elementare Eigenschaften der Abstandsfunktion

2 ERGÄNZUNG ZUR ÜBUNG VOM 02.05.2013
zu (b): Die Äquivalenzen
zeigen die Behauptung.
dist(v, A) = 0 ⇐⇒ inf{‖v − a‖; a ∈ A} = 0
⇐⇒ ∃ (a n ) n ∈ A N : lim
n→∞
‖v − a n ‖ = 0
⇐⇒ ∃ (a n ) n ∈ A N : lim
n→∞
a n = v in (V, ‖ · ‖)
⇐⇒ v ∈ A
zu (c): Wir wählen eine Folge (a n ) n ∈ A N mit lim n→∞ ‖v−a n ‖ = dist(v, A). Da A hier
als kompakt vorausgesetzt ist, können wir zu einer in A konvergenten Teilfolge (a nk ) k
mit Grenzwert a 0 übergehen. Es folgt dann dist(v, A) = lim k→∞ ‖v−a nk ‖ = ‖v−a 0 ‖
und somit die Behauptung.
zu (d): Sei nun V endlichdimensional, A abgeschlossen und sei ρ := dist(v, A) ≥ 0.
Dann ist die Menge U ρ+1 (v) ∩ A als Schnitt abgeschlossener Mengen abgeschlossen
und daher als Teilmenge der kompakten Menge U ρ+1 (v) selbst kompakt und zudem
nach Wahl von ρ auch nichtleer. Folglich existiert nach Teil (c) ein a 0 ∈ U ρ+1 (v) ∩ A
mit ‖v − a 0 ‖ = dist(v, U ρ+1 (v) ∩ A). Für alle a ∈ A \ U ρ+1 (v) gilt nun offenkundig
Mithin erhalten wir
‖v − a 0 ‖ ≤ ρ + 1 < ‖v − a‖.
dist(v, A) ≤ ‖v − a 0 ‖ ≤ min { dist(v, U ρ+1 (v) ∩ A), dist(v, A \ U ρ+1 (v)) } = dist(v, A),
also ‖v − a 0 ‖ = dist(v, A).
zu (e): Ohne Einschränkung dürfen wir annehmen, dass A kompakt ist. Es gilt
nun dist(A, B) = inf b∈B dist(b, A). Wir können daher eine Folge (b n ) n in B mit
lim n→∞ dist(b n , A) = dist(A, B) wählen. Nach Teil c) gibt es nun zu jedem n ∈ N
ein a n ∈ A mit dist(b n , A) = ‖a n − b n ‖. Da A kompakt ist, können wir zu einer in A
konvergenten Teilfolge (a nk ) k mit Grenzwert a 0 übergehen. Wäre nun dist(A, B) = 0,
so erhielten wir
0 ≤ ‖b nk − a 0 ‖ ≤ ‖b nk − a nk ‖ + ‖a nk − a 0 ‖ = dist(b nk , A) + ‖a nk − a 0 ‖ −−−→
k→∞ 0,
was a 0 ∈ B = B nach sich zöge. Insbesondere würde dann a 0 ∈ A ∩ B gelten im
Widerspruch zur Disjunktheit der Mengen A und B.
zu (f): Sei v ∈ V beliebig. Für alle a ∈ A und b ∈ B gilt dann
dist(A, B) ≤ dist(b, A) ≤ ‖a − b‖ ≤ ‖a − v‖ + ‖v − b‖,
woraus durch Übergang zum Infimum bezüglicher aller a ∈ A die Ungleichung
dist(A, B) ≤ dist(v, A) + ‖v − b‖
folgt, aus der sich wiederum durch Übergang zum Infimum bezüglicher aller b ∈ B
die Abschätzung
dist(A, B) ≤ dist(v, A) + dist(v, B)
ergibt. Damit ist alles gezeigt.
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