1) Potenzen, Wurzelfunktionen, Logarithmus und Exponentialfunktion
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81. Beispiel zum Logarithmieren <strong>und</strong> Entlogarithmieren:<br />
• a) Stelle log(5x²* /z 4 ) als Summe bzw. Differenz von Logarithmen dar!<br />
• b) Stelle 2* log5-0,5*(log a+2*logb)+0,8*logc als <strong>Logarithmus</strong> eines Terms<br />
dar!<br />
• a)...=log(5*x²)+log y 1/2 -log z 4 =log 5 +2*log x+1/2*log y-4*log z.<br />
• b)...=2*log 5-0,5*log a-log b+4/5*log c=log 5²-log a 0,5 -log b+log c 4/5 =<br />
log 5²+log -(log +log b)=log (5²* / ).<br />
82. Merksatz:<br />
Da Logarithmen "nur" die Hochzahlen von <strong>Potenzen</strong> zu einer festen Basis a sind,<br />
gelten für sie genau jene Rechengesetze, die wir schon beim Potenzrechnen kennen<br />
gelernt haben - nur eben in einer anderen Sprech- <strong>und</strong> Schreibweise.<br />
83. Zusammenhang zwischen Logarithmen mit verschiedenen Basen:<br />
• Für die praktische Anwendung sind vor allem der dekadische <strong>Logarithmus</strong><br />
(wegen seines Zusammenhanges mit dem dekadischen Zahlensystem) <strong>und</strong><br />
der natürliche <strong>Logarithmus</strong> (zur Darstellung kontinuierlicher<br />
Wachstumsprozesse) wichtig.<br />
• Diese beiden Logarithmen sind auch am Taschenrechner unmittelbar<br />
verfügbar.<br />
• Für gewisse Anwendungen sind jedoch gelegentlich auch die Logarithmen<br />
zu anderen Basen von Bedeutung, z.B. in der Informatik der <strong>Logarithmus</strong> zur<br />
Basis 2.<br />
• Alle diese Logarithmen lassen sich aufgr<strong>und</strong> des folgenden Zusammenhangs<br />
am Taschenrechner ermitteln: Werden beide Seiten der Definition des<br />
<strong>Logarithmus</strong> a alogx =x bezüglich der Basis 10 logarithmiert, so erhält man<br />
a logx*lg a=lg x.<br />
• Hieraus ergibt sich die Umrechnungsformel von lg x auf a log x: a log x= .<br />
84. Merksatz:<br />
Wir brauchen also nur lg x durch den dekadischen <strong>Logarithmus</strong> zur Basis a zu<br />
dividieren, um den<br />
a log x zu erhalten. Mit anderen Worten: Der dekadische <strong>Logarithmus</strong> <strong>und</strong> der<br />
<strong>Logarithmus</strong> zur Basis a sind direkt proportional.<br />
Exponentialgleichungen <strong>und</strong> logarithmische Gleichungen:<br />
85. Exponentialgleichungen:<br />
• Logarithmen kann man nicht nur zum Abschätzen verwenden, sondern man<br />
kann damit auch Gleichungen lösen, in denen die Unbekannte als Exponent<br />
vorkommt.<br />
• Solche Gleichungen heißen naturgemäß Exponentialgleichungen.
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