2 + i − (1 + i) 2
⇐⇒ (z + (1 + i)) 2 = i.
= (z + (1 + i)) 2 − i ! = 0
Gesucht sind also komplexe Zahlen mit w 2 = i. Dazu nutzen wir die Polarzerlegung
von i. Es gilt nämlich
i = e i π 2 =⇒ w 1 = e i π π
4 = cos
4 + i sin π √ √
2 2
4 = 2 + 2 i
√ √
w 2 = e i( π 2 2
4 +π) = −w 1 = −
2 − 2 i
Insgesamt ergeben sich die beiden Nullstellen zu
√ √ √ √
2 2 2 − 2 2 − 2
z 1 = −(1 + i) +
2 + 2 i = + i
√ √ √
2
√
2
2 2 2 + 2 2 + 2
z 2 = −(1 + i) −
2 − 2 i = − − i
2 2
3.) [1] ∈ Z 5 ist Nullstelle des Polynoms x 3 + [3]x 2 + [2]x + [4] ∈ Z 5 [x].
Bemerkung. Ähnlich wie in 2.) kann man die Nullstellen jeden quadratischen Polynoms
über C finden.
Man kann Polynome addieren und multiplizieren. Da diese Verknüpfungen mit dem
Einsetzen verträglich sein sollen, ergeben sich folgende Regeln. Es seien f = ∑ n
k=0 a kx k
13

und g = ∑ m
k=0 b kx k , dann sei
f + g :=
f · g :=
∑
max(n,m)
k=0
n+m
∑
k=0
⎛
⎝
(a k + b k )x k und
k∑
l=0
a l b k−l
⎞
⎠ x k
Diese Formeln ergeben sich durch distibutives Ausmultiplizieren und Sammeln aller Terme
mit dem gleichen Grad.
Beispiel. (a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 ) · (b 2 x 2 + b 1 x + b 0 ) = . . .
Es gilt
(9.18) Satz. (K[x], +, · ) ist ein Ring.
Der Beweis ist etwas länglich aber nicht schwer. Er kann hier der geneigten Leserin
überlassen werden. Aus der Definition ergibt sich direkt der
(9.19) Gradsatz. Für Polynom f, g ∈ K[x] gilt
Grad(f + g) ≤ max ( Grad(f), Grad(g) ) und Grad(f · g) = Grad(f) + Grad(g).
Der Leitkoeffizient von f · g ist das Produkt der Leitkoeffizienten von f und g.
Von fundamentaler Bedeutung ist (wie für Z) die
(9.20) Division mit Rest. Es seien f, g ∈ K[x] mit g ≠ 0, dann existieren eindeutig
bestimmte Polynome q, r ∈ K[x] mit f = q · g + r und Grad(r) < Grad(g).
Beweis. Existenz: Wir betrachten die Menge M := { f − h · g ; h ∈ K[x] } und wählen
daraus ein Element r ∈ M mit möglichst kleinem Grad. Es gilt dann r = f − q · g
mit q ∈ K[x]. Angenommen, k = Grad r ≥ m = Grad g ≥ 0. Es seien u k und b m die
Leitkoeffizienten von r bzw. g. Wir betrachen das Polynom
(
)
s := r − b −1
m u k x k−m · g = f − q · g − b −1
m u k x k−m · g = f − q + b −1
m u k x k−m · g ∈ M.
Nun gilt aber nach Konstruktion Grad s < k
von r.
und das ist ein Widerspruch zur Wahl
Eindeutigkeit: Es sei f = q ′ · g + r ′ mit Polynomen q ′ , r ′ aus und Grad r ′ < Grad g.
Dann gilt
q · g + r = q ′ · g + r ′ ⇐⇒ (q − q ′ ) · g = r ′ − r.
Wäre q ≠ q ′ , also q − q ′ ≠ 0, so folgte mit (9.19) Grad(r ′ − r) < Grad(g) aber
Grad((q − q ′ ) · g) = Grad(q − q ′ ) + Grad(g) ≥ Grad(g);
ein Widerspruch. Gilt aber q = q ′ , so folgt direkt r = r ′ .
14

Bemerkung. Der Beweis läuft sehr ähnlich zum Beweis von (6.3) für Z. Es gibt viele
Analogien zwischen den Ringen Z und K[x].
Ein der wichtigsten Anwendungen ist das Abspalten von Linearfaktoren. So wird das
Polynom x − α aus dem folgenden Satz genannt.
(9.21) Satz. Es sei f ∈ K[x] ein Polynom mit der Nullstelle α. Dann existiert ein
Polynom g mit f = g · (x − α). Es gilt Grad(g) = Grad(f) − 1.
Beweis. Im Fall f = 0 ist die Aussage trivial: g = 0.
Andernfalls führen wir eine Division mit Rest durch. Es existieren also Polynome g, r
mit f = g · (x − α) + r und Grad(r) < 1. Dann gilt also r = r 0 ∈ K . Weiter gilt
0 = f(α) = g(α) · (α − α) + r 0 = g(α) · 0 + r 0 = r 0 .
Das zeigt die Behauptung.
(9.22) Bemerkung. Der Beweis zeigt auch eine Methode, wir man sukzessiv Nullstellen
eines Polynoms f bestimmt.
1. Nullstelle finden
2. durch Polynomdivision Linearfaktor abspalten f = g · (x − ...)
3. weiter mit g
Das Verfahren bricht ab, weil Grad(g) < Grad(f).
Die eigentliche Schwierigkeit ist der erste Schritt! Hier helfen über R oder C in den
meisten Fällen nur Näherungsverfahren.
(9.23) Folgerung. Jedes Polynom f ≠ 0 hat höchsten Grad(f) Nullstellen.
Beweis. Induktion nach Grad(f) unter Verwendung von (9.21).
Beispiel. Wir bestimmen die Nullstellen des Polynoms x 3 − x 2 − x + 1.
(9.24) Bemerkung. 1.) Es sei f ein Polynom mit der Nullstelle α. Man sagt α sei
eine k-fache Nullstelle, k ∈ N, wenn es ein Polynom g gibt mit f = g · (x − α) k
und g(α) ≠ 0.
2.) Die Zahl k heißt die Vielfachheit der Nullstelle α. Man sagt auch, man könne den
Linearfaktor (x − α) k-mal abspalten.
Den vielleicht bedeutendsten Satz über die komplexen Zahlen werden wir leider nicht beweisen
können. Wir haben gesehen, dass alle quadratischen Polynome und alle Polynome
der Form z n − w in C Nullstellen besitzen. Es gilt der sehr viel weiter reichende
(9.25) Fundamentalsatz der Algebra. Jedes nicht konstante Polynom mit Koeffizienten
aus C hat mindestens eine Nullstelle in C.
15

Beweis. Siehe [Hen03, 4.4].
Wendet man nun (9.22) mehrfach an, so erhält man
(9.26) Folgerung. Jedes nicht konstante Polynom f ∈ C[x] besitzt eine eindeutig bestimmte
Darstellung der Form f = a n (x−α 1 )·· · ··(x−α n ), wobei a n der Leitkoeffizient
von f ist, und α k ∈ C die (evtl. mehrfach gezählte) Nullstellen von f .
Bemerkung. 1.) Man sagt auch: Jedes Polynom über C lässt sich in Linearfaktoren
zerlegen.
2.) Diese Zerlegung ist analog zur Primfaktorzerlegung für ganze Zahlen.
Der schönste Satz
Im Jahre 1990 wurde in der Zeitschrift The Mathematical Intelligencer eine Rangliste
der schönsten Sätze der Mathematik veröffentlicht. Sie ging aus einer Art Umfrage unter
Mathematikern hervor. Mit knappem Vorsprung landete auf dem ersten Platz:
e iπ = −1, häufig auch in der Form e iπ + 1 = 0
zu sehen, in der die wichtigsten Konstanten der Mathematik 0, 1, e, π, i zusammenwirken.
16

10 Lineare Gleichungssysteme
Das Lösen linearer Gleichungssysteme gehört zu den wichtigsten Grundaufgaben der
Mathematik. Wir werden uns mit einigen einfachen Lösungsverfahren befassen und daran
auch etwas Theorie entwickeln.
Zwei Beispiele
Beispiel 1
Auf die Frage nach ihrem Alter antwortet das ältere zweier Kinder
• Vor drei Jahren war ich doppelt so alt wie mein Bruder;
• In einem Jahr sind wir zusammen zwanzig Jahre alt.
Wie alt sind die Kinder?
Wir diskutieren dieses Problem in der Vorlesung.
Das Problem hat auch geometrische Interpretationen, die ebenfalls in der Vorlesung
beschrieben werden.
Die Rechnung beim Eliminationsverfahren kann man kürzer aufschreiben, indem man
die Variablen weglässt und die Koeffizienten in eine Matrix schreibt:
2 −1 3
1 1 18
2 −1 1
3 33
2 −1 1
1 11
So kann man die Lösungen ablesen. Wie?
Beispiel 2
Gesucht sind alle x = (x 1 , x 2 , x 3 ) ∈ R 3 mit
2x 1 + x 2 + x 3 = 5
4x 1 − 6x 2 = −2
−2x 1 + 7x 2 + 2x 3 = 9
In der Vorlesung diskutieren wir kurz die verschiedenen Verfahren. Hier benutzen wir
gleich die Matrizenschreibweise um Elimination durchzuführen.
2 1 1 5
4 −6 0 −2
−2 7 2 9
2 1 1 5
−8 −2 −12
8 3 14
2 1 1 5
4 1 6
1 2
Hieraus liest man ab:
x 3 = 2, 4x 2 + 2 = 6 =⇒ x 2 = 1 und 2x 1 + 1 + 2 = 5 =⇒ x 1 = 1,
sodass x = (1, 1, 2) die Lösung des Systems ist.
17

Der senkrechte Strich in der Matrix trennt die Koeffizienten des Gleichungssystems von
der rechten Seite. Man spricht daher auch von der erweiterten Koeffizientenmatrix
(erweitert um die rechte Seite). Die Koeffizienten sind die Faktoren vor den Unbekannten.
Es ergeben sich folgende
Fragen:
• Wie löst man ein lineares Gleichungssystem?
• ... und was ist das eigentlich?
• Wie sehen mögliche Lösungsmengen aus?
• Kann man das alles auch geometrisch deuten?
Das Eliminationsverfahren
Bei der Lösung haben wir elementare Zeilenumformungen benutzt.
Definition. Die Operationen
(EZ 1) Multiplikation einer Zeile mit einem Skalar ≠ 0;
(EZ 2) Addition des Vielfachen einer Zeile zu einer Anderen;
(EZ 3) Vertauschen zweier Zeilen;
auf einem linearen Gleichungssystem heißen elementare Zeilenumformungen.
Es ist ziemlich klar, dass elementare Zeilenumformungen die Lösungsmenge eines linearen
Gleichungssystems nicht ändern. Dabei ist besonders wichtig, dass jede dieser
Operationen durch eine Operation desselben Typs rückgängig gemacht werden kann.
Aus dieser Beobachtung ergibt sich ein (vorläufiges) Verfahren, um lineare Gleichungssysteme
zu lösen:
Algorithmus. 1. Wähle eine Zeile in der keine Null in der ersten Spalte steht und
vertausche diese Zeile mit der ersten.
2. Nutze (EZ 2) mit dieser Zeile, um in allen anderen Zeilen in der ersten Spalte eine
Null zu erzeugen.
3. Wiederhole mit der Matrix in der die erste Zeile und die erste Spalte ignoriert
werden, bis eine Dreiecksform hergestellt ist.
4. Lese — von unten beginnend — die Lösungen ab und setze die Werte in die
darüberliegenden Zeilen ein.
Dieses Verfahren heißt Gaußsches Eliminationsverfahren (obwohl es lange vor Gauß
bekannt war!). Der letzte Schritt wird auch Rücksubstitution genannt.
18

Das Eliminationsverfahren funktioniert nicht immer so einfach. Daher müssen wir geeignete
Modifikationen einführen. Das erfolgt auf Seite 21.
Zunächst demonstrieren wir die Schwierigkeiten, die bei unserem Verfahren auftreten
können (und wie sie zu lösen sind). Wir benutzen gleich die Form der erweiterten Koeffizientenmatrix.
Wer sich unsicher ist, schreibe bitte das lineare Gleichungssystem ausführlich
(mit Variablen) auf. Dabei dürfen rechts konkrete Werte eingesetzt werden.
(10.1) Beispiel. Wir untersuchen das folgende System für verschiedene rechte Seiten.
1 1 1
2 2 5
4 4 8
1 1 1
0 3
0 4
1 1 1
3
0
Man erkennt, dass die Lösbarkeit von der rechten Seite abhängt. In der Vorlesung werden
wir einige Fälle durchspielen (Sie können das auch selbst tun!)
Es gibt zwei Fälle: In der letzten Zeile steht rechts eine Null. Dann ist die Variable x 3
durch die zweite Gleichung festgelegt. x 2 ist frei, kann also beliebige Werte annehmen
(Parameter!). x 1 ist dann wieder festgelegt (abhängig vom Parameter).
Im anderen Fall ergibt sich ein Widerspruch — das System hat keine Lösung.
Bemerkung. Schon bei obigem Beispiel mussten wir Schritt 1 des Algorithmus modifizieren:
Mit der zweiten Spalte konnte keine Elimination durchgeführt werden; wir
benutzten statt dessen die dritte.
Nun ist es Zeit für eine formale
(10.2) Definition. Ein lineares Gleichungssystem ist ein System von Gleichungen
der Form
a 11 x 1 + a 12 x 2 + . . . + a 1n x n = b 1
a 21 x 1 + a 22 x 2 + . . . + a 2n x n = b 2
mit a ij , b i ∈ R, n, m ∈ N.
. . . . . . . . .
a m1 x 1 + a m2 x 2 + . . . + a mn x n = b m
Im Fall ∀i ∈ {1, . . . , n} : b i = 0 heißt das System homogen, sonst inhomogen. Die a ij
heißen Koeffizienten.
Eine Lösung ist ein Vektor v = (v 1 , . . . , v n ) ∈ R n , der alle Gleichungen erfüllt, wenn
man die Komponenten v i für die Variablen x i einsetzt.
(10.3) Bemerkung. 1.) Wenn es mehr als eine Lösung gibt, suchen wir meist nach der
ganzen Lösungsmenge.
2.) Die Anzahl der Gleichungen (hier m) und die Anzahl der Unbekannten (hier n)
muss nicht übereinstimmen.
19

3.) Das System wird linear genannt, weil alle Variablen x i nur zur ersten Potenz vorkommen.
Die Gleichung x + y = 3 ist linear, die Gleichung x 3 − y 2 = 0 nicht.
4.) Statt R kann man einen beliebigen Körper setzen. Wir werden das in Beispielen tun.
Um alle möglichen Abweichungen von unserem Ausgangs-Algorithmus dar zu legen,
behandeln wir noch ein
(10.4) Beispiel. Gesucht sind alle Lösungen des linearen Gleichungssystems
1 2 −1 −1 2
3 6 1 −1 5
2 4 0 −1 ?
wobei wir für das Fragezeichen später konkrete Zahlen einsetzen werden.
Durch elementare Zeilenumformungen erhalten wir
1 2 −1 −1 2
0 0 4 2 −1
0 0 2 1 ??
Der nächste Schritt (Schritt 1 bei der Elimination auf S. 18) ist durch erlaubte elementare
Zeilenumformungen nicht möglich, denn in der zweiten Spalte stehen nur Nullen.
Wir überspringen daher die zweite Spalte und machen mit der dritten weiter. So gelangen
mit weiteren elementaren Zeilenumformungen zur sogenannten Zeilenstufenform.
Genauer: Wir führen Schritt 1 mit der dritten Spalte aus. Das Ergebnis ist
1 2 −1 −1 2
0 0 4 2 −1
0 0 0 0 ???
An den Stellen x 1 und x 3 liegen Stufen vor, x 2 und x 4 sind freie Variable. Die Gleichungen
liefern keine Bedingungen für diese Variablen. Wie bereits in früheren Beispielen
geschehen, führen wir für jede freie Variable einen Parameter ein, der beliebige Werte in
R annehmen kann. Der Parameter ist frei und nicht gebunden, wir z.B. x 1 .
Wieder können zwei Fälle eintreten:
1. Fall: ??? ≠ 0: Das gegebene lineare Gleichungssystem ist nicht lösbar.
2. Fall: ??? = 0: Das lineare Gleichungssystem ist lösbar.
Speziell: Wenn wir im Beispiel ? = 7 2
setzen, erhalten wir ??? = 0. Es ist
x 4 : keine Stufe ⇒ frei wählbar, x 4 = λ 1
x 3 : Stufe ⇒ 4x 3 = −1 − 2x 4 ⇒ x 3 = − 1 − 1λ 4 2 1
x 2 : keine Stufe ⇒ frei wählbar, x 2 = λ 2
x 1 : Stufe ⇒ x 1 = 2 − 2x 2 − (−1)x 3 − (−1)x 4 ⇒ x 1 = 7 − 2λ 4 2 + 1λ 2 1
20

Die Lösungsmenge ist also
{ (7
4 − 2λ 2 + 1 2 λ 1 , λ 2 , − 1 4 − 1 )
}
2 λ 1 , λ 1 ; λ 1 , λ 2 ∈ R
=
=
{ (7 )
4 , 0 , −1 4 , 0 +
(−2λ 2 + 1 2 λ 1 , λ 2 , − 1 )
}
2 λ 1 , λ 1 ; λ 1 , λ 2 ∈ R
( )
7
4 , 0 , −1 4 , 0 + R(1 , 0 , −1 , 2) + R(−2 , 1 , 0 , 0)
In unserem Beispiel sind alle nötigen Variationen des früher beschriebenen Gaußschen
Eliminationsverfahrens enthalten.
(10.5) Bemerkung. Es ist Schritt 1 des Algorithmus auf Seite 18, der die Probleme
macht. Wie im Beispiel gesehen, kann es passieren, dass alle Einträge der Spalte Null
sind. Es müssen dann in Schritt 3 mehrere Spalten ignoriert werden, sodass statt der
Dreiecksform die Zeilenstufenform entsteht.
Eine weitere Abweichung ergibt sich in Schritt 4 durch die Einführung freier Variablen
an jeder Stelle ohne Stufe.
Wir formulieren eine modifizierte — und endgültige — Fassung des Eliminationsverfahrens.
Algorithmus. 1. Wähle von links beginnend die erste Spalte, die einen Eintrag ≠ 0
enthält. Ignoriere alle davon links stehenden Spalten.
2. Wähle eine Zeile in der keine Null in der ersten Spalte steht und vertausche diese
Zeile mit der ersten; das ist (EZ 3).
3. Nutze (EZ 2) mit dieser Zeile, um in allen anderen Zeilen in der ersten Spalte eine
Null zu erzeugen.
4. Wiederhole mit der Matrix in der die erste Zeile und die erste Spalte ignoriert
werden, bis eine Zeilenstufenform hergestellt ist.
5. Belege alle freien Variablen mit Parametern.
6. Lese — von unten beginnend — die Lösungen ab und setze die Werte in die
darüberliegenden Zeilen ein.
7. Falls eine widersprüchliche Zeile entsteht, so gibt es keine Lösung.
Andernfalls liefert jede Belegung der Parameter mit reellen Zahlen eine Lösung.
Matrizen
Wir wollen auch die oben schon verwendeten Matrizen formal definieren.
21

Definition. Seien a ij reelle Zahlen (oder Elemente eines anderen Körpers). Das Schema
⎛
⎞
a 11 a 12 · · · a 1n
a 21 a 22 · · · a 2n
⎜
⎝
.
. . ..
⎟ heißt (m × n)–Matrix.
. ⎠
a m1 a m2 · · · a mn
Die Menge aller (m × n)–Matrizen schreiben wir R m×n .
⎛
(
)
1 2 3 4
⎜
Beispiel.
ist eine (2 × 4)–Matrix, ⎝
0 1 −1 5
1
0
1
⎞
⎟
⎠ eine (3 × 1)–Matrix.
Eine (m × n) – Matrix hat m Zeilen und n Spalten, geschrieben A = (a ij ) ∈ R m×n ,
und besteht aus m · n vielen Zahlen.
Die oben erwähnte erweiterte Koeffizientenmatrix eines linearen Gleichungssystems ist
dann eine (m × (n + 1))–Matrix. Der senkrechte Strich dient nur der Orientierung.
Unter geeigneten Voraussetzungen kann man Matrizen addieren und miteinander multiplizieren.
Die Addition von Matrizen ist einfach.
(10.6) Definition. Es seien A = (a ij ), B = (b ij ) ∈ R m×n zwei m × n–Matrizen. Die
Summe ist komponentenweise erklärt
⎛
⎞
a 11 + b 11 a 12 + b 12 · · · a 1n + b 1n
a 21 + b 21 a 22 + b 22 · · · a 2n + b 2n
A + B = (a ij + b ij ) = ⎜
⎝
.
. . ..
⎟ . ⎠ .
a m1 + b m1 a m2 + b m2 · · · a mn + b mn
Beispiel.
(
1 2 3 4
0 1 −1 5
)
+
(
3 1 −1 −4
2 0 −3 7
)
= . . .
Die Matrizen (
1 2 3 4
0 1 −1 5
kann man nicht addieren. Warum?
)
und
(
3 1 −1
2 0 −3
)
(
(10.7) R m×n , + ) ist eine kommutative Gruppe.
⎛ ⎞
0 . . . 0
⎜ ⎟
Das neutrale Element ist die Nullmatrix ⎝. . . . . ⎠ für die wir oft kurz 0 schreiben.
0 . . . 0
22

Beweis. Genau wie Aufgabe 21.
Bemerkung. Es gibt viele Nullmatrizen! Je eine des Formats m × n. Trotzdem liest
man oft die Nullmatrix.
Ob man einen Vektor als Spalten- oder Zeilenvektor auffasst spielt für die Addition
keine Rolle. Das ist der Kern der folgenden Aussage.
(10.8) Es sei n ∈ N. Die Abbildungen
⎛ ⎞
x 1
R n → R n×1 ⎜ ⎟
; (x 1 , . . . , x n ) ↦→ ⎝ . ⎠ und
x n
(
)
R n → R 1×n ; (x 1 , . . . , x n ) ↦→ x 1 . . . x n
sind Isomorphismen bezüglich „ +“.
Beweis. Einfache Übung.
Für die Multiplikation betrachten wir zunächst nur einen (wichtigen) Spezialfall, der
eine direkte Anwendung auf die Darstellung linearer Gleichungssysteme hat.
⎛ ⎞
x 1
(10.9) Definition. Sei A ∈ R m×n ⎜ ⎟
, x = ⎝ . ⎠ ∈ R n×1 ( ∼ = R n ). Dann ist
x n
⎛
⎞ ⎛ ⎞ ⎛
⎞
a 11 · · · a 1n x 1 a 11 x 1 + . . . + a 1n x n
⎜
⎟ ⎜ ⎟ ⎜
⎟
A · x = ⎝ . · · · . ⎠ · ⎝ . ⎠ := ⎝ . ⎠ ∈ R m×1 ( ∼ = R m ).
a m1 · · · a mn x n a m1 x 1 + . . . + a mn x n
Matrizen und Vektoren kann man genau dann miteinander multiplizieren, wenn die
Matrix so viele Spalten wie der Vektor Zeilen hat. Die Rechenvorschrift kann man sich
gut durch die Regel „Zeile mal Spalte“ merken.
Beispiel.
⎛
⎜
⎝
(
1 0
0 −1
1 1
1 2 3
4 5 6
⎞
(
⎟
⎠
) ⎛ ⎜ ⎝
x
y
z
1
−1
)
⎞
⎟
⎠ = ,
= ,
(
⎛ ⎞ ⎛
1 0 0 0
0 1 0 0
⎜ ⎟ ⎜
⎝0 0 1 0⎠
⎝
0 0 0 1
⎛
⎜
⎝
1
−1
1
1 2 3
a
b
c
d
⎞
⎟
⎠ =
⎞
(
⎟
⎠
⎛
)
⎜
⎝
2
3
2
1
)
=
⎞
⎟
⎠ =
23

Unser lineares Gleichungssystem aus Definition (10.2) kann jetzt in der Form Ax = b
mit A ∈ R m×n , b ∈ R m×1 ∼ = R m und unbekanntem x ∈ R n×1 ∼ = R n geschrieben werden.
Im homogenen Fall hat man Ax = 0.
Zunächst interpretieren wir unsere Multiplikation geometrisch.
(10.10) Bemerkung. Die Multiplikation Matrix mal Vektor kann man in der Spaltensicht
deuten:
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
a 11
a 12
a 1n
a 21
A · x = x 1 ⎜ ⎟
⎝ . ⎠ + x a 22
2 ⎜ ⎟
⎝ . ⎠ + · · · + x a 2n
n ⎜ ⎟
⎝ . ⎠
a m1 a m2 a mn
Wir berechnen also eine Linearkombination der Spalten der Matrix. Die Koeffizienten
stehen im (Spalten-)Vektor x.
Definition (10.9) entspricht der Zeilensicht.
Wir halten wichtige Eigenschaften der Multiplikation Matrix mal Vektor fest.
(10.11) Es seien A ∈ R m×n , v, w ∈ R n×1 und λ ∈ R, dann gilt
A(v + w) = Av + Aw und A(λv) = λ(Av).
Beweis. Wir berechnen A(v + w) =
⎛
⎞ ⎛ ⎞ ⎛
⎞
a 11 · · · a 1n v 1 + w 1 a 11 (v 1 + w 1 ) + . . . + a 1n (v n + w n )
⎜
⎟ ⎜ ⎟ ⎜
⎟
= ⎝ . · · · . ⎠ · ⎝ . ⎠ = ⎝
.
⎠
a m1 · · · a mn v n + w n a m1 (v 1 + w 1 ) + . . . + a mn (v n + w n )
⎛
⎞
a 11 v 1 + a 11 w 1 + . . . + a 1n v n + a 1n w n
⎜
⎟
= ⎝
.
⎠
a m1 v 1 + a m1 w 1 + . . . + a mn v n + a mn w n
⎛
⎞ ⎛
⎞
a 11 v 1 + . . . + a 1n v n a 11 w 1 + . . . + a 1n w n
⎜
⎟ ⎜
⎟
= ⎝ . ⎠ + ⎝ . ⎠ = Av + Aw.
a m1 v 1 + . . . + a mn v n a m1 w 1 + . . . + a mn w n
Entsprechend weist man die zweite Regel nach.
Man sagt auch, die Multiplikation Matrix mal Vektor sei linear.
Wir betrachten jetzt noch zwei Beispiele, um zu sehen wie die Struktur der Lösungsmenge
eines linearen Gleichungssystems beschaffen ist.
24

( ) ( )
2 3 1
1
(10.12) Beispiele. 1.) A =
und b = führt auf
1 −2 2
0
und die Lösungmenge ist
⎧⎛
⎞ ⎛ ⎞ ⎫ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎪⎨
−8 ⎪⎬
−8
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ + λ ⎝ 3 ⎠ ; λ ∈ R = ⎝ ⎠ + R ⎝ 3 ⎠
⎪⎩
7
⎪⎭
7
2
7
1
7
0
2
7
1
7
0
2 3 1 1
7 −3 1
Dabei gilt
⎛ ⎞
A ·
⎜
⎝
2
7
1
7
0
⎜
Es ist also R ⎝
⎟
⎠ = b und A ·
⎛
−8
3
7
⎞
⎛
⎜
⎝
λ(−8)
λ3
λ7
⎞ ⎛ ⎛
⎟
⎠ = A · ⎜
⎝ λ ⎜
⎝
−8
3
7
⎞⎞
⎛ ⎛
⎟
⎠⎟
⎠ = λ ⎜
⎝ A · ⎜
⎝
⎟
⎠ Lösungsmenge des homogenen Systems Ax = 0.
−8
3
7
⎞⎞
⎟
⎠⎟
⎠ = 0.
2.) Wir greifen das Beispiel (10.4) nochmal auf.
⎛
⎞ ⎛ ⎞
1 2 −1 −1
2
⎜
⎟ ⎜ ⎟
Mit A = ⎝ 3 6 1 −1 ⎠ und b = ⎝ 5 ⎠ lautet dieses lineare Gleichungssystem
7
2 4 0 −1
2
Ax = b. Dabei ist das Fragezeichen bereits so ersetzt, dass eine Lösung existiert.
Die Lösungsmenge ergab sich in der Form
⎛ ⎞ ⎛
7
4
0
v 0 + Rw 1 + Rw 2 = ⎜
⎝ − 1 ⎟
4 ⎠ + R ⎜
⎝
0
1
0
−1
2
⎞ ⎛
⎟
⎠ + R ⎜
⎝
Wir haben v 0 und w j auch hier als Spaltenvektoren geschrieben, weil das für die anschließenden
Rechnungen nötig ist.
Wie im ersten Beispiel hat man
Av 0 = b und Aw j = 0.
Es gilt aber mehr A(λ 1 w 1 + λ 2 w 2 ) = λ 1 Aw 1 + λ 2 Aw 2 = 0 + 0 = 0. D.h. die Menge
Rw 1 + Rw 2 ist die Lösungsmenge des homogenen Systems.
Diese Beobachtung kann man verallgemeinern.
Zu einer Matrix A ∈ R m×n wird Kern A := { x ∈ R n×1 ; Ax = 0 } der Kern von A
genannt. Der Kern einer Matrix enthält immer den Nullvektor und ist deshalb niemals
leer.
Es gilt
−2
1
0
0
⎞
⎟
⎠ .
25

(10.13) Zu A ∈ R m×n und b ∈ R n×1 betrachte das lineare Gleichungssystem Ax = b.
Weiter sei v 0 eine spezielle Lösung des Systems, d.h. Av 0 = b.
Dann ist v 0 +Kern A := {v 0 + w ; w ∈ Kern A} die genaue Lösungsmenge des Systems.
Die Menge v 0 +Kern A wird manchmal auch allgemeine Lösung des Systems genannt.
Beweis. Die gesuchte Lösungsmenge sei L.
Für w ∈ Kern A gilt A(v 0 + w) = Av 0 + Aw = b + 0 = b, also v 0 + w ∈ L, bzw.
v 0 + Kern A ⊆ L.
Sei nun v ∈ L. Wir rechnen
A(v − v 0 ) = Av − Av 0 = b − b = 0 =⇒ v − v 0 ∈ Kern A =⇒ v ∈ v 0 + Kern A.
Das zeigt L ⊆ v 0 + Kern A; und die Aussage ist bewiesen.
(10.14) Bemerkung. 1.) Auch der Kern einer Matrix hat eine Struktur, mit der wir
uns im nächsten Kapitel befassen werden.
2.) Wieviele Lösungen erwarten wir von einem linearen Gleichungssystem Ax = b, wenn
A ∈ R m×n .
1. Fall n = m: In den meisten Fällen gibt es genau eine Lösung. Dann gilt auch
Kern A = {0}.
Wenn bei der Elimination eine Nullzeile (links des Strichs!) entsteht, dann gibt keine
oder unendlich viele Lösungen. Es gibt dann nämlich freie Variable. Anders ausgedrückt
Kern A ≠ {0}.
2. Fall m < n (mehr Unbekannte als Gleichungen): Es gibt immer freie Variable
(und damit Kern A ≠ {0}). Falls bei der Elimination kein Widerspruch entsteht,
dann ist die Lösungsmenge unendlich. Sonst existiert keine Lösung.
3. Fall n < m (mehr Gleichungen als Unbekannte): Es gibt nur Lösungen, für spezielle
Werte von b. Für die „meisten“ b gibt es keine Lösung.
Genauere Kriterien für alle drei Fälle sind Gegenstand der folgenden Kapitel.
3.) In der Praxis werden lineare Gleichungssysteme fast nie exakt gelöst, schon weil
beim Rechnen Rundungsfehler auftreten. Meist sind natürlich schon die Eingangsdaten
(mess-)fehlerbehaftet. Die Numerik beschäftigt sich u. a. mit dem Problem
Näherungslösungen zu finden, und dabei den Fehler zu kontrollieren. Das letzte Beispiel
dieses Kapitels soll illustrieren, dass das Problem keineswegs trivial ist.
4.) Selbstverständlich muss man auch den Rechenaufwand optimieren. Viele (aber keineswegs
alle) Verfahren basieren auf dem Gauß-Algorithmus.
26

Beispiel. Welche Lösungen besitzen die LGS
( ) ( ) ( ) (
1 1 x 2
1 1
=
,
1 1.001 y 2
1 1.001
(
1 1
1 1.001
) (
x
y
)
=
(
2
2.01
)
?
) (
x
y
)
=
(
2
2.001
)
Matrizenmultiplikation
Wir verallgemeinern die Multiplikation von Matrizen wie sie in (10.9) beschrieben ist.
Dort hatten wir die Multiplikation „Matrix mal Spalte“ definiert.
(10.15) Definition. Sei A ∈ R m×n , B ∈ R n×l . Dann setzen wir
AB = (a ij )(b ij ) = (c ij ) ∈ R m×l durch c ij :=
n∑
a iν b νj = a i1 b 1j + · · · + a in b nj
ν=1
für i = 1, . . . , m und j = 1, . . . , l. Wir sprechen von Matrizenmultiplikation.
Auch hier gilt die Merkregel Zeile mal Spalte.
Wir betrachten zunächst ein
⎛ ⎞
( )
1 2 3
⎜
−3 7 ⎟
Beispiel. Für A =
und B = ⎝−2 8⎠ sei C := AB . Es ist C ∈ R
4 5 6
2×2 .
−1 9
( )
c
Mit C = 11 c 12
gilt
c 21 c 22
c 11 = 1(−3) + 2(−2) + 3(−1) = −13 c 12 = 1 · 7 + 2 · 8 + 3 · 9 = 50
c 21 = 4(−3) + 5(−2) + 6(−1) = −28 c 22 = 4 · 7 + 5 · 8 + 6 · 9 = 122
Die Rechnung hätte man auch spaltenweise ausführen können
⎛ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎞
−3 7
C = AB = ⎜
⎝ A ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ −2 ⎠ A ⎝ 8 ⎠⎟
⎠
−1 9
wobei unsere Definition „Matrix mal Spalte“ aus (10.9) auf jede Spalte der Matrix B
angewendet wird. Die Ergebnisse bilden die Spalten der Matrix C .
(10.16) Bemerkung. 1.) Die Bildung der Produkts AB ist nur möglich, falls die Spaltenzahl
von A mit der Zeilenzahl von B übereinstimmt.
27

2.) Im Fall l = 1 ergibt sich genau die Formel aus (10.9).
3.) Wie im Beispiel kann man die Matrizenmultiplikation stets in der Spaltensicht
deuten: Die Spalten von C = AB entstehen indem man die Spalten von B jeweils
mit A multipliziert.
(10.17) Beispiele. 1.) A =
AB =
(
(
1 2
3 4
4 7
8 15
Was ist (AB)x und A(Bx), wenn x =
2.) A =
(
1 2 3
0 1 2
(
3.) A = 1 1 2
)
, B =
⎛
⎜
⎝
⎛
)
⎜
, B = ⎝
1 0
0 −1
1 1
0 1
0 0
1 0
⎞
)
)
⎞
, B =
(
0 1
2 3
und BA =
(
−1
1
)
?
⎟
⎠ =⇒ AB =
⎟
⎠ =⇒ AB =
)
(
ergibt
3 4
11 16
( )
4.) Sei B ∈ R 4×l und C ∈ R l×4 . Was ergibt
⎛ ⎞
⎛ ⎞
1 0 0 0
1 0 0 0
0 1 0 0
⎜ ⎟
⎝0 0 1 0⎠ B und C 0 1 0 0
⎜ ⎟
⎝0 0 1 0⎠ ?
0 0 0 1
0 0 0 1
)
.
, BA =
⎛
⎜
⎝
1 2 3
⎞
⎟
⎠.
( )
, BA ist nicht definiert.
Wie wir an den Beispielen sehen, ist die Multiplikation von Matrizen nicht kommutativ.
Wir formulieren einige wichtige Eigenschaften der Matrizenmultiplikation.
(10.18) Assoziativgesetz. Es seien die Matrizen A ∈ R m×r , B ∈ R r×s , C ∈ R s×n
gegeben. Dann ist A(BC) = (AB)C .
Beweis. Wir rechnen einfach drauflos:
⎛
A(BC) = (a ij ) ( (b ij )(c ij ) ) = (a ij ) ⎝
=
⎛
⎝
r∑
s∑
µ=1 ν=1
a iµ b µν c νj
⎞
⎠ =
⎛
⎜
⎝
s∑
ν=1
⎛
s∑
⎝
ν=1
b iν c νj
⎞
⎠ =
r∑
µ=1
⎛
⎜
⎝
r∑
µ=1
a iµ
⎛
⎝
⎞ ⎞
a iµ b µν
⎠ ⎟
c νj ⎠ =
⎞⎞
s∑
b µν c νj
⎠⎟
⎠
ν=1
⎛
⎝
r∑
µ=1
a iµ b µj
⎞
⎠ ( c ij
)
= ( (a ij )(b ij ) ) (c ij ) = (AB)C.
28

(10.19) Distributivegesetze. Es seien A, B ∈ R m×l und C, D ∈ R l×n , dann gilt
A(C + D) = AC + AD und (A + B)C = AC + BC
Beweis. Die erste Gleichung folgt direkt aus der Spaltensicht der Matrizenmultiplikation
und (10.11). Beide Gleichungen kann man mit Hilfe der Definition in einer höchst
langweiligen Rechnung nachprüfen.
(10.20) Bemerkung. 1.) Man kann Matrizen als anders (eigenartig?) aufgeschriebene
Vektoren auffassen. Ihr Einsatz bei linearen Gleichungssystemen und die Matrizenmultiplikation
rechtfertigt das. Die Addition funktioniert wie bei Vektoren, nämlich
komponentenweise.
2.) Somit ist (R m×n , +) ein Vektorraum.
Der Spezialfall R n×n (also m = n) ist von besonderer Bedeutung. Man spricht von
quadratischen Matrizen. Die kann man addieren und multiplizieren. In der Tat folgt
aus (10.7), (10.18) und (10.19)
(10.21) (R n×n , +, · ) ist ein Ring, aber die Multiplikation ist nicht kommutativ.
( ) ( )
0 1 1 1
(10.22) Beispiel. Was ist
= ??
0 −1 0 0
Man erkennt, dass bei der Matrizenmultiplikation Nullteiler gibt (vgl. I, Übungsblatt
8).
Die bekannte und in jedem Körper gültige Regel „ xy = 0 =⇒ x = 0 oder y = 0“ gilt
also nicht für die Matrizenmultiplikation. Wir haben das schon bei anderen Ringen, wie
z. B. Z 15 und Z 6 beobachtet.
Wie üblich wird Invertierbarkeit definiert.
Definition. Eine Matrix A ∈ R n×n heißt invertierbar, wenn es eine Matrix B ∈ R n×n
gibt mit AB = BA = I . Schreibweise: B = A −1 . Dabei ist
⎛
⎞
1 0 . . . 0
0 1 . . . 0
I = ⎜
⎝
.
. ..
⎟ . ⎠ ∈ Rn×n
0 0 . . . 1
die Einheitsmatrix.
I ist offenbar das neutrale Element der Matrizenmultiplikation.
(10.23) Die Menge GL(n, R) := { A ∈ R n×n ; A ist invertierbar } bildet mit der Matrizenmultiplikation
für jedes n ∈ N eine Gruppe.
Beweis. Übung!
29

Die Zeilensicht
Wir wenden uns jetzt der Zeilensicht der Matrizenmultiplikation zu und werden sehen,
dass es einen Zusammenhang zum Gaußschen Eliminationsverfahren gibt.
Wir betrachten zunächst nur 2 × 2-Matrizen.
( ) ( ) (
a 11 a 12 b 11 b 12 a
= 11 b 11 + a 12 b 21
a 21 a 22 b 21 b 22 a 21 b 11 + a 22 b 21
)
a 11 b 12 + a 12 b 22
a 21 b 12 + a 22 b 22
(
)
=
a 11 (b 11 b 12 ) + a 12 (b 21 b 22 )
a 21 (b 11 b 12 ) + a 22 (b 21 b 22 )
.
Man erkennt, dass die Zeilen der Matrix AB aus Linearkombinationen der Zeilen der
Matrix B bestehen, mit Koeffizienten aus der Matrix A. Das gilt ganz allgemein, also
für Matrizen beliebiger Formate sofern man sie multiplizieren kann.
Beispiel.
(
1 0
α 1
) (
)
b 11 b 12
=
b 21 b 22
(
)
b 11 b 12
.
αb 11 + b 21 αb 12 + b 22
Schließlich betrachten wir ein lineares Gleichungssystem Ax = b mit A ∈ R m×n . In den
Übungen und im obigen Beispiel haben wir schon gesehen, dass elementare Zeilenumformungen
mit Hilfe von Matrizen zu realisieren sind. Sei L ∈ R m×m so eine Matrix, dann
gilt mit (10.18)
Ax = b =⇒ L(Ax) = Lb ⇐⇒ (LA)x = Lb.
Um zu zeigen, dass der „ =⇒“-Pfeil umgekehrt werden kann, müssen wir zeigen, dass die
benutzten Matrizen invertierbar sind. Das wird in den Übungen erledigt.
Unsere Überlegungen ergeben die schon oben angekündigte Rechtfertigung für das Gaußsche
Eliminationsverfahren.
(10.24) Elementare Zeilenumformungen ändern die Lösungsmenge eines linearen Gleichungssystems
nicht, weil sie durch Linksmultiplikation mit invertierbaren Matrizen realisiert
werden können.
Wir illustrieren das nochmals an einem einfachen
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
1 1 −1
2
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
Beispiel. Es seien A = ⎝1 2 1 ⎠ und b = ⎝ 0 ⎠. Wir lösen das lineare Gleichungssystem
Ax = b und notieren die benötigten
2 1 1
1
Matrizen.
30

⎛ ⎞
1 0 0
⎜ ⎟
L 1 = ⎝−1 1 0⎠ L 1 (A|b) =
0 0 1
⎛ ⎞
1 0 0
⎜ ⎟
L 2 = ⎝ 0 1 0⎠ L 2 L 1 (A|b) =
−2 0 1
⎛ ⎞
1 0 0
⎜ ⎟
L 3 = ⎝0 1 0⎠ L 3 L 2 L 1 (A|b) =
0 1 1
1 1 −1 2
0 1 2 −2
2 1 1 1
1 1 −1 2
0 1 2 −2
0 −1 3 −3
1 1 −1 2
0 1 2 −2
0 0 5 −5
Zusammengefasst bedeutet das: Multiplikation des Systeme Ax = b mit der Matrix
⎛ ⎞
1 0 0
⎜ ⎟
L = L 3 L 2 L 1 = ⎝−1 1 0⎠
−3 1 1
von Links überführt das System in Dreiecksform. Genauer:
⎛ ⎞
⎛
⎜
1 1 −1 ⎟
⎜
LA = ⎝0 1 2 ⎠ und Lb = ⎝
0 0 5
2
−2
−5
⎞
⎟
⎠ .
An welchen Stellen haben wir hier implizit das Assoziativgesetz benutzt?
⎛ ⎞
1
⎜ ⎟
Als Lösung des Gleichungssystems ergibt sich x = ⎝ 0 ⎠.
−1
Ohne Rechnung: Warum sind L 1 und L 2 vertauschbar, nicht aber L 1 und L 3 ?
Bemerkung. Die Inverse von L 1 findet man ohne Rechnung: L 1 addiert das (−1)-
fache der ersten zur zweiten Zeile. Das wird ⎛ durch⎞Addition der ersten zur zweiten Zeile
wieder rückgängig gemacht, also L1 −1 ⎜
1 0 0 ⎟
= ⎝1 1 0⎠. Eine einfache Rechnung bestätigt
0 0 1
diese Vermutung.
31

11 Vektorräume
Schon aus der Schule kennen Sie den R 2 und seine geometrische Deutung als Menge
aller Punkte in der Ebene. Das wurde bereits im vorigen Abschnitt aufgegriffen.
Analog besitzt die Menge aller Tripel reeller Zahlen, der R 3 , eine geometrische Deutung
als Menge aller Punkte im Anschauungsraum. Dazu wird im Raum ein Punkt, der
Ursprung, ausgezeichnet. Durch diesen Punkt werden drei auf einander senkrecht stehende
Geraden A 1 , A 2 , A 3 ausgezeichnet, die Koordinatenachsen. Die Punkte jeder
Koordinatenachse werden mit reellen Zahlen identifiziert, wobei der Ursprung jeweils die
0 zugeordnet bekommt. Das Triple (A 1 , A 2 , A 3 ) heißt kartesisches Koordinatensystem.
Ein Punkt X im Raum wird jetzt orthogonal auf die drei Achsen projiziert. Die den
Projektionspunkten zugeordneten reellen Zahlen bilden die Koordinaten (x 1 , x 2 , x 3 ) des
Punktes X .
Bemerkung. Die oben beschriebene Einführung von Koordinaten im Anschauungsraum
geht auf den französischen Philosophen und Mathematiker René Descartes (1596–
1650) zurück. Sie bedeutet einen gewaltigen Fortschritt in der Entwicklung der Mathematik,
weil sie eine enge Verbindung zwischen Geometrie und Algebra herstellt.
Wie in der Ebene können auch die Punkte im Raum mit einer geometrischen Konstruktion
addiert werden, und zwar genauso wie in der Ebene, denn die beiden Punkte, die
addiert werden sollen, liegen ja zusammen mit dem Ursprung in einer Ebene. Diese
einfache Tatsache wird uns später noch beschäftigen.
Wir abstrahieren diese Ideen auf den R n , n ∈ N, obwohl es dort keine so offensichtliche
geometrische Deutung gibt. Tatsächlich kann man auch im R n Geometrie betreiben und
vieles aus zwei und drei Dimensionen übertragen. Nur die Anschaulichkeit leidet.
Inspiriert durch die geometrischen Überlegungen in R 2 und R 3 definieren wir
+ : R n × R n → R n ; (x, y) ↦→ x + y := (x 1 + y 1 , . . . , x n + y n ).
Es gilt dann nach Aufgabe 21.
(11.1) Sei n ∈ N, dann ist (R n , +) eine kommutative Gruppe.
Es sei bemerkt, dass das Studium des R n und seiner Abstraktion, des Vektorraums,
keinerwegs nur durch geometrische Anwendungen motiviert ist. Es gibt kaum einen Bereich
in der Mathematik (einschließlich Anwendungen), in dem Vektorräume keine Rolle
spielen. Hier seien nur einige Beispiele erwähnt.
• In der Physik kann man die Zeit als vierte Koordinate auffassen; in der Relativitätstheorie
muss man das sogar machen.
32

• Um Daten etwa im Internet zu übertragen, benutzt man n-Tupel aus Z n 2 mit
großen n. Hier wird besonders eine Verallgemeinerung der oben definierten Addition
gebraucht.
Ein Datenpacket im Internet kann bis zu 64 KiB haben; dann wäre n = 542 288.
• Zieht man in der Statistik eine Stichprobe vom Umfang n, so bildet das Ergebnis
ein n-Tupel.
• Auch die Mengenangaben in einem Kochrezept bilden eine Tupel mit so vielen
Komponenten, wie es Zutaten gibt.
Wir betrachten jetzt die „Potenzen“ von Elementen aus R n (vgl. dazu auch Aufgabe 16).
Sei zunächst k ∈ N und x ∈ R n . Die k-te Potenz wurde in §§ 4,5 erklärt als
Es ist also
k · x = x + x + · · · + x
(k-mal).
k · (x 1 , . . . , x n ) = (x 1 , . . . , x n ) + · · · + (x 1 , . . . , x n ) (k-mal)
= (x 1 + · · · + x 1 , . . . , x n + · · · + x n ) (jeweils k-mal)
= (kx 1 , . . . , kx n ).
Man schreibt also die „Potenzen“ als Vielfache. Da (−x 1 , . . . , −x n ) das Inverse von
(x 1 , . . . , x n ) ist benutzt man dieselbe Bezeichnung für alle k ∈ Z.
Bemerkung. Soweit gelten unsere Überlegungen für alle additiven Gruppen!
Z. B. auch für (Z m , ⊕ m ).
In gleicher Weise kann man Vielfache mit beliebigen reellen Zahlen bilden. 2 Wir definieren
eine Skalarmultiplikation
R × R n → R n ; (α, x) ↦→ α · x := (αx 1 , . . . , αx n ).
Es stellt sich heraus, dass diese Skalarmultiplikation Eigenschaften hat, wie wir sie im
Zusammenhang mit den Potenzrechengesetzen (5.18), (5.19) kennengelernt haben.
(11.2) Für alle α, β ∈ R und x, y ∈ R n gilt
α · (x + y) = α · x + α · y (1)
(α + β) · x = α · x + β · x (2)
(αβ) · x = α · (β · x) (3)
1 · x = x (4)
Beweis. Exemplarisch: (2) Neben den Definitionen für Addition und Skalarmultilpikation
benutzen wir das Distributivgesetz in R
(α + β) · x = ((α + β) · x 1 , . . . , (α + β) · x n ) = (αx 1 + βx 1 , . . . , αx 1 + βx n )
= (αx 1 , . . . , αx 1 ) + (βx 1 , . . . , βx n ) = α · x + β · x.
2 Das kann man mit Z m natürlich nicht!
33

Frage: Welches Körperaxiom braucht man für (3)?
Man beachte, dass · und + in unterschiedlichen Bedeutungen vorkommen! (Welchen?)
Definition. Sei V eine Menge mit einer binären Verknüpfung + (genannt Addition)
und einer Abbildung · : R × V → V (genannt Skalarmultiplikation).
V heißt reeller Vektorraum : ⇐⇒
(V1)
(V, +) ist kommutative Gruppe
(V2) Für die Skalarmultiplikation gelten sinngemäß die Regeln (1) bis (4) aus (11.2).
Die Aussagen (11.1) und (11.2) bedeuten also gerade, dass R n für jede natürliche Zahl
n ein reeller Vektorraum ist. Das beinhaltet die anschaulichen Fälle n = 2 oder n = 3
beschränken. Sie sollten aber nie vergessen, dass die Vektorraumdefinition viel allgemeinere
Strukturen zulässt. Deshalb wollen wir an dieser Stelle einmal einen ganz anderen
Vektorraum vorstellen.
(11.3) Beispiele. 1.) Nach Aufgabe 17 ist R[x] ein reeller Vektorraum.
2.) Wir betrachten V = R [0,1] := {f : [0, 1] → R} die Menge aller Abbildungen [0, 1] →
R. Wir definieren
f + g : x ↦→ f(x) + g(x) und α · f : x ↦→ α · f(x).
Dann ist R [0,1] ein reeller Vektorraum, dessen Elemente Funktionen sind. 3
(V1):
(V2):
(V, +) ist kommutative Gruppe:
• + ist eine binäre Verknüpfung (warum?).
• (V, +) ist assoziativ, da die Addition in R assoziativ ist: f + (g + h) = (f + g) + h;
denn für alle x ∈ [0, 1] ist
(f + (g + h))(x) = f(x) + (g + h)(x) = f(x) + (g(x) + h(x))
= (f(x) + g(x)) + h(x) = (f + g)(x) + h(x) = ((f + g) + h)(x).
• neutrales Element ist die Nullabbildung 0 ∈ V mit ∀x ∈ [0, 1] : 0(x) := 0.
• Zu f ist −f : x ↦→ −f(x) invers.
• (V, +) ist kommutativ:
(f + g)(x) = f(x) + g(x) = g(x) + f(x) = (g + f)(x) =⇒ f + g = g + f.
Es gelten die Regeln der Skalarmultiplikation:
• Für alle α ∈ R und für alle f, g ∈ V ist α · (f + g) = α · f + α · g; denn für alle
x ∈ [0, 1] ist
(α · (f + g))(x) = α · ((f + g)(x)) = α · (f(x) + g(x)) = α · f(x) + α · g(x)
= (α · f)(x) + (α · g)(x) = (α · f + α · g)(x).
3 Es sei noch einmal darauf hingewiesen, dass + und · jeweils zwei verschiedene Bedeutungen haben!
34

• Für alle α, β ∈ R und für alle f ∈ V ist (α + β) · f = α · f + β · f
• Für alle α, β ∈ R und für alle f ∈ V ist (αβ) · f = α · (β · f)
• Für alle f ∈ V ist 1 · f = f .
(11.4) Bemerkung. 1.) Die oben beschriebene Addition und Skalarmultiplikation von
Funktionen kennen Sie aus der Schule, etwa
• Die Polynomfunktion x ↦→ x 3 + √ 6x ist Summe aus den Funktionen x ↦→ x 3
und x ↦→ √ 6x. Die letztere entsteht aus der Funktion x ↦→ x durch Skalarmultiplikation
mit √ 6.
• Alle Polynomfunktionen kann man so als „Linearkombination“ von Potenzfunktionen
darstellen.
• x ↦→ 1 2 cos x + 1 2√
3 sin x.
2.) Die Wahl des Definitionsbereichs [0, 1] ist willkürlich. Alles oben Gesagte gilt für
beliebige Definitionsbereiche D. Aber Vorsicht, die Mengen R D sind alle verschieden.
So ist etwa x ↦→ 1 x in R]0,1] , nicht aber in R [0,1] .
3.) Übrigens, auch den R n kann man wie in 2.) deuten, nämlich R {1,...,n} .
4.) Reelle Vektorräume sind spezielle Vektorräume. Ersetzt man in der Definition R
durch einen anderen Körper K , spricht man von einem Vektorraum über dem Körper
K ; häufig als Vektorraum (V, K) angesprochen.
5.) Wir schreiben 0 für die neutralen Elemente von (V, +) und von (K, +). Das wird
in fast allen Büchern so gemacht und darf als Standard gelten. Mit etwas Vorsicht
sind Verwechslungen ausgeschlossen.
Wie bei anderen Strukturen, leitet man auch hier einige wichtige Eigenschaften direkt
aus den Axiomen ab.
(11.5) Sei (V, K) ein Vektorraum. Dann gelten für alle x ∈ V und α ∈ K
(1) 0 · x = 0
(2) α · 0 = 0
(3) α · x = 0 =⇒ α = 0 oder x = 0.
(4) (−1) · x = −x.
Beweis. Wir benutzen die Kürzregel (5.13) aus der Gruppentheorie:
(1) 0 · x + 0 = 0 · x = (0 + 0) · x = 0 · x + 0 · x =⇒ 0 = 0 · x.
(2) α · 0 + 0 = α · 0 = α · (0 + 0) = α · 0 + α · 0 =⇒ 0 = α · 0.
(3) Im Fall α ≠ 0 schließt man α · x = 0 =⇒ α −1 · (α · x) = α −1 · 0 = 0. Andererseits
gilt α −1 · (α · x) = x, also x = 0.
(4) Übung.
35

Bezeichnet man sinnvollerweise die Elemente eines Vektorraumes als Vektoren, folgt
für den R 2 , dass jedes Zahlenpaar ein Vektor ist. Eventuell ist man es von der Schule
gewohnt, „Pfeile“ im R 2 als Vektoren aufzufassen. Für uns sind diese Pfeile freie Vektoren,
festgelegt durch Anfangs- und Endpunkt. Jeder freie Vektor lässt sich als Differenz
zweier Vektoren (Endpunkt minus Anfangspunkt oder Spitze minus Schaft) schreiben.
Jeder Vektor ist ein freier Vektor mit Anfangspunkt (0, 0), manchmal spricht man dann
auch von einem Ortsvektor.
Mathematisch gesehen besteht kein Unterschied zwischen Punkten, Orts- und freien
Vektoren. Vielmehr verbergen sich hinter diesen Bezeichnungen bestimmte Deutungen,
die etwa in der Physik sehr wohl relevant sein können.
Die Deutung eines Vektors als Verschiebevektor hängt mit dem Begriff der Translation
zusammen.
Definition. Sei v ∈ R n . Die Abbildung τ v : R n → R n ; x ↦→ x + v heißt Translation
oder Verschiebung um v.
Translationen werden uns in der Geometrie noch oft begegnen. Hier halten wir nur eine
wichtige Eigenschaft der Menge aller Translationen fest.
(11.6) Die Menge T (R n ) der Translationen bildet eine kommutative Gruppe, die zu
(R n , +) isomorph ist. Genauer: Die Abbildung
ist ein Isomorphismus.
τ : R n → T (R n ) ; v ↦→ τ v
Beweis. Wir betrachten v, w ∈ R n und rechnen für x ∈ R n
τ v ◦ τ w (x) = τ v (x + w) = (x + w) + v = x + (v + w) = τ v+w (x),
dabei haben wir das Assoziativ- und das Kommutativgesetz in (R n , +) benutzt. Deshalb
ist τ ein Homomorphismus.
Der Rest ist einfaches Nachrechnen.
Untervektorräume
Als Lösungsmengen homogener linearer Gleichungssysteme treten spezielle Teilmengen
des R n auf. Das sind genau die Kerne von Matrizen. Wir untersuchen die Struktur dieser
Mengen genauer. Es wird sich herausstellen, dass es sich um Vektorräume handelt.
Beispiel. Wir untersuchen im reellen Vektorraum R 2 die folgende Mengen
T 1 := { (x, y) ∈ R 2 ; x, y ∈ Z } T 2 := { (x, y) ∈ R 2 ; y = x }
T 3 := { (x, y) ∈ R 2 ; y = 1 } T 4 := { (x, y) ∈ R 2 ; x, y ≥ 0 }
T 5 := { (x, y) ∈ R 2 ; x 2 + y 2 = 1 } T 6 := R(1, −2)
Frage : Für welche i = 1, 2, 3, 4, 5, 6 ist T i selbst ein reeller Vektorraum?
36

Diese Frage werden wir in der Vorlesung beantworten und erkennen, dass nur wenige
Teilmengen eines Vektorraumes selbst Vektorräume sind. Ist dies der Fall, spricht man
von einem Untervektorraum.
Definition. Eine Teilmenge U eines Vektorraumes heißt Untervektorraum, wenn U
selbst ein Vektorraum ist.
(11.7) Beispiele. 1.) T 2 und T 6 sind Untervektorräume von R 2 , anschaulich handelt
es sich um Geraden durch (0, 0).
2.) { (x 1 , x 2 , x 3 , 0) ; x i ∈ R } ist Untervektorraum von R 4 .
3.) {0}, wobei mit 0 der Nullvektor gemeint ist, und V sind stets Untervektorräume
von V . Man nennt sie auch die trivialen Untervektorräume.
4.) { (x 1 , . . . , x 8 ) ∈ Z 8 2 ; x 1 + · · · + x 8 ≡ 0 mod 2 } ist eine Untervektorraum von Z 8 2 , ein
sogenannter Paritätskontroll-Code.
Will man überprüfen, ob eine Teilmenge U eines Vektorraums V ein Untervektorraum
ist, muss man nicht alle Vektorraumaxiome nachweisen. Dafür sorgt
(11.8) Sei V ein Vektorraum. U ⊆ V ist (Unter)vektorraum von V genau dann, wenn
für alle x, y ∈ U und alle α ∈ K gilt
(U1)
(U2)
U ≠ ∅
x + y ∈ U
(U3) α · x ∈ U .
Vor dem Beweis wollen wir kurz etwas zur Bedeutung dieses Satzes sagen. Nicht beide
Richtungen des „genau dann, wenn“ sind mathematisch gleich wichtig. Während die
Aussage „ =⇒“ ziemlich uninteressant ist, bedeutet die Kenntnis von „ ⇐=“ große Arbeitserleichterung:
Um eine nicht leere Teilmenge eines Vektorraumes als Untervektorraum
zu erkennen, genügt der Nachweis der Abgeschlossenheit bezüglich der Addition
und der Skalarmultiplikation in dieser Teilmenge.
Beweis. „ =⇒“: Aus den Voraussetzungen U Vektorraum und U ⊆ V sind die Eigenschaften
(U1) – (U3) nachzuweisen. Dies ist einfach, denn (U1) und (U2) sind direkte
Konsequenzen aus der Vorgabe (U, +) abelsche Gruppe, während (U3) gilt, weil „ ·“ eine
Skalarmultiplikation auf U ist.
„ ⇐=“: Hier ist aus den Voraussetzungen „ V Vektorraum, U ⊆ V und (U1) – (U3)“ der
Nachweis zu führen, dass U Vektorraum ist.
Zur Skalarmultiplikation: Wegen (U3) ist die auf V gegebene Skalarmultiplikation auch
auf U abgeschlossen. Die Bedingungen (1) – (4) sind für · : K × U → U erfüllt, da sie
sogar für jeden Vektor aus V gelten.
Zur abelschen Gruppe (U, +): Die Bedingung (U2) stellt sicher, dass U abgeschlossen
ist. Assoziativität gilt schon in V . Wegen (U1) gibt es x ∈ U , also ist auch 0 = 0·x ∈ U ;
37

und U enthält das neutrale Element. Wegen (U3) ist mit u auch (−1) · u ∈ U . Aus
(11.5) wissen wir (−1) · u = −u.
(11.9) Bemerkung. Eben haben wir gesehen, dass der Nullvektor in jedem Untervektorraum
enthalten sein muss. Gehört umgekehrt der Nullvektor nicht zu einer Teilmenge
eines Vektorraumes, so liegt garantiert kein Untervektorraum vor!
Zwei besonders wichtige Beispiele.
(11.10) Es sei n ∈ N.
(1) Für alle u ∈ R n ist Ru ein Untervektorraum von R n .
(2) Es sei A ∈ R m×n , m ∈ N, dann ist Kern A ein Untervektorraum von R n .
Beweis. Wir prüfen die Bedingungen (U1) – (U3) aus (11.8).
(1) (U1): Ru ≠ ∅, beispielsweise ist u = 1 · u ∈ Ru;
(U2): x ∈ Ru und y ∈ Ru =⇒ x = αu, y = βu =⇒ x+y = αu+βu = (α+β)u ∈ Ru;
(U3): α ∈ R und x ∈ Ru =⇒ α · x = α · (β · u) = (αβ)u ∈ Ru.
(2) folgt aus (10.11).
Bemerkung. Im Fall u = 0 ist der Untervektorraum Ru = {0} trivial. Andernfalls ist
er nicht trivial.
Anschaulich ist folgende Aussage klar. Sie spielt bei der Beschreibung von Geraden eine
Rolle.
(11.11) Seien v, w ∈ R n \ {0}, dann gilt Rv = Rw ⇐⇒ v ∈ Rw.
Beweis. „ =⇒“ ist klar, denn v ∈ Rv.
„ ⇐=“: v ∈ Rw bedeutet v = λw für ein λ ∈ R \ {0} (da v ≠ 0). Für α ∈ R gilt
αv = αλw ∈ Rw, d. h. Rv ⊆ Rw. Schließlich ist w = λ −1 v ∈ Rv; und es folgt analog
Rw ⊆ Rv.
Aus (10.13) und (11.10.2) ergibt sich, dass die Lösungsmengen von linearen Gleichungssystemen
die Form w + U haben, mit einem Untervektorraum U . Auch Geraden im
R n haben eine solche Struktur. Man kann sie verstehen als „verschobene Untervektorräume“.
In der Tat gilt v + U = τ v (U), d.h. die Translation τ v wird auf die Menge U
angewendet.
Wann sind solche Mengen gleich?
(11.12) Für v, w ∈ R n und jeden Untervektroraum U sind äquivalent
(I) v + U = w + U
(II) v + U ∩ w + U ≠ ∅
38

(III) v ∈ w + U
(IV) v − w ∈ U
Beweis. Es gilt v = v + 0 ∈ v + U . „(I) =⇒ (III)“ und „(III) =⇒ (II)“ sind damit klar.
(II) =⇒ (IV): Es sei v + u 1 = w + u 2 ∈ v + U ∩ w + U . Dann gilt v − w = u 2 − u 1 ∈ U .
(IV) =⇒ (I): Es seien v − w = u 1 ∈ U und v + u 2 ∈ v + U . Es gilt dann
v + u 2 = −u 1 + v + u 2 + u 1 = w − v + v + u 1 + u 2 = w + (u 1 + u 2 ) ∈ w + U.
Das zeigt v + U ⊆ w + U . Aus (IV) folgt weiter w − v = (−1)(v − w) ∈ U ; und daher
analog w + U ⊆ v + U .
Die Mengen v+U mit einem Untervektorraumes U nennt man auch eine Nebenklasse
des Untervektorraumes U . Sie entsteht, wenn man die Translation τ v auf die Menge U
anwendet.
Ausdrücke der Form αu + βv, auch mit mehr als zwei Summanden, sind uns schon
begegnet und werden uns noch häufig begegnen. Wir machen eine formale
Definition. Seien (V, K) ein Vektorraum, v 1 , . . . , v n ∈ V und α 1 , . . . , α n ∈ K , dann
heißt der Vektor
n∑
v = α 1 v 1 + α 2 v 2 + · · · + α n v n = α i v i
Linearkombination der Vektoren v i mit Koeffizienten α i .
Direkt aus (11.8) folgt
(11.13) Es sei U ein Untervektorraum des Vektorraums (V, K). Dann sind mit v 1 , . . . , v n ∈
U auch alle Linearkombinationen dieser Vektoren in U .
i=1
Geraden im R n
Wie schon mehrfach angedeutet, fassen wir die Elemente des R n als Punkte auf und
bezeichnen sie mit großen Buchstaben, beispielsweise A = (a 1 , . . . , a n ), B, P, X ∈ R n .
Mit A + B ist die übliche Addition im Vektorraum gemeint.
Aus (11.10) wissen wir, dass die Mengen Rv mit v ∈ R n \ {0} Untervektorräume sind.
Diese lassen sich als Geraden durch O := (0, . . . , 0) interpretieren.
Jetzt wollen wir Geraden „offiziell“ einführen.
(11.14) Definition. Zu zwei Vektoren v, w ∈ R n mit w ≠ 0 = (0, . . . , 0) heißt die
Menge
g = v + Rw = {v + λw ; λ ∈ R}
Gerade mit Stützvektor (oder Aufpunkt) v und Richtungsvektor w.
39

Wegen der Abhängigkeit von λ spricht man von einer Parameterdarstellung oder
Parameterform der Geraden.
Seien A, B ∈ R n verschiedene Punkte. Dann heißt die Gerade
AB := { A + λ(B − A) ∈ R n ; λ ∈ R } = A + R(B − A)
auch Verbindungsgerade der Punkte A und B .
Der Begriff Verbindungsgerade wird gerechtfertigt durch
(11.15) Seien A, B, C, D Punkte in R n mit A ≠ B und C ≠ D.
(1) A, B ∈ AB .
(2) Folgende Aussagen sind äquivalent
(I) AB = CD
(II) C, D ∈ AB
(III) R(B − A) = R(D − C) und C − A ∈ R(B − A).
Insbesondere gilt AB = BA.
(3) Es gibt genau eine Gerade, die A und B enthält, nämlich die Verbindungsgerade.
Beweis. (1) Für λ = 0 erhält man A = A + 0 · (B − A) ∈ AB ; für λ = 1 ist B =
A + 1 · (B − A) ∈ AB .
(2) (I) =⇒ (II) kommt direkt aus (1).
(II) =⇒ (III): Es gilt C = A + α(B − A) und D = A + β(B − A). Dabei ist α ≠ β ,
sonst wären C und D gleich. Durch subtrahieren der Gleichungen erhält man
D − C = (β − α)(B − A) ∈ R(B − A)
Mit (11.11) folgt R(B − A) = R(D − C). Wegen C = A + α(B − A) gilt weiter
C − A = α(B − A) ∈ R(B − A).
(III) =⇒ (I): Es gibt α, β ∈ R mit C − A = α(B − A) und D − C = β(B − A). Daraus
folgt C = A + α(B − A) ∈ AB und
D = C + β(B − A) = A + α(B − A) + β(B − A) = A + (α + β)(B − A) ∈ AB.
Mit (3) ergibt sich AB = CD.
(3) Es gelte A, B ∈ g = v+Rw, dann folgt A = v+αw und B = v+βw. Subtrahieren
führt auf B − A = (β − α)w. Mit (11.11) folgt R(B − A) = Rw und dann g = AB .
(11.16) Bemerkung. 1.) Zu gegebenem AB :
Wo liegen die Punkte mit λ = 0, 1, 2, 1 2 , −1, − 3 2 ?
2.) Warum heißt es ein und nicht der Aufpunkt bzw. Richtungsvektor?
40

3.) Wegen unserer Definition und (11.10.1) sind Geraden verschobene Untervektorräume.
Sie entstehen, wenn man eine Translation auf den Untervektorraum Rv anwendet.
Geraden sind also Nebenklassen von Untervektorräumen der Form Rv.
4.) Es sei g = v + Rw eine Gerade und u ∈ R n , dann ist auch
τ u (g) = (v + Rw) + u = (u + v) + Rw eine Gerade.
Translationen bilden also Geraden auf Geraden ab.
Geometrie der Anschauungsebene
Wir spezialisieren weiter und untersuchen nun R 2 .
Zunächst verfeinern wir (11.11)
(11.17) Es seien u = (u 1 , u 2 ) und v = (v 1 , v 2 ) aus R 2 \ {0}, dann gilt
Ru = Rv ⇐⇒ u 1 v 2 = u 2 v 1 .
Beweis. „ =⇒“: u ∈ Rv impliziert u = αv mit α ≠ 0. Daher gilt
u 1 = αv 1 und u 2 = αv 2 =⇒ u 1 v 2 = αv 1 v 2 und u 2 v 1 = αv 2 v 1 ,
also folgt die Behauptung.
„ ⇐=“: Übung!
Nun bestimmen wir die nicht-trivialen
Untervektorräume des R 2 . Sei (0, 0) ≠ u ∈ U ⊆ R 2 . Damit U Untervektorraum
sein kann, muss U alle Vielfachen von u enthalten (vgl. auch (11.13)):
Für u ∈ U gilt dann αu ∈ U für alle α ∈ R, d.h. Ru = {αu ; α ∈ R} ⊆ U .
Wie gesehen ist Ru eine Gerade durch (0, 0). Jede solche Gerade ist nach (11.10) ein
Untervektorraum.
Damit haben wir bereits alle Untervektorräume gefunden!
(11.18) Sei U ⊆ R 2 Untervektorraum. Dann ist U = {(0, 0)} oder U = Ru (Gerade
durch den Ursprung) oder U = R 2 .
Beweis. Wir müssen zeigen: Besteht U nicht nur aus einer Geraden der Gestalt Ru, so
ist U bereits der gesamte Vektorraum R 2 .
Sei also v = (v 1 , v 2 ) ∈ U, u = (u 1 , u 2 ) ∈ U , beide von Null verschieden, und v ∉ Ru.
Nach (11.17) gilt u 1 v 2 − u 2 v 1 ≠ 0
Da U ein Untervektorraum ist, der u und v enthält, gilt αu + βv ∈ U für alle α, β ∈ R
(vgl. (11.13)). Dies und u 1 v 2 − u 2 v 1 ≠ 0 nutzen wir aus, um U = R 2 zu zeigen:
41

Sei (c 1 , c 2 ) ∈ R 2 beliebig. Gesucht sind α, β ∈ R mit αu + βv = (c 1 , c 2 ). Für die
Komponenten bedeutet das αu 1 + βv 1 = c 1 und αu 2 + βv 2 = c 2 . Multipliziert man die
erste der Gleichungen mit v 2 , die zweite mit v 1 und subtrahiert, so ergibt sich
αu 1 v 2 − αu 2 v 1 = c 1 v 2 − c 2 v 1 also α = c 1v 2 − c 2 v 1
u 1 v 2 − u 2 v 1
.
Analog erhält man β = c 2u 1 − c 1 u 2
u 1 v 2 − u 2 v 1
.
Durch einfaches Nachrechnen verifiziert man
(c 1 , c 2 ) = c 1v 2 − c 2 v 1
u 1 v 2 − u 2 v 1
· (u 1 , u 2 ) + c 2u 1 − c 1 u 2
u 1 v 2 − u 2 v 1
· (v 1 , v 2 ) ∈ U.
Daher liegt jedes Element von R 2 in U , somit U = R 2 .
Außer den trivialen Untervektorräumen {(0, 0)} und R 2 sind (geometrisch gesprochen)
nur noch Geraden durch den Nullpunkt (0, 0) Untervektorräume von R 2 .
Frage: Wie sehen alle Untervektorräume von R 3 aus?
Parallelität in der Anschauungsebene. Wir wenden uns nun einem Begriff zu, der
in dieser Form nur in der Anschauungsebene definiert werden kann.
Definition. Die Geraden g und h der Anschauungsebene heißen parallel, wenn
Wir schreiben dann g ‖ h.
g = h oder g ∩ h = ∅.
Wir stellen einige einfache Tatsachen zusammen.
(11.19) Seien g = P + Rv und h = Q + Rw Geraden in R 2
(1) g ‖ h ⇐⇒ Rv = Rw
(2) g ̸ ‖ h ⇐⇒ |g ∩ h| = 1.
Beweis. (1) „ ⇐=“ folgt direkt aus (11.12).
„ =⇒“: Im Fall g = h zeigt (11.15.2)(III) die Behauptung. Wir können uns deshalb auf
den Fall g ∩ h = ∅ beschränken und müssen Rv = Rw zeigen.
Dazu gehen wir vom Gegenteil aus und zeigen, dass es dann immer einen Schnittpunkt
gibt. Es gelte also Rv ≠ Rw. Wie im Beweis von (11.18) zeigt man, dass es zu jedem
Punkt S ∈ R 2 reelle Zahlen α, β gibt mit S = αv + βw. Daher hat die Gleichung
P + λv = Q + µw immer eine Lösung; und damit g und h immer einen Schnittpunkt.
Dieser Widerspruch zeigt die Behauptung.
(2) „ ⇐=“ ist trivial.
„ =⇒“: Zwei nicht parallele Geraden haben nach Definition immer mindestens einen
Schnittpunkt. Wenn es mindestens zwei Schnittpunkte gibt, so folgt aus (11.15.2), dass
die Geraden gleich, also auch parallel sind.
42

(11.20) Bemerkung. Den geometrischen Gehalt des vorigen Satzes kann man so zusammenfassen:
Zwei verschiedene Punkte A, B besitzen eine eindeutig bestimmte Verbindungsgerade,
nämlich AB .
Mit etwas Mühe schließt man daraus (Übung):
Zu jedem Punkt P und jeder Geraden g gibt es eine eindeutig bestimmte Gerade h mit
P ∈ h und g‖h.
Dieses sind die wesentlichen Axiome für affine Ebenen, die wir im 4. Semester genauer
untersuchen werden.
Koordinatendarstellung von Geraden.
Schule mit unseren Geraden zu tun?
Was haben die Geraden y = mx + t aus der
Wir betrachten die Menge der Punkte h := { (x, mx + t) ; x ∈ R } , oder besser einen
beliebigen Punkt (x, mx+t) = (0, t)+x(1, m) von h und erkennen h = (0, t)+R(1, m).
Durch die Darstellung h : y = mx + t werden nicht alle Geraden erfasst. Welche fehlen?
Daher machen wir eine allgemeinere Betrachtung. Für a, b, c ∈ R definieren wir die
Menge
{
}
g := (x, y) ∈ R 2 ; ax + by = c .
Ist das immer eine Gerade? Nein, nicht im Fall (a, b) = (0, 0) — aber in allen anderen
Fällen. Wir betrachten einige
(11.21) Beispiele. 1.) g : 2x − y = 5: Wähle x = λ, dann haben die Punkte auf g die
Gestalt (λ, 2λ − 5) = (0, −5) + λ(1, 2). Es gilt also g = (0, −5) + R(1, 2).
2.) h : x = 2: Hier bekommt man alle Punkte der Form (2, λ), also h = (2, 0) + R(0, 1)
3.) Die Gerade l = (1, −1)(2, 2) = (1, −1)+R(1, 3) hat eine Darstellung l : 3x−y = 4.
Die Schreibweise g : ax+by = c ist eine Abkürzung für g = { (x, y) ∈ R 2 ; ax + by = c } .
Definition. Eine Beschreibung einer Geraden im R 2 in der Form g : ax + by = c mit
(a, b) ≠ (0, 0) heißt Koordinatendarstellung oder Koordinatenform der Geraden g.
Bemerkung. 1.) Die Koordinatendarstellung einer Geraden ist durch das Tripel (a, b, c)
eindeutig bestimmt, bis auf Vielfache.
In Formeln: Für die Geraden g : ax + by = c und h : ux + vy = w gilt
Beachten Sie, dass „ ⇐=“ trivial ist.
g = h ⇐⇒ ∃λ ∈ R \ {0} : (a, b, c) = λ(u, v, w).
2.) Wann liegt O auf der Geraden g : ax + by = c ? Antwort: genau dann, wenn c = 0.
43

3.) Wie kann man aus der Koordinatendarstellung den Richtungsvektor (die Steigung)
erkennen?
4.) Die Koordinatendarstellung liefert nur im R 2 Geraden, im R 3 sind es Ebenen.
5.) Andererseits ist A + Rv mit A, v ∈ R n , v ≠ 0, auch in R n stets eine Gerade.
44

12 Basen und Dimension
In diesem Kapitel werden mit „linear (un)abhängig“ und „Basis“ grundlegende Begriffe
der linearen Algebra eingeführt. Der Begriff der „Dimension“ leitet sich daraus ab. Dieser
Begriff gibt ein Maß für die „Größe“ von Vektorräumen. V sei stets ein beliebiger
Vektorraum über einem Körper K .
Die lineare Hülle
Die Menge aller Linearkombinationen einer Menge von Vektoren bilden einen Untervektorraum.
(12.1) Seien (V, K) ein Vektorraum und v 1 , . . . , v n ∈ V . Die Menge
L(v 1 , . . . , v n ) := {α 1 v 1 + α 2 v 2 + · · · + α n v n ; α 1 , . . . , α n ∈ K}
ist ein Untervektorraum von V .
Beweis. Übung!
Definition. Der Untervektorraum L(v 1 , . . . , v n ) aller Linearkombinationen wird auch
lineare Hülle der Vektoren v 1 , . . . , v n genannt.
(12.2) Beispiele. 1) L(0) = {α0 ; α ∈ R} = {0}.
2) L(v) = Rv.
3) V = R 2 : L((1, 0), (0, 1)) = { α 1 (1, 0) + α 2 (0, 1) ; α i ∈ R } = { (α 1 , α 2 ) ; . . . } = R 2 .
4) V = R 2 : L((1, 0), (2, 0)) = { α 1 (1, 0) + α 2 (2, 0) ; α i ∈ R } = R(1, 0).
5) V = R 2 : L((1, 1), (1, −1)) = { α 1 (1, 1) + α 2 (1, −1) ; α i ∈ R } = ?
6) V = R 3 : Gesucht sind U 1 = L((1, 0, 0), (0, 1, 0)); U 2 = L((1, 0, 0), (1, 2, 0)) und
U 3 = L((1, 2, 0), (2, 4, 0)).
Liegen (2, 1, 0) und/oder (1, 1, −1) in U k ?
7) Nur der Vollständigkeit halber sei erwähnt: L(∅) := {0}.
8) V = R 4 : L((1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0)) ist die x 1 -x 2 -Ebene.
9) V = C 2 : L((1, i), (i, −1)) = C(1, i)
Bemerkung. Verschiedene Vektoren können durchaus die gleiche lineare Hülle haben,
wie U 1 und U 2 in Beispiel 6) zeigen.
Beispiel 6) zeigt auch, dass die Suche nach einer Darstellung eines Vektors als Linearkombination
auf ein lineares Gleichungssystem führt. Wir betrachten das etwas genauer.
45

Gegeben seien v 1 , . . . , v r ∈ R n . Wie prüfen wir ob w ∈ L(v 1 , . . . , v r ) ? Wir müssen w
als Linearkombination darstellen, d.h. wir suchen α 1 , . . . , α r ∈ R mit
w = α 1 v 1 + · · · + α r v r .
Stellt man alle Vektoren als Spalten dar, ergibt sich
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛
⎞ ⎛
v 11
v 1r v 11 . . . v 1r
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜
⎟ ⎜
w = α 1 ⎝ . ⎠ + · · · + α r ⎝ . ⎠ = ⎝ . . ⎠ ⎝
v n1 v nr v n1 . . . v nr
⎞
α 1
⎟
. ⎠ .
α r
Es ist also ein lineares Gleichungssystem zu lösen. Die Spalten der Koeffizientenmatrix V
sind genau die Vektoren v 1 , . . . , v r , die „rechte Seite“ ist der Vektor w. Man vergleiche
das mit der Spaltensicht (10.10) der Matrizenmultiplikation.
Ist dieses Gleichungssystem nicht lösbar, dann bedeutet das w ∉ L(v 1 , . . . , v r ).
Als nächstes stellt sich die Frage ob — im Fall der Existenz — diese Darstellung eindeutig
ist. Es wird sich herausstellen, dass man nur den Nullvektor untersuchen muss. Die
Gleichung α 1 v 1 + · · · + α r v r = 0 hat immer die (triviale) Lösung α i = 0 für alle
i = 1, . . . , r. Und wir wissen ja auch, dass 0 in jeder linearen Hülle liegt.
Gibt es in L(v 1 , . . . , v r ) weitere Linearkombinationen α 1 v 1 + . . . + α r v r = 0?
⎛(
) ( ) ( ) ⎞
(12.3) Beispiele. 1.) V = R 2 , L ⎝
1 1 0
, , ⎠. Hier gilt beispielsweise
0 1 1
⎛(
2.) V = R 2 , L ⎝
1
0
(
)
0
0
,
)
(
= 1 ·
0
1
(
1
0
)
+ (−1) ·
(
1
1
)
+ 1 ·
(
) ⎞ ⎠. Die Suche nach α, β ∈ R mit
0
1
)
.
(
0
0
)
= α ·
(
1
0
)
+ β ·
(
0
1
)
=
(
α
β
)
ergibt zwingend α = β = 0.
Die Beispiele zeigen, dass mit r-Tupeln von Vektoren (v 1 , . . . , v r ) manchmal die Darstellung
des Nullvektors als Linearkombination — wie im letzten Beispiel — ausschließlich
auf triviale Weise möglich ist. Manchmal sind wie in (12.3.1) auch andere Linearkombinationen
möglich.
Diese Beobachtung gibt Anlass zu einer
(12.4) Definition. Sei (V, K) ein beliebiger Vektorraum, v 1 , . . . , v r ∈ V .
46

(1) (v 1 , . . . , v r ) heißt linear unabhängig : ⇐⇒ Für alle α 1 , α 2 , . . . , α r ∈ K gilt
α 1 v 1 + . . . + α r v r = 0 =⇒ α 1 = α 2 = . . . = α r = 0.
Man sagt auch: Der Nullvektor lässt sich nur trivial aus v 1 , . . . , v r kombinieren.
(2) (v 1 , . . . , v r ) heißt linear abhängig : ⇐⇒ (v 1 , . . . , v r ) ist nicht linear unabhängig.
Auch folgende Ausdrucksweisen für lineare (Un)abhängigkeit sind üblich: Die Vektoren
v 1 , . . . , v r sind linear (un)abhängig, {v 1 , . . . , v r } ist linear (un)abhängig, usw.
(12.5) Beispiele. 1.) Im Vektorraum R 2 ist ((1, 0), (0, 1)) linear unabhängig, während
((1, 0), (1, 1), (0, 1)) linear abhängig ist.
2.) Untersuche die lineare Abhängigkeit von
((1, 0), (2, 0)), ((1, 1, 1), (0, 1, 2)), ((0, 0), (1, 2)), und ((i, 2), (1, −2i)).
3.) v, w ∈ R n \ {0} sind linear abhängig ⇐⇒ v ∈ Rw ⇐⇒ Rv = Rw.
Siehe dazu (11.11).
Direkt aus der Definition und den Vorüberlegungen ergibt sich
(12.6) Es sei A ∈ R m×n eine Matrix. Dann ist Kern A = {0} genau dann, wenn die
Spalten von A linear unabhängig sind.
Die wichtigste Eigenschaft linear unabhängiger Systeme ist
(12.7) Seien v 1 , . . . , v r ∈ V , dann gilt (v 1 , . . . , v r ) ist linear unabhängig genau dann,
wenn jeder Vektor in L(v 1 , . . . , v r ) eindeutig als Linearkombination der v 1 , . . . , v r dargestellt
werden kann.
Beweis. „ ⇐=“ ist trivial, denn insbesondere kann ja die Null nur auf eine Weise dargestellt
werden.
„ =⇒“: Sei v ∈ L(v 1 , . . . , v r ) auf zwei Weisen dargestellt:
Subtrahieren der Gleichungen liefert
v = α 1 v 1 + · · · + α r v r
v = β 1 v 1 + · · · + β r v r
0 = (α 1 − β 1 )v 1 + · · · + (α r − β r )v r .
Weil (v 1 , . . . , v r ) linear unabhängig ist, folgt α i − β i = 0. Daher gibt es nur eine Darstellung.
47

Will man Vektoren auf lineare (Un)abhängigkeit untersuchen, muss man stets
beteiligten Vektoren im Auge behalten.
Beispiel. ((1, 0), (1, 1), (0, 1)) ist linear abhängig, obwohl je zwei Vektoren linear unabhängig
sind.
(12.8) Bemerkung. 1.) Sind Vektoren v 1 , . . . , v r linear abhängig, kann man mindestens
einen von ihnen als Linearkombination der übrigen aufschreiben; denn
∑
αi v i = 0 und oE α r ≠ 0 ergibt
v r = −αr
−1 α 1 · v 1 − . . . − αr −1 α r−1 · v r−1 .
Dies bedeutet L(v 1 , . . . , v r−1 ) = L(v 1 , . . . , v r ). Um unnötigen Schreib- und Rechenaufwand
zu vermeiden, ist man an linear unabhängigen Vektoren interessiert.
2.) Wir haben gesehen, dass der Kern einer Matrix und damit die Lösungsmenge U
eines homogenen linearen Gleichungssystems ein Untervektorraum ist. Das Gaußsche
Eliminationsverfahren liefert aber mehr: Es liefert Vektoren v 1 , . . . , v r mit U =
L(v 1 , . . . , v r ). Dabei ist r die Anzahl der freien Variablen. Und diese Vektoren sind
linear unabhängig!
Vgl. dazu die Beispiele unter (10.12) und aus den Übungen.
alle
Basen
Definition. Sei V ein beliebiger Vektorraum, v i ∈ V .
(v 1 , . . . , v r ) heißt Basis von V , wenn gilt
(B1)
(v 1 , . . . , v r ) ist linear unabhängig;
(B2) L(v 1 , . . . , v r ) = V .
(12.9) Bemerkung. 1.) Basen sind minimale Erzeugendensysteme eines Vektorraumes.
Jeder Vektor aus V liegt in der linearen Hülle einer Basis (Erzeugendensystem).
Entfernt man einen Vektor aus einer Basis, umfasst die lineare Hülle der restlichen
Vektoren nicht mehr alle Vektoren aus V (minimal). Vgl. dazu auch (12.8.1).
2.) Ist eine Basis (b 1 , . . . , b n ) gegeben, kann jeder Vektor v wegen (B2) als Linearkombination
dieser Basisvektoren geschrieben werden. Weil die Basisvektoren wegen
(B1) linear unabhängig sind, ist diese Darstellung nach (12.7) eindeutig, es gibt also
eindeutig bestimmte (α 1 , . . . , α n ) ∈ R n mit
v = α 1 b 1 + . . . + α n b n .
Die Eindeutigkeit ermöglicht den Koeffizientenvergleich.
3.) In der Physik (und auch in der Mathematik) wird die Lösung von Problemen oft
durch die Wahl eines geeigneten Koordinatensystems vereinfacht. Der Wechsel von
einem Koordinatensystem zu einem anderen mit demselben Ursprung, bedeutet den
Übergang zu einer anderen Basis!
48

4.) Falls auch der Ursprung verlegen werden soll, dann benutzt man noch eine Translation.
Die Aussage von (12.8.2) zusammen mit (10.13) über ein gegebenes lineares Gleichungssystem
kann man so zusammenfassen:
(12.10) Das Gaußsche Eliminationsverfahren liefert eine Basis der Lösungsmenge des
homogenen Systems und zugleich eine spezielle Lösung des Systems.
Die Anzahl der Basisvektoren ist die Anzahl der freien Variablen.
Besser kann man die Lösungsmenge nicht beschreiben! Insbesondere kann man bei der
Beschreibung nichts weglassen.
Anstelle von einer Basis (v 1 , . . . , v r ) spricht man auch von einer Basis {v 1 , . . . , v r } oder
man sagt, die Vektoren v 1 , . . . , v r bilden eine Basis.
Anmerkung: In dieser Vorlesung werden wir nicht auf Unterschiede eingehen, die sich
aus der Schreibweise einer Basis als geordnetes Tupel oder ungeordnete Menge ergeben
und je nach Gutdünken eine der beiden Darstellungen wählen.
(12.11) Beispiele. 1.) V = R 2 : ((1, 0), (0, 1)) und ((1, 1), (1, 2)) sind Basen, für (2, 5) ∈
R 2 gilt (2, 5) = 2 · (1, 0) + 5 · (0, 1) bzw. (2, 5) = (−1) · (1, 1) + 3 · (1, 2).
2.) ((1, 2), (1, 3), (1, 4)) ist keine Basis, denn (B1) ist verletzt.
3.) V = R 3 : ((1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)) ist eine Basis. ((1, 0, 0), (0, 0, 1)) ist keine Basis,
denn (B2) ist verletzt.
4.) V = R n mit n ∈ N: Sei e i := (0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0) mit der 1 an i–ter Stelle. Diese
besonders einfache Basis (e 1 , . . . , e n ) wird kanonische Basis genannt.
5.) In der Schule haben Sie bereits mehr oder weniger bewusst die kanonische Basis
benutzt, um Punkte der Anschauungsebene R 2 eindeutig anzugeben: P = (x, y)
bedeutet nichts anderes als P = (x, y) = x · (1, 0) + y · (0, 1) = x · e 1 + y · e 2 .
6.) Jede Basis von R 2 muss zwei Elemente haben. Für ein einzelnes v ist L(v) ≠
R 2 . Drei können nicht linear unabhängig sein, denn nach dem Beweis von (11.18),
kann man jedes Element in R 2 schon mit je zwei linear unabhängigen Vektoren
ausdrücken. Gehen Sie den Beweis nochmals durch um sich das klar zu machen.
7.) Wir betrachten die Menge R[x] aller Polynome. Diese bilden einen Untervektorraum
von R R aller Abbildungen R → R. Man erkennt, dass (1, x, x 2 , . . . , x n ) für alle
n ∈ N linear unabhängig ist. Das unendliche System (1, x, x 2 , . . . , x n , . . . ) hat die
Eigenschaften einer Basis. Insbesondere kann jedes Polynom eindeutig als (endliche)
Linearkombination dieser Element dargestellt werden.
Der folgende Satz beschäftigt sich mit der Existenz von Basen. Er gilt viel allgemeiner
als hier formuliert. Der Beweis geht aber weit über den Stoff dieser Vorlesung hinaus.
49

(12.12) Basisergänzungssatz. Sei V ein Vektorraum, {v 1 , . . . , v r }, {w 1 , . . . , w s } seien
Teilmengen von V und es gelte L(v 1 , . . . , v r , w 1 , . . . , w s ) = V . Wenn (v 1 , . . . , v r ) linear
unabhängig ist, kann (v 1 , . . . , v r ) durch Hinzufügen von Vektoren aus {w 1 , . . . , w s }
zu einer Basis von V ergänzt werden.
Beweis (Skizze). 1. Wenn L(v 1 , . . . , v r ) = V gilt, sind keine Vektoren hinzuzufügen —
auch dieser Fall ist eingeschlossen.
2. Sei L(v 1 , . . . , v r ) ≠ V = L(v 1 , . . . , v r , w 1 , . . . , w s ). Mit (12.8) erkennt man, dass
w i ∈ {w 1 , . . . , w s } \ L(v 1 , . . . , v r ) existiert, und es folgt, dass (v 1 , . . . , v r , w i ) linear
unabhängig ist (um das zu zeigen ist etwas Detailarbeit erforderlich).
3. Man überprüft, ob L(v 1 , . . . , v r , w i ) = V gilt. Wenn ja, ist man fertig, sonst führt
man 2. analog für L(v 1 , . . . , v r , w i ) ≠ V durch: ∃w j ∈ {w 1 , . . . , w s } \ {w i } so, dass
(v 1 , . . . , v r , w i , w j ) linear unabhängig ist, usw.
4. Nach spätestens s vielen Schritten ist man fertig.
(12.13) Beispiel. Im R 3 ist (v 1 , v 2 ) = ((1, 0, 0), (0, 1, 0)) linear unabhängig, und für
(w 1 , w 2 , w 3 ) = ((1, 1, 0), (0, 1, 1), (1, 1, 1)) gilt L(v 1 , v 2 , w 1 , w 2 , w 3 ) = R 3 (ohne Beweis).
Wegen L(v 1 , v 2 ) = { (α 1 , α 2 , 0) ; α i ∈ R } ≠ R 3 gibt es w i ∈ {w 1 , w 2 , w 3 } mit w i ∉
L(v 1 , v 2 ).
Wegen w 1 = v 1 + v 2 ∈ L(v 1 , v 2 ) kommt w 1 nicht in Frage, aber es ist w 2 ∉ L(v 1 , v 2 ).
Daher ist (v 1 , v 2 , w 2 ) linear unabhängig. Man kann zeigen, dass dies eine Basis von R 3
ist. Frage : Was ist mit (v 1 , v 2 , w 3 )?
Dimension
Wir haben gesehen, dass ein Vektorraum viele verschiedene Basen haben kann. Es wird
uns allerdings nicht gelingen, eine Basis des R 2 mit nur einem oder eine mit mehr als
zwei Vektoren zu finden (siehe (12.11.6)). Allgemeiner besteht jede Basis des R n aus
genau n Vektoren. Der Beweis dieser simplen Aussage ist allerdings so schwierig, dass
er in dieser Vorlesung leider nicht durchgeführt werden kann. Siehe z.B. [Beu98] oder
[Fis11].
(12.14) Satz über die Gleichmächtigkeit von Basen. In einem Vektorraum seien
(v 1 , . . . , v n ) und (w 1 , . . . , w m ) Basen. Dann gilt n = m.
Dieser Satz erlaubt es uns, eine mathematische Definition des Dimensionsbegriffs zu
geben. Machen Sie sich klar, dass das unserer intuitiven Vorstellung von Dimension
(zumindest im Anschauungsraum) entspricht.
Definition. (1) Sei (v 1 , . . . , v n ) eine Basis eines Vektorraumes (V, K). Dann heißt n
die Dimension von V , geschrieben dim V = n oder dim K V = n.
50

(2) Sei V ein Vektorraum, der für kein n ∈ N eine Basis (v 1 , . . . , v n ) besitzt. Dann
heißt V unendlich dimensional, geschrieben dim V = ∞.
(12.15) Beispiele. 1.) Für die uns vertrauten reellen Vektorräume R n gilt dim R n = n
(auch für n = 1). Das folgt aus (12.11.4).
2.) dim R[x] = ∞ nach (12.11.7). Genauso gilt dim R [0,1] = ∞.
3.) C ist ein R-Vektorraum (der Nachweis ist einfach!). Was ist dim R C? Da jede komplexe
Zahl in der Form z = a + ib mit a, b ∈ R geschrieben werden kann, ist (1, i)
eine Basis von C, also dim R C = 2.
4.) Was sind dim R R, dim Q R?
(12.16) Bemerkung. 1.) Der Nachweis der linearen (Un)abhängigkeit konkreter Vektoren
ist oft nicht einfach. In einem Fall können Sie sich allerdings jede Rechenarbeit
ersparen, nämlich wenn Sie in einem Vektorraum der Dimension n mehr als n Vektoren
auf lineare Unabhängigkeit untersuchen sollen.
2.) Im Allgemeinen ist dazu ein lineares Gleichungssystem zu lösen. Das wurde schon
an Beispielen (auch in den Übungen) durchgeführt.
3.) Wir können nun (12.10) nochmals ergänzen: Die Dimension des Kernes einer Matrix
ist die Anzahl der freien Variablen des zugehörigen linearen Gleichungssystems.
4.) Im R n ist jede linear unabhängige Menge mit n Elementen eine Basis von R n . Das
gilt auch für jedes Erzeugendensystem mit n Elementen.
5.) Interessierten Studierenden sei der Beweis des Satzes (12.14) ans Herz gelegt. Sie finden
ihn in jedem Buch über lineare Algebra. Aber Vorsicht: Die unendliche Variante
ist noch schwieriger!
6.) Welche Dimension hat {0}? In Beispiel (12.2.7) wurde festgehalten L(∅) = {0} und
∅ ist linear unabhängig (warum??). Also gilt dim{0} = 0, so wie wir es von einem
Punkt erwarten.
Um den folgenden Satz einfacher formulieren zu können machen wir eine
(12.17) Definition. Zu jeder Matrix A ∈ R m×n sei L(A) die lineare Hülle der Spalten
von A. Es ist L(A) ein Untervektorraum von R m , genannt der Spaltenraum von A.
Für lineare Gleichungssysteme haben unsere Betrachtungen folgende Konsequenzen.
(12.18) Satz. Es sei A ∈ R m×n und
(1) Für b ∈ R m existiert eine Lösung des Systems Ax = b genau dann, wenn b ∈ L(A).
(2) Äquivalent sind
(I) Das System Ax = b besitzt für alle b ∈ R m höchstens eine Lösung.
(II) Die Spalten von A sind linear unabhängig.
51

(III) Kern A = {0}.
(3) Äquivalent sind
(I) Das System Ax = b besitzt für alle b ∈ R m genau eine Lösung.
(II) m = n und die Spalten von A sind linear unabhängig.
(III) Die Spalten von A bilden eine Basis von R m .
(IV) m = n und L(A) = R m .
(V) A ist invertierbar.
Beweis. (1) ist eine Umformulierung der Spaltensicht der Matrizenmultiplikation (10.10).
(2) „(I) ⇐⇒ (II)“ folgt aus (12.6) und (10.13); „(II) ⇐⇒ (III)“ steht in (12.6).
(3) „(V) =⇒ (I)“ ist klar; „(I) ⇐⇒ (III)“ steht in (12.7) zusammen mit (1).
(III) =⇒ (II): Es gilt L(A) = R m und es gibt n Spalten. Daher folgt m = n. Nach
Definition einer Basis sind die Spalten von A linear unabhängig.
(II) =⇒ (IV): A hat m = n Spalten, die linear unabhängig sind, also ist die lineare
Hülle gleich R m . Das folgt aus (12.12) und (12.14).
Ähnlich folgt „(IV) =⇒ (III)“ durch zusammenwirken der beiden Sätze (12.12) und
(12.14). — Wie?
„(III) =⇒ (V)“ wird später behandelt.
(12.19) Bemerkung. 1.) Für eine Matrix A ∈ R m×n wird dim L(A) auch Rang der
Matrix genannt. Es ist ein bedeutendere Satz der linearen Algebra, dass der Rang
einer Matrix zugleich die Dimension der linearen Hülle der Zeilen von A ist.
Kurz:
Zeilenrang = Spaltenrang.
2.) Mit diesen Begriffen (und solchen aus dem folgenden Kapitel) kann man die Liste
der äquivalenten Aussagen unter (3) noch erweitern.
Affine Unterräume
treten als Lösungsmengen linearer Gleichungsysteme auf. Vgl. zu diesem Abschnitt
auch (11.12). Dort fiel der Begriff der Nebenklasse.
Definition. Es sei U ein Untervektorraum eines Vektorraums V , dann heißt P + U =
τ P (U) für jedes P ∈ V ein affiner Unterraum von V .
Wir setzen dim(P + U) := dim U und sprechen von der Dimension des affinen Unterraums.
Etwas plakativ gesprochen sind affine Unterräume „verschobene“ Untervektorräume.
Ist (b 1 , . . . , b n ) eine Basis von U , so gilt
P + U = P + L(b 1 , . . . , b n ) = P + Rb 1 + · · · + Rb n .
52

Man spricht daher von einer Parameterdarstellung des affinen Unterraums.
Dimension 0 1 2
Trivialname Punkt Gerade Ebene
Parameterdarstellung P = P + {0} g = P + Rb 1 E = P + Rb 1 + Rb 2
b 1 ≠ 0
Koordinatendarstellung nur in R 2 nur in R 3
b 1 , b 2 lin. unabhängig
g : ax 1 + bx 2 = c E : ax 1 + bx 2 + cx 3 = d
(a, b) ≠ (0, 0) (a, b, c) ≠ (0, 0, 0)
Koordinatendarstellung zu Parameterdarstellung: Man fasst die Gleichung als lineares
Gleichungssystem mit nur einer Gleichung auf, führt freie Variable ein und bestimmt
die Lösungsmenge.
Beispiel. E : 2x − y + 3z = 5
Parameterdarstellung zu Koordinatendarstellung:
aus g bzw. E und macht für diese Punkte den Ansatz
Man berechnet einige Punkte
ap 1 + bp 2 + cp 3 − d = 0
aq 1 + bq 2 + cq 3 − d = 0
ar 1 + br 2 + cr 3 − d = 0
und bestimmt eine Lösung (a, b, c, d) ≠ (0, 0, 0, 0) dieses linearen Gleichungsystems.
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
1 1 −1
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
Beispiel. E = ⎝ 1 ⎠ + R ⎝ 1 ⎠ + R ⎝ 0 ⎠
2 0
1
Bemerkung. Man könnte die Liste für höhere Dimensionen weiterführen. Eine Koordinatendarstellung
für einen affinen Unterraum gibt es nur, wenn die Dimension um 1
kleiner als die Dimension des umgebenden Raumes ist.
53

13 Lineare Abbildungen
Grob gesprochen sind lineare Abbildungen bei Vektorräumen dasselbe wie Homomorphismen
bei Gruppen, nämlich strukturerhaltende Abbildungen. Auch in diesem Kapitel
seien V, W endlich-dimensionale Vektorräume. Wenn nicht ausdrücklich etwas Anderes
erwähnt wird, geht es in den Beispielen um Vektorräume R n mit der kanonischen Basis
(e 1 , . . . , e n ).
Definition. f : V → W heißt lineare Abbildung oder Homomorphismus : ⇐⇒
(L1) f(x + y) = f(x) + f(y) ∀x, y ∈ V
(L2) f(αx) = αf(x) ∀α ∈ R, ∀x ∈ V
Die Menge aller linearen Abbildungen von V nach W schreibt man
Hom(V, W ) := {f : V → W ; f linear} .
Man beachte, dass in (L1) und (L2) jeweils für verschiedene Verknüpfungen das gleiche
Symbol benutzt wurde. Um die Nullvektoren der verschiedenen Vektorräume V und W
unterscheiden zu können, bezeichnen wir sie bei Bedarf mit 0 V und 0 W .
(13.1) Beispiele. 1.) V = W = R : f : x ↦→ x + 1 ist nicht linear, g : x ↦→ 5x ist
linear.
2.) V = R 2 , W = R : f : (x 1 , x 2 ) ↦→ x 1 − x 2 ist linear, g : (x 1 , x 2 ) ↦→ x 1 x 2 ist nicht
linear.
3.) V = R 3 , W = R 2 : f : (x 1 , x 2 , x 3 ) ↦→ (x 1 + x 2 , x 3 ) ist linear.
Die Aussage des Satzes (10.11) kann nun anders formuliert werden.
(13.2) Für jede Matrix A ∈ R m×n ist die Abbildung f A : R n → R m ; x ↦→ Ax linear.
Bemerkung. Der Beweis von (10.11) ist viel eleganter, wenn man die Summenschreibweise
benutzt:
n∑
Ax = y mit y i = a ij x j .
Versuchen Sie es — auch mit (L2)!
Man wird bei beliebigen linearen Abbildungen f : V → W nicht erwarten können, dass
jeder Vektor aus W ein Urbild besitzt. Wir hatten einige Beispiele im Abschnitt über
lineare Gleichungssysteme. Stets gilt aber f(0 V ) = 0 W :
j=1
f(0 V ) = f(0 · 0 V ) = 0 · f(0 V ) = 0 W .
54

Kern und Bild
Definition. Sei f ∈ Hom(V, W ). Dann heißt
Kern f := f −1 ( {0 W } ) = { v ∈ V ; f(v) = 0 W
}
Bild f := f(V ) = { f(v) ; v ∈ V } das Bild von f .
der Kern von f
Der Kern einer linearen Abbildung besteht aus allen Vektoren, die auf den Nullvektor
abgebildet werden.
{
R
(13.3) Beispiele. 1.) Was sind Bild f und Kern f von f :
2 → R 2
?
(x, y) ↦→ (x, x)
2.) Seien A ∈ R m×n und b ∈ R m×1 . Die Lösungsmenge des homogenen linearen Gleichungssystems
Ax = 0 ist genau der Kern der linearen Abbildung f A aus (13.2).
Kurz: Kern A = Kern f A .
Das lineare Gleichungssystems Ax = b hat genau dann eine Lösung, wenn b ∈
Bild f A = L(A); vgl. dazu (12.18.1).
Für jede lineare Abbildung f : V → W ist Kern f ⊆ V und Bild f ⊆ W . Es gilt sogar
(13.4) Sei f ∈ Hom(V, W ). Dann gelten
(1) Kern f ist eine Untervektorraum von V .
(2) Bild f ist eine Untervektorraum von W .
(3) f injektiv ⇐⇒ Kern f = {0 V }.
Beweis. Um (1) und (2) zu beweisen, müssen wir jeweils (U1) – (U3) überprüfen.
(1) (U1): Wir wissen bereits 0 V ∈ Kern f , also Kern f ≠ ∅.
(U2): v, w ∈ Kern f =⇒ f(v+w) = f(v)+f(w) = o W +o W = o W =⇒ v+w ∈ Kern f .
(U3): α ∈ R, v ∈ Kern f =⇒ f(αv) = αf(v) = α0 W = 0 W =⇒ αv ∈ Kern f .
(2) (U1): Wegen f(0 V ) = 0 W ∈ Bild f gilt Bild f ≠ ∅.
(U2), (U3): α ∈ R, x, y ∈ Bild f =⇒ ∃v, w ∈ V mit f(v) = x, f(w) = y =⇒
f(v + w) = f(v) + f(w) = x + y =⇒ x + y ∈ Bild f ;
f(αv) = αf(v) = αx =⇒ αx ∈ Bild f .
(3) „ =⇒“: Ist klar, da wir den wesentlichen Schritt bereits bewiesen haben (wo?).
„ ⇐=“: Seien v, w ∈ V mit f(v) = f(w)
⇐⇒
0 W = f(v) − f(w) = f(v − w) =⇒ v − w ∈ Kern f
=⇒ v − w = 0 V =⇒ v = w =⇒ f injektiv.
55

Bemerkung. Die Aussagen des letzen Satzes sind alle für Matrizen bereits bekannt;
und die Beweise verlaufen analog!
Wir stellen einen Zusammenhang zwischen den Dimensionen der Untervektorräume
Kern f und Bild f her. Aus Kern f ⊆ V folgt 0 ≤ dim Kern f ≤ dim V und aus
Bild f ⊆ W folgt 0 ≤ dim Bild f ≤ dim W .
(13.5) Beispiele. 1.) 0 :
{
V → W
v ↦→ 0 W
=⇒ dim Kern 0 = dim V, dim Bild 0 = 0.
2.) id : V → V ; v ↦→ v =⇒ dim Kern(id) = 0, dim Bild(id) = dim V .
3.) Es sei f : R 3 → R 2 ; (x, y, z) ↦→ (x+y, z). Wegen f((1, 0, 0)) = (1, 0) und f((0, 0, 1)) =
(0, 1) enthält das Bild zwei linear unabhängige Vektoren, damit ist dim Bild f = 2.
(x, y, z) ∈ Kern f ⇐⇒ f(x, y, z) = (x + y, z) = (0, 0) =⇒ x = −y, z = 0. Damit
ist
Kern f = { (x, −x, 0) ; x ∈ R } = R(1, −1, 0) = L((1, −1, 0)) =⇒ dim Kern f = 1.
In allen Beispielen gilt die
(13.6) Dimensionsformel für lineare Abbildungen. Seien V, W Vektorräume.
Für jede lineare Abbildung f : V → W gilt
dim V = dim Kern f + dim Bild f.
Beweis (Skizze). Jede Basis (v 1 , . . . , v r ) des Kerns können wir dank (12.12) zu einer
Basis von V ergänzen, sei (v 1 , . . . , v r , v r+1 , . . . , v n ) die ergänzte Basis. Für ein beliebiges
v = ∑ n
i=1 α iv i ∈ V gilt dann
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
n∑
r∑
n∑
n∑
n∑
f(v) = f ⎝ α i v i
⎠ = f ⎝ α i v i
⎠+f ⎝ α i v i
⎠ = 0 W + α i f(v i ) = α i w i
i=1
i=1
i=r+1
i=r+1
i=r+1
Dabei gilt f(v i ) = w i . Somit ist Bild f = L(w r+1 , . . . , w n ). Aus der linearen Unabhängigkeit
von (w r+1 , . . . , w n ) (Beweis für Interessierte anschließend) folgt dim Bild f =
n − r = dim V − dim Kern f .
Beh : (w r+1 , . . . , w n ) linear unabhängig
Bew : Sei β r+1 w r+1 + . . . + β n w n = 0 W . Wegen w i = f(v i ) folgt
⎛ ⎞
n∑
n∑
0 W = β i f(v i ) = f ⎝ β i v i
⎠ .
Damit gehört
n∑
i=r+1
i=r+1
i=r+1
β i v i zu Kern f = L(v 1 , . . . , v r ). Es folgt
n∑
i=r+1
⇐⇒ γ 1 v 1 + . . . + γ r v r − β r+1 v r+1 − . . . − β n v n = 0 V
∑
β i v i = r γ i v i
=⇒ γ 1 = . . . = γ r = β r+1 = . . . = β n = 0.
i=1
56

(13.7) Bemerkung. 1.) In der Dimensionsformel taucht dim W aus leicht erklärlichen
Gründen nicht explizit auf: Bei jeder linearen Abbildung f : V → W kann W durch
einen „größeren“ Vektorraum W ′ ersetzt werden, ohne dass Kern f und Bild f und
damit deren Dimensionen sich ändern.
2.) Im Fall dim W < dim V kann f nicht injektiv sein, denn dim Kern f = dim V −
dim Bild f ≥ dim V − dim W > 0.
3.) Weil die Dimension des Bildes auch Rang von f genannt wird, ist
dim V = dim Kern f + Rang f
eine andere Fassung dieser Formel, vgl. dazu (12.19).
4.) Für eine Matrix A gilt Kern A = Kern f A , L(A) = Bild f A und Rang A = Rang f A .
5.) Nach (10.13) hat die Lösungsmenge eines jeden linearen Gleichungssystems die Form
v + Kern A. Die Dimensionsformel erlaubt eine genauere Begründung für die in
Bemerkung (10.14.2) gemachten Aussagen.
Darstellung linearer Abbildungen
Beispiel. Wieviele lineare Abbildungen f : R 2 → R 3 gibt es mit
f(e 1 ) = (2, 4, 0) und f(e 2 ) = (1, 0, 2)?
Antwort : Sei (x, y) ∈ R 2 beliebig. Wegen (x, y) = xe 1 +ye 2 folgt aus den Eigenschaften
einer linearen Abbildung
f(x, y) = f(xe 1 + ye 2 ) = xf(e 1 ) + yf(e 2 ) = x(2, 4, 0) + y(1, 0, 2) = (2x + y, 4x, 2y).
Damit hat genau eine lineare Abbildung die verlangten Eigenschaften.
⎛ ⎞
2 1
( )
⎜ ⎟ x
Übrigens gilt f(x, y) = ⎝4 0⎠
.
y
0 2
Beides ist kein Zufall: Ist (b 1 , . . . , b n ) eine Basis von V und sind w 1 , . . . , w n beliebige,
nicht notwendig verschiedene Vektoren aus W , so gibt es immer genau eine lineare
Abbildung f : V → W mit f(b i ) = w i für i = 1, . . . , n.
Wir formulieren diesen Sachverhalt präzise ohne einen formalen Beweis zu geben.
(13.8) Satz. Es seien (b 1 , . . . , b n ) eine Basis von V und (w 1 , . . . , w n ) ein beliebiges
n-Tupel von Vektoren aus W . Dann existiert genau ein
nämlich
⎛ ⎞
n∑
f(v) = f ⎝ α i b i
⎠ =
f ∈ Hom(V, W ) mit f(b i ) = w i für i = 1, . . . , n,
i=1
n∑
α i f(b i ) =
i=1
n∑
α i w i ,
i=1
wenn v = ∑ n
i=1 α ib i ∈ V .
57

Entscheidend für einen Beweis ist die Tatsache, dass die Darstellung von v nach (12.7)
eindeutig ist. Deshalb ist die letzte Zeile eine Definition von f .
Feststellung. Die gesamte Information über eine lineare Abbildung ist bereits in den
Bildern der Basisvektoren enthalten!
Diese Information lässt sich zu einer Matrix zusammenfassen, wie man am Beispiel
erkennen kann. Im Spezialfall der kanonischen Basen von R n und R m ergibt sich
(13.9) Sei f : R n → R m eine lineare Abbildung, dann gilt f(x) = Ax. Dabei sind die
Spalten der Matrix A = (f(e 1 ) . . . f(e n )) ∈ R m×n durch f(e i ), i ∈ {1, . . . , n}, gegeben.
⎛ ⎞
n∑
n∑
Beweis. f(x) = f ⎝ x i e i
⎠ = x i f(e i ) = Ax.
i=1
i=1
(13.10) Bemerkung. 1.) Die Spalten der Matrix A bestehen also aus den Bild-Vektoren
der kanonischen Basisvektoren
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎛ ⎞
1
0
0
e 1 = ⎜ ⎟
⎝
0. ⎠ , e 2 = ⎜ ⎟
⎝
1. ⎠ , . . . , e n = ⎜ ⎟
⎝
0. ⎠ .
0
0
1
2.) Gemessen an der Gesamtzahl aller Abbildungen zwischen zwei Vektorräumen gibt
es relativ wenige lineare Abbildungen. Wir wollen diese Behauptung am Beispiel der
endlichen Vektorräume Z 3 2 und Z 2 2 über dem Körper Z 2 belegen:
Es gibt (Kombinatorik!) insgesamt 4 8 > 65 000 Abbildungen von Z 3 2 nach Z 2 2 . Da
man 4 · 4 · 4 = 64 Tripel (w 1 , w 2 , w 3 ) mit w i ∈ Z 2 2 bilden kann, sind nur 64 dieser
Abbildungen linear.
3.) Übrigens gilt ∣ ∣ Z
2×3 ∣ ∣ = 2 6 = 64.
(13.11) Beispiel. Wir wollen die Spiegelung s an der Geraden g = R( √ 3, 1) untersuchen.
g schließt mit der x-Achse einen Winkel von π (= 6
30◦ ) ein. Wir setzen s als eine
lineare Abbildung an, die e 1 und e 2 auf s(e 1 ) bzw. s(e 2 ) überführt. Eine elementare
geometrische Überlegung, die in der Vorlesung durchgeführt wird, liefert die Matrix
( )
1 1
√2
2√
3
3 −
1 .
Versuchen Sie den einfachen Nachweis der folgenden Aussage!
1
2
(13.12) Die Verkettung linearer Abbildungen ergibt stets wieder eine lineare Abbildung.
Formal:
2
f ∈ Hom(V, W ), g ∈ Hom(W, X) =⇒ g ◦ f ∈ Hom(V, X).
58

Sind lineare Abbildungen durch Matrizen dargestellt, dann hat man
(13.13) Es seien A ∈ R m×l und B ∈ R l×n , dann sind f A : R l → R m , f B : R n → R l
und f A ◦ f B : R n → R m lineare Abbildungen. Weiter gilt
f A ◦ f B = f AB .
Beweis. Die erste Aussage folgt aus (13.12). Für v ∈ R n gilt
f A ◦ f B (x) = f A (Bx) = A(Bx) ! = (AB)x = f AB (x),
wegen des Assoziativgesetzes für die Matrizenmultiplikation (10.18).
Erkennen Sie, dass da ein Homomorphismus im Spiel ist?
Als weitere Anwendung vervollständigen wir den Beweis von (12.18.3). In der Tat ergibt
sich die zurückgestellte Aussage „(III) =⇒ (V)“ aus dem folgenden Satz.
(13.14) Satz. Es sei A ∈ R m×n so, dass die Spalten von A eine Basis von R m bilden.
Dann gilt m = n und A ist invertierbar.
Beweis. Die erste Aussage ist klar. Für die lineare Abbildung
f A sind b 1 := f A (e 1 ), . . . , b m := f A (e m )
genau die Spalten von A und diese bilden eine Basis von R m . Nach (13.8) existiert genau
ein g ∈ Hom(R m , R m ) mit g(b i ) = e i für alle i = 1, . . . , m.
Für jedes i = 1, . . . , m gilt
g ◦ f A (e i ) = g(b i ) = e i =⇒ g ◦ f A = id
f A ◦ g(b i ) = f A (e i ) = b i =⇒ f A ◦ g = id .
Die „ =⇒“-Pfeile ergeben sich aus der Eindeutigkeitsaussage von (13.8), denn id hat die
jeweilige Eigenschaft. Das zeigt g = f −1
A
, und f A ist invertierbar.
Nach (13.9) gibt es eine Matrix B = (g(e 1 ) . . . g(e m )) ∈ R m×m mit g = f B . Nun zeigt
(13.13)
f I = id = f A ◦ f B = f AB und f I = id = f B ◦ f A = f BA
und abermals aus (13.9) folgt AB = BA = I .
Lineare Abbildungen in der Geometrie
Lineare Abbildungen führen Geraden auf Geraden über und sind daher interessant für
die Geometrie. Auch Translationen haben diese Eigenschaft, sind aber nicht linear. Wir
beschränken uns auf lineare Abbildungen. Das hat insbesondere zur Folge, dass der
Nullpunkt festgelassen wird. Geometrisch gibt es keinen Grund das zu tun.
Bei den folgenden Beispielen unterstellen wir stets, dass die gesuchten Abbildungen linear
sind.
59

(13.15) Beispiele. 1.) Die Drehung δ um π wird beschrieben durch δ(e 2 1) = e 2 und
δ(e 2 ) = −e 1 , es gilt also δ(x, y) = (−y, x). Die Matrixdarstellung lautet
( )
D π = 0 −1
2 1 0
2.) Sei γ die Drehung um 45 ◦ . Gesucht ist γ
benötigen die Bilder der Basisvektoren.
γ(e 1 ) = αe 1 + βe 2 mit α = β und α 2 + β 2 = 1.
( )
α
Es folgt γ(e 1 ) = mit α = √ 2
α
. 2
(
x
y
)
und die darstellende Matrix. Wir
γ(e 2 ) und damit γ werden in den Übungen bestimmt.
3.) Für die Spiegelung σ an der Geraden g : y = −x gilt
( ) (
0 −1
σ(x, y) = xσ(e 1 ) + yσ(e 2 ) = x(−e 2 ) + y(−e 1 ) = (−y, −x) =
−1 0
x
y
)
4.) Gesucht ist δ ◦ σ mit δ aus 1.) und σ aus 3). Die lineare Abbildung δ ◦ σ ist
beschrieben durch ( ) ( )
0 −1 0 −1
= . . .
1 0 −1 0
Es handelt sich um eine Spiegelung an der x–Achse.
5.) Wie lautet h(x, y), wenn h eine zentrische Streckung um (0, 0) mit Streckungsfaktor
2 ist? Wie sieht die Matrix-Darstellung aus?
6.) Was passiert mit einem Fußballspieler, der im Koordinatenursprung steht, unter der
linearen Abbildung e 1 ↦→ e 1 , e 2 ↦→ e 1 + e 2 ?
Solch eine Abbildung heißt Scherung mit Achse Re 1 .
Wir zeigen jetzt die in der Einführung zu diesem Abschnitt gemachte Behauptung.
(13.16) Es sei σ : R n → R n eine bijektive lineare Abbildung, dann bildet σ Geraden
auf Geraden ab. Genauer: Für jede Gerade g = P + Rv gilt σ(g) = σ(P ) + Rσ(v).
Beweis. Jedes Element Q von g hat die Form Q = P + λv mit λ ∈ R. Es folgt
σ(Q) = σ(P + λv) = σ(P ) + σ(λv) = σ(P ) + λσ(v) ∈ σ(P ) + Rσ(v).
Weil λ durch ganz R läuft, gilt σ(g) = σ(P ) + Rσ(v).
60

Frage:
Was geht schief im Beweis, wenn σ nicht bijektiv ist?
Wir untersuchen einige spezielle Abbildungen. Unsere Definitionen werden in der Vorlesung
alle geometrisch motiviert.
Zunächst betrachten wir die Drehung δ ϕ um den Winkel ϕ. Wir untersuchen die Bilder
der kanonischen Basisvektoren:
( )
( )
a
c
δ ϕ (e 1 ) = und δ
b
ϕ (e 2 ) = .
d
Eine Skizze zeigt
(
a
b
)
=
(
cos ϕ
sin ϕ
)
und
(
c
d
)
=
(
− sin ϕ
cos ϕ
)
,
(
cos ϕ
sodass gilt δ ϕ (v) =
sin ϕ
)
− sin ϕ
v.
cos ϕ
Wir nutzen diese Überlegungen als Motivation für eine
(13.17) Definition. Für ϕ ∈ R und
(
)
cos ϕ − sin ϕ
D ϕ =
sin ϕ cos ϕ
heißt
δ ϕ : R 2 → R 2 ; v ↦→ D ϕ v
Drehung um den Winkel ϕ und D ϕ die zugehörige Drehmatrix.
Führt man zwei Drehungen hintereinander aus, so ergibt sich wieder eine Drehung. Dabei
ist der Drehwinkel die Summe der beiden gegebenen Drehwinkel ( mod 2π). Die Inverse
einer Drehung ist auch eine Drehung, sie hat den Drehwinkel 2π−ϕ. Diese anschaulichen
Überlegungen ergeben
(13.18) Die Menge aller Drehungen um den Nullpunkt bildet eine kommutative Gruppe.
Genauer gilt: δ ψ ◦ δ ϕ = δ ψ+ϕ und δϕ −1 = δ 2π−ϕ . Das neutrale Element ist id = δ 0
(Drehung um 0 ◦ ).
Beweis. Wir betrachten die Drehungen um die Winkel α und β . Es gilt
(
)
cos(α + β) − sin(α + β)
D α+β =
sin(α + β) cos(α + β)
(
cos α cos β − sin α sin β −(sin α cos β + cos α sin β)
=
sin α cos β + cos α sin β cos α cos β − sin α sin β
)
61

wegen der Additionstheoreme (9.11.2). Andererseits können wir rechnen
(
) (
)
cos α − sin α cos β − sin β
D α D β =
sin α cos α sin β cos β
=
(
cos α cos β − sin α sin β −(sin α cos β + cos α sin β)
sin α cos β + cos α sin β cos α cos β − sin α sin β
)
.
Aus der Gleichheit dieser Matrizen und (13.13) folgt die erste Behauptung. Die anderen
ergeben sich nun ganz leicht.
Bemerkung. Wenn man den Begriff der Drehung geometrisch definiert und daraus
ableitet, dass die Drehungen eine Gruppe bilden, dann erhält man einen geometrischen
Beweis für die Additionstheoreme (9.11.2). Dazu mus man den obigen Beweis nur ein
wenig umbauen.
Ausgewählte lineare Abbildungen des R 2
Matrix
(
)
cos ϕ − sin ϕ
Drehung um den Ursprung um den Winkel ϕ D ϕ =
sin ϕ cos ϕ
(
)
cos 2ϕ sin 2ϕ
Spiegelung an Ursprungsgeraden mit Neigungswinkel ϕ
sin 2ϕ − cos 2ϕ
( )
k 0
Streckung um den Faktor k mit Streckungszentrum (0, 0)
0 k
( )
1 a
Scherung mit der x-Achse als Achse (a ∈ R)
0 1
( )
1 0
Scherung mit der y-Achse als Achse (b ∈ R)
b 1
Wir untersuchen nun noch lineare Abbildungen des Anschauungsraumes R 3 . Insbesondere
behandeln wir spezielle Beispiele von Drehungen und Spiegelungen. Die Drehungen
haben als Drehachse eine Gerade durch den Koordinaten-Ursprung. Der Drehwinkel wird
in einer Ebene senkrecht zur Drehachse gemessen, wobei auf die eindeutige Angabe des
Drehwinkels (Drehrichtung) geachtet werden muss. Gespiegelt wird an einer Ebene, die
ebenfalls durch (0, 0, 0) verläuft.
(13.19) Beispiele. 1.) Drehung um die z -Achse mit Drehwinkel von 90 ◦ . (Wir blicken
aus der positiven z –Richtung auf die x-y-Ebene und drehen gegen den Uhrzeigersinn.
Das entspricht der Verwendung eines Rechtssystems.)
e 1 ↦→ e 2 , e 2 ↦→ −e 1 , e 3 ↦→ e 3
62

Für ein beliebiges (x, y, z) ⎛∈ R 3 erhalten ⎞ wir f(x, y, z) = xe 2 −ye 1 +ze 3 = (−y, x, z).
0 −1 0
⎜ ⎟
Die zugehörige Matrix ist ⎝1 0 0⎠ (vgl. dazu auch (13.15.1)).
0 0 1
2.) Wie sieht die Drehmatrix für andere Drehwinkel (bei gleicher Drehachse) aus?
3.) Ein Fußballspieler verändert seine Lage im Raum durch ein Foul. Durch geeignete
(sehr stark vereinfachende) „Modellierung“ kann man das durch eine Drehung um
den Nullpunkt beschreiben. Ausführung in der Vorlesung.
4.) Spiegelung an der y-z -Ebene:
e 1 ↦→ −e 1 , e 2 ↦→ e 2 , e 3 ↦→ e 3 , g(x, y, z) = (−x, y, z). Matrix?
5.) Wir untersuchen g ◦ f :
(g ◦ f)(x, y, z) = g(f(x, y, z)) = g((−y, x, z)) = (y, x, z).
Es handelt sich um eine Spiegelung, die zugehörige „Achse“, an der gespiegelt wird,
ist die Ebene { (x, x, z) ; x, z ∈ R } = R(1, 1, 0) + R(0, 0, 1).
6.) Welche Abbildung ist f ◦ g?
7.) Für die Abbildung h mit
e 1 ↦→ e 2 , e 2 ↦→ e 3 , e 3 ↦→ e 1 gilt h(x, y, z) = (z, x, y).
Wir untersuchen, welche Punkte unter h festbleiben:
(x, y, z) = h(x, y, z) = (z, x, y) ⇐⇒ x = y = z.
Genau die Punkte auf der Geraden R(1, 1, 1) = L(e 1 + e 2 + e 3 ) sind Fixpunkte, h
ist eine Drehung. Wie groß ist der Drehwinkel?
8.) Gesucht ist die Matrix, die zur zentrischen Streckung um den Faktor √ 2 gehört.
9.) Gesucht ist die Matrix, die zur orthogonalen Projektion auf die x 1 -x 2 -Ebenen gehört.
Bemerkung. Alle Drehungen mit einer Drehachse durch (0, 0, 0), alle Spiegelungen an
einer Ebene durch (0,0,0) und alle zentrischen Streckungen mit Zentrum (0, 0, 0) sind
lineare Abbildungen.
Die Begriffe Rechtssystem und Rechte-Hand-Regel (= Drei-Finger-Regel) sind bei Wkipedia
gut erklärt.
63

14 Skalarprodukt — Abstände und Winkel
Um Abstände und Winkel zu definieren benötigen wir einen neuen Begriff. Zunächst
untersuchen wir die Länge eines Vektors v. Wir schreiben dafür ‖v‖ und sprechen auch
von der Norm von v.
(14.1) Beispiele. 1.) v ∈ R 2 : Mit dem Satz des Pythagoras gilt ‖v‖ = √ v 2 1 + v 2 2 .
2.) v ∈ R 3 : Wir setzen w = (v 1 , v 2 , 0). Wie in 1.) bekommt man ‖w‖ = √ v1 2 + v2 2 . Das
Dreieck mit den Ecken 0, w√
und v hat einen rechten Winkel in w. Mit dem Satz
des Pythagoras folgt ‖v‖ = ‖w‖ 2 + v3 2 = √ v1 2 + v2 2 + v3 2 .
Diese Beobachtung kann man verallgemeinern und bekommt die
Definition. Für v ∈ R n heißt die reelle Zahl
∑
‖v‖ := √ n vi √v 2 = 1 2 + · · · + vn
2
die Norm oder die Länge von v.
i=1
Man kann ‖v‖ (genauer: ‖v‖ 2 ) auch durch ein Produkt von Matrizen ausdrücken:
⎛ ⎞
) v 1
‖v‖ 2 = v1 2 + · · · + vn 2 ⎜ ⎟
=
(v 1 . . . v n ⎝ . ⎠ = v T v.
v n
Ab sofort werden Vektoren stets als Spaltenvektoren vorgestellt. Sie werden also als
Elemente von R n×1 aufgefasst. Der zugehörige Zeilenvektor wird v T ∈ R 1×n geschrieben.
Man spricht auch vom transponierten Vektor. Der Ausdruck v T v ist streng genommen
eine 1 × 1-Matrix, wird aber schlicht als Zahl behandelt.
Später werden wir auch Matrizen transponieren.
( )
1
( )
Beispiel. v = =⇒ v
2
T = 1 2 . Es gilt ‖v‖ 2 = v T v = 1 2 + 2 2 = 5, also
‖v‖ = √ 5.
Was ist die Transponierte eines Zeilenvektors?
Um den Abstand zweier Vektoren v, w zu bestimmen, ermittelt man ‖v − w‖. Machen
Sie sich anhand einer Skizze klar, dass das sinnvoll ist! Unsere Beobachtungen kombiniert
mit dem Distributivgesetz für die Matrizenmultiplikation erlauben folgende Rechnung.
‖v − w‖ 2 = (v − w) T (v − w) = (v T − w T )v − (v T − w T )w
= v T v − w T v − v T w + w T w
= ‖v‖ 2 + ‖w‖ 2 − (w T v + v T w).
64

Für den letzten Ausdruck findet man
v T w = v 1 w 1 + · · · + v n w n = w 1 v 1 + · · · + w n v n = w T v.
Wir extrahieren daraus den entscheidenden Begriff für diesen Abschnitt.
(14.2) Definition. Die Abbildung
· : R n × R n → R; (v, w) ↦→ v · w := v T w =
n∑
v i w i = v 1 w 1 + · · · + v n w n
i=1
heißt Skalarprodukt (oder inneres Produkt) auf R n .
Mit dem neuen Begriff liest sich das Ergebnis von oben so:
‖v − w‖ 2 = ‖v‖ 2 + ‖w‖ 2 − 2(v · w).
Der Satz des Pythagoras und seine Umkehrung implizieren die Aussage „ v steht senkrecht
auf w genau dann, wenn v · w = 0“. Erneut ist das Anlass zu einer
(14.3) Definition. Man sagt v, w ∈ R n stehen senkrecht oder orthogonal, wenn
v · w = 0.
Allgemeiner definieren wir den (ungerichteten!) Winkel α = ∢(v, w) zwischen v und
w durch
cos α =
v · w mit α ∈ [0, π].
‖v‖ ‖w‖
Auch diese Definition kann man durch eine elementare, geometrische Überlegung rechtfertigen.
Wichtiger noch ist die Tatsache, dass diese Definition sinnvoll ist. Dies ergibt
sich aus folgendem sehr bedeutendem Satz.
(14.4) Ungleichung von Cauchy-Schwarz. Für alle v, w ∈ R n gilt
|v · w| ≤ ‖v‖ ‖w‖ .
Dabei gilt Gleichheit genau dann, wenn v, w linear abhängig sind.
Eine Konsequenz dieses Satzes ist die Ungleichung −1 ≤
v·w ≤ 1. Da das Intervall
‖v‖‖w‖
[−1, 1] der Wertebereich der Cosinus-Funktion ist, existiert der Winkel α in obiger
Definition.
Wir halten die wichtigsten Eigenschaften des Skalarprodukts fest.
(14.5) Das Skalarprodukt ist
bilinear, d. h. linear in beiden Argumenten;
symmetrisch, d. h. ∀v, w ∈ R n : v · w = w · v;
65

positiv definit, d. h. ∀v ∈ R n : v · v ≥ 0 und v · v = 0 ⇐⇒ v = 0.
Beweis. (1) folgt direkt aus der Matrizendarstellung des Skalarprodukts v · w = v T w.
(2) haben wir oben schon gezeigt. (3) ist klar.
(14.6) Bemerkung. 1.) In der Gleichung λ(v ·w) = (λv)·w kommen drei verschiedene
Produkte vor! Welche?
2.) Für die Norm gilt ‖v‖ = √ v · v.
Nun können wir den Beweis für die Cauchy-Schwarz’schen Ungleichung führen.
Beweis (der Ungleichung von Cauchy-Schwarz). Der Fall w = 0 führt auf die trivialerweise
wahre Aussage v · w = 0 = ‖v‖ 0.
Wir können also w ≠ 0 annehmen. Der Trick besteht darin, den folgenden Ausdruck für
λ ∈ R zu betrachten und dann λ geschickt zu wählen. Dabei wird (14.5) mehrfach ohne
Hinweis genutzt.
0 ≤ (v − λw) · (v − λw) = v · v − λ(v · w) − λ(w · v) + λ 2 (w · w)
= ‖v‖ 2 + λ 2 ‖w‖ 2 − 2λ(v · w) mit λ = v · w
‖w‖ 2 folgt
( ) 2
0 ≤ ‖v‖ 2 v · w
+
‖w‖ 2 ‖w‖ 2 − 2 v · w
‖w‖ 2 (v · w) = (v · w)2 (v · w)2
‖v‖2 +
‖w‖ 2 − 2
‖w‖ 2
= ‖v‖ 2 −
⇐⇒ 0 ≤ ‖v‖ 2 ‖w‖ 2 − (v · w) 2
(v · w)2
‖w‖ 2 mal ‖w‖ 2 > 0
Wurzelziehen auf beiden Seiten ergibt die erste Behauptung.
Gilt Gleichheit, so ist v = λw mit dem oben gewählten λ, also sind v, w linear abhängig
(auch im Fall w = 0).
Sind v, w linear abhängig so gilt v = λw. Einsetzen zeigt, dass Gleichheit vorliegt.
Wir formulieren die wichtigsten Eigenschaften der Norm. Manche davon sind uns schon
im Zusammenhang mit dem absoluten Betrag reeller sowie komplexer Zahlen begegnet.
(14.7) Für alle v, w ∈ R n , λ ∈ R gilt
(1) ‖v‖ ≥ 0; ‖v‖ = 0 ⇐⇒ v = 0
(2) ‖λv‖ = |λ| ‖v‖
(3) ‖v + w‖ ≤ ‖v‖ + ‖w‖ (Dreiecksungleichung)
(4) ‖v − w‖ ≥ ‖v‖ − ‖w‖.
66

Beweis. (1) ist genau die Eigenschaft „positiv definit“ aus (14.5).
(2) ‖λv‖ = √ (λv) · (λv) = √ λ 2 (v · v) = √ λ 2√ v · v = |λ| ‖v‖.
(3) Wir betrachten die Quadrate der linken wie der rechten Seite der Ungleichung:
‖v + w‖ 2 = (v + w) · (v + w) = ‖v‖ 2 + ‖w‖ 2 + 2v · w
(‖v‖ + ‖w‖) 2 = ‖v‖ 2 + ‖w‖ 2 + 2 ‖v‖ ‖w‖ .
Mit der Cauchy-Schwarz’schen Ungleichung (14.4) folgt v · w ≤ ‖v‖ ‖w‖, also
‖v + w‖ 2 ≤ (‖v‖ + ‖w‖) 2
Da beide Seiten positiv sind, kann man Wurzeln ziehen ohne die Ungleichung zu verändern
(die Funktion x ↦→ x 2 ist monoton auf R ≥0 ). Das ist die Behauptung.
(4) folgt aus (3) wie in (5.24.4).
(14.8) Bemerkung. 1.) Aus der Dreiecksungleichung für die Norm kann man nun die
Dreiecksungleichung für den Abstand herleiten.
2.) Mit (14.7.3) ist auch der Beweis von (9.7.4) erbracht.
3.) Man kann den Satz des Pythagoras mit dem Skalarprodukt beweisen. Das ist aber
im Grunde eine Mogelpackung, denn das Skalarprodukt ist so gemacht, dass er gilt!
Wir betrachten einige
Anwendungen
Physik: In der Schule haben Sie gelernt, Energie sei „Kraft × Weg“, also E = F s.
Dabei wird nur die Komponente der Kraft in Richtung des Weges berücksichtigt. Eine
Skizze zeigt: Die „richtige Formel“ lautet E = ⃗ F · ⃗s. Die Energie ist das Skalarprodukt
der beiden Vektoren!
In der
Statistik wird oft die Frage gestellt, ob Messgrößen korreliert 4 sind. Der Korrelationskoefizient
κ dient dazu, das zu messen. Wir betrachten ein Beispiel: Sind Schuhgröße
und Gewicht von Menschen korreliert? Dazu betrachten wir eine Menge von n
Menschen und messen Schuhgröße s i und Gewicht g i der i-ten Person. Die Ergebnisse
fassen wir zu zwei Vektoren s ′ und g ′ in R n zusammen. Nun wird von jeder Komponente
von s ′ bzw. g ′ jeweils der Mittelwert subtrahiert, sodass wir die Vektoren s und
g erhalten. Diese haben beide Mittelwert 0. Nun gilt
κ :=
s · g
‖s‖ ‖g‖
(= cos(Zwischenwinkel))
4 Vorsicht, korreliert bedeutet nicht, dass die Größen wirklich voneinander abhängen.
67

Dividieren durch die Norm stellt sicher, dass die Größe nicht vom verwendeten Maßstab
abhängt. Ist κ ≈ 1, so sind die Größen korreliert (die Vektoren s, g fast linear abhängig),
gilt κ ≈ −1 so sind sie indirekt korreliert (und auch fast linear abhängig; zeigen aber in
entgegengesetzte Richtungen). Im Fall κ ≈ 0 sind sie nicht korreliert (die Vektoren s, g
fast orthogonal).
Dazu können Sie ein Experiment machen: Zwei Personen würfeln n = 100 mal und
notieren die Ergebnisse. Dann subtrahieren Sie jeweils den Mittelwert (sollte ungefähr
3.5 sein!) und berechnen κ (hier brauche Sie einen Rechner). Wenn das Ergebnis nicht
nahe Null liegt, dann sind die beiden Personen „würfelkorreliert“!
Ausgleichsgerade:
Gesucht ist die Steigung m einer Gerade durch Null mit
m · 2 = y 1
m · 3 = y 2
m · 4 = y 3
Dieses lineare Gleichungssystem hat nur in Spezialfällen eine Lösung. Wenn die y i etwa
Messgrößen sind, wird das nicht so sein. Trotzdem brauchen wir eine Lösung! Dazu
versuchen wir den quadratischen Fehler zu minimieren:
E 2 := (2m − y 1 ) 2 + (3m − y 2 ) 2 + (4m − y 3 ) 2 !
= min
(
)
Ableiten liefert die Bedingung 2 (2m − y 1 )2 + (3m − y 2 )3 + (4m − y 3 )4 = 0. Auflösen
nach m führt auf eine Näherungslösung für unser Gleichungssystem.
⎛ ⎞
¯m = 2y 1 + 3y 2 + 4y 3
= 1
2
⎜ ⎟
2 2 + 3 2 + 4 2 a T a aT y mit a = ⎝ 3 ⎠ .
4
Im Fall y = (1, 1, 2) T ergibt sich z. B. ¯m ≈ 0.45. Skizzieren Sie das Ergebnis!
Im Spaltenbild bedeutet die Aufgabe ein m zu finden mit m · a ≈ y. Es soll also m · a
möglichst nahe bei y sein. Bei obiger Wahl von ¯m ist ¯m · a die Projektion von y auf
die Gerade Ra.
Das oben beschriebene Verfahren kann weitreichend verallgemeinert werden, und heißt
dann Methode der kleinsten Quadrate.
Beispiel. Eine Schülerin hat in ihren Mathe-Arbeiten den Notenvektor v = (1, 2, 2, 3, 1)
erzielt. Sie möchte die Durchschnittsnote N berechnen und verfällt auf die Methode
der kleinsten Quadrate. Sie überlegt: Ich möchte meine Daten durch eine einzige Zahl
darstellen, die möglichst nahe an allen Noten liegt. Ich suche also N mit N(1, 1, 1, 1, 1) =
v. Sie verwendet die obige Formel und erhält:
¯N =
1
(1, 1, 1, 1, 1) · (1, 1, 1, 1, 1) (1, 1, 1, 1, 1) · v = 1 5
Kommt der Lehrer auf dasselbe Ergebnis?
5∑
v i = . . . .
i=1
68

Orthogonale Projektion: Wir greifen das Thema Projektion auf Ra aus dem obigen
Abschnitt nochmal auf. Zu gegebenem x ∈ R n suchen wir α ∈ R mit (x − αa) · a = 0.
Dann heißt der Vektor αa die (orthogonale) Projektion von x auf die Gerade Ra. Wir
rechnen
0 = (x − αa) · a = x · a − α(a · a) =⇒ α = a · x
a · a .
Beachten Sie, dass das genau dieselbe Formel ist wie für ¯m weiter oben. In Matrizenschreibweise
sieht die Projektion so aus
x ↦→ 1
‖a‖ 2 a(aT x) ! = 1
‖a‖ 2 (aaT )x
Das ist nur deshalb möglich, weil die Matrizen zusammenpassen. Falsch wäre z. B.
(a T x)a = a T (xa), denn das Produkt xa ist nicht definiert! Hieraus erhält man die
Projektionsmatrix
P = 1
‖a‖ 2 (aaT ) ∈ R n×n ,
die die Abbildung darstellt.
Beispiel. Wir untersuchen den Fall n = 2 und a = (1, 1). Die Matrix ergibt sich zu
( ) ( ) ( )
P = 1
‖a‖ 2 (aaT ) = 1 1 ( )
1 1 = 1 1 1
1 1
=
2 2
.
2 1
2 1 1
1
2
1
2
be-
Eine Skizze bestätigt, dass P die orthogonale Projektion auf die Gerade R(1, 1) T
schreibt.
Die Hessesche Normalform
Der Koordinatenform einer Ebene im R 3 liegt auch das Skalarprodukt zugrunde. Wir
betrachten ein
Beispiel. Die Gleichung x − 2y + z = 0, die eine Ebene E definiert, kann man auch so
schreiben
⎛ ⎞
( ) x
⎜ ⎟
1 −2 1 ⎝y⎠ = 0.
z
Das bedeutet, dass die Elemente von E genau diejenigen Vektoren sind, die auf w :=
(1, −2, 1) T senkrecht stehen. Um eine Parameterdarstellung für E zu finden, muss
man zwei zu w orthogonale, linear unabhängige Vektoren finden, etwa (2, 1, 0) T und
(0, 1, 2) T . Es gilt dann
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
2 0
( )
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
E = R ⎝ 1 ⎠ + R ⎝ 1 ⎠ = Kern 1 −2 1 .
0 2
69

Nun betrachten wir F : x − 2y + z = 2. Auch F ist eine Ebene, die aber nicht durch 0
verläuft. Eine einfache Rechnung zeigt
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
2 2 0 2 ( )
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
F = ⎝ 0 ⎠ + R ⎝ 1 ⎠ + R ⎝ 1 ⎠ = ⎝ 0 ⎠ + Kern 1 −2 1 .
0 0 2 0
Man erkennt, dass auch F senkrecht zur Geraden Rw steht. Das zeigt, dass die Ebenen
E und F parallel liegen.
Hieraus ergibt sich eine Methode um aus einer Parameterdarstellung eine Koordinatendarstellung
zu finden. Gegeben ist eine Ebene F = t + Rr + Rs in R 3 . Gesucht sind ein
Vektor v ∈ R 3 und eine Zahl c ∈ R mit F : v · x = c.
Um v zu bestimmen muss das lineare Gleichungssystem r T v = 0 und s T v = 0 gelöst
werden. Etwas ausführlicher
( ) ⎛ ⎞
v
( )
r 1 r 2 r 1
2 ⎜ ⎟ 0
⎝ v
s 1 s 2 s 2 ⎠ = .
2 0
v 3
Tatsächlich genügt ein Lösungsvektor v ≠ 0. Es gilt dann c = v · t.
(14.9) Bemerkung. 1.) Diese Überlegungen gelten auch im R 2 und können auf den
R n übertragen werden.
2.) Wer das Vektorprodukt oder Kreuzprodukt kennt, kann im R 3 (n = 3, sonst geht
das nicht!) auch v = r × s rechnen.
3.) Ist t ein Punkt auf F , so gilt auch F : v · (x − t) = 0.
(14.10) Beispiele. 1.) Bestimme eine Koordinatendarstellung der Geraden
( ) ( )
1 2
g = + R in R 2 .
−1 3
Finde v ⊥
(
2
3
)
, etwa v =
Es gilt g : 3x − 2y = 5.
(
3
−2
)
. Setze c =
2.) Bestimme eine Koordinatendarstellung der Ebene
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛
1
2
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜
E = ⎝ 1 ⎠ + R ⎝ 1 ⎠ + R ⎝
−2 −1
(
3
−2
0
1
1
⎞
)
·
(
1
−1
⎟
⎠ in R 3 .
)
= 5.
70

Finde eine Lösung des linearen Gleichungssystems
⎛
( )
2 1 −1
⎜
v = 0 etwa v = ⎝
0 1 1
1
−1
1
⎞
⎟
⎠ .
Setze c = (1, −1, 1) T · (1, 1, −2) T = −2. Es folgt E : x 1 − x 2 + x 3 = −2.
Wir fragen nach dem Abstand d(y, E) des Punktes y ∈ R 3 von der Ebene E .
Definition. Sei A ⊆ R n eine nichtleere Teilmenge und y ∈ R n .
d(y, A) := inf { ‖y − a‖ ; a ∈ A }
heißt Abstand des Punktes y ∈ R 3 von der Menge A.
Bemerkung. Die Menge { ‖y − a‖ ; a ∈ A } ist nichtleer und nach unten beschränkt
(Schranke?). Wegen der Vollständigkeit der reellen Zahlen existiert das Infimum in obiger
Definition, also auch der Abstand.
Wir betrachten die Ebene F : v · (x − t) = 0 in Koordinatendarstellung und den Punkt
y ∈ R 3 . Anschaulich erwarten wir, dass die orthogonale Projektion ȳ ∈ F derjenige
Punkt in F ist, der von y den kleinsten Abstand besitzt.
Wir bestimmen zunächst ȳ: Dazu subtrahieren wir ein noch unbekanntes α-faches von
v von y so, dass ȳ = y − αv ∈ F . Es gilt dann
Daraus erhält man
0 = v · (ȳ − t) = v · (y − αv − t) = v · (y − t) − α(v · v)
∣ ∣
α = 1
1 ∣ ∣ ∣∣∣∣
2
v · (y − t) =⇒ ‖y − ȳ‖ = ‖αv‖ = ∣v · (y − t) v ∣∣∣∣
‖v‖ =
‖v‖ ‖v‖ 2 ‖v‖ · (y − t) .
Der folgende Satz zeigt, dass unsere anschauliche Betrachtung richtig war.
∣ v ∣∣∣∣
(14.11) d(y, F ) = ‖y − ȳ‖ =
∣‖v‖ · (y − t) .
Beweis. Sei x ∈ F \ {ȳ} beliebig. Wir müssen zeigen, dass ‖y − ȳ‖ < ‖y − x‖, dann ist
‖y − ȳ‖ sogar Minimum der Menge { ‖y − a‖ ; a ∈ F } , und unsere Behauptung gezeigt.
Anschaulich ist klar, dass v senkrecht auf ȳ − x steht. Wir rechnen das nach:
v · (x − ȳ) = v · (x − t − (ȳ − t)) = v · (x − t) − v · (ȳ − t) = 0 + 0 = 0.
71

Damit gilt
‖y − x‖ 2 = ∥ ∥y − ȳ − (x − ȳ) ∥ ∥ 2 =
(
) (
)
(y − ȳ) − (x − ȳ) · (y − ȳ) − (x − ȳ)
= (y − ȳ) · (y − ȳ) + (x − ȳ) · (x − ȳ) − 2(y − ȳ) · (x − ȳ)
= ‖y − ȳ‖ 2 + ‖x − ȳ‖ 2 − 2αv · (x − ȳ)
= ‖y − ȳ‖ 2 + ‖x − ȳ‖ 2 .
Wegen x ≠ ȳ gilt ‖x − ȳ‖ 2 > 0 und somit ‖y − ȳ‖ < ‖y − x‖.
(14.12) Definition. Gegeben sei ein Vektor v ∈ R n \ {0} und d ∈ R. Die Menge
H = {x ∈ R n ; v · x = d} heißt Hyperebene in R n .
Die Darstellung H : v ·x = d heißt Hessesche Normalform von H , wenn gilt ‖v‖ = 1
und d ≥ 0.
(14.13) Bemerkung. 1.) Im R 2 sind Hyperebenen genau die Geraden, im R 3 sind es
die Ebenen.
2.) Die Hessesche Normalform ist einfach eine spezielle Koordinatendarstellung von H .
3.) Nach unserer Definition von Hyperebenen existiert immer eine Hessesche Normalform.
Nämlich ( )
±1
H :
‖v‖ v · x = ±d so dass ± d ≥ 0.
‖v‖
4.) Man sagt auch 1 v ist der Einheitsvektor in Richtung v. Er hat die Norm 1.
‖v‖
5.) Unsere Vorüberlegungen einschließlich (14.11) gelten für alle Hyperebenen.
Mit Hilfe der Hesseschen Normelform kann man den Abstand eines Punkte von einer
Hyperebenen einfach berechnen.
(14.14) Satz. Sei H : v · x = d eine Hyperebene in Hessescher Normalform.
(1) Im Fall d = 0 ist H ein Untervektorraum der Dimension n − 1.
(2) Bis auf den Fall d = 0 und H : (−v) · x = 0 ist die Hessesche Normalform von H
eindeutig bestimmt.
(3) Für y ∈ R n gilt d(y, H) = |v · y − d|.
⎧
⎪⎨ 1 falls v · y − d > 0
(4) Sei ε das Vorzeichen von v · y − d, d. h. ε = −1 falls v · y − d < 0 .
⎪⎩ 0 falls v · y − d = 0
Im Fall d = 0 bedeutet ε = 1, dass y und v auf derselben Seite von H liegen;
ε = −1, dass sie auf verschiedenen Seiten liegen.
Im Fall d ≠ 0 bedeutet ε = −1, dass y und 0 auf derselben Seite von H liegen;
ε = 1, dass sie auf verschiedenen Seiten liegen.
Natürlich bedeutet ε = 0 in beiden Fällen y ∈ H .
72

Beweis. (1) H = Kern(v T ) ist ein Untervektorraum von R n . Es hat Bild(v T ) = R 1×1
die Dimension 1. Die Dimensionsformel (13.6) zeigt die Behauptung.
(2) ohne Beweis.
(3) folgt aus den Vorbetrachtungen mit (14.11). Man beachte, dass wir ‖v‖ = 1 vorausgesetzt
haben.
(4) Wir greifen auf die Darstellung der orthogonalen Projektion ȳ vor (14.11) zurück:
y = ȳ + αv mit α = v · (y − t) = v · y − d mit einem beliebiges t ∈ F .
Im Fall d = 0 sind y und v auf derselben Seite von H genau dann, wenn α > 0.
Im Fall d ≠ 0 gilt α = −d < 0 falls y = 0. Den Rest macht man sich an Hand einer
Skizze klar.
(14.15) Beispiele. 1.) Für g : 3x − 2y = 5 gilt ∥ ∥ √ (3, 2) = 13, also ist die Hesse
3
Normalform g : √ x − √ 2 y = √ 5 . Es gilt z. B.
13 13 13
( )
d (0, 0), g = √ 5 ( )
und d (2, 1), g =
13
Es liegen 0 und (2, 1) auf der selben Seite.
∣ ∣ 3
√ 2 − √ 2 − √ 5 ∣∣∣∣ =
∣ 13 13 13 ∣ − √ 1 ∣∣∣∣
= √ 1 .
13 13
2.) E : x 1 − x 2 + x 3 = −2. Man findet v = 1 √
3
(−1, 1, −1) und d = 2, also
E : −1 √
3
x 1 + 1 √
3
x 2 + −1 √
3
x 3 = 2 √
3
73

Literatur
[Beu98] Beutelspacher, Albrecht: Lineare Algebra. 3. Aufl. Vieweg-Verlag,
Braunschweig-Wiesbaden, 1998
[Fis11]
Fischer, Gerd: Lernbuch Lineare Algebra und analytische Geometrie. Vieweg+Teubner,
Wiesbaden, 2011
[Hen03] Henn, Hans-Wolfgang: Elementare Geometrie und Algebra. Vieweg-Verlag,
Braunschweig-Wiesbaden, 2003
[SS09]
Schichl, Hermann ; Steinbauer, Roland: Einführung in das mathematische
Arbeiten. Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg-New York, 2009
74

Index
Abbildung
lineare, 54
Abgeschlossenheit, 37
abhängig
linear, 47
Absolutbetrag, 6
Abstand, 64, 71
Achse, 60
imaginäre, 8
reelle, 8
Addition, 22
Additionstheoreme, 10
affiner Unterraum, 52
Argument, 9
Assoziativgesetz
der Matrizenmultiplikation, 28
Aufpunkt, 39
Automorphismus, 7
Basis, 48
kanonische, 49
Basisergänzungssatz, 50
Betrag, 6
Bild, 55
Bogenmaß, 8
Dimension, 50, 52
Dimensionsformel
für lineare Abbildungen, 56
Distributivegesetz
der Matrizenmultiplikation, 29
Drehmatrix, 61
Drehung, 61
Dreiecksform, 18
Dreiecksungleichung, 8
Ebene
affine, 43
Einheit
imaginäre, 8
Einheitsmatrix, 29
Einheitsvektor, 72
Einheitswurzel, 11
einsetzen, 12
Erzeugendensystem
minimales, 48
Eulersche Formel, 10
Exponentialfunktion, 10
Formel
Eulersche, 10
Moivresche, 12
Gaußsche
Zahlenebene, 8
Gaußsches
Eliminationsverfahren, 18
Gerade, 39
Gleichmächtigkeit von Basen, 50
Grad, 12
Hülle
lineare, 45
Hessesche Normalform, 72
Hom(V, W ), 54
homogen, 19
Homomorphismus, 54
Hyperebene, 72
imaginäre Einheit, 8
Imaginärteil, 6
inhomogen, 19
inneres Produkt, 65
invertierbar, 29
kanonische Basis, 49
kartesisches Koordinatensystem, 32
Kern, 25, 55
Koeffizient, 12, 18, 39
Koeffizienten, 19
Koeffizientenvergleich, 48
komplex Konjugieren, 6
komplexe Zahlen, 5
Konjugieren
75

komplex, 6
Konjugierte
komplex, 6
konstant, 12
Koordinatenachsen, 32
Koordinatendarstellung, 43
Koordinatenform, 43
Koordinatensystem
kartesisches, 32
Korrelationskoefizient, 67
Länge, 64
Lösung, 19
allgemeine, 26
spezielle, 26
Leitkoeffizient, 12
linear, 24
linear abhängig, 47
linear unabhängig, 47
lineare Abbildung, 54
lineare Hülle, 45
lineares
Gleichungssystem, 19
Linearfaktor, 15
Linearkombination, 24, 39
Matrix, 17, 22
erweiterte Koeffizienten-, 18
quadratische, 29
Matrizenmultiplikation, 27
Methode der kleinsten Quadrate, 68
Moivresche Formel, 12
Multiplikation, 23
Nebenklasse, 39
Norm, 64
Normalform
Hessesche, 72
Nullabbildung, 34
Nullmatrix, 22
Nullpolynom, 12
Nullstelle, 13
mehrfache, 15
Nullteiler, 29
orthogonal, 65
Ortsvektor, 36
parallel, 42
Parameterdarstellung, 40, 53
Parameterform, 40
Paritätskontroll-Code, 37
Polarkoordinaten, 9
Polynom, 12
Produkt
inneres, 65
Projektion, 69
Rang, 52, 57
Realteil, 6
Richtungsvektor, 39
Rücksubstitution, 18
Scherung, 60
senkrecht, 65
Skalarmultiplikation, 33
Skalarprodukt, 65
Spaltenraum, 51
Spaltensicht, 24, 28
Spaltenvektor, 23
Stützvektor, 39
Summe, 22
Translation, 36
transponiert, 64
unabhängig
linear, 47
unendlich dimensional, 51
Unterraum
affiner, 52
Untervektorraum, 37
trivialer, 37
Ursprung, 32
Variable, 12
freie, 20
Vektor, 19
freier, 36
Vektorraum
über einem Körper, 35
76

eeller, 34
Verbindungsgerade, 40
Verschiebevektor, 36
Verschiebung, 36
Vielfachheit, 15
Winkel, 65
Zahlen
komplexe, 4, 5
Zeile mal Spalte, 23, 27
Zeilensicht, 24, 30
Zeilenstufenform, 20, 21
Zeilenumformung
elementare, 18
Zeilenvektor, 23
77