¨Ubungen zur Vorlesung Maßtheoretische Konzepte der Stochastik ...

Übungen zur Vorlesung Maßtheoretische Konzepte der Stochastik
Natalie Neumeyer, Sommersemester 2013 Blatt 5
Abgabe: Freitag, 10. Mai 2013, in den Übungen.
Aufgabe 1:
(5 Punkte)
(Ω, A, µ) sei ein Maßraum, f n : Ω →
∫
IR seien µ-integrierbare Funktionen, n ∈ IN, mit
f n ≤ f n+1 für alle n ∈ IN und lim n→∞ fn dµ < ∞. Zeige, daß eine Funktion f : Ω → IR
existiert mit lim n→∞ f n = f µ-fast überall und
∫
∫
f dµ = lim f n dµ.
n→∞
Hinweis: Im Gegensatz zum Satz von Beppo Levi haben die Funktionen Werte in IR statt
¯ IR, aber es ist keine Nichtnegativität vorausgesetzt. Insbesondere ist die Existenz der
Funktion f mit Werten in IR zu zeigen.
Aufgabe 2:
(5 Punkte)
Die Funktionen f n : IR → IR (n ∈ IN) und f : IR → IR seien Lebesgue-integrierbar.
Außerdem gelte die Abschätzung
∫
|f n (x) − f(x)| λ(dx) ≤ 1 n . 2
IR
Zeige, daß die Folge (f n ) n∈IN λ–fast überall gegen f konvergiert.
Hinweis: 2.23 und 2.34(b) aus dem Skript können helfen.
Aufgabe 3:
(5 Punkte)
(a) (Ω, A, µ) sei ein Maßraum, A ∈ A und f : Ω → IR ¯ sei (A, ¯B 1 )-meßbar. Dann heißt
f über A µ-integrierbar, falls fI A µ-integrierbar ist. Man definiert
∫ ∫
f dµ := fI A dµ.
A
Weiter sei (Ω ′ , A ′ ) Meßraum, g : Ω → Ω ′ sei (A, A ′ )-meßbar, µ g
Bildmaß und h : Ω ′ → IR ¯ sei (A ′ , ¯B 1 )-meßbar. Es sei A ′ ∈ A ′ .
Zeige:
= µ ◦ g −1 das
h ist genau dann über A ′ µ g -integrierbar, wenn h ◦ g über g −1 (A ′ ) µ-integrierbar ist.
∫ ∫
In diesem Fall gilt: h dµ g = h ◦ g dµ
A ′ g −1 (A ′ )

(b) Die Funktion h : IR → IR sei Lebesgue-integrierbar. Zeige, daß für a, b, c, d ∈ IR,
a ≠ 0, c < d gilt: ∫
h(ax + b) dx = 1 ∫
h(x) dx
[c,d]
|a| [˜c, ˜d]
mit ˜c = min(ca + b, da + b), ˜d = max(ca + b, da + b).
Bitte geben Sie die Lösungen getrennt nach Aufgaben ab!
Auf jedem Zettel notieren Sie bitte Namen und Übungsgruppennummer!
Präsenzaufgaben
Präsenzaufgabe 4:
(Ω, A, µ) sei ein Maßraum, (f n ) n∈IN sei monoton fallende Folge von meßbaren, nichtnegativen
numerischen Funktionen Ω → IR 0
+ ∪ {∞} mit ∫ f 1 dµ < ∞. Zeige, daß dann
gilt:
∫
∫
lim f n dµ = lim f n dµ.
n→∞ n→∞
Hinweis: Wende den Satz von Beppo Levi auf eine transformierte Folge an. Gehe zur
Vereinfachung zunächst von Funktionen Ω → IR aus.