1) Potenzen, Wurzelfunktionen, Logarithmus und Exponentialfunktion

•
• Probe: LS=RS= ist nicht definiert, da der Radikand sein
muss
• Die Unlösbarkeit der Gleichung hätte man auch unmittelbar aus der
Definitionsmenge ersehen können:
63. Merksatz:
Da Quadrieren und Wurzelziehen in R keine Äquivalenzumformungen sind, ist es bei
Wurzelgleichungen äußerst wichtig, stets eine Probe durchzuführen.
Potenzen mit reellen Exponenten - Exponentialfunktion:
64. Potenzen mit reellen Exponenten:
• Potenzen, deren Exponent x eine endliche Dezimalzahl ist, haben wir vorher
schon behandelt.
• Beispielsweise ist 3 1,4 gleichbedeutend mit .
• Was aber kann bedeuten?
• ist der Grenzwert der Folge (1; 1,4; 1,41; 1,414;...).
• Wir legen daher als Grenzwert der Folge (3 1 ; 3 1,4 ; 3 1,41 ; 3 1,414 ;...) fest.
• Diese Folge ist wohldefiniert, da ja jedes Folgenglied eine endliche
Dezimalzahl als Exponent besitzt.
• Die Folge ist monoton wachsend und -z. B. durch 3²- nach oben beschränkt
und konvergiert daher gemäß dem Satz von der monotonen Konvergenz.
• Die Rechenregeln für Potenzen gelten auch für Potenzen mit beliebigen
reellen Exponenten.
• Betrachten wir zum Beispiel die Regel a r *a s =a r+s : Strebt die Exponentenfolge
(r 1 ; r 2 ; r 3 ;...) gegen r und die Exponentenfolge (s 1 ; s 2 ; s 3 ;...) gegen s, so strebt
die Summenfolge (r 1 +s 1 ; r 2 +s 2 ; r 3 +s 3 ;...) gegen r+s.
65. Beispiel zu Potenzen mit reellen Exponenten:
• Zu zeigen (a*b) r =a r *b r , wobei r ∊ R.
• Wir betrachten dazu die Folge (r 1 ; r 2 ; r 3 ;...) → r, dann gilt: (a r1 ; a r2 ; a r3 ;...) →
a r , (b r1 ; b r2 ; b r3 ;...) → b r und ((a*b) r1 ;(a*b) r2 ; (a*b) r3 ;...) → (a*b) r .
• Nun gilt aber (a*b) ri =a ri *b ri für alle i∊Q.
66. Merksatz:
Das Berechnen von Potenzen mit irrationalen Exponenten kann man näherungsweise
aus dem Berechnen von Potenzen mit rationalen Exponenten herleiten.