VL: Elementargeometrie Zusammenfassung 1 ...

VL: Elementargeometrie
Zusammenfassung
1 Elementargeometrische Figuren und ihre Eigenschaften
1.1 Strahlensatz & Co.
Satz 1 (Strahlensatz). Seien G 1 ,G 2 ⊂E 2 mit G 1 ∩G 2 = {S} und G ∗ 1,G ∗ 2 ⊂E 2
parallel mit G 1 ∩ G ∗ 1 = {P 1 }, G 2 ∩ G ∗ 1 = {P 2 }, G 1 ∩ G ∗ 2 = {Q 1 } und G 2 ∩ G ∗ 2 =
{Q 2 }. Seien zudem S, Q 1 ,Q 2 paarweise disjunkt. Dann folgt
|SP 1 |
|SQ 1 | = |P 1P 2 |
|Q 1 Q 2 | = |SP 2|
|SQ 2 |
(1)
G1*
P2
G2*
Q2
G2
S
P1
Q1
G1
Bild 1
Lemma (Umkehrung des Strahlensatzes). Seien G 1 ,G 2 ⊂E 2 mit G 1 ∩ G 2 =
{S} und G ∗ 1,G ∗ 2 ⊂E 2 nicht notwendig parallel. Seien die Schnittpunkte wie oben,
d.h. S, P 1 ,Q 1 und S, P 2 ,Q 2 kollinear (andernfalls folgt nichts Interessantes).
Dann folgt aus (1)
• entweder G ∗ 1 ‖ G ∗ 2 (tatsächliche Umkehrung des Strahlensatzes)
• oder G ∗ 1 ∦ G ∗ 2 und G 1 ⊥ G 2 ,wobeiS entweder zwischen P 1 und Q 1 oder
zwischen P 2 und Q 2 liegt.
Satz 2 (Satz von Pappos).
G1
P1
P2
P3
Q3
Q2
G2
Q1
Bild 2
Aus parallel folgt parallel (Bild 2).
1

Satz 3 (Strahlensatz im Raum). Schneiden zwei Geraden (die zueinander windschief
sein können) drei parallele Hyperebenen im Euklidischen Raum in den
Punkten P 1 ,P 2 ,P 3 bzw. Q 1 ,Q 2 ,Q 3 , dann folgt
1.2 Das Dreieck
1.2.1 Allgemeines
|P 1 P 2 |
|P 1 P 3 | = |Q 1Q 2 |
|Q 1 Q 3 |
Lemma (Kosinussatz). Bei entsprechender Bezeichnung gilt im Dreieck
〈 〉
⃗b,⃗a
cos α = = b2 + c 2 − a 2
bc 2bc
Lemma (gleichschenkliges Dreieck). Ein Dreieck ist gleichschenklig genau dann,
wenn zwei seiner Innenwinkel gleich sind.
Lemma (gleichseitiges Dreieck). Ein Dreieck ist gleichseitig genau dann, wenn
alle seiner Innenwinkel gleich sind.
Satz 4 (Innenwinkelsumme). Die Innenwinkelsumme im Dreieck beträgt 180 ◦ .
Satz 5 (Innenwinkel). Jeder Innenwinkel im Dreieck ist kleiner als jeder der
beiden nicht anliegenden Außenwinkel.
Satz 6 (Innenwinkelsumme im n-Eck). Die Summe der Innenwinkel eines konvexen
n-Ecks beträgt (n − 2)π.
Satz 7 (Kongruenzsatz). Zwei Dreiecke sind kongruent, falls folgende Größen
übereinstimmen:
• Die Längen ihrer drei Seiten.
• Die Längen zweier Seiten und der davon eingeschlossene Winkel.
• Die Längen zweier Seiten und der der längeren Seite gegenüberliegende
Winkel.
• Die Länge einer Seite und die beiden daran anliegenden Winkel.
Satz 8 (Ähnlichkeitssatz). Zwei Dreiecke sind ähnlich, falls folgende Größen
übereinstimmen:
• Die Verhältnisse der Längen ihrer drei Seiten.
• Die Verhältnisse der Längen zweier Seiten und der davon eingeschlossene
Winkel.
• Die Verhältnisse der Längen zweier Seiten und die den längeren Seite
gegenüberliegende Winkel.
• Zwei Winkel.
Satz 9 (Satz des Pythagoras). Ein Dreieck ist rechtwinklig (hier: γ=90 ◦ ) genau
dann, wenn a 2 + b 2 = c 2 2

C
b
hc
a
A
c
F
B
Bild 3
Satz 10 (Kathetensatz). In einem rechtwinkligen Dreieck gilt
a 2 = |BC| 2 = |BF| c bzw. b 2 = |AC| 2 = |AF | c
Satz 11 (Höhensatz). In einem rechtwinkligen Dreieck gilt
h 2 c = |AF ||BF|
Satz 12 (Menelaos). Schneidet eine Gerade ein Dreieck wie in Bild 4 folgt
AD
DB · BE
EF · CF
FA = −1
A
D
F
E
B
C
Bild 4
Satz 13 (Ceva). Gegeben sei ein Dreieck mit den Ecken A, B, C. SeiP ein
Punkt aus dem Inneren oder Äußeren des Dreiecks und mögen sich die folgenden
Geraden in drei Punkten D, E, F schneiden,
G(A, B) ∩ G(C, P) ={D}, G(B,C) ∩ G(A, P )={E},
G(A, C) ∩ G(B,P) ={F }.
Dann gilt
AD
DB · BE
EF · CF
FA =1.
3

F
C
C
F
E
P
E
P
A
D
B
Bild 5
A
B
D
Bild 6
Bild 5 und 6 zeigen den Spezialfall für ∠CAB = π 2
. Allerdings ist der Satz von
Ceva affin, womit dieser Fall für beliebige Dreieck erweitert werden kann.
1.2.2 Besondere Linien und Punkte im Dreieck
Satz 14 (Seitenhalbierendenschnittpunkt). Die drei Seitenhalbierenden schneiden
sich in einem Punkt P SH . Er teilt jede Seitenhalbierende von der Ecke aus
gesehen im Verhältnis 2:1. P SH ist der sogenannte Schwerpunkt des Dreiecks.
A
D
E
B
F
C
Bild 7
Bemerkung. Das Dreieck (D, E, F) in Bild 7 heißt Mittendreieck und ist ein
eingeschriebenes Dreieck mit halber Seitenlänge. Die Mittelsenkrechten des äußeren
Dreiecks sind die Höhen im Mittendreieck. Das Mittendreieck entsteht
durch Streckung des äußeren Dreiecks mit Streckfaktor − 1 2 .
Satz 15 (Höhenschnittpunkt). Die drei Höhen eines Dreiecks schneiden sich
in einem Punkt P H .
Satz 16 (Winkelhalbierendenschnittpunkt). Die drei Innenwinkelhalbierenden
in einem Dreieck schneiden sich in einem Punkt P WH .
Es gilt
dist(P WH ,AB)=dist(P WH ,AC)=dist(P WH ,BC)
Der Kreis mit Zenrum in P WH mit Radius dist(P WH ,AB) schneidet das Dreieck
genau in den Lotfußpunkten von P WH auf die Seiten des Dreiecks. Dies ist
der sogenannte Inkreis des Dreiecks.
4

Satz 17 (Mittelsenkrechtenschnittpunkt). Die drei Mittelsenkrechten eines Dreiecks
schneiden sich in einem Punkt P MS .Für diesen Punkt gilt
dist(P MS ,A)=dist(P MS ,B)=dist(P MS ,C)
Der Kreis mit Zenrum in P MS mit Radius dist(P MS ,A) schneidet das Dreieck
in allen drei Ecken. Dies ist der sogenannte Umkreis des Dreiecks.
Satz 18 (Eulersche Gerade). Die Punkte P H , P SH und P MS eines nichtgleichseitigen
Dreiecks liegen auf einer Geraden. Auf dieser Geraden besteht das Verhältnis
|P H P SH | : |P SH P MS | =2:1
1.2.3 Flächeninhalt
Satz 19 (Flächeninhalt, Heronsche Formel). Für den Flächeninhalt (vol(△))
im Dreieck gilt
vol(△) = 1 2 a · h a = 1 2 b · h b = 1 2 c · h c
Mit p := a+b+c
2
gilt zudem
vol(△) = √ p(p − a)(p − b)(p − c)
(Heronsche Formel)
Bemerkung. Aus den Volumenformeln
vol(△) = 1 2 a · h a = 1 2 b · h b = 1 2 c · h c
berechnen sich die Höhen des Dreiecks vollständig in Abhängigkeit von dessen
Seitenlängen
h a = 2vol(△)
a
, h b = 2vol(△) , h c = 2vol(△)
b
c
Satz 20 (Abschätzung Flächeninhalt). Der Flächeninhalt kann durch
vol(△) ≤ 1 ( a + b + c
3 √ 3 2
abgeschätzt werden. Im Gleichheitsfall ist das Dreieck gleichseitig.
1.2.4 In-, Um- und Ankreise
Satz 21 (Radius Inkreis). Für den Radius r des Inkreises gilt
r = vol(△)
p
Satz 22 (Radius Umkreis). Für den Radius R des Inkreises gilt
R =
abc
4vol(△)
) 2
5

1.3 Kreis
1.3.1 Kreise und Geraden
Satz 23 (Schnittpunkte mit Geraden). Ein Kreis K und eine Gerade G (der
Ebene) haben maximal zwei Schnittpunkte
Definition. G heißt Sekante, wenn sie den Kreis in zwei Punkten schneidet
und Tangente, wenn sie den Kreis in einem Punkten berührt. Sei K ∩ G =
{A, B}, A≠ B, dann heißt AB Sehne von K.
Satz 24 (Tangente zum Mittelpunkt). Sei P ∈ K r (Z) und G eine Tangente
an K r (Z) durch P . Dann gilt
G(P, Z) ⊥ G
Satz 25 (Tangentensatz).
C
P
B
M
A
Bild 8
Es gilt |AP ||BP| = |CP| 2 bzw. |AP |
|CP| = |CP|
|BP|
Bemerkung. Zu einem Punkt P außerhalb des Kreises K gibt es stets zwei
Tangenten G und G ′ durch P .Für C ∈ G ∩ K und C ′ ∈ G ′ ∩ K gilt
|PC| = |PC ′ |
Lemma (Sekantensatz). Sind G und G ′ zwei durch einen Punkt P außerhalb
des Kreises K verlaufenden Sekanten an K mit Schnittpunkten G∩K = {A, B}
und G ′ ∩ K = {A ′ ,B ′ },sogilt
|AP ||BP| = |A ′ P ||B ′ P |
Satz 26 (Sehnensatz). Seien AB und A ′ B ′ zwei Sehnen eines Kreises K.
Schneiden sie sich in einem Punkt P ,sogilt
|AP ||BP| = |A ′ P ||B ′ P |
Definition. Die Unterteilung einer Strecke AB mittels eines Punkte S nennt
man Goldenen Schnitt, wenn gilt
|AB||BS| = |AS| 2 bzw. |AB| |AS|
(gesamt:lang=lang:kurz)
|AS| |BS|
6

1.3.2 Kreise und Winkel
Satz 27 (Satz von Thales). Ist ein Dreieck (A, B, C) in einen Halbkreis mit
Grundseite AB eingeschrieben, folgt
∠ACB = π 2
Definition. Ein Winkel mit Ecke auf dem Kreis heißt Peripheriewinkel oder
Umfangswinkel.
Ein Winkel mit Ecke im Mittelpunkt des Kreises heißt Zentriwinkel oder Mittelpunktswinkel.
Satz 28 (Umfangs- und Mittelpunktswinkel). Sei Dreieck (A, B, C) ein Dreieck
mit Umkreis K(M). Istϕ = ∠ACB der Umfangswinkel über die Sehne AB und
ψ = ∠AMB der Mittelpunktswinkel über AB, sogilt
ψ =2ϕ
Lemma (Gleichheit Umfangswinkel). Alle Umfangswinkel über eine Sehne AB
sind gleich.
Die Summe zweier Umfangswinkel auf gegenüberliegenden Seiten einer Sehne
beträgt π.
1.3.3 Kreise im Drei- und Viereck
Zusätzlich zu Um- und Inkreis im Dreieck (Kapitel 1.2).
Satz 29 (Feuerbachscher Kreis). Die Seitenmittelpunkte D, E, F, dieHöhenfußpunkte
H a ,H b ,H c und die drei Mittelpunkte M A ,M B ,M C der Strecken von
den Ecken des Dreiecks (A, B, C) zu dessen Höhenschnittpunkt P H liegen auf
einem Kreis, dem sogenannten Feuerbachschen Kreis.
Der Radius dieses Kreises ist halb so groß wie der Radius des Umkreises. Der
Mittelpunkt liegt auf der Eulerschen Geraden und halbiert |P H P MS |.
A
B
Eulersche Gerade
C
Bild 9
7

Satz 30 (Simonsche Gerade). Gegeben sei ein Dreieck (A, B, C) und ein Punkt
P des Umkreises. Seien P a ,P b ,P c die Projektionen von P auf die Verlängerungen
der Seiten a, b, c des Dreiecks. Dann liegen P a ,P b ,P c auf einer Geraden,
die Simonsche Gerade genannt wird.
Simonsche Gerade
Erste Steinersche Gerade
Bild 9
Definition. Ein Viereck, dessen Seiten einen Kreis berühren, heißt Tangentenviereck.
Ein Viereck, dessen Seiten Sehnen eines Kreises sind, heißt Sehnenviereck.
Satz 31 (Sehnenviereck). In jedem Sehnenviereck beträgt die Summe gegenüberliegender
Winkel π. Umgekehrt ist jedes Viereck mit dieser Eigenschaft ein
Sehnenviereck.
Satz 32 (Tangentenviereck). In jedem Tangentenviereck ist die Summe der
Längen gegenüberliegender Seiten gleich lang. Umgekehrt ist jedes Viereck mit
dieser Eigenschaft ein Tangentenviereck.
1.3.4 Inversion und Möbiustransformation
Definition. Verallgemeinerte Kreise sind Objekte, die entweder ein Kreis oder
eine Gerade sind. Sie haben die Form
K : E ·|z| 2 + F · z + ¯F · ¯z + G =0
|wobei z,F ∈ C
Für E ≠ 0 und |F | 2 >E· G erhält man einen Kreis.
Für E = 0 und F ≠ 0 erhält man eine Gerade.
Definition. Eine Abbildung S K : Ĉ −→ Ĉ mit
⎧
⎪⎨ z 0 +
r2
¯z− ¯z 0
für z ∈ C \{z 0 }
S K (z) = ∞ für z = z 0
⎪⎩
für z = ∞
wird Spiegelung oder Inversion an Kreis K genannt.
z 0
8

Satz 33 (Inversion von verallgemeinerten Kreisen). Jede Inversion bildet einen
verallgemeinerten Kreis der Ebene auf einen verallgemeinerten Kreis ab.
Insbesondere werden
• Geraden durch den Mittelpunkt auf sich selbst abgebildet
• Geraden, die nicht durch den Mittelpunkt gehen auf einen Kreis durch den
Mittelpunkt abgebildet
• Kreise, die nicht durch den Mittelpunkt gehen auf Kreise abgebildet, die
ebenfalls nicht durch den Mittelpunkt gehen.
Satz 34 (Winkeltreue). Jede Kreisspiegelung ist winkeltreu.
Definition. Die Komposition zweier Inversionen ist eine sogenannte gebrochen
lineare Funktion oder Möbiustransformation. Darunter verstehen wir eine Abbildung
S K : Ĉ −→ Ĉ mit
⎧
az+b
⎪⎨ cz+d
für z ≠ ∞
a
ϕ A (z) :=
c
für z = ∞, c≠0
⎪⎩
∞ für z = ∞, c=0
( )
a b
wobei gelten muss, dass A := ∈ GL(2, C)
c d
Satz 35 (Bijektivität). Es gilt
1. für zwei Matrizen A, B ∈ GL(2, C)
ϕ B ◦ ϕ A = ϕ AB
2. die Abbildung ϕ A ist bijektiv mit der Umkehrabbildung (ϕ A ) − 1=ϕ A − 1
Satz 36 (Gruppeneigenschaft). Die Möbiustransformation bildet bezüglich der
Hintereinanderausführung eine Gruppe.
Satz 37 (Kompostion). Jede Möbiustransformation lässt sich aus den folgenden
drei speziellen Transformationen erzeugen:
• (1) ϕ (1)a (z) :=z ↦→ z + a
• (2) ϕ (2)a (z) :=z ↦→ az
• (3) ϕ (3) (z) :=z ↦→ 1 z
Definition. Das Doppelvehältniss (DV ) von vier verschiedenen Punkten z 1 ,z 2 ,z 3 ,z 4 ∈
Ĉ ist definiert durch
DV (z 1 ,z 2 ,z 3 ,z 4 ):= z 1 − z 3
z 2 − z 3
: z 1 − z 4
z 2 − z 4
Satz 38 (Doppelverhältnisinvarianz). Möbiustransformationen erhalten das Doppelverhältnis.
D.h. ist ϕ A eine Möbiustransformation und sind z 1 ,z 2 ,z 3 ,z 4 vier
verschiedene Punkte aus Ĉ mit Bildpunkten ϕ A(z i )=w i ,i=1, ..., 4, sogilt
DV (z 1 ,z 2 ,z 3 ,z 4 )=DV (w 1 ,w 2 ,w 3 ,w 4 )
9

Satz 39 (Eindeutigkeit von Kreisen). Sind z 1 ,z 2 ,z 3 und w 1 ,w 2 ,w 3 je drei verschiedene
Punkte aus Ĉ, dann gibt es genau eine Möbiustransformation ϕ A mit
ϕ A (z i )=w i ,i=1, 2, 3.
Lemma (D). rei verschiedene Punkte aus Ĉ liegen stets auf genau einem verallgemeinerten
Kreis. Vier verschiedene Punkte aus Ĉ liegen genau dann auf
einem verallgemeinerten Kreis, wenn ihr Doppelverhältnis reell ist.
1.4 Kegelschnitte
z
✻
t
✭✭✭✭✭✭✭✭✭✭✭✭✭✭✭✭✭
✭✭✭✭✭✭✭✭✭✭✭✭✭✭✭✭✭
γ
β
✲ y
✠
x
Bild 10
Definition. Sei K ein Kegel in R 3 mit Spitze S =(0, 0, 0) und halben Öffnungswinkel
γ mit 0

in den Polarkoordinaten der Ebene folgende explizite Gleichung für den Schnitt
π ∩ K:
t · (cos (ϕ)+C · tan (β)) + D =0
Nach Übergang zu den euklidischen Koordinaten x, y und Einführung der neuen
Parameter
ɛ :=
tan (α)
, p := ±D · ɛ mit p>0
tan (β)
erhalten wir die allgemeine Kegelschnittgleichung
y 2 +(1− ɛ 2 )x 2 ± 2pɛx − p 2 =0.
Satz 40 (Abhängigkeit von ɛ und p). Ein Kegelschnitt ist bis auf euklidische
Bewegung in der Ebene eindeutig durch seine numerische Exzentrizität ɛ und
seinen Parameter p bestimmt.
Satz 41 (einige Eigenschaften von Kegelschnitten).
Ellipse Hyperbel Parabel
√
√
ɛ ± 1 − b2
a 2 ,ɛ>0 ± 1 − b2
a 2 ,ɛ

1.5 Rotationskörper und -flächen
Profilkurve Rotationskörper
y ± √ x 2 + y 2
C : F (y, z) C : F (± √ x 2 + y 2 , 0)
y(t) (|y(t)|·cos ϕ, |y(t)|·sin ϕ)
C = {(y(t),z(t)| t ∈ [a, b]} C = {|y(t)|·cos ϕ, |y(t)|·sin ϕ, z(t)| t ∈ [a, b] ,ϕ∈ [0; 2π]}
y 2
Ellipse E :
b 2 + z2
c 2 =1 Rotations-Ellipsoid RE : x 2
b 2 + y2
b 2 + z2
c 2 =1
y 2
Hyperbeln: H 1 :
b 2 − z2
c 2 =1 einsch. Rotations-Hyperboloid RH x 2
1 :
b 2 + y2
b 2 − z2
c 2 =1
Hyperbeln: H 2 : − y2
b 2 + z2
c 2 =1 zweisch. Rotations-Hyperboloid RH 2 : − x2
b 2 − y2
b 2 + z2
c 2 =1
Parabel P : z = y 2 Rotations-Paraboloid RP : z = x 2 + y 2
Gerade g : z = y Kreiskegel K : z = ± √ x 2 + y 2 ⇔ z 2 = x 2 + y 2
Satz 42 (Volumen von Rotationskörpern). Ist die Kurve C in der Gestalt
(y(z),z), a ≤ z ≤ b parametrisiert, so gilt
vol(K(C)) = π
∫ b
a
y 2 (z) · dz
Satz 43 (Oberfläche von Rotationskörper). Ist (y(t),z(t)),a ≤ t ≤ b eine Parametrisierung
von C, sogiltfür die Oberfläche der Rotationsfläche F (C) die
Formel
∫ b
O(F (C)) = 2π |y(t)| √ (y ′ (t)) 2 +(z ′ (t)) 2 dt
a
12

2 Symmetrien der Ebene und des Raumes
2.1 Affine Abbildungen
Definition. Eine Abbildung f : E n → E n nennt man affine Abbildung, falls
für beliebige vier Punkte P 1 ,P 2 ,P 3 ,P 4 und für jede Zahl t ∈ R gilt
−−−→
P 1 P 2 = t · −−−→ P 3 P 4 =⇒ f(P −−−−−−−→ −−−−−−−→
1 )f(P 2 )=t · f(P 3 )f(P 4 )
→ E n ei-
Lemma (alternative Definition affiner Abbildungen). Damit f : E n
ne affine Abbildung ist, reichen drei Punkte:
−−−→
P 1 P 2 = t · −−−→ P 1 P 3 =⇒ f(P −−−−−−−→ −−−−−−−→
1 )f(P 2 )=t · f(P 1 )f(P 3 )
Definition. Sei f : E n →E n eine affine Abbildung und seien P 1 ,P 2 beliebige
Punkte. Dann wird die zu f assoziierte Vektorabbildung definiert durch:
L f : V (E n ) → V (E n )
⃗u = −−−→ P 1 P 2 ↦→ ⃗v = f(P −−−−−−−→
1 )f(P 2 )
Satz 44 (Linearität von L f ). Die zu einer affinen Abbildung f assoziierte Vektorabbildung
L f ist linear.
Lemma (Affinität von L). Zu jeder linearen Abbildung L : V (E n ) → V (E n )
existiert eine affine Abbildung f : E n → E n , sodass L f = L.
Lemma (Charakteristische Eigenschaften affiner Abbildungen). Affine Abbildungen
sind
1. geradentreu, d.h. Geraden werden auf Geraden abgebildet.
2. parallelentreu, d.h. die Parallelität von Geraden bleibt erhalten.
3. teilverhältnistreu.
4. durch ein △(A, B, C) und sein Bilddreieck △(A ′ ,B ′ ,C ′ ) eindeutig bestimmt.
2.2 Projektionen
Definition. Eine beliebige affine Abbildung f : X → X wird Projektion
genannt, falls f 2 = f. Es gilt also f| im(f) = id.
Ist X = V ein Vektorraum und L : V → V eine lineare Abbildung mit L 2 = L,
so wird L eine Vektorprojetion genannt.
Ist X = E n ein affiner (Punkt-)Raum und p : E n →E n eine affine Abbildung
mit p 2 = p, sowirdp eine Punktprojektion genannt.
Definition. Seien G und γ nicht parallele Geraden in E 2 und M ∈ E 2 beliebig.
Durch M geht genau eine zu γ parallele Gerade. Deren Schnittpunkt mit G sei
M ′ .
Die Abbildung p : E 2 →E 2 mit p(M) =M ′ heißt Parallelprojektion auf G
entlang γ.
Ist γ ⊥ G, so heißt p die Orthogonalprojektion auf G.
13

Bild 11: Parallelenprojektion in der Ebene entlang γ
Bemerkung. Es gilt:
• p 2 = p und im(p) =G.
• −−→ MN ‖ γ ⇒ p(N) =p(M) =M ′ (für M,N ∈ E 2 )
Definition. Seien E eine Ebene und γ eine Gerade in E 3 ,dieE in einem Punkt
schneidet. Sei M ∈ E 3 beliebig. Durch M geht genau eine zu γ parallele Gerade.
Deren Schnittpunkt mit E sei M ′ .
Die Abbildung p : E 3 →E 3 mit p(M) = M ′ heißt Parallelprojektion auf E
entlang γ.
Ist γ ⊥ E, so heißt p die Orthogonalprojektion auf E.
Bild 12: Parallelenprojektion im Raum entlang γ
Bemerkung. Es gilt:
• p 2 = p und im(p) =E.
• −−→ MN ‖ γ ⇒ p(N) =p(M) =M ′ (für M,N ∈ E 3 )
Definition. Seien E eine Ebene und G eine Gerade in E 3 ,dieE in einem Punkt
schneidet. Sei M ∈ E 3 beliebig. Durch M geht genau eine zu E parallele Ebene.
Deren Schnittpunkt mit G sei M ′ .
Die Abbildung p : E 3 → E 3 mit p(M) =M ′ heißt Parallelprojektion auf G
entlang E.
Ist E ⊥ G, soheißtp die Orthogonalprojektion auf G.
Bild 13: Parallelenprojektion im Raum entlang E (hier: π)
14

Bemerkung. Es gilt:
• p 2 = p und im(p) =G.
• −−→ MN ∈ E ⇒ p(N) =p(M) =M ′ (für M,N ∈ E 3 )
→E n eine Projektionsab-
Lemma (Dimension von Projektionen). Sei p : E n
bildung. Dann gilt:
0

Satz 47 (Charakterisierung zentrischer Streckungen und Translationen). Sei
f : E n →E n eine Transformation für die gilt:
Es existiert ein k ∈ R/{0} mit −−−−−−−→ f(M)f(n) =k −−→ MN für alle M,N ∈E n . Dann
gilt:
1. Ist k =1, dann ist f eine Translation.
2. Ist k ≠1, dann ist f eine zentrische Streckung.
Lemma (Affinität, Gruppeneigenschaft zentrischer Streckungen und Translationen).
Zentrische Streckungen und Translationen im E n sind affine Abbildungen.
Sie bilden gemeinsam eine nicht abelsche Gruppe von Transformationen des affinen
Raumes E n .
Lemma (Invarianten). Sei f eine zentrische Streckung oder eine Translation.
1. Das Bild einer Geraden G unter f ist eine zu G parallele Gerade.
2. Das Bild einer Ebene π unter f ist eine zu π parallel Ebene.
3. Das Bild eines Dreiecks unter f ist ein zum ursprünglichen Dreieck ähnliches
Dreieck.
4. Das Bild eines Kreises unter f ist ein Kreis.
5. Das Bild einer Sphäre unter f ist eine Sphäre.
2.4 Ebene Isometrien und Ähnlichkeitstransformationen
Definition. Eine Isometrie i : E n →E n ist eine abstandserhaltende Transformation.
Die Isometrien der Ebene bilden eine nicht abelsche Gruppe I.
Sei I 0 die Gruppe von Isometrien, die den Punkt 0 nicht bewegen.
Bemerkung. Beispiele für Isometrien sind: Translationen, Drehungen, Punktspiegelungen
und (orthogonale) Achsenspiegelungen. Zentrische Streckungen mit
k ≠ ±1 sind zwar Transformationen, aber keine Isometrien. Das gleiche gilt für
Schrägspiegelungen, bei denen die Spiegelgerade G und Spiegelrichtung γ nicht
senkrecht aufeinander stehen.
Satz 48 (Affinität). Isometrien sind affine Abbildungen.
Lemma (Komposition zweier Achsenspiegelungen). Seien s G und s G ′ die Achsenspiegelungen
an den Geraden G bzw. G’.
1. Sind G und G’ parallel, so ist s G ◦ s G ′ eine Translation um den doppelten
Abstandsvektor von G zu G’.
2. Ist α der Winkel zwischen G und G’, so ist s G ◦ s G ′ eine Drehung um 2α
um den Schnittpunkt von G zu G’.
Bild 14
16

Jede Drehung und jede Translation ist die Superposition zweier geeigneter Achsenspiegelungen.
Lemma (Komposition von Translationen mit Speigelung und Drehungen). Sei
t ⃗u die Translation um den Vektor ⃗u und s G die Spiegelung an der Geraden G.
1. Falls ⃗u senkrecht auf G steht, so ist t ⃗u ◦ s G eine Spiegelung.
2. Falls ⃗u nicht senkrecht auf G steht, so existieren ein Vektor ⃗u ′ und eine
Gerade G ′ , die beide parallel zu G sind, und zudem t ⃗u ◦ s G = t ⃗u ′ ◦ s G ′ gilt.
Insbesondere hat t ⃗u ◦ s G in diesem Fall keine Fixpunkte.
Definition. Eine Translation der Form t ⃗u ◦ s G mit ⃗u ‖ G heißt Gleitspiegelung.
Dabei kommt es nicht auf die Verknüpfungsreihenfolge an.
Lemma (Drehungen). Sei t eine Translation und r eine Drehung mit Drehwinkel
α ≠0. Dann sind t ◦ r und r ◦ t ebenfalls Drehungen um den Winkel
α.
Satz 49 (Identität). Hat eine Isometrie i : E 2 →E 2 mindestens drei nicht
kollineare Fixpunkte, so handelt es sich um die identische Abbildung.
Lemma (Gleichheit). Sind i 1 und i 2 Isometrien mit i 1 (A) =i 2 (A),i 1 (B) =
i 2 (B),i 1 (C) =i 2 (C) für drei nicht kollineare Punkte A,B,C, so folgt i 1 = i 2 .
Sei 0 ein fest gewählter Punkt der Ebene und i 1 ,i 2 zwei Isometrien aus I 0 .
Existieren zwei nicht kollineare Punkte A,B, mit i 1 (A) =i 2 (A),i 1 (B) =i 2 (B),
so folgt i 1 = i 2 .
Satz 50 (Elemente von I 0 ). Die einzigen Elemente von I 0 sind
1. Die Drehung um den Punkt 0 (=:I + 0 )
2. Die Spiegelung an einer Achse durch 0 (=:I − 0 )
Satz 51 (Anzahl der Fixpunkte). Jede Isometrie i
• mit drei nicht kollinearen Fixpunkten, ist die Identität.
• mit mindestens zwei verschiedenen Fixpunkten A und B, die nicht die
Identität ist, ist die Spiegelung an der Achse G(A, B).
• mit genau einem Fixpunkt A, ist die Drehung um A, mit nichtverschwindendem
Drehwinkel α (α ≠ 0mod 2π).
• ohne Fixpunkte, ist entweder eine Translation oder eine Gleitspiegelung.
Lemma (Isometrien als Komposition von Achsenspiegelungen). Jede ebene Isometrie
kann als Verknüpfung von höchstens drei Achsenspiegelungen dargestellt
werden.
Lemma (Komposition von Drehungen). Seien r A,α und r B,β
um A, bzw. B mit Drehwinkel α bzw. β.
die Drehungen
1. Gilt A=B, so folgt r A,α ◦ r A,β = r A,α+β .
≠ 2. Gilt A ≠ B, sofolgtr A,α ◦ r B,β = r C,α+β ,fallsα + β 0 mod 2π,
andernfalls ist es eine Translation.
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Definition. Eine Transformation σ : E 3 → E 3 heißt Ähnlichkeitstransformation,
falls es eine positive Zahl k derart gibt, dass für zwei beliebige Punkte M
und N gilt:
k · d(M,N) =d(σ(M),σ(N)).
Die Zahl k heißt Faktor der Ähnlichkeitstransformation σ.
Lemma (Ähnlichkeitstransformation als Komposition). Jede Ähnlichkeitstransformation
ist die Verknüpfung einer Isometrie mit einer zentrischen Streckung.
Lemma (Komposition von Drehung und Streckung mit gleichem Zentrum).
Für eine Drehung r = r (O,α) und eine zentrische Streckung h = h (O,k) mit
gleichem Zentrum gilt h ◦ r = r ◦ h.
Lemma (Spiegelung Höhenschnittpunkt). Sei H der Höhenschnittpunkt im
Dreieck (A, B, C) und K dessen Umkreis. Das Bild von H unter der orthogonalen
Spiegelung an einer Kante des Dreiecks liegt ebenfalls auf dem Umkreis.
Satz 52 (zweite Steinersche Gerade). Sei H der Höhenschnittpunkt im Dreieck
(A, B, C) und M ein beliebiger Punkt auf dessen Umkreis K. Seien weiterhin
M a ,M b ,M c die Bilder von M unter den orthogonalen Spiegelungen an den Kanten
a,b,c des Dreiecks. Dann liegen H, M a ,M b und M c auf einer Geraden, die
zweite Steinersche Gerade genannt wird.
Bild 15
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