Schülerprojekt in Kooperation mit dem Hector-Seminar - KIT

Mit Mathe zum Idealgewicht 

Schülerprojekt in Kooperation mit dem Hector-Seminar 

KARLSRUHER INSTITUT FÜR TECHNOLOGIE (KIT) 

0 

KIT – 

19.02.2013 

Universität des 

Ingrid 

Landes 

Lenhardt 

Baden-Württemberg 

- Mit Mathe zum 

und 

Idealgewicht KARLSRUHER INSTITUT FÜR 

nationales Forschungszentrum in der Helmholtz-Gemeinschaft 

TECHNOLOGIE (KIT) 

www.kit.edu

Projektidee 

Abteilung Diadaktik als Kooperationspartner im Hector-Seminar, 

Schuljahr 11/12: Betreuung von Anne-Sophie Reichhardt 

Thema: Von Messdaten zu Funktionen 

Methode: Lineare Ausgleichsrechnung mit Maple 

Anwendungsprobleme: monatliche Daten der CO 2 -Konzentration 

seit 1960, Wachstumsgesetze, Benzinpreisentwicklung, 

Zusammenhang zwischen Größe und Gewicht, . . . 

1 19.02.2013 Ingrid Lenhardt - Mit Mathe zum Idealgewicht KARLSRUHER INSTITUT FÜR 

TECHNOLOGIE (KIT)

Projektidee 

Abteilung Diadaktik als Kooperationspartner im Hector-Seminar, 

Schuljahr 11/12: Betreuung von Anne-Sophie Reichhardt 

Thema: Von Messdaten zu Funktionen 

Methode: Lineare Ausgleichsrechnung mit Maple 

Anwendungsprobleme: monatliche Daten der CO 2 -Konzentration 

seit 1960, Wachstumsgesetze, Benzinpreisentwicklung, 

Zusammenhang zwischen Größe und Gewicht, . . . 



Zentrale Frage im Projekt 

Funktionaler Zusammenhang zwischen Größe und Gewicht bei 

Menschen? 





Menschen? 

Masse in kg 

Body-Mass-Index: BMI = 

(Größe in m) 2 

⇔ Masse = BMI · (Größe in m) 2 





Menschen? 

Masse in kg 

Body-Mass-Index: BMI = 

(Größe in m) 2 

⇔ Masse = BMI · (Größe in m) 2 

Diverse BMI-Rechner: 

Normalgewicht, wenn BMI zwischen 19 und 24 

BMI für Kinder, Jugendliche, Sportler? 

Kind mit 3 Jahre, 15.5 kg, 1.0 m ist normalgewichtig! 



Ist unsere Nationalelf in Form? 

Manuel Neuer 

Größe: 1,93 m 

Gewicht: 93 kg 

BMI: 25 

Philipp Lahm 

Größe: 1,70 m 

Gewicht: 65 kg 

BMI: 22 



Wie sinnvoll ist der BMI für das Idealgewicht? 

Ideal-BMI ist altersabhängig! Auch größenabhängig? Eigener Ideal-BMI? 

Projektvorhaben: Vermessung von Schüler(inne)n nach Größe/Gewicht 

und Suche nach passender Funktion mit Linearer Ausgleichsrechnung 



Lineare Ausgleichsrechnung - wann und wozu? 

Gegeben: (sehr viele) Messwerte 

Gesucht: zugehöriges naturwissenschaftliches Gesetz 

Standardbeispiel: Hookesches Gesetz: 

F = mg = Dx 

m: Masse, g: Erdbeschleunigung 

x: (nicht zu große) Auslenkung aus der Ruhelage 

Federkonstante D bestimmt Steigung der zugehörigen Gerade 



Was ist eine lineare Ausgleichsfunktion? 

Gegeben: Messwerte (x 1 , y 1 ), (x 2 , y 2 ), . . . , (x n , y n ) 

Gesucht: Funktion einer festen Bauweise 

y = f (x) = 

m 

∑ a i f i (x) 

i=1 

mit linear unabhängigen Ansatzfunktionen f 1 , f 2 , . . . , f m , wobei m < n ist. 

(Fall m = 2 und f 1 (x) = 1, f 2 (x) = x: f (x) = a 1 + a 2 x, Ausgleichsgerade) 

Einsetzen der Messwerte liefert überbestimmtes LGS 

y j = 

m 

∑ a i f i (x j ), 

i=1 

j = 1, . . . , n 

mit n Gleichungen für die m gesuchten Koeffizienten a i . 



Methode der kleinesten Quadrate 

Ein überbestimmtes LGS 

(∗) y j = f (x j ) = 

m 

∑ a i f i (x j ), 

i=1 

j = 1, . . . , n 

ist meist nicht lösbar, 

z.B. wenn bei linearem Gesetz Messwerte nicht auf einer Gerade liegen. 

Ersatzlösung durch Minimieren der Summe der Fehlerquadrate: 

h(a 1 , . . . , a m ) := 

n 

∑ 

j=1 

(y j − f (x j )) 2 minimal! 

Extremwertaufgabe für eine Funktion von m Variablen 

m: Anzahl der Ansatzfunktionen 

a i : Koeffizienten in (∗) als Minimalstellen von h 



Ausgleichsgeraden und Fehlerquadrate 

> restart: with(Student[LinearAlgebra]): 

> LeastSquaresPlot 

(xwerte,ywerte,x); 

Fitting curve: .9777e-2+.9700*x 

Least squares error: .1998e-1 



Ausgleichsgeraden und Fehlerquadrate 

> restart: with(Student[LinearAlgebra]): 


(xwerte,ywerte,x); 

Fitting curve: .9777e-2+.9700*x 



(xwerte,ywerte,x,curve=a*x); 

Fitting curve: 1.013*x 




Zusammenhang zwischen Größe und Gewicht 

Durchschnittswerte für männliche Kinder und Jugendliche 





Welche Funktion passt 

zu den Werten? 







y = ax 2 , a =? 







y = ax 2 , a =? 

y = bx 3 , b =? 







y = ax 2 , a =? 

y = bx 3 , b =? 

y = cx d , c, d =? 



Passende Funktionen und ihre Fehlernorm 

mit LeastSquares-Befehl aus den CurveFitting-Paket 

y = ax 2 

optimales a = 20.09 

Fehlernorm: 19.24 

y = bx 3 

optimales b = 12.68 


a, b nach der Methode 

der kleinsten Quadrate 



Passende Funktionen und ihre Fehlernorm 

mit LeastSquares-Befehl aus den CurveFitting-Paket 

y = ax 2 

optimales a = 20.09 


y = bx 3 

optimales b = 12.68 


a, b nach der Methode 

der kleinsten Quadrate 

Fazit: y = 12.68x 3 passt gut ab 1.20 m Körpergröße (ca. 6 Jahre). 



Passt eine Funktion y = cx d noch besser? 

> LeastSquares(gmm,x,curve=c ∗ x d ); 

Error, (in CurveFitting:-LeastSquares) curve to fit is not 

linear in the parameters 







Linearisierung: y = cx d 







Linearisierung: y = cx d ⇔ ln(y) = ln(c) + d ln(x) 















Ausgleichsgerade für 

logarithmierte Messwerte 










y = g(x) = 2.62 + 2.83x 










y = g(x) = 2.62 + 2.83x 

⇒ Ausgleichsfunktion 

y = f (x) = 13.67x 2.83 










y = g(x) = 2.62 + 2.83x 

⇒ Ausgleichsfunktion 

y = f (x) = 13.67x 2.83 




Alle drei Ausgleichsfunktionen auf einen Blick 

Fehler- 

norm 

Ausgleichsfunktion 

y = 20.09x 2 19.24 

y = 12.68x 3 8.75 

y = 13.67x 2.83 6.62 




Fehler- 

norm 


y = 20.09x 2 19.24 

y = 12.68x 3 8.75 

y = 13.67x 2.83 6.62 

Fazit: y = 13.67x 2.83 ist nur unwesentlich besser als y = 12.68x 3 . 




Fehler- 

norm 


y = 20.09x 2 19.24 

y = 12.68x 3 8.75 

y = 13.67x 2.83 6.62 

Fazit: y = 13.67x 2.83 ist nur unwesentlich besser als y = 12.68x 3 . 

Frage: Alternative BMI-Formel, weniger alters- und größenabhängig? 



Praxistest 1: Vermessung von MGG-Schülern 

677 Schülerinnen und Schülern 

Ausgleichsfunktionen 

y = 19.30x 2 


y = 11.54x 3 




Praxistest 2: Vermessung von KIT-Studierenden 

73 Studentinnen und Studenten 

Ausgleichsfunktionen 

y = 22.57x 2 


y = 12.73x 3 




Inhaltliche Zusammenfassung 

BMI nach der Formel BMI = m ist extrem alters- und 

l 

größenabhängig. 

2 

BMI-Richtwert 19 bis 24 ist nur für Körpergröße von 1.50 bis 1.70 

einigermaßen passend. 

Modifizierte Formel bmi = m ist deutlich weniger größenabhängig. 

l 3 

Ein Richtwert von 11.5 bis ca. 13 passt hier ab Körpergröße 1.20 

(nach erstem Gestaltwandel). 

Warum steckt im BMI ein quadratisches Gesetz und kein kubisches? 





l 


2 




l 3 








l 


2 




l 3 






Didaktischer Rückblick 

Lineare Ausgleichsrechnung kann theoretisch nicht lückenlos 

hergeleitet werden 

Idee (1D-Problem) kann jedoch verstanden werden 

LeastSquares-Befehl als Black-Box-Befehl 

Umgang mit sehr vielen Daten ist möglich 

Arbeiten mit eigenen Daten motiviert 

Linearisierung bei y = cx d als Anwendungsaufgabe zum Logarithmus 

Matheprojekt mit Modellieren, CAS-Einsatz und Anwendung aus dem 

eigenen Alltag

Schülerprojekt in Kooperation mit dem Hector-Seminar - KIT

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