1) Potenzen, Wurzelfunktionen, Logarithmus und Exponentialfunktion
1) Potenzen, Wurzelfunktionen, Logarithmus und Exponentialfunktion
1) Potenzen, Wurzelfunktionen, Logarithmus und Exponentialfunktion
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1) <strong>Potenzen</strong>, <strong>Wurzelfunktionen</strong>, <strong>Logarithmus</strong> <strong>und</strong><br />
<strong>Exponentialfunktion</strong><br />
<strong>Potenzen</strong> mit natürlichen Zahlen als Exponenten:<br />
1. Definition der Potenz:<br />
•<br />
•<br />
•<br />
• n...Exponent (Hochzahl).<br />
• .<br />
•<br />
2. erstes Beispiel zu <strong>Potenzen</strong>:<br />
• Berechne mit Hilfe des Taschenrechners 2 10 <strong>und</strong> 10 2 ! Welche Schlussfolgerung<br />
kann man durch den Vergleich der Ergebnisse ziehen?<br />
• Lösung: Tastenfolge 2 10 →Ergebnis: 1024 <strong>und</strong> Tastenfolge 10 2 →Ergebnis:<br />
100.<br />
•<br />
3. Merksatz<br />
Die Vertauschung von Basis <strong>und</strong> Exponent ändert den Wert der Potenz.<br />
4. Addition <strong>und</strong> Subtraktion von <strong>Potenzen</strong>:<br />
• <strong>Potenzen</strong> können dann <strong>und</strong> nur dann formelmäßig addiert oder subtrahiert<br />
werden, wenn sie sowohl in ihren Basen als auch in ihren Exponenten<br />
übereinstimmen.<br />
• Man rechnet mit den Koeffizienten.<br />
5. Beispiel zur Addition <strong>und</strong> Subtraktion von <strong>Potenzen</strong>:<br />
• Berechne 8a 2 +2b 2 -(5a 2 +b 2 +a)!<br />
• Lösung: 8a 2 +2b 2 -5a 2 -b 2 -a=8a 2 -5a 2 +2b 2 -b²-a=3a²+b²-a.<br />
6. Merksatz<br />
Es ist immer darauf zu achten, dass zueinander verschiedene <strong>Potenzen</strong> nicht<br />
zusammengefasst werden können.
7. Multiplikation von <strong>Potenzen</strong> mit gleicher Basis (<strong>und</strong> verschiedenen Exponenten):<br />
•<br />
•<br />
•<br />
8. Beispiel zur Multiplikation von <strong>Potenzen</strong> mit gleicher Basis (<strong>und</strong> verschiedenen<br />
Exponenten):<br />
•<br />
•<br />
9. Merksatz:<br />
Bei der Multiplikation von <strong>Potenzen</strong> mit gleichen Basen sind die (zueinander<br />
verschiedenen) Exponenten zu addieren.<br />
10. Division von <strong>Potenzen</strong> mit gleicher Basis (<strong>und</strong> verschiedenen Exponenten):<br />
• <strong>Potenzen</strong> mit gleicher Basis werden dividiert, indem man die Basis mit der<br />
Differenz der Exponenten potenziert, wobei hier einige Fallunterscheidungen<br />
vorgenommen werden.<br />
•<br />
11. Beispiel zur Division von <strong>Potenzen</strong> mit gleicher Basis <strong>und</strong> verschiedenen<br />
Exponenten:<br />
• ; ; ;<br />
• .<br />
•<br />
•
12. Merksatz:<br />
Bei der Division von <strong>Potenzen</strong> mit gleichen Basen ist darauf zu achten, dass die<br />
(zueinander verschiedenen) Exponenten zu subtrahieren sind.<br />
13. Multiplikation von <strong>Potenzen</strong> mit gleichem Exponenten (<strong>und</strong> verschiedenen Basen):<br />
• <strong>Potenzen</strong> mit gleichem Exponenten werden multipliziert, indem man das<br />
Produkt der Basen mit dieser Hochzahl potenziert, d. h.: ,<br />
wobei <strong>und</strong> r N*.<br />
14. Beispiel zur Multiplikation von <strong>Potenzen</strong> mit gleichem Exponenten (<strong>und</strong><br />
verschiedenen Basen):<br />
• Berechne:<br />
•<br />
15. Merksatz:<br />
Bei der Multiplikation von <strong>Potenzen</strong> mit gleichem Exponenten ist das Produkt der<br />
Basen mit dem jeweiligen Exponenten zu potenzieren.<br />
16. Division von <strong>Potenzen</strong> mit gleichem Exponenten (<strong>und</strong> verschiedenen Basen):<br />
• <strong>Potenzen</strong> mit gleichem Exponenten werden dividiert, indem man den<br />
Quotienten der Basen mit dieser Hochzahl potenziert, d.h. = , wobei a, b ∊ <br />
R, b≠0 <strong>und</strong> r ∊ N * . <br />
17. Beispiel zur Division von <strong>Potenzen</strong> mit gleichem Exponenten (<strong>und</strong> verschiedenen<br />
Basen):<br />
• Berechne:<br />
•<br />
18. Merksatz:<br />
Bei der Division von <strong>Potenzen</strong> mit gleichem Exponenten ist der Quotient der Basen<br />
mit dem jeweiligen Exponenten zu potenzieren.<br />
19. Potenzieren von <strong>Potenzen</strong>:<br />
• <strong>Potenzen</strong> werden potenziert, indem man die Basis mit dem Produkt der<br />
Exponenten potenziert, d. h.: wobei <strong>und</strong> *.
20. Beispiel zum Potenzieren von <strong>Potenzen</strong>:<br />
• Stelle als Potenz mit nur einem Exponenten dar: a) b)<br />
• a)<br />
• b)<br />
21. Merksatz<br />
Eine Potenz wird potenziert, indem man die Exponenten multipliziert.<br />
<strong>Potenzen</strong> mit ganzen Zahlen als Exponenten:<br />
22. Definition:<br />
•<br />
•<br />
23. Beispiel zu <strong>Potenzen</strong> mit ganzzahligen Exponenten:<br />
•<br />
•<br />
24. Merksatz:<br />
Eine Potenz mit negativem Exponenten kann als Bruch mit positivem Exponenten<br />
dargestellt werden.<br />
25. Potenzfunktionen <strong>und</strong> ihre Graphen:<br />
• Definition: Eine Funktion f: R→R mit der Funktionsgleichung<br />
heißt Potenzfunktion.<br />
mit<br />
26. Beispiel zur Potenzfunktion:<br />
• .<br />
27. Merksatz:<br />
Durch die Rechenanweisung wird für festes<br />
r Z jedem x R genau ein Wert y R zugewiesen.
<strong>Potenzen</strong> mit rationalen Zahlen als Exponenten:<br />
28. Wurzeln - <strong>Potenzen</strong>, deren Exponenten Stammbrüche sind:<br />
• Definition: Die n-te Wurzel aus einer nichtnegativen Zahl a ist jene<br />
nichtnegative Zahl b, deren n-te Potenz gleich a ist: a, b R,<br />
• Dabei heißt a Radikand, n Wurzelexponent <strong>und</strong> b Wurzelwert:<br />
29. Beispiel zu <strong>Potenzen</strong>, deren Exponenten Stammbrüche sind:<br />
• denn =1024. <br />
30. Merksatz:
31. Definition der n-ten Wurzel:<br />
• Durch analoge Überlegungen wie bei der Quadratwurzel, nämlich<br />
* *...* (n-mal)=a=a 1 = (n-mal)= * *...* ) (nmal)<br />
gelangt man zur Definition<br />
•<br />
32. Beispiel zur n-ten Wurzel:<br />
= .<br />
33. Merksatz:<br />
34. Definition des Ausdrucks<br />
.<br />
35. Beispiel zur obigen Definition:<br />
=4.<br />
36. Merksatz:<br />
Eine Potenz mit rationalem Exponenten kann in eine Potenz mit ganzzahligem<br />
Exponenten unter einer Wurzel umgeschrieben werden. Dabei ist der ganzzahlige
Exponent der Zähler des rationalen Exponenten <strong>und</strong> die Ordnung der Wurzel der<br />
Nenner des rationalen Exponenten.<br />
37. Definition der Wurzelfunktion:<br />
• Die Funktion w n : R + 0 →R + 0 mit der Funktionsgleichung<br />
Wurzelfunktion.<br />
heißt<br />
38. Beispiele zur Wurzelfunktion:<br />
• w 2 : ; w 3 : <strong>und</strong> w 4 : R 0 + →R.<br />
39. Merksatz:<br />
Wie wir bereits wissen, ist das Wurzelziehen die "Umkehrung" des Potenzierens, <strong>und</strong><br />
umgekehrt. Dementsprechend heißt die Wurzelfunktion w 3 : Umkehrfunktion<br />
der Potenzfunktion p 3 : . Allgemein: Der Graph der Umkehrfunktion w n der<br />
Potenzfunktion p n entsteht durch Spiegelung der Graphen von p n an der 1. Mediane.
<strong>Potenzen</strong> <strong>und</strong> Wurzeln von Polynomen:<br />
40. Multiplikation von Polynomen:<br />
Summen <strong>und</strong> Differenzen von <strong>Potenzen</strong> bezeichnet man als Polynome.<br />
• Treten nur <strong>Potenzen</strong> mit der Basis x auf, so ergibt sich als Normalform des<br />
Polynoms ein Ausdruck der Gestalt<br />
• Es gibt auch Polynome in zwei oder mehreren Variablen, z. B<br />
.<br />
• Wenn die einzelnen Variablen eines Polynoms in zwei oder mehreren<br />
Variablen gleichen Grad haben, existiert auch für solche Polynome eine<br />
Normalform, nämlich<br />
• Müssen Polynome mit mehreren Gliedern miteinander multipliziert werden,<br />
bietet sich eine Schreibweise an, die der Multiplikation mehrstelliger Zahlen<br />
nachempf<strong>und</strong>en ist.<br />
.<br />
.<br />
41. Beispiel zur Multiplikation von Polynomen in einer Variablen:<br />
• Berechne<br />
• )<br />
...erste Klammer mal<br />
...erste Klammer mal<br />
...erste Klammer mal 1<br />
...Summe der 3 Teilprodukte.<br />
42. Beispiel zur Multiplikation von Polynomen in zwei Variablen:<br />
• Berechne<br />
•<br />
...erste Klammer mal<br />
...erste Klammer mal<br />
Teilprodukte.<br />
...Summe der zwei
43. Merksatz:<br />
Bei der Multiplikation von Polynomen in einer oder mehreren Variablen ist wichtig,<br />
dass man die <strong>Potenzen</strong> nach fallenden Exponenten ordnet <strong>und</strong> dass "richtig"<br />
untereinander geschrieben wird.<br />
44. Division von Polynomen:<br />
• Beim Dividieren von Polynomen ist es günstig, das Divisionsverfahren für<br />
ganze Zahlen nachzuahmen.<br />
45. Beispiel zur Division von Polynomen in einer Variablen:<br />
• Berechne !<br />
• →<br />
entsteht aus<br />
1. Zwischenrest →<br />
entsteht aus<br />
2. Zwischenrest →<br />
entsteht aus<br />
3. Zwischenrest →<br />
entsteht aus<br />
0 Rest.<br />
46. Beispiel zur Division von Polynomen in zwei Variablen:<br />
• Berechne !<br />
•<br />
0 Rest.
47. Merksatz:<br />
Bei der Division von Polynomen sind folgende Schritte durchzuführen:<br />
0. Beide Polynome nach fallenden <strong>Potenzen</strong> reihen (sonst hat man dann ein<br />
"Durcheinander").<br />
1. (1. Glied des Dividendenpolynoms):(1. Glied des Divisorpolynoms)=1. Glied des<br />
Quotientenpolynoms.<br />
2. (Divisorpolynom)*(1. Glied des Quotientenpolynoms)=1. Zwischenprodukt (richtig<br />
darunterschreiben!)<br />
3. Subtrahieren des 1. Zwischenproduktes vom Dividendenpolynom (eventuell alle<br />
Vorzeichen im 1. Zwischenprodukt wechseln - Addieren ist leichter als Subtrahieren!)<br />
= 1. Zwischenrest.<br />
4. Ersetze den Dividenden durch den 1. Zwischenrest <strong>und</strong> fahre bei Punkt 1. fort.<br />
48. Herausheben:<br />
• Eine wichtige Anwendung des Dividierens ist das Herausheben, bei dem ein<br />
Polynom in ein Produkt von (zumeist) einem Monom <strong>und</strong> einem Polynom<br />
umgeformt wird.<br />
49. Beispiel zum Herausheben:<br />
Vereinfache: a) b)<br />
• a)<br />
• b)<br />
(<br />
50. Merksatz:<br />
Beim Herausheben muss der Divisor "erraten" werden.<br />
51. Wurzelfreimachen des Nenners:<br />
• Zerlegungsformeln:<br />
•<br />
• unzerlegbar in R<br />
•<br />
• .
52. Beispiel zum Wurzelfreimachen des Nenners:<br />
• Mache die Nenner der folgenden Brüche wurzelfrei: a) <strong>und</strong> b)<br />
.<br />
• Lösung: Wir erweitern geeignet: a)<br />
.<br />
• Gemäß Zerlegungsformel 1) ist ja<br />
• b)<br />
• Gemäß Zerlegungsformel 3) ist ja<br />
53. Merksatz:<br />
Ist der Nenner des Bruches ein Ausdruck, der Wurzeln enthält, so versucht man den<br />
Bruch so geschickt zu erweitern, dass die Wurzeln wegfallen. Dabei verwendet man<br />
die Zerlegungsformeln.<br />
54. <strong>Potenzen</strong> von Binomen:<br />
• Binomische Formeln:<br />
•<br />
•<br />
•<br />
•<br />
55. Beispiele zu <strong>Potenzen</strong> von Binomen:<br />
•<br />
•<br />
.
56. Merksatz:<br />
Es lassen sich folgende Gesetzmäßigkeiten für (a+b) n vermuten:<br />
1) Der Potenzexponent von a beginnt mit n <strong>und</strong> wird bei jedem nachfolgenden Glied<br />
um 1 kleiner, der von b hingegen beginnt mit 0 (beachte b 0 =1) <strong>und</strong> wird jeweils um 1<br />
größer.<br />
2) Die Koeffizienten der <strong>Potenzen</strong> des Binoms (=Binomialkoeffizienten) sind<br />
symmetrisch angeordnet.<br />
3) Der erste <strong>und</strong> der letzte Koeffizient ist 1, der zweite <strong>und</strong> der vorletzte n.<br />
4) Um eine Regel für die anderen Koeffizienten zu finden, betrachten wir, wie etwa<br />
die<br />
² zustande gekommen ist: Sie ergab sich beim Ausmultiplizieren aus<br />
also aus der Summe zweier<br />
Koeffizienten der vorhergehenden Reihe.<br />
57. Pascal'sches Dreieck:<br />
• Die Eigenschaften 1) bis 4) erkennt man deutlich, wenn man die<br />
Binomialkoeffizienten in Form eines Dreiecks, dem sogenannten<br />
PASCAL'schen Dreieck, anordnet, in dem auch die Koeffizienten von<br />
<strong>und</strong><br />
eingetragen sind.<br />
58. Das Pascal'sche Dreieck bis n=5:<br />
• n=0 1 k=0<br />
n=1 1 1 k=1<br />
n=2 1 2 1 k=2<br />
n=3 1 3 3 1 k=3<br />
n=4 1 4 6 4 1 k=4<br />
n=5 1 5 10 10 5 1 k=5<br />
59. Wurzelgleichungen:<br />
• Gleichungen, in denen die Variable (Variablen) unter einem Wurzelzeichen<br />
auftritt (auftreten), nennt man Wurzelgleichungen.<br />
60. Beispiel zu Wurzelgleichungen:<br />
• Löse für G=R: .<br />
•<br />
•<br />
•<br />
•<br />
• Probe: LS }.<br />
• Löse für<br />
•<br />
•
•<br />
•<br />
• Probe: LS<br />
61. Beispiel zu einer Gleichung in der mehrere Wurzeln auftreten:<br />
• Löse in R:<br />
•<br />
• Beachte: , = ²!<br />
•<br />
• 1 *<br />
• Wurzel isolieren!<br />
•<br />
• So weit wie möglich kürzen!<br />
•<br />
• Quadrieren!<br />
•<br />
• Herstellen der normierten Form der quadratischen Gleichung <strong>und</strong> lösen!<br />
•<br />
•<br />
•<br />
•<br />
• Probe für :<br />
• Probe für : ist nicht definiert<br />
• Dass -3 keine Lösung ist, hätte man auch anhand der Definitionsmenge<br />
sehen können:<br />
62. Beispiel zu einer Wurzelgleichung, die in R nicht lösbar ist:<br />
• Löse für<br />
•<br />
•<br />
•
•<br />
• Probe: LS=RS= ist nicht definiert, da der Radikand sein<br />
muss<br />
• Die Unlösbarkeit der Gleichung hätte man auch unmittelbar aus der<br />
Definitionsmenge ersehen können:<br />
63. Merksatz:<br />
Da Quadrieren <strong>und</strong> Wurzelziehen in R keine Äquivalenzumformungen sind, ist es bei<br />
Wurzelgleichungen äußerst wichtig, stets eine Probe durchzuführen.<br />
<strong>Potenzen</strong> mit reellen Exponenten - <strong>Exponentialfunktion</strong>:<br />
64. <strong>Potenzen</strong> mit reellen Exponenten:<br />
• <strong>Potenzen</strong>, deren Exponent x eine endliche Dezimalzahl ist, haben wir vorher<br />
schon behandelt.<br />
• Beispielsweise ist 3 1,4 gleichbedeutend mit .<br />
• Was aber kann bedeuten?<br />
• ist der Grenzwert der Folge (1; 1,4; 1,41; 1,414;...).<br />
• Wir legen daher als Grenzwert der Folge (3 1 ; 3 1,4 ; 3 1,41 ; 3 1,414 ;...) fest.<br />
• Diese Folge ist wohldefiniert, da ja jedes Folgenglied eine endliche<br />
Dezimalzahl als Exponent besitzt.<br />
• Die Folge ist monoton wachsend <strong>und</strong> -z. B. durch 3²- nach oben beschränkt<br />
<strong>und</strong> konvergiert daher gemäß dem Satz von der monotonen Konvergenz.<br />
• Die Rechenregeln für <strong>Potenzen</strong> gelten auch für <strong>Potenzen</strong> mit beliebigen<br />
reellen Exponenten.<br />
• Betrachten wir zum Beispiel die Regel a r *a s =a r+s : Strebt die Exponentenfolge<br />
(r 1 ; r 2 ; r 3 ;...) gegen r <strong>und</strong> die Exponentenfolge (s 1 ; s 2 ; s 3 ;...) gegen s, so strebt<br />
die Summenfolge (r 1 +s 1 ; r 2 +s 2 ; r 3 +s 3 ;...) gegen r+s.<br />
65. Beispiel zu <strong>Potenzen</strong> mit reellen Exponenten:<br />
• Zu zeigen (a*b) r =a r *b r , wobei r ∊ R.<br />
• Wir betrachten dazu die Folge (r 1 ; r 2 ; r 3 ;...) → r, dann gilt: (a r1 ; a r2 ; a r3 ;...) →<br />
a r , (b r1 ; b r2 ; b r3 ;...) → b r <strong>und</strong> ((a*b) r1 ;(a*b) r2 ; (a*b) r3 ;...) → (a*b) r .<br />
• Nun gilt aber (a*b) ri =a ri *b ri für alle i∊Q.<br />
66. Merksatz:<br />
Das Berechnen von <strong>Potenzen</strong> mit irrationalen Exponenten kann man näherungsweise<br />
aus dem Berechnen von <strong>Potenzen</strong> mit rationalen Exponenten herleiten.
67. Die <strong>Exponentialfunktion</strong>:<br />
• Definition: Unter der <strong>Exponentialfunktion</strong> zur Basis a versteht man die<br />
Funktion<br />
a exp: R →R, y=a x <strong>und</strong> a∊R + .<br />
68. Beispiel zur <strong>Exponentialfunktion</strong>:<br />
• Zeichne die Graphen der Funktionen a)y=2 x , b)y=3 x , c)y=0.1 x <strong>und</strong> d)y=0.5 x<br />
für D=[-5; 5] in ein Koordinatensystem!<br />
• Wir stellen eine Wertetabelle (ger<strong>und</strong>et auf 2 Dezimalstellen) auf:<br />
x -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5<br />
2 x 0,031 0,062 0,12 0,2 0, 1 2 4 8 16 32<br />
25 5 5 5 5<br />
3 x 1/243 1/81 1/27 1/9 1/ 1 3 9 27 81 243<br />
3<br />
0.1 x 10000<br />
0<br />
1000<br />
0<br />
1000 100 10 1 0,<br />
1<br />
0,0<br />
1<br />
0,00<br />
1<br />
0,000<br />
1<br />
0,0000<br />
1<br />
0.5 x 32 16 8 4 2 1 0,<br />
5<br />
0,2<br />
5<br />
0,12<br />
5<br />
0,062<br />
5<br />
0,0312<br />
5<br />
69. Merksatz:<br />
Anhand des obigen Beispiels können wir folgende Eigenschaften für die<br />
<strong>Exponentialfunktion</strong>en feststellen:<br />
Die Funktionen sind durch die x-Achse nach unten beschränkt; mit anderen Worten:<br />
Sämtliche Funktionswerte sind positiv, d.h. der Graph verläuft zur Gänze oberhalb der<br />
x-Achse.<br />
Die Funktionen sind nach oben unbeschränkt (außer a=1).<br />
Die Funktionsgraphen enthalten stets den Punkt P(0∣1). Erkläre!<br />
Für a>1 ist die Funktion streng monoton wachsend, für a=1 konstant, für 0
Die Graphen der Funktionen y=a x <strong>und</strong> y=(1/a) x liegen symmetrisch bezüglich der y-<br />
Achse.<br />
Für a>1 ist die negative x-Achse die einzige Asymptote, für 0
• Wendet man diese Formel auch für Exponenten ∊ R + an, was natürlich nur<br />
von theoretischem Interesse ist, so spricht man von einer stetigen Verzinsung<br />
K x =K 0 *q x , x∊R + , q=1+ .<br />
• Letztere ist rechnerisch bequemer, so dass man die (ohnedies nur kleine)<br />
Abweichung von der bankmäßigen Verzinsung, bei der das Kapital während<br />
des Jahres (Banken rechnen mit 12 mal 30=360 Tagen) linear verzinst wird,<br />
oft in Kauf nimmt.<br />
72. Beispiel zur stetigen Verzinsung:<br />
• Ein Kapital von 10000 Euro wird in der Mitte des Jahres auf 3,5 Jahre<br />
angelegt. Berechne das Endkapital K n bei 3% Verzinsung mittels (1) stetiger<br />
Verzinsung <strong>und</strong> vergleiche (2) mit der bankmäßigen!<br />
• (1) K n =10000*(1+0,03) 3,5 =11089,97.<br />
• (2) Die Zinsen nach 0,5 Jahren betragen 150, das Kapital daher 10150 <strong>und</strong><br />
nach weiteren drei Jahren K 3 =10150*(1+0,03) 3 =11091,18.<br />
• Der Unterschied zur bankmäßigen Verzinsung beträgt nur 1,21 Euro!<br />
73. Merksatz:<br />
Die stetige Verzinsung leitet sich aus der Zinseszinsformel ab, wobei nun nicht nur<br />
Exponenten aus Q + sondern auch Exponenten aus R + zugelassen sind. Die stetige<br />
Verzinsung unterscheidet sich von der bankmäßigen dahingehend, dass die Bank im<br />
Gegensatz zur stetigen Verzinsung während des Jahres linear verzinst.<br />
<strong>Logarithmus</strong> <strong>und</strong> <strong>Logarithmus</strong>funktion:<br />
74. Definition des <strong>Logarithmus</strong>:<br />
• Betrachten wir das Beispiel 2³=8. Dann gibt es offenbar drei Möglichkeiten,<br />
daraus eine Bestimmungsgleichung zu machen:<br />
• Die Gleichung 2³=x: Die Lösung findet man durch Potenzieren.<br />
• Die Gleichung x³=8: Die Lösung findet man durch Wurzelziehen: x= .<br />
• Die Gleichung 2 x =8: Aus dem Graphen von y=2 x kann man erkennen, dass<br />
die Gleichung genau eine Lösung hat.<br />
• Um diese Lösung -allgemein: die Lösung der Gleichung a x =b - explizit<br />
darstellen zu können, müssen wir eine weitere Umkehrfunktion des<br />
Potenzierens <strong>und</strong> eine zugehörige Schreibweise <strong>und</strong> Sprechweise einführen.<br />
• Definition: Die Lösung der Gleichung a x =b (a∊R + \{1}, b∊R + ) in R nennt man<br />
den <strong>Logarithmus</strong> von b zur Basis a; b heißt Numerus.<br />
• a x =b ↔ x= a logb.<br />
• In Worten: Der <strong>Logarithmus</strong> von b zur Basis a ist jener Exponent, mit dem<br />
man a potenzieren muss, um b zu erhalten.<br />
75. Beispiel zum <strong>Logarithmus</strong>:<br />
• Berechne: a) 7 log 49, b) 2 log (1/8), c) 5 log , d) 0,5 log 2.<br />
• a) 7 log 49=2, da 7²=49.
• b) 2 log (1/8)=-3, da 2 -3 =1/2³=1/8.<br />
• c) 5 log =1/2, da 5 1/2 = .<br />
• d) 0,5 log 2=-1, da 0,5 -1 =(1/2) -1 =2.<br />
76. Merksatz:<br />
Der <strong>Logarithmus</strong> antwortet im Allgemeinen auf die Frage: "Die Basis hoch wie viel ist<br />
der Numerus?".<br />
77. Definition der <strong>Logarithmus</strong>funktion:<br />
• Definition: Unter der <strong>Logarithmus</strong>funktion zur Basis a versteht man die<br />
Funktion<br />
•<br />
a log: R + →R, y= a logx <strong>und</strong> a∊R + \{1}.<br />
• Da Logarithmieren <strong>und</strong> Exponenzieren Umkehroperationen sind, bezeichnen<br />
wir die <strong>Logarithmus</strong>funktion als Umkehrfunktion der <strong>Exponentialfunktion</strong>.<br />
• Um die <strong>Logarithmus</strong>funktion zu erhalten, braucht man also nur den Graphen<br />
der <strong>Exponentialfunktion</strong> an der 1. Mediane zu spiegeln.<br />
• Somit können wir auch die Eigenschaften der <strong>Logarithmus</strong>funktion aus<br />
denen der <strong>Exponentialfunktion</strong> herleiten:<br />
• Die Funktion ist nur für positive reelle Zahlen definiert, d. h. der Graph<br />
verläuft rechts der y-Achse.<br />
• Die Funktion ist nach unten <strong>und</strong> oben unbeschränkt.<br />
• Die Funktion enthält stets den Punkt P(1∣0).<br />
• Für a>1 ist die Funktion streng monoton wachsend, für 0
78. Beispiel zur <strong>Logarithmus</strong>funktion:<br />
79. Merksatz:<br />
Die <strong>Exponentialfunktion</strong> <strong>und</strong> die <strong>Logarithmus</strong>funktion sind zueinander<br />
Umkehrfunktionen. Dies bedeutet, dass man die <strong>Logarithmus</strong>funktion aus der<br />
<strong>Exponentialfunktion</strong> durch Spiegelung an der 1. Mediane erhält.<br />
Rechnen mit Logarithmen:<br />
80. Logarithmieren <strong>und</strong> Entlogarithmieren:<br />
• Bevor es elektronische Rechner gab, wurden die Logarithmen vor allem dazu<br />
verwendet, um das Multiplizieren <strong>und</strong> Dividieren zu vereinfachen.<br />
• Wir erläutern die Idee an einem ganz einfachen Beispiel: Die Multiplikation<br />
4*8 kann man wegen 4=2² <strong>und</strong> 8=2³ unter Anwendung der Potenzregeln in<br />
der Form 4*8=2²*2³=2² +3 =2 5 =32 berechnen.<br />
• Unter Verwendung von Logarithmen kann man dafür schreiben:<br />
4*8=2 2log4 *2 2log8 =2 2log4+2log8 =2 2log32 =32.<br />
• Man sieht: 2 log(4*8)= 2 log4+ 2 log8.<br />
• In Verallgemeinerung dieses Beispiels gilt: a log(u*v)= a log u+ a log v.<br />
• Der <strong>Logarithmus</strong> eines Produktes ist also gleich der Summe der Logarithmen<br />
der Faktoren.<br />
• Für a∊R + \{1} <strong>und</strong> u, v ∊ R + gelten folgende Regeln: 1) a log(u*v)= a log u+ a log<br />
v, 2) a log(u/v)= a log u- a log v, 3) a log u r =r* a log u mit r∊R, 4) a log = * a log u<br />
mit r∊N * .
81. Beispiel zum Logarithmieren <strong>und</strong> Entlogarithmieren:<br />
• a) Stelle log(5x²* /z 4 ) als Summe bzw. Differenz von Logarithmen dar!<br />
• b) Stelle 2* log5-0,5*(log a+2*logb)+0,8*logc als <strong>Logarithmus</strong> eines Terms<br />
dar!<br />
• a)...=log(5*x²)+log y 1/2 -log z 4 =log 5 +2*log x+1/2*log y-4*log z.<br />
• b)...=2*log 5-0,5*log a-log b+4/5*log c=log 5²-log a 0,5 -log b+log c 4/5 =<br />
log 5²+log -(log +log b)=log (5²* / ).<br />
82. Merksatz:<br />
Da Logarithmen "nur" die Hochzahlen von <strong>Potenzen</strong> zu einer festen Basis a sind,<br />
gelten für sie genau jene Rechengesetze, die wir schon beim Potenzrechnen kennen<br />
gelernt haben - nur eben in einer anderen Sprech- <strong>und</strong> Schreibweise.<br />
83. Zusammenhang zwischen Logarithmen mit verschiedenen Basen:<br />
• Für die praktische Anwendung sind vor allem der dekadische <strong>Logarithmus</strong><br />
(wegen seines Zusammenhanges mit dem dekadischen Zahlensystem) <strong>und</strong><br />
der natürliche <strong>Logarithmus</strong> (zur Darstellung kontinuierlicher<br />
Wachstumsprozesse) wichtig.<br />
• Diese beiden Logarithmen sind auch am Taschenrechner unmittelbar<br />
verfügbar.<br />
• Für gewisse Anwendungen sind jedoch gelegentlich auch die Logarithmen<br />
zu anderen Basen von Bedeutung, z.B. in der Informatik der <strong>Logarithmus</strong> zur<br />
Basis 2.<br />
• Alle diese Logarithmen lassen sich aufgr<strong>und</strong> des folgenden Zusammenhangs<br />
am Taschenrechner ermitteln: Werden beide Seiten der Definition des<br />
<strong>Logarithmus</strong> a alogx =x bezüglich der Basis 10 logarithmiert, so erhält man<br />
a logx*lg a=lg x.<br />
• Hieraus ergibt sich die Umrechnungsformel von lg x auf a log x: a log x= .<br />
84. Merksatz:<br />
Wir brauchen also nur lg x durch den dekadischen <strong>Logarithmus</strong> zur Basis a zu<br />
dividieren, um den<br />
a log x zu erhalten. Mit anderen Worten: Der dekadische <strong>Logarithmus</strong> <strong>und</strong> der<br />
<strong>Logarithmus</strong> zur Basis a sind direkt proportional.<br />
Exponentialgleichungen <strong>und</strong> logarithmische Gleichungen:<br />
85. Exponentialgleichungen:<br />
• Logarithmen kann man nicht nur zum Abschätzen verwenden, sondern man<br />
kann damit auch Gleichungen lösen, in denen die Unbekannte als Exponent<br />
vorkommt.<br />
• Solche Gleichungen heißen naturgemäß Exponentialgleichungen.
• Sie lassen sich vielfach durch Logarithmieren lösen.<br />
86. Beispiel zu Exponentialgleichungen:<br />
• Berechne x aus 3 x =2, G=R!<br />
• Wir führen die Gleichung durch Logarithmieren zur Basis 10 in eine lineare<br />
Gleichung über:<br />
• lg 3 x =lg 2<br />
• x*lg 3=lg 2<br />
• x= ≈0,63093<br />
• Probe: 3 0,63093 ≈2.<br />
87. Merksatz:<br />
An sich ist es gleichgültig, bezüglich welcher Basis man die Gleichung logarithmiert.<br />
Unmittelbar am Taschenrechner sind jedoch nur der dekadische bzw. der natürliche<br />
<strong>Logarithmus</strong> verfügbar, so dass man diesen im Allgemeinen den Vorzug gibt.<br />
88. Logarithmische Gleichungen:<br />
• Bei vielen Problemen treten Gleichungen auf, bei denen die Unbekannte als<br />
Numerus von Logarithmen vorkommt; man nennt sie logarithmische<br />
Gleichungen.<br />
89. Beispiel zu logarithmischen Gleichungen:<br />
• Löse die Gleichung 6*(lg x)²+2=lg x 7 für G=R + !<br />
• 6*(lg x)²-7lg x+2=0 lg x=u<br />
• 6u²-7u+2=0<br />
• u²-7/6*u+1/3=0<br />
• u 1,2 =7/12+- = (7+-1)/12.<br />
• u 1 =2/3 → x 1 =10 u1 =10 2/3 = .<br />
• u 2 =1/2 → x 2 =10 u2 =10 1/2 = .<br />
• L={ ; }.<br />
• Probe: Für x 1 : LS=4,6667=RS.<br />
• Für x 2 : LS=3,5=RS.<br />
90. Merksatz:<br />
Beim Lösen logarithmischer Gleichungen ist es oft hilfreich, den logarithmierten<br />
Numerus zu substituieren.
2) Schularbeit<br />
1. <strong>Potenzen</strong> <strong>und</strong> Potenzfunktionen <br />
a) Die Wellenlänge von blauem Licht beträgt etwa 450nm. Wie viele Wellenberge <br />
müssten sich daher auf einer Distanz von 1 m befinden? (3P) <br />
b) Vereinfache uns stelle das Ergebnis mit positiven Hochzahlen dar: <br />
[ ]* = (9P) <br />
c) Vereinfache so weit wie möglich: <br />
= (4P) <br />
d) Beseitige die Klammer <strong>und</strong> vereinfache! <br />
= (2P) <br />
2. Wurzelgleichungen <br />
a) Löse folgende Gleichungen mit G=R! Bestimme vorher die Definitionsmenge! <br />
= (7P) <br />
b) Erkläre die Wichtigkeit einer Probe speziell bei Wurzelgleichungen! <br />
(3P) <br />
3. <strong>Exponentialfunktion</strong> <br />
a) Ist f eine <strong>Exponentialfunktion</strong> mit f(x)=c*a x (c∊R, a∊R + ), dann gilt: <br />
f(x+1)=f(x)*a <br />
Beweise diese Aussage! <br />
(3P) <br />
b) Von einem bestimmten Zeitpunkt an, wächst die Bevölkerung einer Stadt annähernd <br />
exponentiell nach dem folgenden Wachstumsgesetz. Dabei ist N(t) die Einwohnerzahl <br />
nach t Jahren. Wie viele Einwohner sind zum Anfangspunkt, wie viele nach 5 Jahren <br />
vorhanden? Um wie viel Prozent nimmt die Einwohnerzahl jährlich zu? <br />
N(t)=10500*1,08 t <br />
(6P)
4. <strong>Logarithmus</strong>funktion <br />
a) Eine Größe vermindert sich nach dem Abnahmegesetz N(t)=500* (t in Jahren). <br />
Nach welcher Zeit ist N(t)≤10? <br />
(5P) <br />
b) Vereinfache: <br />
a log + a log(a-‐b). (2P) <br />
c) Für welche x∊R gilt näherungsweise 5 2x-‐1 =30? <br />
(4P) <br />
Mucha suerte (Viel Erfolg)! <br />
Beurteilung: <br />
48-‐45 Sehr gut <br />
44-‐39 Gut <br />
38-‐30 Befriedigend <br />
29-‐24 Genügend <br />
23-‐0 Nicht genügend
3) Arbeitsblätter<br />
Wurzelfunktion – Umkehrung der Potenzfunktion <br />
Definition: Die Funktion mit der Funktionsgleichung , <br />
heißt Wurzelfunktion. <br />
Welche gemeinsamen Eigenschaften kannst du erkennen hinsichtlich <br />
• der Funktionswerte <br />
• der Nullstellen <br />
• der Monotonie <br />
• der gemeinsamen Punkte <br />
• Was kann man mit steigendem Wurzelexponenten aussagen?
Zusammenhang zwischen Potenzfunktion <strong>und</strong> Wurzelfunktion <br />
Was fällt hier auf? Begründe! <br />
Antwort: <br />
Die Zuordnungsgleichungen <strong>und</strong> beschreiben denselben Zusammenhang. Die <br />
Funktionsgleichung der zweiten Funktion entsteht durch Radizieren aus der ersten. <br />
Wird nun in der zweiten Funktionsgleichung mit vertauscht, so erhält man . Da das <br />
Vertauschen der Variablen eine Spiegelung an der 1. Mediane beschreibt, liegen die Graphen <br />
symmetrisch zur 1. Mediane.
Die <strong>Exponentialfunktion</strong> <br />
Definition: Die Funktion heißt <strong>Exponentialfunktion</strong> zur Basis a. <br />
In der folgenden Abbildung sind die Graphen eingezeichnet: <br />
Welche Eigenschaften für <strong>Exponentialfunktion</strong>en kannst du aus dieser Abbildung <br />
feststellen hinsichtlich: <br />
• der Funktionswerte <br />
• des gemeinsamen Punktes <br />
• der Monotonie <br />
• der Symmetrie bezüglich der Graphen <br />
• der Asymptoten
<strong>Logarithmus</strong>funktionen <br />
Definition: Unter der <strong>Logarithmus</strong>funktion versteht man die Funktion: <br />
a log: R + →R, y= a logx <strong>und</strong> a∊R + \{1}.<br />
Da Logarithmieren <strong>und</strong> Exponenzieren Umkehroperationen sind, kann man die <strong>Logarithmus</strong>funktion <br />
als Umkehrfunktion der <strong>Exponentialfunktion</strong> zeichnen. Man braucht dazu nur den Graphen der <br />
<strong>Exponentialfunktion</strong> an der 1. Mediane spiegeln.
Welche Eigenschaften für Logartihmusfunktionen kannst du aus dieser Abbildung feststellen <br />
hinsichtlich: <br />
• der Definitionswerte <br />
• der Monotonie <br />
• der Symmetrie der <strong>Logarithmus</strong>funktion zur Basis a <strong>und</strong> zur Basis <br />
• der Asymptoten <br />
Formuliere die Rechenregeln für das Logarithmieren <strong>und</strong> Entlogarithmieren: <br />
Merkregel: <br />
Beim Logarithmieren einer Rechenoperation erniedrigt sich diese um eine Stufe, beim <br />
Entlogarithmieren erhöht sie sich um eine Stufe.
Zusammenfassung der Rechenregeln <br />
Exponenten in N ∗ !"# R <br />
1. <strong>Potenzen</strong> mit natürlichen Zahlen als Exponenten: <br />
Basen <strong>Potenzen</strong> ± ∗ ∶ Rechenregel Bsp <br />
Gleich Gleich + !! ! + !" ! = (! + !)! ! 3! ! + 2! ! = 5! ! <br />
Gleich Gleich -‐ !! ! − !" ! = (! − !)! ! 3! ! − 2! ! = ! ! <br />
(Verschieden) Gleich * ! ! ∗ ! ! = (! ∗ !) ! 4 ! ∗ 3 ! = (4 ∗ 3) ! <br />
(Verschieden) Gleich / ! !<br />
! ! = ! !<br />
!<br />
4 !<br />
3 = 4 !<br />
! 3<br />
Gleich (Verschieden) * ! ! ∗ ! ! = ! !!! 2 ! ∗ 2 ! = 2 !!! <br />
Gleich (Verschieden) / ! !<br />
! ! = !!!! <br />
2 !<br />
2 ! = 2!!! <br />
Potenzieren von <strong>Potenzen</strong> ! ! ! = ! !∗! 2 ! ! = ! !∗! <br />
Wichtig: <br />
<strong>Potenzen</strong> mit gleicher Basis werden dividiert, indem man die Basis mit der Differenz der Exponenten <br />
potenziert, wobei folgende Fallunterscheidungen vorgenommen werden: <br />
! !!! !ü! ! > !<br />
! !<br />
= ! !ü! ! = !<br />
! !<br />
!<br />
!<br />
!!!<br />
!ü! ! < !
2. <strong>Potenzen</strong> mit ganzen Zahlen als Exponenten: <br />
Zusätzlich der beiden Definitionen werden alle Rechenregeln mit <br />
natürlichen Exponenten übernommen. <br />
Definition: ! !! = ! ! !<br />
!ü! ! ∈ R ∖ ! , ! ∈ N∗ <br />
Definition: ! ! = !<br />
!ü! ! ∈ R ∖ !
Untersuchen von Potenzfunktionen <br />
Definition: !"#$ !"#$%&'#<br />
!: R → R !"#. R ∖ ! → R !"# !"# !"#$%&'#()*+&,-"#) ! = ! !<br />
!"# ! ∈ Z !"#ß! !"#$%&'(%)#*"% <br />
Welche gemeinsamen Eigenschaften kannst du erkennen: <br />
• Geht die Funktion durch den Ursprung? <br />
• Verläuft sie unterhalb der x-‐Achse? <br />
• Symmetrie?
Welche Eigenschaften erfüllen nun folgende Potenzfunktionen? <br />
<br />
Gemeinsame Eigenschaften für den Fall gerader Exponenten ! ! ! <br />
• verlaufen durch den Ursprung <br />
• verlaufen nirgends unterhalb der x-‐Achse <br />
• symmetrisch zur y-‐Achse <br />
Gemeinsame Eigenschaften für den Fall ungerader Exponenten ! ! ! <br />
•<br />
•<br />
•<br />
Gemeinsame Eigenschaften für den Fall gerader Exponenten ! ! ! <br />
•<br />
•<br />
•<br />
Gemeinsame Eigenschaften für den Fall ungerader Exponenten ! ! ! <br />
•<br />
•<br />
•
Grobziele: Die Schüler sollen die Verbindung von<br />
<strong>Potenzen</strong>/Wurzeln/<strong>Exponentialfunktion</strong>/<strong>Logarithmus</strong>funktion verstehen<br />
Feinziele<br />
FZ 1<br />
FZ 2<br />
FZ 3<br />
FZ 4<br />
FZ 5<br />
FZ 6<br />
FZ 7<br />
FZ 8<br />
Die Schüler sollen folgende Themen erarbeiten:<br />
<strong>Potenzen</strong> mit natürlichen Zahlen als Exponenten<br />
<strong>Potenzen</strong> mit ganzen Zahlen als Exponenten<br />
<strong>Potenzen</strong> mit rationalen Zahlen als Exponenten<br />
<strong>Potenzen</strong> <strong>und</strong> Wurzeln von Polynomen<br />
<strong>Potenzen</strong> mit reellen Exponenten - <strong>Exponentialfunktion</strong><br />
EULER'sche Zahl <strong>und</strong> natürliche <strong>Exponentialfunktion</strong><br />
Rechnen mit Logarithmen<br />
Exponentialgleichungen <strong>und</strong> logarithmische Gleichungen<br />
Ziele<br />
FZ<br />
Dauer<br />
h<br />
Unterrichtsverlauf<br />
(strukturiert z. B. nach: Einstieg, Problembegegnung, Lösungsplan entwickeln,<br />
Ausführen, Sicherung des Unterrichtsertrages, etc.)<br />
1 2 Herausarbeitung der Definitionen <strong>und</strong> durch viele Übungsaufgaben das Erlernte vertiefen<br />
2 2 Durch die Zusammenfassung der Rechenregeln in der Tabelle intensive Übungseinheit<br />
3 1 SchülerInnen auch an der Tafel Hausübungen vorrechnen lassen<br />
Lehr-, Lernmittel<br />
/ Lehrverfahren /<br />
methodische<br />
Hinweise<br />
Vorrechnen, üben<br />
lassen<br />
Gemeinsam üben<br />
<strong>und</strong> rechnen<br />
Vorrechnen,<br />
erklären<br />
4 2 Herausarbeitung der Definitionen <strong>und</strong> durch viele Übungsaufgaben das Erlernte vertiefen Gruppenarbeit<br />
5 2 SchülerInnen können sich gegenseitig die Aufgaben erklären Gruppenarbeit<br />
6 2 Herausarbeitung der Definitionen <strong>und</strong> durch viele Übungsaufgaben das Erlernte vertiefen<br />
7 2 Herausarbeitung der Definitionen <strong>und</strong> durch viele Übungsaufgaben das Erlernte vertiefen<br />
Gemeinsam üben<br />
<strong>und</strong> rechnen<br />
Vorrechnen,<br />
erklären<br />
8 2 SchülerInnen durch geeignete Übungsaufgaben den Rechenweg erarbeiten lassen Üben