3. Übungsblatt
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Institut für Algebra und Geometrie<br />
Dr. Volker Drumm<br />
Dr. Lars Michael Hoffmann<br />
Universität Karlsruhe (TH)<br />
Elemente der Geometrie Wintersemester 06/07<br />
<strong>Übungsblatt</strong> 3<br />
Jede Aufgabe wird mit maximal 4 Punkten bewertet.<br />
Aufgabe 7. Umkehrung des Satzes von Ceva.<br />
Es sei △ ein Dreieck mit Ecken A, B, C, dessen Innenwinkel durch drei Ecktransversalen geteilt werden. Gilt<br />
für die so entstehenden Winkel (siehe Skizze)<br />
sin α 1 · sin β 1 · sin γ 1<br />
sin α 2 · sin β 2 · sin γ 2<br />
= 1,<br />
so schneiden sich die Ecktransversalen in einem Punkt.<br />
γ 1<br />
C<br />
γ 2<br />
α 2<br />
β 2<br />
β 1<br />
A<br />
α 1<br />
B<br />
Aufgabe 8. Fermat-Toricelli-Punkt.<br />
Sei △ABC ein spitzwinkliges Dreieck. Für einen Punkt P bezeichne s(P ) die Abstandssumme zu den Dreiecksecken.<br />
(a) Wir betrachten zunächst die Punkte im Inneren des Dreiecks. Konstruieren Sie den Punkt F , für den<br />
die Abstandssumme minimal wird.<br />
Hinweis: Wählen Sie einen beliebigen Punkt P und drehen Sie das Teildreieck △AP C um 60 ◦ um A.<br />
(b) Zeigen Sie, dass für jeden Punkt P auf dem Rand des Dreiecks<br />
s(P ) > s(F )<br />
gilt.<br />
(c) Zeigen Sie, dass für jeden Punkt P außerhalb des Dreiecks<br />
s(P ) > s(F )<br />
gilt.
Aufgabe 9. Satz von Morley, 1899.<br />
Zeigen Sie, dass die drei Schnittpunkte P, Q, R der drei anliegenden Winkeldreiteilenden eines Dreiecks △ABC<br />
ein gleichseitiges Dreieck bilden (siehe Skizze).<br />
Hinweis: Beginnen Sie mit einem gleichseitigen Dreieck und bauen Sie ein Dreieck darauf auf, das die selben<br />
Innenwinkel wie das Dreieck △ABC hat.<br />
C<br />
B<br />
P<br />
Q<br />
R<br />
A<br />
Abgabe der Lösungen bis Freitag, den 17. November 2006 um 13:00 Uhr im Einwurfschlitz neben dem Seminarraum<br />
32 im Mathematikgebäude. Heften Sie die zur Abgabe bestimmten Blätter zusammen, und versehen<br />
Sie diese mit Ihrem Namen und Ihrer Matrikelnummer