diskret - an der Fakultät für Mathematik! - Universität Wien
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Was ist Diskrete <strong>Mathematik</strong> und wozu?<br />
Christi<strong>an</strong> Krattenthaler<br />
<strong>Fakultät</strong> <strong>für</strong> <strong>Mathematik</strong>, <strong>Universität</strong> <strong>Wien</strong><br />
Christi<strong>an</strong> Krattenthaler<br />
Diskrete <strong>Mathematik</strong>
Was ist Diskrete <strong>Mathematik</strong>?<br />
Christi<strong>an</strong> Krattenthaler<br />
Diskrete <strong>Mathematik</strong>
Was ist Diskrete <strong>Mathematik</strong>?<br />
<strong>diskret</strong> . . .<br />
Christi<strong>an</strong> Krattenthaler<br />
Diskrete <strong>Mathematik</strong>
Was ist Diskrete <strong>Mathematik</strong>?<br />
<strong>diskret</strong> . . . 1) unauällig, unaufdringlich (Brockhaus)<br />
Christi<strong>an</strong> Krattenthaler<br />
Diskrete <strong>Mathematik</strong>
Was ist Diskrete <strong>Mathematik</strong>?<br />
<strong>diskret</strong> . . . 1) unauällig, unaufdringlich (Brockhaus)<br />
Diskrete <strong>Mathematik</strong> ist die <strong>Mathematik</strong>, die sich im Hintergrund<br />
hält.<br />
Christi<strong>an</strong> Krattenthaler<br />
Diskrete <strong>Mathematik</strong>
Was ist Diskrete <strong>Mathematik</strong>?<br />
<strong>diskret</strong> . . . 1) unauällig, unaufdringlich (Brockhaus)<br />
/∖/∖/∖/∖/∖/∖/∖/∖/∖/∖/∖/∖/∖/∖/∖/∖/∖/∖/∖/∖/∖/∖/∖<br />
Diskrete <strong>Mathematik</strong> ist die <strong>Mathematik</strong>, die sich im Hintergrund<br />
hält.<br />
Christi<strong>an</strong> Krattenthaler<br />
Diskrete <strong>Mathematik</strong>
Was ist Diskrete <strong>Mathematik</strong>?<br />
<strong>diskret</strong> . . . 1) unauällig, unaufdringlich (Brockhaus)<br />
Christi<strong>an</strong> Krattenthaler<br />
Diskrete <strong>Mathematik</strong>
Was ist Diskrete <strong>Mathematik</strong>?<br />
<strong>diskret</strong> . . . 1) unauällig, unaufdringlich (Brockhaus)<br />
2) taktvoll, rücksichtsvoll (Brockhaus)<br />
Christi<strong>an</strong> Krattenthaler<br />
Diskrete <strong>Mathematik</strong>
Was ist Diskrete <strong>Mathematik</strong>?<br />
<strong>diskret</strong> . . . 1) unauällig, unaufdringlich (Brockhaus)<br />
2) taktvoll, rücksichtsvoll (Brockhaus)<br />
Diskrete <strong>Mathematik</strong> ist die <strong>Mathematik</strong>, die von auÿerordentlich<br />
<strong>diskret</strong>en Personen betrieben wird.<br />
Christi<strong>an</strong> Krattenthaler<br />
Diskrete <strong>Mathematik</strong>
Was ist Diskrete <strong>Mathematik</strong>?<br />
<strong>diskret</strong> . . . 1) unauällig, unaufdringlich (Brockhaus)<br />
2) taktvoll, rücksichtsvoll (Brockhaus)<br />
/∖/∖/∖/∖/∖/∖/∖/∖/∖/∖/∖/∖/∖/∖/∖/∖/∖/∖/∖/∖/∖/∖/∖<br />
Diskrete <strong>Mathematik</strong> ist die <strong>Mathematik</strong>, die von auÿerordentlich<br />
<strong>diskret</strong>en Personen betrieben wird.<br />
Christi<strong>an</strong> Krattenthaler<br />
Diskrete <strong>Mathematik</strong>
Was ist Diskrete <strong>Mathematik</strong>?<br />
<strong>diskret</strong> . . . 1) unauällig, unaufdringlich (Brockhaus)<br />
2) taktvoll, rücksichtsvoll (Brockhaus)<br />
Christi<strong>an</strong> Krattenthaler<br />
Diskrete <strong>Mathematik</strong>
Was ist Diskrete <strong>Mathematik</strong>?<br />
<strong>diskret</strong> . . . 1) unauällig, unaufdringlich (Brockhaus)<br />
2) taktvoll, rücksichtsvoll (Brockhaus)<br />
3) △ nicht zusammenhängend<br />
Christi<strong>an</strong> Krattenthaler<br />
Diskrete <strong>Mathematik</strong>
Was ist Diskrete <strong>Mathematik</strong>?<br />
<strong>diskret</strong> . . . 1) unauällig, unaufdringlich (Brockhaus)<br />
2) taktvoll, rücksichtsvoll (Brockhaus)<br />
3) △ 1 nicht zusammenhängend<br />
1 △ = <strong>Mathematik</strong><br />
Christi<strong>an</strong> Krattenthaler<br />
Diskrete <strong>Mathematik</strong>
Was ist Diskrete <strong>Mathematik</strong>?<br />
<strong>diskret</strong> . . . 1) unauällig, unaufdringlich (Brockhaus)<br />
2) taktvoll, rücksichtsvoll (Brockhaus)<br />
3) △ 1 nicht zusammenhängend<br />
Ggt.: kontinuierlich (Brockhaus)<br />
1 △ = <strong>Mathematik</strong><br />
Christi<strong>an</strong> Krattenthaler<br />
Diskrete <strong>Mathematik</strong>
Was ist Diskrete <strong>Mathematik</strong>?<br />
<strong>diskret</strong> kommt von lateinisch discretus, das Partizip Perfekt von<br />
discernere.<br />
Christi<strong>an</strong> Krattenthaler<br />
Diskrete <strong>Mathematik</strong>
Was ist Diskrete <strong>Mathematik</strong>?<br />
<strong>diskret</strong> kommt von lateinisch discretus, das Partizip Perfekt von<br />
discernere.<br />
Letzteres bedeutet abson<strong>der</strong>n, unterscheiden, trennen.<br />
Christi<strong>an</strong> Krattenthaler<br />
Diskrete <strong>Mathematik</strong>
Was ist Diskrete <strong>Mathematik</strong>?<br />
<strong>diskret</strong> kommt von lateinisch discretus, das Partizip Perfekt von<br />
discernere.<br />
Letzteres bedeutet abson<strong>der</strong>n, unterscheiden, trennen.<br />
Es ist also das Gegenteil von kontinuierlich, o<strong>der</strong> synonym: stetig.<br />
Christi<strong>an</strong> Krattenthaler<br />
Diskrete <strong>Mathematik</strong>
Was ist Diskrete <strong>Mathematik</strong>?<br />
<strong>diskret</strong> kommt von lateinisch discretus, das Partizip Perfekt von<br />
discernere.<br />
Letzteres bedeutet abson<strong>der</strong>n, unterscheiden, trennen.<br />
Es ist also das Gegenteil von kontinuierlich, o<strong>der</strong> synonym: stetig.<br />
Denition<br />
Die Funktion f ist stetig im Punkt x genau d<strong>an</strong>n, wenn <strong>für</strong> alle<br />
ε > 0 ein δ > 0 existiert, sodass <strong>für</strong> alle x 0 mit |x − x 0 | < δ die<br />
Ungleichung |f (x) − f (x 0 )| < ε gilt.<br />
Christi<strong>an</strong> Krattenthaler<br />
Diskrete <strong>Mathematik</strong>
Was ist Diskrete <strong>Mathematik</strong>?<br />
<strong>diskret</strong> kommt von lateinisch discretus, das Partizip Perfekt von<br />
discernere.<br />
Letzteres bedeutet abson<strong>der</strong>n, unterscheiden, trennen.<br />
Es ist also das Gegenteil von kontinuierlich, o<strong>der</strong> synonym: stetig.<br />
Christi<strong>an</strong> Krattenthaler<br />
Diskrete <strong>Mathematik</strong>
Was ist Diskrete <strong>Mathematik</strong>?<br />
stetig:<br />
<strong>diskret</strong>:<br />
Christi<strong>an</strong> Krattenthaler<br />
Diskrete <strong>Mathematik</strong>
Was ist Diskrete <strong>Mathematik</strong>?<br />
stetig:<br />
<strong>diskret</strong>:<br />
Christi<strong>an</strong> Krattenthaler<br />
Diskrete <strong>Mathematik</strong>
Was ist Diskrete <strong>Mathematik</strong>?<br />
stetig:<br />
<strong>diskret</strong>:<br />
Christi<strong>an</strong> Krattenthaler<br />
Diskrete <strong>Mathematik</strong>
Was ist Diskrete <strong>Mathematik</strong>?<br />
Diskrete <strong>Mathematik</strong> beschäftigt sich nicht mit<br />
Dierentialrechnung, Integralrechnung, Dierentialgleichungen,<br />
Integralgleichungen, Kurven, Flächen, kontinuierlichen Bewegungen<br />
und Prozessen, . . .<br />
Christi<strong>an</strong> Krattenthaler<br />
Diskrete <strong>Mathematik</strong>
Erwartungen, die ich enttäuschen werde<br />
Christi<strong>an</strong> Krattenthaler<br />
Diskrete <strong>Mathematik</strong>
Erwartungen, die ich enttäuschen werde<br />
Industrie- und Wirtschaftsprobleme, und wie Diskrete<br />
<strong>Mathematik</strong> diese löst<br />
Christi<strong>an</strong> Krattenthaler<br />
Diskrete <strong>Mathematik</strong>
<strong>Mathematik</strong> lässt sich nicht auf eine Hilfswissenschaft <strong>der</strong><br />
Wirtschaft, Industrie, Physik, . . . reduzieren,<br />
ja sie muss sich hüten, auf eine solche reduziert zu werden, in ihrem<br />
eigenen Interesse, aber insbeson<strong>der</strong>e auch im Interesse ihrer<br />
Anwendungen!<br />
Christi<strong>an</strong> Krattenthaler<br />
Diskrete <strong>Mathematik</strong>
Nicht weil es nützlich, weil es interess<strong>an</strong>t ist, will m<strong>an</strong> verstehen!<br />
(Rudolf Taschner)<br />
Christi<strong>an</strong> Krattenthaler<br />
Diskrete <strong>Mathematik</strong>
. . .<br />
ja sie muss sich hüten, auf eine solche reduziert zu werden, in ihrem<br />
eigenen Interesse, aber insbeson<strong>der</strong>e auch im Interesse ihrer<br />
Anwendungen!<br />
Christi<strong>an</strong> Krattenthaler<br />
Diskrete <strong>Mathematik</strong>
Der (geistige) Vater <strong>der</strong> heute verwendeten Internetverschlüsselung<br />
ist Leonhard Euler!<br />
Christi<strong>an</strong> Krattenthaler<br />
Diskrete <strong>Mathematik</strong>
Der (geistige) Vater <strong>der</strong> heute verwendeten Internetverschlüsselung<br />
ist Leonhard Euler!<br />
Ron Rivest, Adi Shamir, Len Adlem<strong>an</strong> erf<strong>an</strong>den die<br />
RSA-Verschlüsselung.<br />
Christi<strong>an</strong> Krattenthaler<br />
Diskrete <strong>Mathematik</strong>
Der (geistige) Vater <strong>der</strong> heute verwendeten Internetverschlüsselung<br />
ist Leonhard Euler!<br />
Ron Rivest, Adi Shamir, Len Adlem<strong>an</strong> erf<strong>an</strong>den die<br />
RSA-Verschlüsselung.<br />
Aber die verwendete <strong>Mathematik</strong> stammt ausschlieÿlich von Euler,<br />
aus einer Zeit, wo nicht nur die Worte ,,Kryptographie und<br />
,,Internet völlig unbek<strong>an</strong>nt waren . . .<br />
Christi<strong>an</strong> Krattenthaler<br />
Diskrete <strong>Mathematik</strong>
Erwartungen, die ich enttäuschen werde<br />
Industrie- und Wirtschaftsprobleme, und wie Diskrete<br />
<strong>Mathematik</strong> diese löst<br />
Christi<strong>an</strong> Krattenthaler<br />
Diskrete <strong>Mathematik</strong>
Erwartungen, die ich enttäuschen werde<br />
Industrie- und Wirtschaftsprobleme, und wie Diskrete<br />
<strong>Mathematik</strong> diese löst<br />
Einblicke in neue eigene Resultate<br />
Christi<strong>an</strong> Krattenthaler<br />
Diskrete <strong>Mathematik</strong>
Satz<br />
Die Anzahl <strong>der</strong> Multiketten x 1 ≤ x 2 ≤ · · · ≤ x l−1 im Poset <strong>der</strong><br />
m-teilbaren nichtkreuzenden Partitionen assoziiert zur<br />
Spiegelungsgruppe vom Typ D n mit R<strong>an</strong>g(x i ) = s 1 + s 2 + · · · + s i ,<br />
i = 1, 2, . . . , l − 1, ist durch<br />
( )( n − 1 m(n − 1)<br />
2<br />
s 1<br />
+ m<br />
l∑<br />
j=2<br />
( ) m(n − 1)<br />
· · ·<br />
s l<br />
)<br />
s 2<br />
( )( )<br />
n − 1 m(n − 1)<br />
· · ·<br />
s 1 s 2<br />
+<br />
gegeben, wo s 1 + s 2 + · · · + s l = n.<br />
( m(n − 1) − 1<br />
s j − 2<br />
( )( )<br />
n − 2 m(n − 1)<br />
· · ·<br />
s 1 − 2 s 2<br />
) ( m(n − 1)<br />
· · ·<br />
s l<br />
)<br />
( ) m(n − 1)<br />
s l<br />
Christi<strong>an</strong> Krattenthaler<br />
Diskrete <strong>Mathematik</strong>
Erwartungen, die ich enttäuschen werde<br />
Industrie- und Wirtschaftsprobleme, und wie Diskrete<br />
<strong>Mathematik</strong> diese löst<br />
Einblicke in neue eigene Resultate<br />
Christi<strong>an</strong> Krattenthaler<br />
Diskrete <strong>Mathematik</strong>
Wieviele?<br />
Christi<strong>an</strong> Krattenthaler<br />
Diskrete <strong>Mathematik</strong>
Wieviele?<br />
Wieviele Lottotipps gibt es 6 aus 45?<br />
Christi<strong>an</strong> Krattenthaler<br />
Diskrete <strong>Mathematik</strong>
Wieviele?<br />
Wieviele Lottotipps gibt es 6 aus 45?<br />
✎☞ ✎☞ ✎☞ ✎☞ ✎☞ ✎☞<br />
✍✌ ✍✌ ✍✌ ✍✌ ✍✌ ✍✌<br />
Christi<strong>an</strong> Krattenthaler<br />
Diskrete <strong>Mathematik</strong>
Wieviele?<br />
Wieviele Lottotipps gibt es 6 aus 45?<br />
✎☞ ✎☞ ✎☞ ✎☞ ✎☞ ✎☞<br />
✍✌ ✍✌ ✍✌ ✍✌ ✍✌ ✍✌<br />
↑<br />
45 Möglichkeiten<br />
Christi<strong>an</strong> Krattenthaler<br />
Diskrete <strong>Mathematik</strong>
Wieviele?<br />
Wieviele Lottotipps gibt es 6 aus 45?<br />
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13<br />
✍✌ ✍✌ ✍✌ ✍✌ ✍✌ ✍✌<br />
Christi<strong>an</strong> Krattenthaler<br />
Diskrete <strong>Mathematik</strong>
Wieviele?<br />
Wieviele Lottotipps gibt es 6 aus 45?<br />
✎☞ ✎☞ ✎☞ ✎☞ ✎☞ ✎☞<br />
13<br />
✍✌ ✍✌ ✍✌ ✍✌ ✍✌ ✍✌<br />
↑<br />
44 Möglichkeiten<br />
Christi<strong>an</strong> Krattenthaler<br />
Diskrete <strong>Mathematik</strong>
Wieviele?<br />
Wieviele Lottotipps gibt es 6 aus 45?<br />
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13<br />
✍✌ ✍✌ 34<br />
✍✌ ✍✌ ✍✌ ✍✌<br />
Christi<strong>an</strong> Krattenthaler<br />
Diskrete <strong>Mathematik</strong>
Wieviele?<br />
Wieviele Lottotipps gibt es 6 aus 45?<br />
✎☞ ✎☞ ✎☞ ✎☞ ✎☞ ✎☞<br />
13<br />
✍✌ ✍✌ 34<br />
✍✌ ✍✌ ✍✌ ✍✌<br />
↑<br />
43 Möglichkeiten<br />
Christi<strong>an</strong> Krattenthaler<br />
Diskrete <strong>Mathematik</strong>
Wieviele?<br />
Wieviele Lottotipps gibt es 6 aus 45?<br />
✎☞ ✎☞ ✎☞ ✎☞ ✎☞ ✎☞<br />
13<br />
✍✌ ✍✌ 34<br />
✍✌ 10<br />
✍✌ ✍✌ ✍✌<br />
Christi<strong>an</strong> Krattenthaler<br />
Diskrete <strong>Mathematik</strong>
Wieviele?<br />
Wieviele Lottotipps gibt es 6 aus 45?<br />
✎☞ ✎☞ ✎☞ ✎☞ ✎☞ ✎☞<br />
13<br />
✍✌ ✍✌ 34<br />
✍✌ 10<br />
✍✌ ✍✌ ✍✌<br />
↑<br />
42 Möglichkeiten<br />
Christi<strong>an</strong> Krattenthaler<br />
Diskrete <strong>Mathematik</strong>
Wieviele?<br />
Wieviele Lottotipps gibt es 6 aus 45?<br />
✎☞ ✎☞ ✎☞ ✎☞ ✎☞ ✎☞<br />
13<br />
✍✌ ✍✌ 34<br />
✍✌ 10<br />
✍✌ 41<br />
✍✌ ✍✌<br />
Christi<strong>an</strong> Krattenthaler<br />
Diskrete <strong>Mathematik</strong>
Wieviele?<br />
Wieviele Lottotipps gibt es 6 aus 45?<br />
✎☞ ✎☞ ✎☞ ✎☞ ✎☞ ✎☞<br />
13<br />
✍✌ ✍✌ 34<br />
✍✌ 10<br />
✍✌ 41<br />
✍✌ ✍✌<br />
↑<br />
41 Möglichkeiten<br />
Christi<strong>an</strong> Krattenthaler<br />
Diskrete <strong>Mathematik</strong>
Wieviele?<br />
Wieviele Lottotipps gibt es 6 aus 45?<br />
✎☞ ✎☞ ✎☞ ✎☞ ✎☞ ✎☞<br />
13<br />
✍✌ ✍✌ 34<br />
✍✌ 10<br />
✍✌ 41<br />
✍✌ 36<br />
✍✌<br />
Christi<strong>an</strong> Krattenthaler<br />
Diskrete <strong>Mathematik</strong>
Wieviele?<br />
Wieviele Lottotipps gibt es 6 aus 45?<br />
✎☞ ✎☞ ✎☞ ✎☞ ✎☞ ✎☞<br />
13<br />
✍✌ ✍✌ 34<br />
✍✌ 10<br />
✍✌ 41<br />
✍✌ 36<br />
✍✌<br />
↑<br />
40 Möglichkeiten<br />
Christi<strong>an</strong> Krattenthaler<br />
Diskrete <strong>Mathematik</strong>
Wieviele?<br />
Wieviele Lottotipps gibt es 6 aus 45?<br />
✎☞ ✎☞ ✎☞ ✎☞ ✎☞ ✎☞<br />
13<br />
✍✌ ✍✌ 34<br />
✍✌ 10<br />
✍✌ 41<br />
✍✌ 36<br />
✍✌ 23<br />
Christi<strong>an</strong> Krattenthaler<br />
Diskrete <strong>Mathematik</strong>
Wieviele?<br />
Wieviele Lottotipps gibt es 6 aus 45?<br />
✎☞ ✎☞ ✎☞ ✎☞ ✎☞ ✎☞<br />
13<br />
✍✌ ✍✌ 34<br />
✍✌ 10<br />
✍✌ 41<br />
✍✌ 36<br />
✍✌ 23<br />
Also insgesamt:<br />
Christi<strong>an</strong> Krattenthaler<br />
Diskrete <strong>Mathematik</strong>
Wieviele?<br />
Wieviele Lottotipps gibt es 6 aus 45?<br />
✎☞ ✎☞ ✎☞ ✎☞ ✎☞ ✎☞<br />
13<br />
✍✌ ✍✌ 34<br />
✍✌ 10<br />
✍✌ 41<br />
✍✌ 36<br />
✍✌ 23<br />
Also insgesamt:<br />
45 · 44 · 43 · 42 · 41 · 40<br />
Christi<strong>an</strong> Krattenthaler<br />
Diskrete <strong>Mathematik</strong>
Wieviele?<br />
Wieviele Lottotipps gibt es 6 aus 45?<br />
Also insgesamt:<br />
✎☞ ✎☞ ✎☞ ✎☞ ✎☞ ✎☞<br />
10<br />
✍✌ ✍✌ 13<br />
✍✌ 23<br />
✍✌ 34<br />
✍✌ 36<br />
✍✌ 41<br />
45 · 44 · 43 · 42 · 41 · 40<br />
6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1<br />
Christi<strong>an</strong> Krattenthaler<br />
Diskrete <strong>Mathematik</strong>
Wieviele?<br />
Wieviele Lottotipps gibt es 6 aus 45?<br />
✎☞ ✎☞ ✎☞ ✎☞ ✎☞ ✎☞<br />
10<br />
✍✌ ✍✌ 13<br />
✍✌ 23<br />
✍✌ 34<br />
✍✌ 36<br />
✍✌ 41<br />
Also insgesamt:<br />
45 · 44 · 43 · 42 · 41 · 40<br />
6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1<br />
= 8145060.<br />
Christi<strong>an</strong> Krattenthaler<br />
Diskrete <strong>Mathematik</strong>
Wieviele?<br />
45 · 44 · 43 · 42 · 41 · 40<br />
6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1<br />
= 8145060.<br />
Christi<strong>an</strong> Krattenthaler<br />
Diskrete <strong>Mathematik</strong>
Wieviele?<br />
45 · 44 · 43 · 42 · 41 · 40<br />
= 8145060.<br />
6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1<br />
Die Wahrscheinlichkeit, den richtigen Tipp zu l<strong>an</strong>den, ist also<br />
1<br />
8145060 = 0.000000122774 . . .<br />
Christi<strong>an</strong> Krattenthaler<br />
Diskrete <strong>Mathematik</strong>
Wieviele?<br />
45 · 44 · 43 · 42 · 41 · 40<br />
= 8145060.<br />
6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1<br />
Die Wahrscheinlichkeit, den richtigen Tipp zu l<strong>an</strong>den, ist also<br />
1<br />
8145060 = 0.000000122774 . . .<br />
Die Wahrscheinlichkeit, das nicht zu tun, ist<br />
1 −<br />
1<br />
8145060 = 0.999999877226 . . .<br />
Christi<strong>an</strong> Krattenthaler<br />
Diskrete <strong>Mathematik</strong>
Wieviele?<br />
Wieviele Teilnehmer <strong>an</strong> einer Ziehung braucht es, dass wenigstens<br />
einer (mit 50% Wahrscheinlichkeit) den richtigen Tipp errät?<br />
Christi<strong>an</strong> Krattenthaler<br />
Diskrete <strong>Mathematik</strong>
Wieviele?<br />
Wieviele Teilnehmer <strong>an</strong> einer Ziehung braucht es, dass wenigstens<br />
einer (mit 50% Wahrscheinlichkeit) den richtigen Tipp errät?<br />
0.999999877226 5500000 = 0.509026 . . .<br />
Christi<strong>an</strong> Krattenthaler<br />
Diskrete <strong>Mathematik</strong>
Wieviele?<br />
Wieviele Teilnehmer <strong>an</strong> einer Ziehung braucht es, dass wenigstens<br />
einer (mit 50% Wahrscheinlichkeit) den richtigen Tipp errät?<br />
Mehr als 5.5 Millionen!<br />
0.999999877226 5500000 = 0.509026 . . .<br />
Christi<strong>an</strong> Krattenthaler<br />
Diskrete <strong>Mathematik</strong>
Wieviele?<br />
Die Frage <strong>der</strong> Abzählung (,,Wieviele?) taucht nicht nur in <strong>der</strong><br />
Wahrscheinlichkeitsrechnung, son<strong>der</strong>n in fast allen Gebieten <strong>der</strong><br />
<strong>Mathematik</strong> auf, sie ist die Grundlage <strong>für</strong> Laufzeit<strong>an</strong>alysen von<br />
Computeralgorithmen, <strong>für</strong> die Analyse von Modellen <strong>der</strong><br />
Statistischen Physik, um nur einige zu nennen.<br />
Christi<strong>an</strong> Krattenthaler<br />
Diskrete <strong>Mathematik</strong>
Das Wägeproblem<br />
Christi<strong>an</strong> Krattenthaler<br />
Diskrete <strong>Mathematik</strong>
Das Wägeproblem<br />
1 2 3 4 5 6<br />
7 8 9 10 11 12<br />
Christi<strong>an</strong> Krattenthaler<br />
Diskrete <strong>Mathematik</strong>
Das Wägeproblem<br />
1 2<br />
3 4 5 6<br />
7 8<br />
9 10 11 12<br />
Christi<strong>an</strong> Krattenthaler<br />
Diskrete <strong>Mathematik</strong>
Das Wägeproblem<br />
1 2<br />
3 4 5 6<br />
7 8<br />
9 10 11 12<br />
1 2 3<br />
4 5 6<br />
Christi<strong>an</strong> Krattenthaler<br />
Diskrete <strong>Mathematik</strong>
Das Wägeproblem<br />
1 2<br />
3 4 5 6<br />
7 8<br />
9 10 11 12<br />
1 2 3<br />
4 5 6<br />
1 2 3 7<br />
Christi<strong>an</strong> Krattenthaler<br />
Diskrete <strong>Mathematik</strong>
Das Wägeproblem<br />
1 2<br />
3 4 5 6<br />
7 8<br />
9 10 11 12<br />
1 2 3<br />
4 5 6<br />
5<br />
4<br />
1 2 3 7<br />
Christi<strong>an</strong> Krattenthaler<br />
Diskrete <strong>Mathematik</strong>
Das Wägeproblem<br />
Abstrakt:<br />
Christi<strong>an</strong> Krattenthaler<br />
Diskrete <strong>Mathematik</strong>
Das Wägeproblem<br />
Abstrakt:<br />
Zu Beginn gibt es genau 24 Möglichkeiten:<br />
Münze 1 ist zu schwer/zu leicht, . . . , Münze 12 ist zu schwer/zu<br />
leicht.<br />
Christi<strong>an</strong> Krattenthaler<br />
Diskrete <strong>Mathematik</strong>
Das Wägeproblem<br />
Abstrakt:<br />
Zu Beginn gibt es genau 24 Möglichkeiten:<br />
Münze 1 ist zu schwer/zu leicht, . . . , Münze 12 ist zu schwer/zu<br />
leicht.<br />
Bei je<strong>der</strong> Wägung gibt es 3 mögliche Ausgänge.<br />
Christi<strong>an</strong> Krattenthaler<br />
Diskrete <strong>Mathematik</strong>
Das Wägeproblem<br />
Abstrakt:<br />
Zu Beginn gibt es genau 24 Möglichkeiten:<br />
Münze 1 ist zu schwer/zu leicht, . . . , Münze 12 ist zu schwer/zu<br />
leicht.<br />
Bei je<strong>der</strong> Wägung gibt es 3 mögliche Ausgänge.<br />
Strategie: Konstruiere die Wägungen so, dass bei je<strong>der</strong> Wägung die<br />
Anzahl <strong>der</strong> Möglichkeiten (in etwa) gedrittelt wird.<br />
Christi<strong>an</strong> Krattenthaler<br />
Diskrete <strong>Mathematik</strong>
Das Wägeproblem<br />
Also:<br />
Christi<strong>an</strong> Krattenthaler<br />
Diskrete <strong>Mathematik</strong>
Das Wägeproblem<br />
Also:<br />
24<br />
Christi<strong>an</strong> Krattenthaler<br />
Diskrete <strong>Mathematik</strong>
Das Wägeproblem<br />
Also:<br />
24<br />
8 8 8<br />
Christi<strong>an</strong> Krattenthaler<br />
Diskrete <strong>Mathematik</strong>
Das Wägeproblem<br />
Also:<br />
24<br />
8 8 8<br />
3 3 2 3 3 2 3 3 2<br />
Christi<strong>an</strong> Krattenthaler<br />
Diskrete <strong>Mathematik</strong>
Das Wägeproblem<br />
Also:<br />
24<br />
8 8 8<br />
3 3 2 3 3 2 3 3 2<br />
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1<br />
Christi<strong>an</strong> Krattenthaler<br />
Diskrete <strong>Mathematik</strong>
Das Wägeproblem<br />
Wie haben wir das gemacht?<br />
Christi<strong>an</strong> Krattenthaler<br />
Diskrete <strong>Mathematik</strong>
Das Wägeproblem<br />
Wie haben wir das gemacht?<br />
1 2<br />
3 4 5 6<br />
7 8<br />
9 10 11 12<br />
Christi<strong>an</strong> Krattenthaler<br />
Diskrete <strong>Mathematik</strong>
Das Wägeproblem<br />
Wie haben wir das gemacht?<br />
1 2<br />
3 4 5 6<br />
7 8<br />
9 10 11 12<br />
Falls links schwerer: 1S, 2S, 3S, 4S, 5S, 6S, 7L, 8L, 9L, 10L,<br />
11L, 12L (12 Möglichkeiten)<br />
Christi<strong>an</strong> Krattenthaler<br />
Diskrete <strong>Mathematik</strong>
Das Wägeproblem<br />
Wie haben wir das gemacht?<br />
1 2<br />
3 4 5 6<br />
7 8<br />
9 10 11 12<br />
Falls links schwerer: 1S, 2S, 3S, 4S, 5S, 6S, 7L, 8L, 9L, 10L,<br />
11L, 12L (12 Möglichkeiten)<br />
Falls links leichter: 1L, 2L, 3L, 4L, 5L, 6L, 7S, 8S, 9S, 10S,<br />
11S, 12S (12 Möglichkeiten)<br />
Christi<strong>an</strong> Krattenthaler<br />
Diskrete <strong>Mathematik</strong>
Das Wägeproblem<br />
Wie haben wir das gemacht?<br />
1 2<br />
3 4 5 6<br />
7 8<br />
9 10 11 12<br />
Falls links schwerer: 1S, 2S, 3S, 4S, 5S, 6S, 7L, 8L, 9L, 10L,<br />
11L, 12L (12 Möglichkeiten)<br />
Falls links leichter: 1L, 2L, 3L, 4L, 5L, 6L, 7S, 8S, 9S, 10S,<br />
11S, 12S (12 Möglichkeiten)<br />
Falls Gleichgewicht: Unmöglich! (0 Möglichkeiten)<br />
Christi<strong>an</strong> Krattenthaler<br />
Diskrete <strong>Mathematik</strong>
Das Wägeproblem<br />
Wie haben wir das gemacht?<br />
Also:<br />
1 2<br />
3 4 5 6<br />
7 8<br />
9 10 11 12<br />
Falls links schwerer: 1S, 2S, 3S, 4S, 5S, 6S, 7L, 8L, 9L, 10L,<br />
11L, 12L (12 Möglichkeiten)<br />
Falls links leichter: 1L, 2L, 3L, 4L, 5L, 6L, 7S, 8S, 9S, 10S,<br />
11S, 12S (12 Möglichkeiten)<br />
Falls Gleichgewicht: Unmöglich! (0 Möglichkeiten)<br />
Christi<strong>an</strong> Krattenthaler<br />
Diskrete <strong>Mathematik</strong>
Das Wägeproblem<br />
Wie haben wir das gemacht?<br />
1 2<br />
3 4 5 6<br />
7 8<br />
9 10 11 12<br />
Falls links schwerer: 1S, 2S, 3S, 4S, 5S, 6S, 7L, 8L, 9L, 10L,<br />
11L, 12L (12 Möglichkeiten)<br />
Falls links leichter: 1L, 2L, 3L, 4L, 5L, 6L, 7S, 8S, 9S, 10S,<br />
11S, 12S (12 Möglichkeiten)<br />
Falls Gleichgewicht: Unmöglich! (0 Möglichkeiten)<br />
Also: 12:12:0 statt 8:8:8.<br />
Christi<strong>an</strong> Krattenthaler<br />
Diskrete <strong>Mathematik</strong>
Das Wägeproblem<br />
Wie haben wir das gemacht?<br />
1 2<br />
3 4 5 6<br />
7 8<br />
9 10 11 12<br />
Falls links schwerer: 1S, 2S, 3S, 4S, 5S, 6S, 7L, 8L, 9L, 10L,<br />
11L, 12L (12 Möglichkeiten)<br />
Falls links leichter: 1L, 2L, 3L, 4L, 5L, 6L, 7S, 8S, 9S, 10S,<br />
11S, 12S (12 Möglichkeiten)<br />
Falls Gleichgewicht: Unmöglich! (0 Möglichkeiten)<br />
Also: 12:12:0 statt 8:8:8. Extrem ungeschickt!<br />
Christi<strong>an</strong> Krattenthaler<br />
Diskrete <strong>Mathematik</strong>
Das Wägeproblem<br />
Wie haben wir das gemacht?<br />
1 2<br />
3 4 5 6<br />
7 8<br />
9 10 11 12<br />
Falls links schwerer: 1S, 2S, 3S, 4S, 5S, 6S, 7L, 8L, 9L, 10L,<br />
11L, 12L (12 Möglichkeiten)<br />
Falls links leichter: 1L, 2L, 3L, 4L, 5L, 6L, 7S, 8S, 9S, 10S,<br />
11S, 12S (12 Möglichkeiten)<br />
Falls Gleichgewicht: Unmöglich! (0 Möglichkeiten)<br />
Also: 12:12:0 statt 8:8:8. Extrem ungeschickt!<br />
Wir hätten etwa Münzen 1,2,3,4 gegen die Münzen 5,6,7,8<br />
abwägen sollen.<br />
Christi<strong>an</strong> Krattenthaler<br />
Diskrete <strong>Mathematik</strong>
Das Wägeproblem<br />
Wie haben wir das gemacht?<br />
1 2<br />
3 4 5 6<br />
7 8<br />
9 10 11 12<br />
Falls links schwerer: 1S, 2S, 3S, 4S, 5S, 6S, 7L, 8L, 9L, 10L,<br />
11L, 12L (12 Möglichkeiten)<br />
Falls links leichter: 1L, 2L, 3L, 4L, 5L, 6L, 7S, 8S, 9S, 10S,<br />
11S, 12S (12 Möglichkeiten)<br />
Falls Gleichgewicht: Unmöglich! (0 Möglichkeiten)<br />
Also: 12:12:0 statt 8:8:8. Extrem ungeschickt!<br />
Wir hätten etwa Münzen 1,2,3,4 gegen die Münzen 5,6,7,8<br />
abwägen sollen.<br />
Wenn m<strong>an</strong> es richtig macht, k<strong>an</strong>n m<strong>an</strong> die falsche Münze<br />
tatsächlich immer in 3 Wägungen bestimmen.<br />
Christi<strong>an</strong> Krattenthaler<br />
Diskrete <strong>Mathematik</strong>
Der erste Hauptsatz <strong>der</strong> Informationstheorie von Claude<br />
Sh<strong>an</strong>non<br />
Christi<strong>an</strong> Krattenthaler<br />
Diskrete <strong>Mathematik</strong>
Der erste Hauptsatz <strong>der</strong> Informationstheorie von Claude<br />
Sh<strong>an</strong>non<br />
Versucht m<strong>an</strong> unter N Möglichkeiten die richtige mit Hilfe von<br />
Tests zu nden, die k mögliche Ausgänge haben,<br />
Christi<strong>an</strong> Krattenthaler<br />
Diskrete <strong>Mathematik</strong>
Der erste Hauptsatz <strong>der</strong> Informationstheorie von Claude<br />
Sh<strong>an</strong>non<br />
Versucht m<strong>an</strong> unter N Möglichkeiten die richtige mit Hilfe von<br />
Tests zu nden, die k mögliche Ausgänge haben,<br />
Beim Wägeproblem: N = 24, k = 3;<br />
Christi<strong>an</strong> Krattenthaler<br />
Diskrete <strong>Mathematik</strong>
Der erste Hauptsatz <strong>der</strong> Informationstheorie von Claude<br />
Sh<strong>an</strong>non<br />
Versucht m<strong>an</strong> unter N Möglichkeiten die richtige mit Hilfe von<br />
Tests zu nden, die k mögliche Ausgänge haben, d<strong>an</strong>n geht das (im<br />
schlechtesten Fall) nicht schneller als in<br />
log k (N)<br />
Tests.<br />
Beim Wägeproblem: N = 24, k = 3;<br />
Christi<strong>an</strong> Krattenthaler<br />
Diskrete <strong>Mathematik</strong>
Der erste Hauptsatz <strong>der</strong> Informationstheorie von Claude<br />
Sh<strong>an</strong>non<br />
Versucht m<strong>an</strong> unter N Möglichkeiten die richtige mit Hilfe von<br />
Tests zu nden, die k mögliche Ausgänge haben, d<strong>an</strong>n geht das (im<br />
schlechtesten Fall) nicht schneller als in<br />
log k (N)<br />
Tests.<br />
Beim Wägeproblem: N = 24, k = 3;<br />
(x = log k (N) ist jene Zahl, sodass k x = N gilt.)<br />
Christi<strong>an</strong> Krattenthaler<br />
Diskrete <strong>Mathematik</strong>
Der erste Hauptsatz <strong>der</strong> Informationstheorie von Claude<br />
Sh<strong>an</strong>non<br />
Versucht m<strong>an</strong> unter N Möglichkeiten die richtige mit Hilfe von<br />
Tests zu nden, die k mögliche Ausgänge haben, d<strong>an</strong>n geht das (im<br />
schlechtesten Fall) nicht schneller als in<br />
log k (N)<br />
Tests.<br />
Beim Wägeproblem: N = 24, k = 3; log 3 (24) = 2.89279 . . .<br />
(x = log k (N) ist jene Zahl, sodass k x = N gilt.)<br />
Christi<strong>an</strong> Krattenthaler<br />
Diskrete <strong>Mathematik</strong>
Das Wägeproblem<br />
Wir benden uns mit dem Wägeproblem mitten in <strong>der</strong><br />
Informationstheorie, die die theoretischen Grundlagen <strong>für</strong><br />
Suchprobleme bereitstellt.<br />
Christi<strong>an</strong> Krattenthaler<br />
Diskrete <strong>Mathematik</strong>
Das Wägeproblem<br />
Wir benden uns mit dem Wägeproblem mitten in <strong>der</strong><br />
Informationstheorie, die die theoretischen Grundlagen <strong>für</strong><br />
Suchprobleme bereitstellt.<br />
Die Probleme von Datenkompression, von Datensortierung gehören<br />
hier ebenso her, wie <strong>der</strong> intelligente Aufbau von Datenb<strong>an</strong>ken<br />
beziehungsweise die Entwicklung von ezienten Algorithmen zur<br />
Aundung von Daten in Datenb<strong>an</strong>ken.<br />
Christi<strong>an</strong> Krattenthaler<br />
Diskrete <strong>Mathematik</strong>
Die Brücken von Königsberg<br />
Christi<strong>an</strong> Krattenthaler<br />
Diskrete <strong>Mathematik</strong>
Die Brücken von Königsberg<br />
Hier ist Königsberg am Fluss Pregel:<br />
Christi<strong>an</strong> Krattenthaler<br />
Diskrete <strong>Mathematik</strong>
Die Brücken von Königsberg<br />
Hier ist Königsberg am Fluss Pregel:<br />
Ist es möglich einen Spazierg<strong>an</strong>g zu unternehmen, <strong>der</strong> jede Brücke<br />
genau einmal passiert und schlussendlich zum Ausg<strong>an</strong>gspunkt<br />
zurückkehrt?<br />
Christi<strong>an</strong> Krattenthaler<br />
Diskrete <strong>Mathematik</strong>
Die Brücken von Königsberg<br />
Schematisch:<br />
Christi<strong>an</strong> Krattenthaler<br />
Diskrete <strong>Mathematik</strong>
Die Brücken von Königsberg<br />
Ein Versuch eines ,,Brückenrundg<strong>an</strong>ges:<br />
Christi<strong>an</strong> Krattenthaler<br />
Diskrete <strong>Mathematik</strong>
Die Brücken von Königsberg<br />
Ein Versuch eines ,,Brückenrundg<strong>an</strong>ges:<br />
Christi<strong>an</strong> Krattenthaler<br />
Diskrete <strong>Mathematik</strong>
Die Brücken von Königsberg<br />
Ein Versuch eines ,,Brückenrundg<strong>an</strong>ges:<br />
Christi<strong>an</strong> Krattenthaler<br />
Diskrete <strong>Mathematik</strong>
Die Brücken von Königsberg<br />
Ein Versuch eines ,,Brückenrundg<strong>an</strong>ges:<br />
Christi<strong>an</strong> Krattenthaler<br />
Diskrete <strong>Mathematik</strong>
Die Brücken von Königsberg<br />
Ein Versuch eines ,,Brückenrundg<strong>an</strong>ges:<br />
Christi<strong>an</strong> Krattenthaler<br />
Diskrete <strong>Mathematik</strong>
Die Brücken von Königsberg<br />
Ein Versuch eines ,,Brückenrundg<strong>an</strong>ges:<br />
Christi<strong>an</strong> Krattenthaler<br />
Diskrete <strong>Mathematik</strong>
Die Brücken von Königsberg<br />
Ein Versuch eines ,,Brückenrundg<strong>an</strong>ges:<br />
Christi<strong>an</strong> Krattenthaler<br />
Diskrete <strong>Mathematik</strong>
Die Brücken von Königsberg<br />
Ein Versuch eines ,,Brückenrundg<strong>an</strong>ges:<br />
Hmm . . .<br />
Christi<strong>an</strong> Krattenthaler<br />
Diskrete <strong>Mathematik</strong>
Die Brücken von Königsberg<br />
Abstrahieren wir:<br />
Christi<strong>an</strong> Krattenthaler<br />
Diskrete <strong>Mathematik</strong>
Die Brücken von Königsberg<br />
Abstrahieren wir:<br />
Setzen wir in jedes <strong>der</strong> vier L<strong>an</strong>dstücke einen dicken Punkt,<br />
Christi<strong>an</strong> Krattenthaler<br />
Diskrete <strong>Mathematik</strong>
Die Brücken von Königsberg<br />
Abstrahieren wir:<br />
Setzen wir in jedes <strong>der</strong> vier L<strong>an</strong>dstücke einen dicken Punkt,<br />
und verbinden wir Punkte, falls die entsprechenden L<strong>an</strong>dstücke<br />
durch Brücken verbunden sind.<br />
Christi<strong>an</strong> Krattenthaler<br />
Diskrete <strong>Mathematik</strong>
Die Brücken von Königsberg<br />
Abstrahieren wir:<br />
Die neue Aufgabe: M<strong>an</strong> nde einen geschlossenen Weg entl<strong>an</strong>g <strong>der</strong><br />
strichlierten Linien, die jede strichlierte Linie genau einmal passiert.<br />
Christi<strong>an</strong> Krattenthaler<br />
Diskrete <strong>Mathematik</strong>
Die Brücken von Königsberg<br />
Leonhard Eulers Beobachtung:<br />
Christi<strong>an</strong> Krattenthaler<br />
Diskrete <strong>Mathematik</strong>
Die Brücken von Königsberg<br />
Leonhard Eulers Beobachtung:<br />
Wenn wir uns auf einen <strong>der</strong> dicken Punkte konzentrieren, müssen<br />
wir auf einem geschlossenen Weg genauso oft im Punkt <strong>an</strong>kommen,<br />
wie wir ihn verlassen.<br />
Christi<strong>an</strong> Krattenthaler<br />
Diskrete <strong>Mathematik</strong>
Die Brücken von Königsberg<br />
Leonhard Eulers Beobachtung:<br />
Wenn wir uns auf einen <strong>der</strong> dicken Punkte konzentrieren, müssen<br />
wir auf einem geschlossenen Weg genauso oft im Punkt <strong>an</strong>kommen,<br />
wie wir ihn verlassen.<br />
Christi<strong>an</strong> Krattenthaler<br />
Diskrete <strong>Mathematik</strong>
Die Brücken von Königsberg<br />
Leonhard Eulers Beobachtung:<br />
Wenn wir uns auf einen <strong>der</strong> dicken Punkte konzentrieren, müssen<br />
wir auf einem geschlossenen Weg genauso oft im Punkt <strong>an</strong>kommen,<br />
wie wir ihn verlassen.<br />
Christi<strong>an</strong> Krattenthaler<br />
Diskrete <strong>Mathematik</strong>
Die Brücken von Königsberg<br />
Leonhard Eulers Beobachtung:<br />
Wenn wir uns auf einen <strong>der</strong> dicken Punkte konzentrieren, müssen<br />
wir auf einem geschlossenen Weg genauso oft im Punkt <strong>an</strong>kommen,<br />
wie wir ihn verlassen.<br />
Christi<strong>an</strong> Krattenthaler<br />
Diskrete <strong>Mathematik</strong>
Die Brücken von Königsberg<br />
Leonhard Eulers Beobachtung:<br />
Wenn wir uns auf einen <strong>der</strong> dicken Punkte konzentrieren, müssen<br />
wir auf einem geschlossenen Weg genauso oft im Punkt <strong>an</strong>kommen,<br />
wie wir ihn verlassen.<br />
Christi<strong>an</strong> Krattenthaler<br />
Diskrete <strong>Mathematik</strong>
Die Brücken von Königsberg<br />
Leonhard Eulers Beobachtung:<br />
Wenn wir uns auf einen <strong>der</strong> dicken Punkte konzentrieren, müssen<br />
wir auf einem geschlossenen Weg genauso oft im Punkt <strong>an</strong>kommen,<br />
wie wir ihn verlassen.<br />
Christi<strong>an</strong> Krattenthaler<br />
Diskrete <strong>Mathematik</strong>
Die Brücken von Königsberg<br />
Leonhard Eulers Beobachtung:<br />
Wenn wir uns auf einen <strong>der</strong> dicken Punkte konzentrieren, müssen<br />
wir auf einem geschlossenen Weg genauso oft im Punkt <strong>an</strong>kommen,<br />
wie wir ihn verlassen.<br />
Christi<strong>an</strong> Krattenthaler<br />
Diskrete <strong>Mathematik</strong>
Die Brücken von Königsberg<br />
Leonhard Eulers Beobachtung:<br />
Wenn wir uns auf einen <strong>der</strong> dicken Punkte konzentrieren, müssen<br />
wir auf einem geschlossenen Weg genauso oft im Punkt <strong>an</strong>kommen,<br />
wie wir ihn verlassen.<br />
Je<strong>der</strong> Punkt muss mit einer geraden Anzahl von strichlierten Linien<br />
verbunden sein!<br />
Christi<strong>an</strong> Krattenthaler<br />
Diskrete <strong>Mathematik</strong>
Die Brücken von Königsberg<br />
Unsere Figur:<br />
Christi<strong>an</strong> Krattenthaler<br />
Diskrete <strong>Mathematik</strong>
Die Brücken von Königsberg<br />
Unsere Figur:<br />
Sogar je<strong>der</strong> (!) Knoten ist mit einer ungeraden Anzahl von<br />
strichlierten Linien verbunden.<br />
Christi<strong>an</strong> Krattenthaler<br />
Diskrete <strong>Mathematik</strong>
Die Brücken von Königsberg<br />
Unsere Figur:<br />
Sogar je<strong>der</strong> (!) Knoten ist mit einer ungeraden Anzahl von<br />
strichlierten Linien verbunden.<br />
Es k<strong>an</strong>n also so einen Spazierg<strong>an</strong>g nicht geben!<br />
Christi<strong>an</strong> Krattenthaler<br />
Diskrete <strong>Mathematik</strong>
Der Satz von Euler<br />
Christi<strong>an</strong> Krattenthaler<br />
Diskrete <strong>Mathematik</strong>
Der Satz von Euler<br />
In einer zusammenhängenden Figur, die aus dicken Punkten und<br />
strichlierten Linien besteht, welche dicke Punkte verbinden, gibt es<br />
genau d<strong>an</strong>n einen geschlossenen Weg, <strong>der</strong> jede Linie genau einmal<br />
passiert, wenn je<strong>der</strong> dicke Punkt mit einer geraden Anzahl von<br />
strichlierten Linien verbunden ist.<br />
Christi<strong>an</strong> Krattenthaler<br />
Diskrete <strong>Mathematik</strong>
Die Brücken von Königsberg<br />
Die Lösung des Königsberger Brückenproblems wird oft als die<br />
Geburtsstunde <strong>der</strong> sogen<strong>an</strong>nten Graphentheorie 2 bezeichnet.<br />
2 Unter Graphen versteht m<strong>an</strong> in diesem Zusammenh<strong>an</strong>g solche Figuren, die<br />
aus dicken Punkten bestehen, die zum Teil durch Linien verbunden sind.<br />
Christi<strong>an</strong> Krattenthaler<br />
Diskrete <strong>Mathematik</strong>
Die Brücken von Königsberg<br />
Die Lösung des Königsberger Brückenproblems wird oft als die<br />
Geburtsstunde <strong>der</strong> sogen<strong>an</strong>nten Graphentheorie 2 bezeichnet.<br />
Und damit ist m<strong>an</strong> in <strong>der</strong> Netzwerktheorie und insbeson<strong>der</strong>e <strong>der</strong><br />
kombinatorischen Optimierung.<br />
2 Unter Graphen versteht m<strong>an</strong> in diesem Zusammenh<strong>an</strong>g solche Figuren, die<br />
aus dicken Punkten bestehen, die zum Teil durch Linien verbunden sind.<br />
Christi<strong>an</strong> Krattenthaler<br />
Diskrete <strong>Mathematik</strong>
Ein listiger Streich<br />
1 2 3 4<br />
5 6 7 8<br />
9 10 11 12<br />
13 14 15<br />
Christi<strong>an</strong> Krattenthaler<br />
Diskrete <strong>Mathematik</strong>
Ein listiger Streich<br />
jeu de taquin"<br />
1 2 3 4<br />
5 6 7 8<br />
9 10 11 12<br />
13 14 15<br />
Christi<strong>an</strong> Krattenthaler<br />
Diskrete <strong>Mathematik</strong>
Ein listiger Streich<br />
jeu de taquin" (= Neckspiel)<br />
1 2 3 4<br />
5 6 7 8<br />
9 10 11 12<br />
13 14 15<br />
Christi<strong>an</strong> Krattenthaler<br />
Diskrete <strong>Mathematik</strong>
Ein listiger Streich<br />
1 2 3 4<br />
5 6 7 8<br />
9 10 11<br />
13 14 15 12<br />
Christi<strong>an</strong> Krattenthaler<br />
Diskrete <strong>Mathematik</strong>
Ein listiger Streich<br />
1 2 3 4<br />
5 6 7 8<br />
9 10 11<br />
13 14 15 12<br />
Christi<strong>an</strong> Krattenthaler<br />
Diskrete <strong>Mathematik</strong>
Ein listiger Streich<br />
1 2 3 4<br />
5 6 7 8<br />
9 10 11<br />
13 14 15 12<br />
Christi<strong>an</strong> Krattenthaler<br />
Diskrete <strong>Mathematik</strong>
Ein listiger Streich<br />
1 2 3 4<br />
5 7 8<br />
9 6 10 11<br />
13 14 15 12<br />
Christi<strong>an</strong> Krattenthaler<br />
Diskrete <strong>Mathematik</strong>
Ein listiger Streich<br />
1 2 3 4<br />
5 7 8<br />
9 6 10 11<br />
13 14 15 12<br />
Christi<strong>an</strong> Krattenthaler<br />
Diskrete <strong>Mathematik</strong>
Ein listiger Streich<br />
1 2 4<br />
5 7 3 8<br />
9 6 10 11<br />
13 14 15 12<br />
Christi<strong>an</strong> Krattenthaler<br />
Diskrete <strong>Mathematik</strong>
Ein listiger Streich<br />
1 2 4<br />
5 7 3 8<br />
9 6 10 11<br />
13 14 15 12<br />
Christi<strong>an</strong> Krattenthaler<br />
Diskrete <strong>Mathematik</strong>
Ein listiger Streich<br />
1 2 4<br />
5 7 3 8<br />
9 6 10 11<br />
13 14 15 12<br />
Christi<strong>an</strong> Krattenthaler<br />
Diskrete <strong>Mathematik</strong>
Ein listiger Streich<br />
5 1 2 4<br />
7 3 8<br />
9 6 10 11<br />
13 14 15 12<br />
Christi<strong>an</strong> Krattenthaler<br />
Diskrete <strong>Mathematik</strong>
Ein listiger Streich<br />
5 1 2 4<br />
9 7 3 8<br />
6 10 11<br />
13 14 15 12<br />
Christi<strong>an</strong> Krattenthaler<br />
Diskrete <strong>Mathematik</strong>
Ein listiger Streich<br />
5 1 2 4<br />
9 7 3 8<br />
13 6 10 11<br />
14 15 12<br />
Christi<strong>an</strong> Krattenthaler<br />
Diskrete <strong>Mathematik</strong>
Ein listiger Streich<br />
5 1 2 4<br />
9 7 3 8<br />
13 6 10 11<br />
14 15 12<br />
Christi<strong>an</strong> Krattenthaler<br />
Diskrete <strong>Mathematik</strong>
Ein listiger Streich<br />
5 1 2 4<br />
9 7 3 8<br />
13 6 10 11<br />
14 15 12<br />
Christi<strong>an</strong> Krattenthaler<br />
Diskrete <strong>Mathematik</strong>
Ein listiger Streich<br />
5 1 2 4<br />
9 7 3 8<br />
13 6 10 11<br />
14 15 12<br />
Christi<strong>an</strong> Krattenthaler<br />
Diskrete <strong>Mathematik</strong>
Ein listiger Streich<br />
15 14 13 12<br />
11 10 9 8<br />
7 6 5 4<br />
3 2 1<br />
Christi<strong>an</strong> Krattenthaler<br />
Diskrete <strong>Mathematik</strong>
Ein listiger Streich<br />
15 14 13 12<br />
11 10 9 8<br />
7 6 5 4<br />
3 2 1 16<br />
Christi<strong>an</strong> Krattenthaler<br />
Diskrete <strong>Mathematik</strong>
Ein listiger Streich<br />
15 14 13 12<br />
11 10 9 8<br />
7 6 5 4<br />
3 2 1 16<br />
Christi<strong>an</strong> Krattenthaler<br />
Diskrete <strong>Mathematik</strong>
Ein listiger Streich<br />
15 14 13 12<br />
11 10 9 8<br />
7 6 5 4<br />
3 2 1 16<br />
15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 16<br />
Christi<strong>an</strong> Krattenthaler<br />
Diskrete <strong>Mathematik</strong>
Ein listiger Streich<br />
15 14 13 12<br />
11 10 9 8<br />
7 6 5 4<br />
3 2 1 16<br />
15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 16<br />
15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 16<br />
Christi<strong>an</strong> Krattenthaler<br />
Diskrete <strong>Mathematik</strong>
Ein listiger Streich<br />
15 14 13 12<br />
11 10 9 8<br />
7 6 5 4<br />
3 2 1 16<br />
15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 16<br />
15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 16<br />
−→ Jede Spielsituation entspricht einer bestimmten Anordnung<br />
(,,Permutation) <strong>der</strong> Zahlen von 1 bis 16.<br />
Christi<strong>an</strong> Krattenthaler<br />
Diskrete <strong>Mathematik</strong>
Ein listiger Streich<br />
Aufgabe:<br />
Christi<strong>an</strong> Krattenthaler<br />
Diskrete <strong>Mathematik</strong>
Ein listiger Streich<br />
Aufgabe:<br />
Bringe die Zahlen<br />
15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 16<br />
durch sukzessives Vertauschen von zwei Zahlen in die richtige<br />
Ordnung<br />
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16<br />
Christi<strong>an</strong> Krattenthaler<br />
Diskrete <strong>Mathematik</strong>
Ein listiger Streich<br />
Aufgabe:<br />
Bringe die Zahlen<br />
15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 16<br />
durch sukzessives Vertauschen von zwei Zahlen in die richtige<br />
Ordnung<br />
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16<br />
Satz<br />
Für eine gegebene Permutation ist die Anzahl <strong>der</strong> Vertauschungen,<br />
die m<strong>an</strong> benötigt immer eine gerade Anzahl o<strong>der</strong> immer eine<br />
ungerade Anzahl.<br />
Christi<strong>an</strong> Krattenthaler<br />
Diskrete <strong>Mathematik</strong>
Ein listiger Streich<br />
Ordnen wir also<br />
durch Vertauschungen:<br />
15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 16<br />
Christi<strong>an</strong> Krattenthaler<br />
Diskrete <strong>Mathematik</strong>
Ein listiger Streich<br />
Ordnen wir also<br />
15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 16<br />
durch Vertauschungen:<br />
15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 16<br />
Christi<strong>an</strong> Krattenthaler<br />
Diskrete <strong>Mathematik</strong>
Ein listiger Streich<br />
Ordnen wir also<br />
15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 16<br />
durch Vertauschungen:<br />
15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 16<br />
Christi<strong>an</strong> Krattenthaler<br />
Diskrete <strong>Mathematik</strong>
Ein listiger Streich<br />
Ordnen wir also<br />
15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 16<br />
durch Vertauschungen:<br />
1 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 15 16<br />
Christi<strong>an</strong> Krattenthaler<br />
Diskrete <strong>Mathematik</strong>
Ein listiger Streich<br />
Ordnen wir also<br />
15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 16<br />
durch Vertauschungen:<br />
1 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 15 16<br />
Christi<strong>an</strong> Krattenthaler<br />
Diskrete <strong>Mathematik</strong>
Ein listiger Streich<br />
Ordnen wir also<br />
15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 16<br />
durch Vertauschungen:<br />
1 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 15 16<br />
Christi<strong>an</strong> Krattenthaler<br />
Diskrete <strong>Mathematik</strong>
Ein listiger Streich<br />
Ordnen wir also<br />
15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 16<br />
durch Vertauschungen:<br />
1 2 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 14 15 16<br />
Christi<strong>an</strong> Krattenthaler<br />
Diskrete <strong>Mathematik</strong>
Ein listiger Streich<br />
Ordnen wir also<br />
15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 16<br />
durch Vertauschungen:<br />
1 2 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 14 15 16<br />
Christi<strong>an</strong> Krattenthaler<br />
Diskrete <strong>Mathematik</strong>
Ein listiger Streich<br />
Ordnen wir also<br />
15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 16<br />
durch Vertauschungen:<br />
1 2 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 14 15 16<br />
Christi<strong>an</strong> Krattenthaler<br />
Diskrete <strong>Mathematik</strong>
Ein listiger Streich<br />
Ordnen wir also<br />
15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 16<br />
durch Vertauschungen:<br />
1 2 3 12 11 10 9 8 7 6 5 4 13 14 15 16<br />
Christi<strong>an</strong> Krattenthaler<br />
Diskrete <strong>Mathematik</strong>
Ein listiger Streich<br />
Ordnen wir also<br />
15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 16<br />
durch Vertauschungen:<br />
1 2 3 12 11 10 9 8 7 6 5 4 13 14 15 16<br />
Christi<strong>an</strong> Krattenthaler<br />
Diskrete <strong>Mathematik</strong>
Ein listiger Streich<br />
Ordnen wir also<br />
15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 16<br />
durch Vertauschungen:<br />
1 2 3 12 11 10 9 8 7 6 5 4 13 14 15 16<br />
Christi<strong>an</strong> Krattenthaler<br />
Diskrete <strong>Mathematik</strong>
Ein listiger Streich<br />
Ordnen wir also<br />
15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 16<br />
durch Vertauschungen:<br />
1 2 3 4 11 10 9 8 7 6 5 12 13 14 15 16<br />
Christi<strong>an</strong> Krattenthaler<br />
Diskrete <strong>Mathematik</strong>
Ein listiger Streich<br />
Ordnen wir also<br />
15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 16<br />
durch Vertauschungen:<br />
1 2 3 4 11 10 9 8 7 6 5 12 13 14 15 16<br />
Christi<strong>an</strong> Krattenthaler<br />
Diskrete <strong>Mathematik</strong>
Ein listiger Streich<br />
Ordnen wir also<br />
15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 16<br />
durch Vertauschungen:<br />
1 2 3 4 11 10 9 8 7 6 5 12 13 14 15 16<br />
Christi<strong>an</strong> Krattenthaler<br />
Diskrete <strong>Mathematik</strong>
Ein listiger Streich<br />
Ordnen wir also<br />
15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 16<br />
durch Vertauschungen:<br />
1 2 3 4 5 10 9 8 7 6 11 12 13 14 15 16<br />
Christi<strong>an</strong> Krattenthaler<br />
Diskrete <strong>Mathematik</strong>
Ein listiger Streich<br />
Ordnen wir also<br />
15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 16<br />
durch Vertauschungen:<br />
1 2 3 4 5 10 9 8 7 6 11 12 13 14 15 16<br />
Christi<strong>an</strong> Krattenthaler<br />
Diskrete <strong>Mathematik</strong>
Ein listiger Streich<br />
Ordnen wir also<br />
15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 16<br />
durch Vertauschungen:<br />
1 2 3 4 5 10 9 8 7 6 11 12 13 14 15 16<br />
Christi<strong>an</strong> Krattenthaler<br />
Diskrete <strong>Mathematik</strong>
Ein listiger Streich<br />
Ordnen wir also<br />
15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 16<br />
durch Vertauschungen:<br />
1 2 3 4 5 6 9 8 7 10 11 12 13 14 15 16<br />
Christi<strong>an</strong> Krattenthaler<br />
Diskrete <strong>Mathematik</strong>
Ein listiger Streich<br />
Ordnen wir also<br />
15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 16<br />
durch Vertauschungen:<br />
1 2 3 4 5 6 9 8 7 10 11 12 13 14 15 16<br />
Christi<strong>an</strong> Krattenthaler<br />
Diskrete <strong>Mathematik</strong>
Ein listiger Streich<br />
Ordnen wir also<br />
15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 16<br />
durch Vertauschungen:<br />
1 2 3 4 5 6 9 8 7 10 11 12 13 14 15 16<br />
Christi<strong>an</strong> Krattenthaler<br />
Diskrete <strong>Mathematik</strong>
Ein listiger Streich<br />
Ordnen wir also<br />
15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 16<br />
durch Vertauschungen:<br />
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16<br />
Christi<strong>an</strong> Krattenthaler<br />
Diskrete <strong>Mathematik</strong>
Ein listiger Streich<br />
Ordnen wir also<br />
15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 16<br />
durch Vertauschungen:<br />
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16<br />
Christi<strong>an</strong> Krattenthaler<br />
Diskrete <strong>Mathematik</strong>
Ein listiger Streich<br />
Ordnen wir also<br />
durch Vertauschungen:<br />
15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 16<br />
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16<br />
Das waren 7 Vertauschungen, eine ungerade Anzahl von<br />
Vertauschungen.<br />
Christi<strong>an</strong> Krattenthaler<br />
Diskrete <strong>Mathematik</strong>
Ein listiger Streich<br />
Ordnen wir also<br />
durch Vertauschungen:<br />
15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 16<br />
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16<br />
Das waren 7 Vertauschungen, eine ungerade Anzahl von<br />
Vertauschungen.<br />
Daher: Egal wie m<strong>an</strong> es macht, m<strong>an</strong> braucht eine ungerade Anzahl<br />
von Zügen!<br />
Christi<strong>an</strong> Krattenthaler<br />
Diskrete <strong>Mathematik</strong>
Ein listiger Streich<br />
15 14 13 12<br />
11 10 9 8<br />
7 6 5 4<br />
3 2 1<br />
Aber, wenn am Anf<strong>an</strong>g und am Ende das leere Feld rechts unten<br />
sein soll, d<strong>an</strong>n geht das nur in einer geraden Anzahl von Zügen!<br />
Christi<strong>an</strong> Krattenthaler<br />
Diskrete <strong>Mathematik</strong>
Ein listiger Streich<br />
15 14 13 12<br />
11 10 9 8<br />
7 6 5 4<br />
3 2 1 •<br />
Aber, wenn am Anf<strong>an</strong>g und am Ende das leere Feld rechts unten<br />
sein soll, d<strong>an</strong>n geht das nur in einer geraden Anzahl von Zügen!<br />
Christi<strong>an</strong> Krattenthaler<br />
Diskrete <strong>Mathematik</strong>
Ein listiger Streich<br />
15 14 13 12<br />
11 10 9 8<br />
7 6 5 4<br />
3 2 • 1<br />
Aber, wenn am Anf<strong>an</strong>g und am Ende das leere Feld rechts unten<br />
sein soll, d<strong>an</strong>n geht das nur in einer geraden Anzahl von Zügen!<br />
Christi<strong>an</strong> Krattenthaler<br />
Diskrete <strong>Mathematik</strong>
Ein listiger Streich<br />
15 14 13 12<br />
11 10 9 8<br />
7 6 • 4<br />
3 2 5 1<br />
Aber, wenn am Anf<strong>an</strong>g und am Ende das leere Feld rechts unten<br />
sein soll, d<strong>an</strong>n geht das nur in einer geraden Anzahl von Zügen!<br />
Christi<strong>an</strong> Krattenthaler<br />
Diskrete <strong>Mathematik</strong>
Ein listiger Streich<br />
15 14 13 12<br />
11 10 • 8<br />
7 6 9 4<br />
3 2 5 1<br />
Aber, wenn am Anf<strong>an</strong>g und am Ende das leere Feld rechts unten<br />
sein soll, d<strong>an</strong>n geht das nur in einer geraden Anzahl von Zügen!<br />
Christi<strong>an</strong> Krattenthaler<br />
Diskrete <strong>Mathematik</strong>
Ein listiger Streich<br />
15 14 13 12<br />
11 • 10 8<br />
7 6 9 4<br />
3 2 5 1<br />
Aber, wenn am Anf<strong>an</strong>g und am Ende das leere Feld rechts unten<br />
sein soll, d<strong>an</strong>n geht das nur in einer geraden Anzahl von Zügen!<br />
Christi<strong>an</strong> Krattenthaler<br />
Diskrete <strong>Mathematik</strong>
Ein listiger Streich<br />
15 14 13 12<br />
• 11 10 8<br />
7 6 9 4<br />
3 2 5 1<br />
Aber, wenn am Anf<strong>an</strong>g und am Ende das leere Feld rechts unten<br />
sein soll, d<strong>an</strong>n geht das nur in einer geraden Anzahl von Zügen!<br />
Christi<strong>an</strong> Krattenthaler<br />
Diskrete <strong>Mathematik</strong>
Ein listiger Streich<br />
15 14 13 12<br />
7 11 10 8<br />
• 6 9 4<br />
3 2 5 1<br />
Aber, wenn am Anf<strong>an</strong>g und am Ende das leere Feld rechts unten<br />
sein soll, d<strong>an</strong>n geht das nur in einer geraden Anzahl von Zügen!<br />
Christi<strong>an</strong> Krattenthaler<br />
Diskrete <strong>Mathematik</strong>
Ein listiger Streich<br />
15 14 13 12<br />
7 11 10 8<br />
3 6 9 4<br />
• 2 5 1<br />
Aber, wenn am Anf<strong>an</strong>g und am Ende das leere Feld rechts unten<br />
sein soll, d<strong>an</strong>n geht das nur in einer geraden Anzahl von Zügen!<br />
Christi<strong>an</strong> Krattenthaler<br />
Diskrete <strong>Mathematik</strong>
Ein listiger Streich<br />
15 14 13 12<br />
7 11 10 8<br />
3 6 9 4<br />
2 • 5 1<br />
Aber, wenn am Anf<strong>an</strong>g und am Ende das leere Feld rechts unten<br />
sein soll, d<strong>an</strong>n geht das nur in einer geraden Anzahl von Zügen!<br />
Christi<strong>an</strong> Krattenthaler<br />
Diskrete <strong>Mathematik</strong>
Ein listiger Streich<br />
15 14 13 12<br />
7 11 10 8<br />
3 6 9 4<br />
2 5 • 1<br />
Aber, wenn am Anf<strong>an</strong>g und am Ende das leere Feld rechts unten<br />
sein soll, d<strong>an</strong>n geht das nur in einer geraden Anzahl von Zügen!<br />
Christi<strong>an</strong> Krattenthaler<br />
Diskrete <strong>Mathematik</strong>
Ein listiger Streich<br />
15 14 13 12<br />
7 11 10 8<br />
3 6 9 4<br />
2 5 1 •<br />
Aber, wenn am Anf<strong>an</strong>g und am Ende das leere Feld rechts unten<br />
sein soll, d<strong>an</strong>n geht das nur in einer geraden Anzahl von Zügen!<br />
Christi<strong>an</strong> Krattenthaler<br />
Diskrete <strong>Mathematik</strong>
Ein listiger Streich<br />
Die natürliche Umgebung des jeu de taquin-Spieles gehört zum<br />
Gebiet <strong>der</strong> Algebra: Gruppentheorie.<br />
Christi<strong>an</strong> Krattenthaler<br />
Diskrete <strong>Mathematik</strong>
Ein listiger Streich<br />
Die natürliche Umgebung des jeu de taquin-Spieles gehört zum<br />
Gebiet <strong>der</strong> Algebra: Gruppentheorie.<br />
Im konkreten Fall haben wir es mit einer sogen<strong>an</strong>nten<br />
Spiegelungsgruppe o<strong>der</strong> Coxetergruppe zu tun.<br />
Christi<strong>an</strong> Krattenthaler<br />
Diskrete <strong>Mathematik</strong>
Statistische Physik<br />
Christi<strong>an</strong> Krattenthaler<br />
Diskrete <strong>Mathematik</strong>
Statistische Physik<br />
Statistische Physik versucht globale Phänomene zu <strong>an</strong>alysieren, die<br />
sich aus lokalen Beschränkungen ergeben.<br />
Christi<strong>an</strong> Krattenthaler<br />
Diskrete <strong>Mathematik</strong>
Statistische Physik<br />
(idealisiertes) Eis:<br />
Christi<strong>an</strong> Krattenthaler<br />
Diskrete <strong>Mathematik</strong>
Statistische Physik<br />
(idealisiertes) Eis:<br />
H<br />
O<br />
H<br />
Christi<strong>an</strong> Krattenthaler<br />
Diskrete <strong>Mathematik</strong>
Statistische Physik<br />
(idealisiertes) Eis:<br />
H H H H H<br />
O H O H O H O H O<br />
H<br />
H H H H<br />
O H O H O H O H O<br />
H<br />
H H H H<br />
O H O H O H O H O<br />
H<br />
H H H H<br />
O H O H O H O H O<br />
H<br />
H H H H<br />
O H O H O H O H O<br />
H<br />
H H H H<br />
Christi<strong>an</strong> Krattenthaler<br />
Diskrete <strong>Mathematik</strong>
Statistische Physik<br />
(idealisiertes) Eis:<br />
H H H H H<br />
O H O H O H O H O<br />
H<br />
H H H H<br />
O H O H O H O H O<br />
H<br />
H H H H<br />
O H O H O H O H O<br />
H<br />
H H H H<br />
O H O H O H O H O<br />
H<br />
H H H H<br />
O H O H O H O H O<br />
H<br />
H H H H<br />
Christi<strong>an</strong> Krattenthaler<br />
Diskrete <strong>Mathematik</strong>
Statistische Physik<br />
(idealisiertes) Eis:<br />
Christi<strong>an</strong> Krattenthaler<br />
Diskrete <strong>Mathematik</strong>
Statistische Physik<br />
(idealisiertes) Eis:<br />
Pasterungen!<br />
Christi<strong>an</strong> Krattenthaler<br />
Diskrete <strong>Mathematik</strong>
Statistische Physik<br />
Christi<strong>an</strong> Krattenthaler<br />
Diskrete <strong>Mathematik</strong>
Statistische Physik<br />
Der ,,Arktische Kreis<br />
(Jockush, Propp, Shor)<br />
Christi<strong>an</strong> Krattenthaler<br />
Diskrete <strong>Mathematik</strong>
Statistische Physik<br />
Christi<strong>an</strong> Krattenthaler<br />
Diskrete <strong>Mathematik</strong>
Statistische Physik<br />
Der ,,Arktische Kreis<br />
(Cohen, Larsen, Propp)<br />
Christi<strong>an</strong> Krattenthaler<br />
Diskrete <strong>Mathematik</strong>
Statistische Physik<br />
(Kenyon, Okounkov)<br />
Christi<strong>an</strong> Krattenthaler<br />
Diskrete <strong>Mathematik</strong>
6<br />
3<br />
0<br />
1<br />
1<br />
0<br />
3<br />
7<br />
2<br />
6<br />
0<br />
4<br />
3<br />
6<br />
7<br />
7<br />
8<br />
6<br />
2<br />
45<br />
4<br />
7<br />
1<br />
5<br />
1<br />
3<br />
9<br />
7<br />
7<br />
3<br />
2<br />
4<br />
4<br />
4<br />
4<br />
4<br />
6<br />
3<br />
7<br />
3<br />
9<br />
9 5<br />
9<br />
2<br />
4<br />
6<br />
7<br />
3<br />
1<br />
6<br />
0<br />
6<br />
0<br />
8<br />
2<br />
0<br />
0<br />
3<br />
3<br />
6<br />
9<br />
2<br />
6<br />
5<br />
7<br />
8<br />
0<br />
9<br />
1<br />
5<br />
4 8<br />
3<br />
6 9<br />
1<br />
6<br />
8<br />
6<br />
7<br />
0<br />
0<br />
5<br />
8<br />
1<br />
5<br />
7<br />
6<br />
3<br />
2<br />
9<br />
9<br />
8<br />
8<br />
1<br />
1 5<br />
1<br />
4<br />
4<br />
1<br />
9<br />
3<br />
2<br />
0<br />
2<br />
0<br />
1<br />
3<br />
4<br />
5<br />
9<br />
0<br />
7<br />
4<br />
5<br />
5<br />
1<br />
2<br />
7<br />
4<br />
0<br />
3<br />
9<br />
9<br />
2<br />
5 2<br />
9<br />
5<br />
4<br />
4<br />
1<br />
5<br />
7<br />
3<br />
2<br />
9<br />
0<br />
9<br />
3<br />
9<br />
6<br />
7<br />
4<br />
4<br />
7<br />
5<br />
1<br />
6<br />
7<br />
9<br />
4<br />
7<br />
7<br />
9<br />
4<br />
0<br />
1<br />
6<br />
4<br />
7<br />
6<br />
9<br />
1<br />
8<br />
5<br />
9 6<br />
8<br />
4<br />
6<br />
8<br />
9<br />
8<br />
6<br />
7<br />
2<br />
6<br />
4<br />
3<br />
9<br />
8<br />
2<br />
9<br />
0<br />
1<br />
9<br />
4<br />
6<br />
8<br />
4<br />
4<br />
8<br />
4<br />
3<br />
9<br />
6<br />
8<br />
1<br />
1<br />
4<br />
2<br />
5<br />
6<br />
8<br />
5<br />
5<br />
7<br />
0<br />
7<br />
6<br />
4<br />
9<br />
4 3 3<br />
3<br />
7<br />
5<br />
8<br />
1<br />
6<br />
8<br />
4<br />
4<br />
5<br />
4<br />
4<br />
5<br />
7<br />
7<br />
8<br />
1<br />
0<br />
8<br />
6<br />
6<br />
6<br />
8<br />
3<br />
4<br />
5<br />
8<br />
8<br />
7<br />
3<br />
7<br />
9<br />
0<br />
6<br />
2<br />
2<br />
9<br />
1<br />
2<br />
6<br />
3<br />
1<br />
5<br />
6<br />
8<br />
4<br />
7<br />
1<br />
7<br />
2<br />
0<br />
8<br />
6<br />
0<br />
6<br />
1<br />
2<br />
7<br />
9<br />
6<br />
3<br />
1<br />
1<br />
1<br />
5<br />
1<br />
1<br />
1<br />
5<br />
4<br />
9<br />
1<br />
2<br />
6<br />
0<br />
1<br />
2<br />
5<br />
9<br />
1<br />
2<br />
Christi<strong>an</strong> Krattenthaler<br />
Diskrete <strong>Mathematik</strong>
8<br />
8<br />
8<br />
8<br />
8<br />
8<br />
8<br />
8<br />
8<br />
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Christi<strong>an</strong> Krattenthaler<br />
Diskrete <strong>Mathematik</strong>